Derivadas parciais: o teorema de Castigliano e a flecha de uma treliça de aço

A derivada parcial que você conheceu em Cálculo II costuma ser apresentada como uma ferramenta para superfícies e gradientes: como uma função de várias variáveis se inclina quando você mexe em uma delas. Parece geometria pura, longe de uma viga ou de um parafuso. Não é. Em 1873 um jovem engenheiro ferroviário italiano, Carlo Alberto Castigliano, mostrou que essa mesma derivada parcial calcula a flecha de uma estrutura carregada diretamente, saindo direto da energia que a estrutura armazena.

Essa é toda a promessa deste artigo. Pegamos uma treliça de aço real, carregamos, e lemos três flechas diferentes a partir de derivadas parciais da sua energia armazenada. Nenhuma física nova entre elas: a mesma derivada, apontada para três perguntas diferentes.

• A flecha sob a carga, onde a força de fato empurra.
• Uma flecha onde nenhuma carga atua, usando uma força fictícia que derivamos e depois desligamos.
• Os esforços internos de uma treliça hiperestática, onde a derivada igualada a zero escolhe a única solução que a natureza de fato adota.

Cada resposta é confrontada com o motor de FEM do CalcSteel casa decimal. Esse é o sentido de ter um motor real por trás das palavras: o cálculo manual e a solução da máquina têm que se encontrar, e se encontram. Tudo aqui roda de graça no navegador, então você pode reconstruir a treliça enquanto lê.

Três leitores vão tirar algo diferente daqui. O estudante de engenharia ganha uma razão concreta para a derivada parcial merecer seu lugar na ementa. O calculista atuante ganha uma revisão limpa dos métodos de energia e de onde eles ainda ganham de uma caixa-preta. O calculista autônomo ganha um jeito gratuito, nativo do navegador, de checar uma flecha sem comprar licença de nada.

Uma derivada parcial df/dx mede como uma função de várias variáveis f(x, y, z, ...) muda quando você mexe em uma variável e mantém todas as outras fixas. É a derivada ordinária em tudo, exceto num ponto: você decide qual variável se move, e congela as demais nos seus valores atuais enquanto deriva.

É exatamente o passo para o qual sua sequência de cálculo se encaminha. Cálculo I te dá a derivada ordinária de uma função de uma variável. Cálculo II amplia o mundo para funções de várias variáveis, e a derivada parcial é a primeira ferramenta natural ali: derivar em relação a uma entrada de cada vez. Nada de novo é pedido de você, apenas a escolha de qual botão girar.

Aqui está o pivô que faz o resto deste artigo funcionar. Uma estrutura carregada armazena energia, e essa energia armazenada é uma função das cargas que atuam sobre ela: escreva U(P1, P2, P3, ...). Mude uma carga e a energia armazenada muda. Então uma derivada parcial de U em relação a uma carga, dU/dP1, é exatamente o tipo de objeto que Cálculo II te entrega: uma função de várias variáveis derivada em uma de suas variáveis.

A sacada de Castigliano foi perguntar o que aquela derivada parcial específica significa fisicamente. A resposta, que as próximas duas seções constroem com cuidado, é que ela é uma flecha. O maquinário abstrato de Cálculo II acaba sendo uma calculadora de flechas disfarçada.

Antes de derivar a energia armazenada, precisamos dela como uma fórmula honesta. Quando uma estrutura se deforma elasticamente sob carga, ela armazena o trabalho feito sobre ela como energia de deformação, U. Na forma mais geral, ela é a integral da densidade de energia sobre todo o corpo, U = integral de (1/2) sigma epsilon dV, com sigma a tensão e epsilon a deformação. Essa é a quantidade que um peso em queda tem que despejar numa estrutura, e é por isso que ela também governa o carregamento de impacto.

Para uma única barra que carrega apenas um esforço normal N, essa integral colapsa num resultado compacto:

U = N² L / (2 E A)

onde L é o comprimento da barra, E é o módulo de Young e A é a área da seção transversal. Uma treliça é apenas um conjunto de barras assim rotuladas entre si, cada uma carregando seu próprio esforço normal, então sua energia de deformação total é a soma sobre todas as barras:

U = soma de N_i² L_i / (2 E A_i)

Agora a frase em que todo o método gira: U é uma função das cargas. Não parece uma, porque as cargas P não aparecem na fórmula. Elas estão escondidas dentro de cada N_i. Numa treliça cada esforço de barra N_i é fixado pelas cargas aplicadas via equilíbrio, então N_i = N_i(P1, P2, ...), e portanto U = U(P1, P2, ...). A energia é exatamente a função de várias variáveis U(P1, P2, ...) da seção anterior, escrita na língua do aço.

É tudo o que precisamos. Temos uma função das cargas. Cálculo II nos diz como derivá-la em uma carga por vez. A próxima seção diz o que essa derivada é.

Aqui está o teorema, dito com clareza. Para uma estrutura elástica linear, o deslocamento no ponto de aplicação de uma carga P_i, medido na direção dessa carga, é igual à derivada parcial da energia de deformação em relação a essa carga:

delta_i = dU/dP_i

É a ideia inteira. A derivada parcial abstrata das seções anteriores é uma flecha real, mensurável, em milímetros.

Para transformá-la em algo que você consiga calcular, derive a energia da treliça sob o sinal de soma. Partindo de U = soma de N² L / (2 E A) e aplicando a regra da cadeia a cada N (que depende de P_i), o fator 2 cancela e você fica com uma fórmula de trabalho:

delta = soma de N (dN/dP) L / (E A)

Leia termo a termo. Para cada barra você toma seu esforço N, multiplica por quão rápido esse esforço muda com a carga, dN/dP, multiplica pelo comprimento L, soma sobre todas as barras, e divide pela rigidez axial E A. Toda quantidade à direita é algo que você já sabe obter: N pelo equilíbrio, dN/dP derivando essa mesma expressão de equilíbrio, L e E A pela geometria e pela seção.

O teorema vem com hipóteses, e elas importam. Ele vale para material elástico linear, sob pequenos deslocamentos, com as cargas aplicadas gradualmente, de modo que todo o trabalho externo seja armazenado como energia de deformação recuperável e nada se perca para dinâmica ou escoamento. Dentro desses limites, que cobrem a imensa maioria do dimensionamento de aço em serviço, a igualdade é exata.

Uma palavra sobre de onde isso veio. Carlo Alberto Castigliano (1847 a 1884) foi um engenheiro estrutural e ferroviário italiano que trabalhou para as Ferrovias do Norte da Itália, as Strade Ferrate dell'Alta Italia. Ele apresentou esses teoremas em sua dissertação de engenharia de 1873 no Politecnico di Torino e os publicou em 1879 como Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques. Morreu aos 36. Seus métodos de energia ficam ao lado do trabalho virtual, desenvolvido por Maxwell em 1864 e por Mohr, como a rota clássica para flechas que sustentou a análise estrutural até a chegada dos métodos matriciais e de elementos finitos nos anos 1950 e 1960.

Antes de tocar numa treliça real, aqui está o método inteiro num relance. O primeiro teorema de Castigliano transforma uma flecha num exercício de contabilidade: ache os esforços, derive-os, multiplique, some, divida. Todo exemplo resolvido neste artigo é apenas esses cinco passos repetidos.

1. Ache os esforços de barra N como funções da carga P. Resolva a treliça para a carga aplicada e mantenha P como símbolo, de modo que cada esforço de barra saia como uma fórmula em P em vez de um número nu.
2. Tome a derivada parcial dN/dP de cada barra. Como uma treliça é linear, essa derivada parcial é simplesmente o esforço que aquela barra carrega por unidade de P, mantendo a geometria e todas as outras cargas fixas.
3. Multiplique N vezes (dN/dP) vezes L, barra a barra. Esse produto é a contribuição própria de cada barra para a flecha, carregando o seu sinal consigo.
4. Some sobre todas as barras. Adicione as sete contribuições num único número, tração e compressão juntas.
5. Divida por EA. A rigidez axial EA converte essa soma força-comprimento num deslocamento real, nas mesmas unidades de comprimento que você usou dentro da soma.

É o motor inteiro. Na próxima seção nós o rodamos numa treliça de aço real e conferimos a resposta com o solver de FEM do CalcSteel casa decimal.

Aqui está a estrutura que levaremos pelo artigo inteiro. É uma treliça de aço simplesmente apoiada com vão de L = 6,0 m e altura de 2,0 m. Os nós inferiores são L em (0,0), rotulado (apoio de segundo gênero), M em (3,0), e R em (6,0) sobre um rolete (apoio de primeiro gênero). Os dois nós superiores são T1 em (1,5, 2,0) e T2 em (4,5, 2,0). Sete barras os conectam: os banzos inferiores LM e MR, as diagonais extremas LT1 e T2R, as diagonais internas T1M e MT2, e o banzo superior T1T2.

Toda barra é a mesma seção tubular quadrada, uma SHS 90x5 com área A = 17,0 cm^2 (o valor que o motor recalcula a partir da geometria), grau MR250, com E = 200 GPa = 20 000 kN/cm^2. Isso dá uma rigidez axial EA = 340 000 kN para cada barra. A treliça é isostática: com m = 7 barras, r = 3 reações, e j = 5 nós, m + r é igual a 2j, então só o equilíbrio fixa todos os esforços.

Agora pendure uma única carga concentrada P = 60 kN para baixo no nó inferior central M, e peça a flecha vertical em M, bem sob a carga. É exatamente a situação para a qual o primeiro teorema de Castigliano foi construído: a flecha na carga é igual a dU/dP, que se expande na soma que montamos na receita.

Como os esforços são lineares em P, o passo 2 é fácil: dN/dP é apenas o esforço que cada barra carrega por unidade de P. Então resolvemos a treliça uma vez para P = 60 kN, lemos os sete esforços de barra (positivo em tração, negativo em compressão), e a coluna por unidade sai dividindo por 60. A última coluna é o produto N vezes (dN/dP) vezes L que somamos, com comprimentos escritos em centímetros para que a resposta caia em centímetros.

Note que todo produto na última coluna é positivo, mesmo para as barras comprimidas LT1, T2R e T1T2. Uma barra comprimida tem N negativo e dN/dP negativo, e os dois sinais de menos multiplicam para mais. Esse é o coração físico do método: barras comprimidas armazenam energia e contribuem para a flecha exatamente tanto quanto as barras tracionadas.

A soma é 38 625 kN.cm. Divida por EA = 340 000 kN e você obtém a flecha:

delta_M = 38 625 / 340 000 = 0,1136 cm = 1,136 mm para baixo.

Agora o desfecho. Construímos essa mesma treliça no motor de FEM do CalcSteel em produção, o mesmo que roda dentro do app no navegador, e pedimos o deslocamento vertical no nó M. Ele retorna 1,136 mm, o mesmo casa decimal. Uma derivada parcial que você aprendeu a tomar em Cálculo II, aplicada à energia armazenada de uma estrutura de aço, cai no número idêntico que um solver de elementos finitos completo calcula. (Se você prefere a forma de energia, as mesmas sete barras dão soma N^2 L = 2 317 500 kN^2.cm, e delta = soma N^2 L / (P.EA) retorna 1,136 mm também.)

O primeiro teorema de Castigliano te dá a flecha numa carga, na direção dessa carga. Então o que você faz quando quer o movimento num ponto onde nada está empurrando? Na nossa treliça, a carga em M é vertical, mas um projetista muitas vezes se importa com a abertura horizontal no rolete R, onde não há força horizontal alguma. Existe um truque limpo para exatamente esse caso.

Adicione uma força fictícia Q em R, apontando na direção que você quer medir, aqui horizontalmente. Agora todo esforço de barra é uma combinação linear da carga real e da fictícia, N = a P + b Q. Tome a derivada parcial em relação a Q, e então faça Q = 0 bem no final. A carga real fica; a imaginária some depois de ter feito seu trabalho de isolar o deslocamento certo.

A beleza está no que a derivada acaba sendo. Como N = a P + b Q, temos dN/dQ = b, que é precisamente o esforço de barra sob uma carga horizontal unitária em R. Então o passo 2 da receita vira: resolva a treliça para uma única força unitária em R, na direção de interesse, e leia os esforços de barra. Esses são seus valores de dN/dQ, e fazer Q = 0 significa que os esforços reais de barra N na soma são apenas os da Treliça resolvida 1.

Uma carga horizontal unitária aplicada no rolete R corre direto pelo banzo inferior até a rótula em L, e não alcança nenhuma outra barra. Então apenas os dois banzos inferiores têm dN/dQ diferente de zero:

• LM: dN/dQ = +1,0
• MR: dN/dQ = +1,0
• todas as outras barras: dN/dQ = 0

A soma colapsa em dois termos. Usando os esforços reais dos banzos inferiores N_LM = N_MR = +22,5 kN e comprimentos de 300 cm cada:

delta_R,horizontal = (22,5 x 1 x 300 + 22,5 x 1 x 300) / 340 000 = 13 500 / 340 000 = 0,03971 cm = 0,397 mm.

Pedimos ao motor de FEM do CalcSteel o deslocamento horizontal em R no mesmo modelo. Ele retorna 0,397 mm, o mesmo casa decimal, uma flecha lida com limpeza num ponto que não carregava nenhuma força horizontal real.

Se aquele passo de carga unitária soa familiar, deveria. A quantidade dN/dQ, o esforço de barra sob uma carga fictícia unitária no ponto e direção de interesse, é a força de carga fictícia do método do trabalho virtual (carga unitária). É por isso que Castigliano e o trabalho virtual sempre produzem a soma idêntica, barra a barra: eles estão escrevendo o mesmo produto N vezes (força da carga unitária) vezes L sobre EA. A diferença é só o caminho que cada um percorre para chegar lá. O trabalho virtual parte de um argumento de equilíbrio com uma carga fictícia; Castigliano alcança o mesmíssimo resultado a partir da energia armazenada e de uma única derivada parcial. Dois ramos do ferramental de Cálculo II, uma flecha de aço.

Você acabou de ver uma derivada parcial virar uma flecha duas vezes no papel. Agora faça você mesmo, sem pegar num lápis. A calculadora interativa embutida bem aqui deixa você definir uma carga e ler a flecha de volta, para que o abstrato dU/dP vire um número que você pode empurrar de um lado para o outro.

Mude a carga, mude a geometria, e veja a flecha responder. É a mesma ideia da nossa treliça resolvida: energia armazenada nas barras, derivada em relação à carga, lida como um deslocamento. Ver se mover é o jeito mais rápido de confiar no método.

É genuinamente grátis, não há login para a conta, e não há limite de quantas vezes você a roda. Explore-a como você exploraria um gráfico em Cálculo II: mexa numa coisa, mantenha o resto fixo, e leia a mudança.

Tudo até aqui supôs uma treliça que você resolve só com equilíbrio. Nossa treliça compartilhada é isostática: sete barras, três reações, cinco nós, então m mais r é igual a 2j exatamente. As equações de nó bastam, e o primeiro teorema de Castigliano lê a flecha por cima.

Adicione mais uma diagonal e esse equilíbrio quebra. Coloque uma barra T1R cruzando a treliça (comprimento 4,924 m) e agora você tem oito barras e três reações contra cinco nós, então m mais r é igual a 2j mais 1. Há um esforço incógnito a mais do que o equilíbrio consegue determinar. A estrutura é uma vez hiperestática, e as equações de nó ficam uma equação curtas.

O segundo teorema de Castigliano, o teorema do trabalho mínimo, fecha exatamente essa lacuna. Ele diz que o esforço redundante assume o valor que minimiza a energia de deformação: dU/dX = 0. A estrutura, deixada por si só, acomoda-se no estado de menor energia, e essa condição fornece a equação que faltava.

Derivando a energia em relação ao esforço redundante X e igualando a zero, obtém-se uma fórmula compacta:

X = menos soma(N0 n L) / soma(n ao quadrado L)

Aqui N0 são os esforços de barra na treliça isostática liberada sob a carga real de 60 kN (exatamente os esforços SIM-1), e n são os esforços de barra sob uma tração unitária só na diagonal redundante. É a mesma energia, a mesma derivada parcial, agora resolvida para um esforço em vez de um deslocamento.

Para a nossa treliça o resultado é X = menos 9,77 kN. O sinal importa: a diagonal adicionada vai para compressão. Uma vez que você sabe X, o resto das barras se redistribui, porque cada uma agora carrega seu antigo N0 mais sua parcela n vezes X.

Leia a redistribuição fisicamente. O banzo inferior MR sobe de +22,5 para +28,45 kN e o banzo superior T1T2 alivia de menos 45,0 para menos 39,05 kN. A diagonal interna T1M sobe de +37,5 para +42,46 kN enquanto MT2 relaxa de +37,5 para +32,54 kN, e a diagonal extrema T2R alivia de menos 37,5 para menos 32,54 kN. LM e LT1 não se movem. A nova barra simplesmente tira carga de um caminho e a entrega a outro, que é para o que serve uma barra redundante.

Então a verificação que importa. Construímos a treliça hiperestática verdadeira de oito barras no motor de FEM do CalcSteel em produção e a resolvemos diretamente, sem nenhuma fórmula de trabalho mínimo envolvida. Ele retorna X = menos 9,77 kN e cada esforço redistribuído acima, batendo casa decimal (a maior diferença entre todas as barras é 0,0003 kN). Uma derivada parcial igualada a zero e uma solução de rigidez completa caem nos mesmos números.

Uma nota sobre a história. O princípio do trabalho mínimo foi enunciado pela primeira vez por Luigi Federico Menabrea em 1858. Foi Castigliano quem lhe deu uma prova rigorosa e geral, e por isso o teorema do trabalho mínimo é muitas vezes chamado de teorema de Menabrea-Castigliano. Se você quer ver a mesma redistribuição pelo lado dos esforços de barra, nosso post de dimensionamento de treliças de aço percorre os próprios esforços.

Dê um passo atrás e todo o arco de Cálculo I e II cai sobre aço real, uma ferramenta de cada vez. A derivada ordinária dá a taxa de variação ao longo de uma viga: dM/dx é igual ao esforço cortante. Derive mais uma vez e a segunda derivada vira a curvatura da linha elástica.

Rode a derivada para trás e a integral definida recupera uma quantidade como a área sob um diagrama. E agora a derivada parcial, o objeto que você conheceu para superfícies e gradientes, dá uma flecha direto da energia armazenada: delta = dU/dP.

É um único cálculo coerente, não quatro truques desconectados. A mesma ideia de taxa de variação, aplicada a diferentes funções de uma estrutura, cada uma produzindo um número que um engenheiro de fato verifica. A derivada parcial é simplesmente o último membro dessa família, e é a que lê um deslocamento.

Uma flecha é só metade de uma resposta de engenharia. A outra metade é a comparação que uma norma faz: esse movimento é pequeno o suficiente para a estrutura cumprir seu propósito? Castigliano te dá o número, e o estado limite de serviço te diz quanto o número pode valer.

Pegue a flecha que calculamos sob a carga. A derivada parcial da energia de deformação deu delta_M = 1,136 mm no nó carregado, e o motor de FEM do CalcSteel concordou casa decimal. Agora coloque isso contra o vão. A treliça vence 6,0 m, que são 6000 mm, então a flecha é uma razão de 6000 / 1,136, isto é L/5282.

Os limites de serviço são escritos exatamente nessa forma L sobre delta. Um limite de serviço comum para esse tipo de barra é L/360, que num vão de 6,0 m permitiria 6000 / 360 = 16,7 mm de flecha. Nossos 1,136 mm ficam bem dentro dessa margem: L/5282 é cerca de quinze vezes mais rígido do que a linha de L/360 exige.

Então a treliça está confortável de flecha, e vale deixar claro por que estamos mostrando. O ponto aqui é o método, não uma verificação dramaticamente reprovada. Castigliano produz o delta; a norma toma esse mesmo delta, forma a razão L/delta sob carga de serviço, e o aprova ou reprova. A derivada parcial que você aprendeu em Cálculo II alimenta direto a cláusula de serviço que um engenheiro assina.

Se você quer ver de onde vêm esses limites e como as razões são escolhidas, leia o guia de limites de flecha, e para a visão pelo lado da viga de uma flecha como o pico de uma curva elástica, veja flecha máxima em vigas.

A fórmula é curta, que é exatamente por que os erros são fáceis de cometer. Aqui está a lista de checagem que mantém uma flecha de Castigliano honesta.

• dN/dP é uma derivada parcial. Ao derivar, mantenha a geometria e todas as outras cargas fixas. Você está mexendo em uma carga e observando uma resposta, nada mais se move.
• Para ler uma flecha você precisa de uma carga ali. Real ou fictícia, tem que haver uma carga no ponto exato e na direção exata em que você quer o movimento. Sem carga naquele lugar, não há derivada parcial a tomar.
• Guarde o sinal de cada N. A soma usa N vezes dN/dP, e uma barra comprimida (N negativo) com dN/dP negativo contribui com um produto positivo, igualzinho a uma barra tracionada. Barras comprimidas puxam todo o seu peso na flecha; largar o sinal delas silenciosamente joga a resposta fora.
• Mantenha as unidades consistentes. Comprimento L e área A têm que viver no mesmo sistema. Na treliça resolvida carregamos L em cm dentro da soma para que dividir por EA em kN e cm desse um centímetro limpo de flecha.
• Ela supõe comportamento elástico linear e de pequenos deslocamentos. Cargas aplicadas gradualmente, sem escoamento, sem grande mudança de geometria. Fora dessa caixa a própria expressão de energia de deformação deixa de ser a função que você derivou.
• O resultado é o deslocamento na direção da carga. Uma carga vertical dá uma flecha vertical; uma força fictícia horizontal dá uma horizontal. Não é automaticamente o movimento vertical a menos que a carga fosse vertical.

Qual a diferença entre uma derivada parcial e uma derivada ordinária aqui? Uma derivada ordinária como dM/dx acompanha uma função de uma variável, como em dM/dx é igual ao esforço cortante. A energia de deformação U depende de várias cargas ao mesmo tempo, U(P1, P2, ...), então dU/dP é uma derivada parcial: você muda uma carga e congela o resto. É precisamente o objeto que Cálculo II introduz para funções de várias variáveis.

Por que Castigliano e o trabalho virtual dão a mesma resposta? Porque dN/dQ, a derivada parcial de um esforço de barra em relação a uma carga fictícia unitária, é idêntica ao esforço de barra de carga unitária do método do trabalho virtual. As duas técnicas montam a mesma soma a partir de dois pontos de partida diferentes, energia versus trabalho virtual. Veja o método da carga unitária para a rota paralela.

Posso usar Castigliano numa estrutura hiperestática? Sim. É para isso que serve o segundo teorema, o teorema do trabalho mínimo. O esforço redundante assume o valor que minimiza a energia de deformação, dU/dX = 0, e os esforços de barra se redistribuem de acordo. No exemplo resolvido a diagonal redundante se acomodou em X = menos 9,77 kN, batida pelo motor de FEM casa decimal.

O tamanho da seção muda a flecha? Sim, através de EA. Um esforço de barra N depende da carga e da geometria, mas a flecha divide por EA, então uma área A maior ou um material E mais rígido dá uma flecha menor para os mesmos esforços. Os esforços da treliça no nosso exemplo não se importam com A porque a treliça é isostática, mas o movimento se importa.

Uma treliça, três flechas, todas lidas direto de derivadas parciais da energia armazenada, e todas batidas com um motor de FEM real casa decimal.

• Uma flecha é uma derivada parcial. O primeiro teorema de Castigliano diz que o deslocamento numa carga é igual a dU/dP, que vira a soma de trabalho delta = soma de N (dN/dP) L / EA. Na treliça resolvida isso deu delta_M = 1,136 mm sob P = 60 kN.
• Sem carga no ponto? Adicione uma fictícia. A abertura horizontal no rolete deu 0,397 mm porque dN/dQ isolou apenas os dois banzos inferiores, e esse dN/dQ é exatamente o esforço de barra de carga unitária do trabalho virtual.
• Estruturas hiperestáticas fecham pelo trabalho mínimo. O segundo teorema de Castigliano faz dU/dX = 0, o que fixou a diagonal redundante em X = menos 9,77 kN e redistribuiu os esforços, de novo batendo com o motor.
• O número alimenta a norma. Aqueles 1,136 mm sobre 6,0 m são L/5282, confortavelmente dentro de um limite de serviço L/360 de 16,7 mm. A derivada parcial cai numa verificação de serviço real.
• Isto é Cálculo I e II fazendo trabalho estrutural. A derivada ordinária dá o cortante, a segunda derivada dá a curvatura, a integral dá as áreas sob diagramas, e a derivada parcial dá a flecha. Um arco só, todos caindo sobre aço real.

Agora ponha as mãos nisso. Construa a treliça, carregue-a, e leia a flecha você mesmo no CalcSteel, uma ferramenta de dimensionamento e análise de aço estrutural nativa do navegador com um motor de FEM de verdade. A conta e as calculadoras são grátis, sem login, ilimitadas, e se você é estudante a oferta /education é grátis para você. A prova não é um teste com contagem regressiva; é uma ferramenta que você pode abrir agora mesmo e conferir contra cada número desta página.