Centroide e momento estático de área: à mão e no software, na mesma seção

Dê a mesma viga soldada para duas pessoas e peça a tensão de cisalhamento na alma. Uma resolve à mão no papel. A outra desenha e lê o número na tela. A resposta manual volta como 105,46 MPa, a resposta do software como 59,95 MPa. Ninguém errou de digitar, nenhuma ferramenta está quebrada, e a diferença é um fator de 1,759.

Agora faça a mesma coisa com um IPE 400. Peça a área. A resposta manual é 80,678 cm², o catálogo diz 84,5 cm², e a diferença é 4,482 %. De novo ninguém errou uma conta.

Uma dessas duas divergências significa que alguém está errado. A outra significa que os dois lados estavam descrevendo formas diferentes. Distinguir as duas é a habilidade inteira, e ela mora nas duas grandezas que você calcula antes de chegar ao momento de inércia: o centroide, e o momento estático de área.

Este artigo resolve os dois, à mão e no motor de seção que roda dentro do CalcSteel, nas mesmas duas seções. Tudo que você lê abaixo foi produzido rodando o código e conferindo contra uma forma fechada. Os cortantes vêm do solver de elementos finitos, as propriedades de seção da rotina de polígono por trás da calculadora de momento de inércia, e os valores publicados do IPE 400 da tabela da EN 10365.

As duas grandezas são momentos estáticos. A diferença é sobre o que você integra, e é uma diferença maior do que o nome comum sugere.

O centroide é o momento estático da seção inteira em relação a um eixo escolhido, dividido pela área:

ȳ = ∫ y dA / ∫ dA

É uma média ponderada de altura, com a área como peso. Tem unidade de comprimento. É propriedade da forma, e uma vez que você o conhece, o numerador medido em relação a esse mesmo eixo é zero, que é a definição de linha neutra na flexão.

O momento estático de área, escrito Q ou S, é a mesma integral tomada sobre uma parte da seção, e sempre em relação ao centroide:

Q(y) = ∫ (y − ȳ) dA, sobre a área acima do corte em y

Tem unidade de comprimento ao cubo, e é função de onde você corta. Essa é a frase que a maioria dos livros passa batido, e é por isso que um catálogo de aço consegue imprimir um A, um I e um S para um perfil, e nunca consegue imprimir um Q. Não existe o Q de um IPE 400. Existe só o Q de um IPE 400 numa altura determinada.

Para um composto feito de partes de bordas retas as duas integrais viram somatórios, e esse é o método manual: ȳ = Σ Aᵢ yᵢ / Σ Aᵢ, e Q = A' ȳ', em que A' é a área de um lado do corte e ȳ' é a distância do centroide dessa área ao centroide da seção inteira. Os dois são exatos para um polígono, não aproximações.

A seção do exemplo é uma viga soldada de mesas desiguais: mesa superior 200 x 12, alma 500 x 8, mesa inferior 320 x 20, 532 mm de altura total. As mesas são propositalmente diferentes, porque uma seção simétrica esconde o centroide na meia altura, e esconder o centroide é exatamente o que este artigo combate.

Escolha uma referência. Qualquer uma, e a fibra inferior é a de praxe. Depois escreva três linhas.

A mesa inferior é 320 x 20 = 6 400 mm², seu próprio centro fica a 10 mm, então A·y = 64 000 mm³. A alma é 8 x 500 = 4 000 mm², centrada em 20 + 250 = 270 mm, então A·y = 1 080 000 mm³. A mesa superior é 200 x 12 = 2 400 mm², centrada em 20 + 500 + 6 = 526 mm, então A·y = 1 262 400 mm³.

Some as colunas. A = 12 800 mm², ΣA·y = 2 406 400 mm³, e

ȳ = 2 406 400 / 12 800 = 188,0 mm a partir da fibra inferior.

Meia altura teria dito 266,0 mm. O centroide está 78,0 mm abaixo do meio geométrico, porque a mesa inferior é mais larga e mais grossa e puxa a média para baixo. Tudo depois deste ponto se apoia nesse 188,0.

O momento de inércia sai da mesma tabela com mais uma coluna. Cada parte contribui com o seu próprio bh³/12 mais o termo de transferência A·d², em que d é a distância do centro daquela parte até ȳ: −178,0 mm para a mesa inferior, +82,0 mm para a alma, +338,0 mm para a mesa superior. Os termos próprios somam 83 575 466,67 mm⁴, os de transferência 503 859 200 mm⁴, e

Ix = 587 434 666,67 mm⁴ = 58 743,47 cm⁴.

Repare nas proporções: 86 % da rigidez desta seção vem do termo de transferência, ou seja, de quão longe o metal está do centroide. Erre ȳ e você não cometeu um erro pequeno num número grande, você cometeu um erro grande no termo que domina.

O motor não enxerga três partes. Ele enxerga uma lista fechada de vértices, neste caso doze deles, e nunca pede que você escolha uma referência nem decomponha coisa nenhuma.

O que ele roda é o teorema de Green, que converte uma integral sobre uma área numa integral ao redor da fronteira dessa área. Percorra as doze arestas uma vez, acumule um produto vetorial por aresta, e A, ∫y dA e ∫y² dA saem todos da mesma passagem. Depois divida para o centroide e aplique uma transferência de eixos paralelos para os momentos de segunda ordem. Não há malha, não há integração numérica e não há tolerância nenhuma ali dentro. Essa é a álgebra de customSection.ts, que é o que a calculadora embutida mais abaixo nesta página executa no seu navegador.

Rode os dois caminhos na viga soldada e ponha as respostas lado a lado.

Área: 12 800 mm² à mão, 12 800 mm² no software. Centroide: 188,0 mm à mão, 188,0 mm no software. Momento de segunda ordem: 58 743,47 cm⁴ à mão, 58 743,47 cm⁴ no software, com diferença relativa de 2 × 10⁻¹⁶, que é um passo de arredondamento de ponto flutuante e nada além disso.

Essa concordância não é coincidência e não valida nada de engenhoso. A seção tem lados retos, então a soma manual e a integral de contorno são a mesma integral escrita duas vezes. O que significa que qualquer diferença real entre elas, num polígono, é erro de conta e não escolha de modelagem. Vale dizer isso com todas as letras, porque é o que torna a verificação manual útil: numa viga soldada, se o seu número e o do software discordam no terceiro dígito, um de vocês está simplesmente errado, e a discussão é curta.

Existe um teste que pega um centroide errado sem recalcular nada, e ele leva uma linha.

Por definição, ∫ (y − ȳ) dA sobre a seção inteira é zero. Então se você tem um centroide e uma decomposição, monte Σ Aᵢ (yᵢ − ȳ) e olhe. Na viga soldada do exemplo os três termos são −1 139 200, +328 000 e +811 200 mm³, e somam exatamente 0.

O que torna isso útil é que é invariante. A mesma seção foi medida a partir de três referências diferentes, e ΣA·y deu 2 406 400 mm³ a partir da fibra inferior, −4 403 200 mm³ a partir da fibra superior e −998 400 mm³ a partir da meia altura. O centroide leu 188,0 mm, −344,0 mm e −78,0 mm respectivamente. As três descrevem o mesmo ponto no mesmo aço, e Ix voltou como 587 434 666,67 mm⁴ em todos os casos, idêntico até o último dígito.

Então quando um cálculo manual e um software reportam valores diferentes de ȳ, a primeira pergunta não é quem está certo. É a partir de onde. Um centroide citado sem a sua referência não é um número, e essa é de longe a forma mais comum de dois cálculos corretos parecerem se contradizer.

O teste do zero resolve. Rode na sua própria decomposição, com a sua própria referência, e se ele não voltar zero o erro é seu, independentemente do que qualquer outro obteve.

Agora corte a viga soldada na horizontal e peça o momento estático de tudo que está acima do corte, em relação ao centroide. Deslize o corte da fibra inferior até a superior e você não obtém um número, obtém uma curva.

Na fibra bem inferior não existe área acima do corte de um lado do centroide sem uma área igual e oposta do outro, e Q é exatamente 0. Na fibra bem superior não sobra nada acima do corte, e Q é exatamente 0 de novo. No meio ele sobe até um único máximo, e esse máximo fica precisamente na linha neutra: Q máx = 1 252,096 cm³ em y = 188,0 mm, que é onde a ponderação (y − ȳ) troca de sinal e para de subtrair.

Corte em qualquer outro lugar e você obtém outro número. No topo da mesa inferior, y = 20 mm, Q = 1 139,2 cm³. Na face inferior da mesa superior, y = 520 mm, Q = 811,2 cm³. Mesma seção, mesmo aço, três cortes, três respostas, todas corretas.

Esses valores foram calculados duas vezes e de propósito por duas rotinas que não compartilham álgebra: a forma fechada faixa a faixa, e faixas de ponto médio por força bruta, 40 000 por faixa. A maior discordância em toda a altura foi 5 × 10⁻¹⁰ mm³ contra valores da ordem de 10⁶.

O que traz de volta o ponto das definições. O software não guarda Q, assim como um catálogo não o imprime, porque não há o que guardar. Ele recalcula Q para o corte que você pediu, toda vez que você pede.

Q ganha o seu salário numa fórmula só, e é a que transforma uma força cortante em tensão:

τ = V Q / (I t)

O V aqui é real. A viga soldada foi posta numa viga contínua de dois vãos, 9,0 m por vão, 40 kN/m, 72 elementos, e resolvida no motor de elementos finitos. No apoio interno ele devolveu 225,0 kN de cortante e 405,0 kN·m de momento negativo, contra os 0,625 w L = 225,0 kN e w L² / 8 = 405,0 kN·m do livro. O motor e a forma fechada concordam com erro relativo zero, que é a calibração que autoriza tudo que vem depois.

Passe isso adiante. Na linha neutra, Q = 1 252 096 mm³, I = 587 434 667 mm⁴ e t = 8 mm, então τ máx = 59,947 MPa. Contra fy/√3 = 204,959 MPa para o S355 isso é uma utilização de 0,2925, confortável.

O atalho conhecido τ = V/Aw dá 225 000 / (500 × 8) = 56,25 MPa, baixo por um fator de 1,0657. Sobre a altura total em vez da alma livre ele dá 52,87 MPa, baixo por 1,1339. Numa viga alta o atalho é próximo o bastante para dimensionar, e saber quão próximo é a razão de calcular Q afinal.

Depois olhe as junções com as mesas, porque é ali que a fórmula faz algo que surpreende. Q é contínuo através da junção: é uma integral de área, e nenhuma área aparece ou some numa linha. A espessura t não é contínua. Em y = 520 mm a largura vai de 200 mm de mesa para 8 mm de alma, então dentro da espessura de uma solda a tensão vai de 1,55 MPa para 38,84 MPa. É um salto por um fator de exatamente 25, que é 200/8. Na junção inferior a mesma coisa acontece por um fator de 40, que é 320/8.

Nada de físico é descontínuo ali. A teoria elementar é, porque ela supõe que a tensão de cisalhamento é uniforme ao longo da largura em qualquer altura, e numa junção essa hipótese quebra. O salto é o sinal de que você está lendo uma teoria unidimensional no único lugar em que ela não vale.

Agora o segundo caso, aquele em que mão e software divergem sem que nenhum dos dois esteja errado.

Modele um IPE 400 do jeito que todo mundo modela primeiro: dois retângulos de mesa e um retângulo de alma. h = 400, b = 180, tw = 8,6, tf = 13,5. Isso dá A = 80,678 cm², Ix = 21 876,5 cm⁴ e Q na linha neutra = 619,161 cm³.

A tabela publicada da EN 10365 diz A = 84,5 cm² e Ix = 23 130 cm⁴. O modelo manual está 4,482 % baixo em área e 5,413 % baixo em Ix. Isso não é arredondamento.

O aço que falta são os quatro raios de concordância, as transições curvas em que cada mesa encontra a alma, e num IPE 400 o raio de concordância é r = 21 mm. Um raio é a região entre um canto reto e um quarto de círculo, então a sua área é (1 − π/4) r² = 94,639 mm², e o seu centroide fica a (10 − 3π)/(12 − 3π) = 0,22337 do raio a partir do canto, o que dá 4,691 mm. Os quatro somam 378,558 mm² de aço, situados quase tão longe da linha neutra quanto as mesas.

Some eles em forma fechada, com termo de transferência incluído, e o modelo manual devolve A = 84,464 cm² e Ix = 23 128,4 cm⁴. Isso é 0,043 % da área publicada e 0,007 % do Ix publicado. O momento estático se move também: Q na linha neutra vai de 619,161 cm³ para 653,574 cm³, uma correção de 5,265 % que cai direto na tensão de cisalhamento.

Então a divergência nunca foi matemática. Os dois lados integraram corretamente. Eles integraram duas formas diferentes, e só uma dessas formas é a que é laminada. Antes de discutir uma propriedade de seção, acertem o contorno.

A regra prática: para um perfil laminado, use os valores de catálogo. Eles vêm da geometria real do perfil e são contra o que a norma foi calibrada. Use o modelo de três retângulos para intuição, para uma primeira passada, e para conferir se o valor de catálogo está na ordem de grandeza certa, o que ele vai estar dentro de uns 5 %.

O teorema de Green precisa de arestas. Um raio de concordância é um arco, e um arco não é aresta, então algo tem de ceder. Quem cede é o arco: o motor o substitui por uma cadeia de cordas retas e integra o polígono exatamente.

A questão é quantas cordas. Trace o mesmo IPE 400 como polígono e corte cada um dos quatro raios em n cordas, depois compare com a forma fechada acima.

Com uma corda por raio, 18 vértices no total, a área erra em 5,961 % e Ix em 6,884 %. Com duas cordas, 1,635 % e 1,907 %. Quatro cordas, 0,418 % e 0,489 %. Oito, 0,105 % e 0,123 %. Dezesseis, 0,026 % e 0,031 %. Trinta e duas, 0,007 % e 0,008 %. Sessenta e quatro cordas, 270 vértices, 0,002 % nos dois.

O erro cai por um fator de quatro sempre que a contagem de cordas dobra. Isso é convergência de segunda ordem, a assinatura de uma aproximação por cordas de uma curva suave, e traça uma reta em eixos logarítmicos.

Também resolve uma questão que vale resolver: dezesseis cordas por raio já colocam Ix dentro de 0,031 %, que é muito mais fino que a tolerância de laminação da própria viga. Poligonização deixou de ser fonte de erro de engenharia faz muito tempo, e não é onde você deve olhar quando dois programas divergem.

Tudo até aqui tratou o centroide como algo que você acha. Ele também é algo que você move, e uma chapa de reforço é a alavanca mais barata que existe.

Solde uma chapa 200 x 16 na mesa superior da viga. Isso é 3 200 mm² de aço, um aumento de 25 % na área, e a tabela composta agora tem quatro linhas em vez de três. O polígono tem dezesseis vértices em vez de doze. Os dois caminhos concordam de novo, exatamente.

O centroide sobe de 188,0 mm para 258,4 mm, um deslocamento de 70,4 mm, e Ix vai de 58 743,47 cm⁴ para 90 469,72 cm⁴, mais 54,01 %. Vinte e cinco por cento mais aço compraram cinquenta e quatro por cento mais rigidez, que é o termo de eixos paralelos fazendo o que ele sempre faz.

Mas olhe o que aconteceu com os módulos de resistência elásticos, porque é esse o número que dimensiona a viga. O módulo inferior foi de 3 124,7 cm³ para 3 501,2 cm³, mais 12,05 %. O módulo superior foi de 1 707,7 cm³ para 3 124,0 cm³, mais 82,94 %. A chapa está em cima, e a fibra superior é a que ela ajudou, por quase sete vezes mais.

Essa é a ideia de projeto. Numa seção de mesas desiguais as duas fibras não dividem a carga: antes da chapa, a razão entre as duas distâncias ao centroide era 1,830, então a fibra superior chegava ao limite enquanto a inferior ainda estava de bobeira. Depois da chapa a razão é 1,121, e as duas fibras estão quase equilibradas. Uma chapa de reforço não é um jeito de somar área. É um jeito de mover o centroide na direção da fibra que você não estava usando.

A interface tem de suportar a mudança. O momento estático da chapa sozinha, em relação ao novo centroide, é 901,12 cm³, então o fluxo de cisalhamento na linha de solda é q = V Q / I = 224,1 N por mm, ou 112,1 N por mm em cada uma das duas soldas de filete. Contra a EN 1993-1-8, com fu = 490 MPa, βw = 0,9 e γM2 = 1,25, a resistência de cálculo ao cisalhamento na garganta é 251,5 MPa, então a garganta necessária é 0,446 mm e a perna 0,63 mm. A AISC 360 J2 com eletrodo E70 pede uma perna de 0,734 mm. As duas estão muito abaixo de qualquer solda que se consiga depositar, então a regra de dimensão mínima governa e um filete de 4 mm é a resposta. Calcule mesmo assim: no dia em que o cortante for quatro vezes maior, a conta já está montada.

A calculadora abaixo roda a mesma rotina de polígono descrita acima. Dê a ela um perfil laminado e ela devolve a geometria de catálogo; dê uma seção customizada e ela percorre os seus vértices e devolve A, o centroide, Ix, Iy e o produto de inércia numa passada só pelo contorno.

O exercício útil é o que este artigo acabou de fazer. Entre com a viga soldada do exemplo: mesa superior 200 x 12, alma 500 x 8, mesa inferior 320 x 20. Confira que o centroide volta em 188,0 mm a partir da fibra inferior e o Ix em 58 743,47 cm⁴. Depois acrescente a chapa de reforço 200 x 16 e veja o centroide subir para 258,4 mm.

Faça a tabela manual antes, no papel, antes de olhar. A conciliação vale mais que qualquer um dos números sozinho.

1. Medir ȳ' a partir da referência em vez do centroide. Esse é o grande. Na viga soldada do exemplo a área acima da linha neutra é 5 056 mm² e o seu próprio centro fica a 435,646 mm da fibra inferior, mas a só 247,646 mm do centroide. Use o primeiro e Q vira 2 202 624 mm³ em vez de 1 252 096 mm³, um fator de 1,759, e a tensão de cisalhamento lê 105,46 MPa em vez de 59,95 MPa. Nada em 105,46 MPa parece errado, e é exatamente aí que mora o perigo.

2. Se preocupar com qual lado do corte tomar. Esse é inofensivo e as pessoas perdem tempo nele. O momento estático da área acima do corte é +1 252 096 mm³ e o da área abaixo é −1 252 096 mm³. Eles somam zero, porque é o teste do zero de novo, então os módulos são idênticos e τ = VQ/(It) não liga. Tome o lado que tiver menos partes.

3. Usar um modelo de três retângulos contra um valor de catálogo. A diferença de 4,482 % na área de um IPE 400 são os raios de concordância, e ela é real. Duas formas diferentes, duas respostas corretas. Decida qual forma você quis dizer antes de comparar.

4. Citar um centroide sem a sua referência. O mesmo ponto na mesma viga é 188,0 mm, −344,0 mm ou −78,0 mm dependendo de onde você mediu, e as três estão certas. Metade das contradições aparentes entre uma verificação manual e um modelo é isso.

5. Ler τ numa junção de mesa como se fosse tensão real. O salto de 25 vezes em y = 520 mm é a teoria elementar falhando no único lugar em que a sua hipótese não vale, não uma concentração de tensão contra a qual se dimensiona. Se uma tensão de junção governar alguma coisa, você precisa de um modelo mais fino, não de um coeficiente de segurança maior.

1. Acerte o contorno primeiro. Raios de concordância dentro ou fora. Raios de canto dentro ou fora. Galvanização e pintura fora. A maioria das divergências morre aqui, antes de qualquer conta.

2. Escreva a tabela com uma referência explícita, e deixe a referência por escrito ao lado de ȳ. Um centroide sem referência não é resposta.

3. Rode o teste do zero. Σ Aᵢ (yᵢ − ȳ) tem de dar zero. Uma linha, nenhum dado extra, e pega um centroide errado independentemente de como você chegou nele.

4. Confira a divisão do Ix. Na viga soldada do exemplo os termos de transferência são 86 % do total. Se os termos próprios dominam na sua tabela, provavelmente as suas partes estão grandes demais ou o seu ȳ está errado.

5. Calcule Q no corte com que você realmente se importa, não na linha neutra por reflexo. A linha neutra dá o pico de tensão na alma; uma junção de mesa dá o fluxo de cisalhamento para uma solda ou um grupo de parafusos; e são números diferentes na mesma seção.

6. Confira τ contra V/Aw. Numa viga soldada o pico exato deve ficar alguns por cento acima dele, 1,0657 aqui. Se o seu valor exato estiver bem longe disso, você usou o Q errado, o t errado, ou os dois.

Duas integrais, uma divisão, uma subtração. O centroide e o momento estático de área são as grandezas menos glamorosas da análise estrutural, e todo número que vem depois delas herda o que você fez com elas.