Critérios de escoamento: von Mises e Tresca no mesmo detalhe estrutural, e os 15,470 % entre eles

Uma chapa de 8 mm, 210 mm de altura, S355, soldada à mesa de um pilar e parafusada à alma de uma viga. Ela carrega 208,8 kN, que é o que o motor do CalcSteel devolveu como reação de apoio da viga apoiada nela. Nada de incomum em lugar nenhum.

Verifique contra o escoamento e você recebe duas respostas.

• Por von Mises, a tensão equivalente de pico é 322,90 MPa. Contra fy = 355 MPa isso é um aproveitamento de 0,910. A chapa passa.
• Por Tresca, o mesmo ponto está a 372,86 MPa. Aproveitamento 1,050. A chapa reprova.

Mesma chapa, mesma carga, mesmo aço, mesmo dia. Os dois números estão 15,470 % afastados, e isso não é coincidência nem diferença de arredondamento. É exatamente 2/√3, a maior diferença de que os dois critérios são capazes, e esta chapa acerta o alvo em cheio porque está em cisalhamento puro.

Escrita como espessura em vez de razão, a divergência são 7,277 mm contra 8,402 mm de chapa. Uma arredonda para uma chapa de 8 mm, a outra arredonda para uma chapa de 10 mm. Esse é o assunto inteiro num detalhe só.

O que vem a seguir é a mesma pergunta feita em todo o resto da mesma estrutura: ao longo de toda a altura da seção da viga, em três estações do vão, e nas oito pontas de barra de um pórtico. A resposta acaba sendo bastante desigual. Os 15,470 % são reais, são limitados, e quase sempre estão no lugar errado para importar.

Toda tensão admissível que você já usou remonta a um único experimento: uma barra redonda tracionada numa direção até escoar. Esse ensaio produz um número, fy, e descreve um estado de tensão, a tração uniaxial pura.

Pontos reais em estruturas reais quase nunca estão nesse estado. Um ponto na alma de uma viga tem uma tensão normal σ da flexão e uma tensão de cisalhamento τ do esforço cortante no mesmo instante. Um ponto numa chapa de cisalhamento tem τ e mais nada. Um ponto na raiz de uma solda tem tudo. Você não consegue comparar um estado com um número enquanto não converter o estado em número, e a regra que faz essa conversão é o critério de escoamento.

Então a pergunta que um critério responde é estreita e precisa:

Este ponto tem σ e τ agindo juntos. Qual tensão uniaxial isolada seria igualmente perigosa?

Chame a resposta de tensão equivalente. Uma vez que você a tem, a verificação volta a ser a do livro: tensão equivalente contra fy, dividida por qualquer coeficiente parcial que a norma anexe.

Para o estado plano que domina a estrutura metálica, uma tensão normal e uma tensão de cisalhamento, os dois critérios sobreviventes dão:

• von Mises: σ_eq = √(σ² + 3τ²)
• Tresca: σ_eq = √(σ² + 4τ²)

O 3 e o 4 são a discussão inteira. Todo o resto deste artigo é consequência desses dois coeficientes.

Se você quiser ver de onde saem o σ e o τ de um ponto, para começo de conversa, o artigo companheiro sobre o tensor de tensões monta o tensor de Cauchy completo num consolo real. Este aqui toma o estado como dado e discute o que fazer com ele.

Desenhe todo estado de tensão que está exatamente no escoamento e você obtém uma superfície. No plano das duas tensões principais σ₁ e σ₂, com a terceira nula, os dois critérios desenham duas formas.

von Mises desenha uma elipse: σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂² = fy². Seu eixo maior corre ao longo da reta σ₁ = σ₂, a direção da pressão, que é o critério dizendo que apertar um ponto igualmente de todos os lados não o faz escoar. Só a distorção faz.

Tresca desenha um hexágono: o maior entre |σ₁|, |σ₂| e |σ₁ − σ₂| vale fy. É o critério dizendo que o escoamento começa quando a máxima tensão de cisalhamento no ponto atinge metade de fy, que é o que o ensaio uniaxial mostra no instante em que escoa.

A relação entre os dois é fixa e vale enunciar com cuidado, porque é ela que limita a divergência inteira:

• O hexágono é inscrito na elipse. Tresca é, portanto, sempre o conservador, em todo lugar, sem exceção.
• Eles se tocam em seis pontos, os vértices do hexágono: os estados uniaxiais (fy, 0), (0, fy), (−fy, 0), (0, −fy) e os estados biaxiais iguais (fy, fy) e (−fy, −fy). Substituir cada um dos seis na equação da elipse devolve exatamente 1,000000, que é a verificação que a simulação roda antes de desenhar qualquer coisa.
• A maior diferença fica nos pontos médios das arestas do hexágono, e a varredura confirma: percorrendo todas as 360 direções radiais, a pior está em 135°, a direção de cisalhamento puro σ₁ = −σ₂, onde a elipse está 15,4701 % mais afastada que o hexágono.

Esse é o teto da discussão inteira. Seja qual for o estado de tensão, os dois critérios não podem estar mais que 15,470 % afastados, e Tresca nunca é o otimista. Como divergências na engenharia, esta é excepcionalmente bem comportada.

Tome a razão entre as duas tensões equivalentes e tudo se cancela, menos o formato do próprio estado. Escrevendo k = τ/σ:

Tresca / von Mises = √(1 + 4k²) / √(1 + 3k²)

Varrer k de 0 a 2 e conferir essa expressão contra os critérios avaliados diretamente dá concordância até 1e-12, que é a verificação algébrica. O formato da curva é o que importa:

• k = 0, tensão normal pura. A razão é exatamente 1,000000. Os critérios são o mesmo critério.
• k = 0,1463. A diferença chega a 1 %.
• k = 0,3847. A diferença chega a 5 %.
• k → ∞, cisalhamento puro. A razão tende a 2/√3 = 1,154701, e é assintótica, então 15,470 % é um valor do qual se aproxima e que nunca ultrapassa.

Leia isso como afirmação prática e ela diz algo direto. Um ponto precisa ser seriamente dominado por cisalhamento antes que a escolha do critério mova o número em sequer 5 %. Abaixo de τ = 0,38σ os dois critérios são, para efeito de projeto, a mesma ferramenta.

É também por isso que a discussão costuma ser tão teórica. Numa estrutura dimensionada por barras em vez de por elementos finitos, os pontos que decidem o projeto são em geral aqueles em que k é pequeno. Os pontos em que k é grande em geral estão longe do limite. As três seções seguintes são essa afirmação, testada.

A estrutura é deliberadamente comum. Um IPE 450 em S355, biapoiado num vão de 8,0 m, com g = 22,0 kN/m de carga permanente e q = 15,0 kN/m de carga variável. A combinação de projeto persistente da EN 1990 dá 1,35 × 22,0 + 1,5 × 15,0 = 52,2 kN/m.

O motor foi calibrado antes de ser levado a sério. Resolvido com uma carga uniformemente distribuída simples, ele devolve wL²/8 e wL/2 com erro de 0,000000 %, e a flecha no meio do vão contra 5wL⁴/384EI com erro de 0,000010 %. Só então os números de projeto foram tomados:

• Momento fletor de pico 417,6 kN·m, e contra o módulo elástico da seção Wel = 1447,92 cm³ isso é uma tensão de flexão de 288,41 MPa, um aproveitamento de 0,812 contra o S355.
• Reação de apoio 208,8 kN. Este é o número que a ligação carrega.

A ligação é uma chapa de cisalhamento simples, 8 mm de espessura e 210 mm de altura, soldada ao pilar de apoio e parafusada à alma da viga. Este detalhe foi escolhido por um motivo que vai ficar óbvio: a chapa de cisalhamento é o único elemento de um pórtico metálico comum cujo ponto governante fica em k → ∞.

Toda tensão abaixo é construída a partir do M e do V do próprio motor e da geometria do próprio registro de perfis: Ix = 32578,28 cm⁴, tw = 9,4 mm, tf = 14,6 mm, b = 190 mm, h = 450 mm. O momento estático Q(y) é calculado a partir dessa geometria em vez de lido de tabela, porque o módulo plástico gravado no registro é sabidamente metade do valor correto e não é usado em lugar nenhum deste artigo. As propriedades da seção ignoram os raios de concordância, então Ix fica alguns por cento abaixo do valor publicado em catálogo, e demanda e capacidade estão as duas nessa mesma base.

Tome a seção da viga bem na ligação, a 0,10 m do apoio. O motor dá lá V = 203,58 kN e M = 20,62 kN·m: quase só cisalhamento, quase nenhuma flexão. Agora percorra a altura dessa única seção, avaliando σ = M·y/Ix e τ = V·Q(y)/(Ix·t) em 41 alturas, e aplique os dois critérios em cada uma.

A diferença entre eles não é propriedade da seção. É propriedade de cada ponto, e nesta única seção ela varre toda a faixa possível:

• Fibra extrema, y = ±225 mm. Q = 0, então τ = 0 e o estado é de flexão pura. A diferença é exatamente 0,000 %, conferida até 1e-6. Os critérios são idênticos aqui, e sempre são na fibra externa de qualquer viga.
• Junção alma com mesa, y = 210,4 mm, tomada do lado da alma, onde a espessura é tw. σ = 13,32 MPa, τ = 40,15 MPa. von Mises 70,80 MPa, Tresca 81,39 MPa. Diferença 14,958 %. Este é o ponto para o qual a EN 1993-1-5 §7.1 te manda, e a tensão de cisalhamento aqui cai por um fator de b/tw = 20,2 no instante em que você atravessa para a mesa, onde o mesmo Q é dividido por 190 mm em vez de 9,4 mm.
• Linha neutra, y = 0. σ = 0 por definição e τ atinge o pico de 53,98 MPa, usando Q = 811,96 cm³ sobre tw = 9,4 mm. von Mises 93,49 MPa, Tresca 107,96 MPa. Diferença exatamente 15,470 %.

Vale parar nessa última linha. A linha neutra de qualquer viga sob cisalhamento está em cisalhamento puro por construção, então ela fica sempre no pior caso exato para os dois critérios. Se você sair procurando a divergência máxima entre von Mises e Tresca numa estrutura metálica, vai encontrá-la na linha neutra de cada barra fletida, garantido, por inteiro.

E ela quase nunca vai importar, pelo motivo que a próxima seção torna preciso.

A verificação de uma seção transversal não se importa com o ponto médio. Ela se importa com o governante, o ponto de maior tensão equivalente. Então a pergunta honesta não é de quanto é a diferença, é de quanto é a diferença onde a seção é de fato governada.

Três estações ao longo da mesma viga de 8,0 m respondem:

O padrão é exato e não é acaso. No quarto do vão e no meio do vão o ponto governante é a fibra extrema, onde τ = 0, então os critérios devolvem o mesmo número com cinco algarismos significativos. Na estação da chapa o ponto governante é a linha neutra, porque quase não há flexão, então a diferença são os 15,470 % cheios.

Mas olhe a última coluna. A estação em que os critérios divergem 15,470 % está rodando com aproveitamento de 0,263. A estação que governa a viga está em 0,812 e ali os critérios concordam exatamente. A divergência é real e está confinada à parte da estrutura que tem capacidade de sobra.

Esta é a versão estrutural de um fato bem geral: a flexão ganha a discussão sobre onde está a tensão de pico, e a flexão é o estado em que os dois critérios são o mesmo critério.

Agora a chapa da primeira seção, por inteiro.

A chapa tem 8 mm por 210 mm, área bruta de 16,8 cm², e carrega a reação de 208,8 kN do motor. Um retângulo sob cisalhamento tem distribuição parabólica de cisalhamento, então o pico vale 1,5 vez a média:

• Tensão de cisalhamento média, V/A = 208,8/16,8 = 124,29 MPa.
• Tensão de cisalhamento de pico na meia altura, 1,5 × 124,29 = 186,43 MPa.
• Nesse ponto σ = 0. É cisalhamento puro, então os critérios estão na sua separação máxima, por construção.
• von Mises: √3 × 186,43 = 322,90 MPa. Aproveitamento contra o S355 com γM0 = 1,0: 0,910.
• Tresca: 2 × 186,43 = 372,86 MPa. Aproveitamento: 1,050.

Os vereditos são opostos e, ao contrário das estações da viga, não existe em outro lugar da chapa um ponto de flexão com aproveitamento alto para se sobrepor a eles. A chapa de cisalhamento não tem outra verificação atrás da qual se esconder: ela é o elemento crítico ao cisalhamento.

Transforme a mesma divergência naquilo que se encomenda da usina e ela fica concreta. A espessura necessária para levar o aproveitamento exatamente a 1,0 é de 7,277 mm por von Mises e de 8,402 mm por Tresca. Arredondando para o comercial, isso é uma chapa de 8 mm contra uma chapa de 10 mm, um aumento de 25 % no peso de chapa de toda chapa de cisalhamento da obra, decidido inteiramente por qual das duas equações, uma dos anos 1860 e outra dos anos 1910, você abriu.

Uma ressalva, e é grande, tratada como deve duas seções adiante: os números acima são as tensões de pico no ponto, que é o que um modelo de elementos finitos de chapa reporta. Toda norma de aço verifica a chapa pelo cisalhamento médio, e essa escolha de modelagem vale 50 %, mais de três vezes a diferença entre os critérios.

O jeito mais rápido de criar intuição para a curva da razão é mover um estado de tensão e ver as tensões principais responderem. Entre com o estado da linha neutra da viga na chapa, σ = 0 e τ = 53,98 MPa, e leia as tensões principais: elas voltam como +53,98 e −53,98 MPa, iguais e opostas, que é a assinatura do cisalhamento puro e o estado exato em que os critérios ficam 15,470 % afastados.

Depois acrescente flexão. Entre com a junção alma com mesa no quarto do vão, σ = 208,85 MPa com τ = 19,56 MPa, e o círculo desliza para longe da origem até quase tocá-la. Isso é k = 0,094, e a diferença já caiu para 0,426 %.

Você provavelmente nunca digitou um critério de escoamento numa verificação de projeto, porque as normas fizeram a escolha por você e a enterraram num coeficiente. Faça σ = 0 em cada critério e resolva para a tensão de cisalhamento no escoamento:

• Tresca: τy = fy/2 = 0,500 fy. Para o S355, 177,50 MPa.
• von Mises: τy = fy/√3 = 0,5774 fy. Para o S355, 204,96 MPa.
• AISC 360: a especificação escreve 0,600 fy, em G2.1 para o cisalhamento da alma e em J4.2 para o escoamento por cisalhamento na seção bruta. Para o S355, 213,00 MPa.

Ou seja, a AISC não está em nenhuma das duas superfícies. Ela está 3,923 % acima de von Mises, o que é um arredondamento deliberado e documentado de 1/√3 para cima, e 20,0 % acima de Tresca. O Eurocode é explícito em vez de arredondado: a EN 1993-1-1 §6.2.6 escreve Vpl,Rd = Av·(fy/√3)/γM0, e o √3 dessa fórmula é von Mises, por extenso. A NBR 8800 segue a convenção do 0,60. A EN 1993-1-1 §6.2.1(5) vai além e te entrega o critério a céu aberto, como a verificação σ² + 3τ² ≤ fy².

Agora a parte que vale mais que a discussão inteira sobre critério. Aplique as três constantes à capacidade ao cisalhamento do mesmo IPE 450 e as respostas não se alinham do jeito que as constantes sugerem:

A AISC, com a constante mais generosa das três, chega a 901,0 kN, que está a menos de 0,2 % da resposta que você obtém com o critério mais conservador aplicado à área europeia. O motivo é que as duas normas não concordam sobre o que é a área de cisalhamento. A EN 1993-1-1 §6.2.6(3) inclui os raios de concordância entre mesa e alma e dá Av = A − 2b·tf + (tw + 2r)·tf = 50,85 cm². A AISC usa a altura total vezes a espessura da alma, 45,0 × 0,94 = 42,30 cm², que é 16,8 % menos.

A lição não é que uma norma está certa. É que o critério é um termo de um produto, e os outros termos são igualmente capazes de mover a resposta em 15 %. Discutir von Mises e Tresca ignorando a definição de área é discutir a metade menor.

Uma viga é anedota. Para ver se a escolha do critério importa na escala de um pórtico real, um pórtico de um vão foi resolvido no mesmo motor: 20,0 m de vão, 6,0 m até o beiral, pilares HEA 300, tesouras IPE 400, 12,0 kN/m na cobertura e 4,5 kN/m de carga lateral no pilar de barlavento, bases rotuladas. Depois os dois critérios foram aplicados em 41 alturas de todas as oito pontas de barra, com a tensão axial N/A montada em cada fibra.

O resultado é desequilibrado:

• Seis das oito pontas mostraram diferença de 0,000 %. Em todas elas o ponto governante é a fibra extrema, onde as tensões axial e de flexão se somam e a tensão de cisalhamento é nula.
• Duas pontas passaram de 1 %, com 10,53 % e 14,14 %. As duas são as bases rotuladas dos pilares, onde M = 0 por definição e a seção carrega só N e V, então o ponto governante desce para a linha neutra.
• Essas duas pontas estão rodando com aproveitamentos de 0,051 e 0,104. O pórtico é governado pelos momentos de cumeeira e de beiral, em 0,764 e 0,679, onde os critérios concordam exatamente.
• A diferença média nas oito pontas é de 3,08 %, que é uma estatística que não descreve nada: é a média de seis zeros e de dois números vindos das seções menos carregadas do pórtico.

Enquanto isso, a linha neutra de cada uma dessas oito seções tem os 15,470 % cheios de diferença assentados sobre ela, permanentemente. Só que ela nunca carrega mais que 33,1 % da tensão governante da seção, e na cumeeira carrega 3,1 %.

Esse é o formato geral da resposta. Em pórticos dimensionados barra a barra, a escolha do critério é quase de graça. Ela deixa de ser de graça no instante em que o caminho de carga passa por algo fino e curto: uma chapa de cisalhamento, uma alma de viga recortada, uma chapa de nó, um link, um painel de alma numa ligação de momento, uma abertura enrijecida. Esses são os detalhes em que você deveria saber qual critério o seu software está usando, e são exatamente os detalhes em que um modelo de elementos finitos de chapa é apontado para a estrutura.

Os dois critérios não são duas opiniões. São duas hipóteses sobre o que fisicamente dispara o escoamento num metal dúctil, e os experimentos já chegaram faz muito tempo.

Tresca (1864) propôs que o escoamento começa quando a máxima tensão de cisalhamento atinge um valor crítico. É simples, é seguro, e tem uma imagem física limpa: metais escoam por escorregamento em planos, e o escorregamento é movido por cisalhamento.

von Mises (1913), com Huber à frente dele em 1904 e Hencky dando a leitura física em 1924, propôs que o gatilho é a energia de distorção armazenada no ponto, o que é o mesmo que dizer o segundo invariante do tensor desviador. É por isso que a pressão hidrostática não aparece nele: pressão muda volume, não forma.

Taylor e Quinney (1931) resolveram a questão experimentalmente. Eles carregaram tubos de parede fina de cobre, alumínio e aço doce em tração e torção combinadas, que é exatamente o estado combinado de σ e τ de uma alma de viga, e mediram onde o escoamento de fato começava. Os pontos caíram entre as duas superfícies e consistentemente muito mais perto da elipse. Para os metais dúcteis com que construímos, von Mises é simplesmente o melhor ajuste.

Duas consequências práticas decorrem disso, e elas apontam em direções opostas:

• As normas de estrutura metálica usam von Mises, porque para um material que escoa de forma dúctil os 15,470 % a mais no cisalhamento são capacidade real e não otimismo. O √3 do Vpl,Rd da EN 1993-1-1 é essa decisão.
• Tresca sobreviveu onde as consequências são piores. O ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Seção VIII Divisão 2, rodou sobre Tresca, sob o nome de intensidade de tensão, por décadas. Ele passou para von Mises na revisão de 2007 da Parte 5, pelo mesmo motivo que as normas de aço.

Tresca também sobrevive como ferramenta de mão, e merece. Não precisa de raiz quadrada de uma soma, está sempre do lado seguro, e se uma verificação por Tresca passa, a verificação por von Mises passa também, garantido, sem trabalho adicional. Reprovar em Tresca por menos de 15,470 % é a única situação que exige voltar e fazer direito.

• Comparar uma tensão equivalente com fu em vez de fy. Os dois critérios são critérios de escoamento. Eles não dizem nada sobre ruptura, e a reserva dúctil entre fy e fu não é assunto deles.
• Somar uma tensão de von Mises com outra tensão de von Mises. A tensão equivalente é um escalar derivado de um estado. Duas delas não se superpõem: você superpõe primeiro as componentes σ e τ, depois aplica o critério uma vez. Aplicá-lo duas vezes e somar os resultados é um erro real e comum, e é contra a segurança em algumas combinações.
• Ler a tensão de pico do modelo de elementos finitos como demanda normativa. Um modelo de chapa te dá o pico de 186,43 MPa; a norma escreve a verificação sobre a média de 124,29 MPa. Isso é uma diferença de 50 %, três vezes a diferença entre os critérios, e misturar as duas bases é como uma chapa perfeitamente boa acaba engrossada.
• Perseguir a linha neutra. Ela sempre mostra a diferença máxima entre critérios e quase nunca governa. Verifique o ponto governante, não o mais interessante.
• Aplicar uma verificação de von Mises a um elemento frágil ou governado por flambagem. Nenhum dos critérios sabe de instabilidade, e nenhum vale para um material que rompe sem escoar. Uma alma esbelta falha por flambagem por cisalhamento muito antes de chegar a 0,5774 fy, e nenhum critério vai te avisar.
• Supor que o número do seu software é comparável ao da norma. O critério, a definição de área e a convenção pico contra média são três escolhas independentes. Neste IPE 450 elas valeram 15,5 %, 16,8 % e 50 %, respectivamente.

• Estime k = τ/σ no ponto governante antes de discutir. Abaixo de k = 0,15 a escolha do critério vale menos de 1 % e a discussão não vale a pena.
• Ache os elementos críticos ao cisalhamento e trate-os à parte. Chapas de cisalhamento, almas recortadas, chapas de nó, links, zonas de painel. É ali que 15,470 % viram espessura de chapa.
• Quando usar Tresca, use como filtro de aprovação. Uma verificação de Tresca aprovada garante uma verificação de von Mises aprovada. Só a reprovação em Tresca exige a segunda passada.
• Leia a constante, não o nome do critério. 0,500, 0,5774 e 0,600 fy são três livros diferentes, e a área de cisalhamento que eles multiplicam pode mover a resposta mais que eles.
• Mantenha o pico e a média em linhas separadas. Diga qual dos dois você está citando, toda vez.

A chapa que abriu este artigo é um bom lugar para parar. Ela está a 322,90 MPa ou a 372,86 MPa dependendo do critério, em 0,910 ou em 1,050 dependendo do critério, e em 0,606 se você verificar do jeito que a AISC 360 J4.2 de fato manda, pelo cisalhamento médio na seção bruta. Os três números são respostas corretas a três perguntas diferentes. A engenharia está em saber de qual pergunta o desenho vai ser construído.