Tensão no material: por que os mesmos 226,60 MPa passam num aço e reprovam em outro, com uma verificação resolvida

Aqui está uma viga sem nada de interessante. Um IPE 360, biapoiado, 8,0 m de vão, carregando 10,0 kN/m de carga permanente e 7,5 kN/m de carga variável. Lajes mistas, mezaninos e vãos de escritório estão cheios dela.

Rode. A combinação de projeto é 1,35 × 10,0 + 1,5 × 7,5 = 24,75 kN/m, o motor do CalcSteel devolve um momento fletor máximo de 198,0 kN·m e, contra o módulo de resistência elástico do IPE 360, Wel = 873,77 cm³, isso é uma tensão de flexão de 226,60 MPa.

Agora responda uma pergunta: a viga passa?

Você não consegue. Não porque o número seja incerto, mas porque a pergunta está feita pela metade. No MR250, o aço estrutural brasileiro comum, o limite de triagem é fy/1,10 = 227,27 MPa e a utilização é 0,997, passa. No ASTM A36, que tem exatamente a mesma resistência ao escoamento de 250 MPa, o limite é 0,90 × 250 = 225,0 MPa e a utilização é 1,007, reprova. Mesmo aço. Mesma viga. Mesma tensão. Vereditos opostos, separados por 2,27 MPa de pura convenção.

E no inoxidável 1.4301, que a maioria das pessoas chamaria de material nobre, a utilização é 1,187 e a viga nem chega perto. Enquanto isso, no S460, o aço mais forte da varredura, a utilização à flexão cai para 0,493 e a viga ainda assim reprova, por um motivo que não tem nada a ver com resistência.

É disso que trata este artigo. “Tensão no material” funde duas perguntas que se comportam de maneiras completamente diferentes, e cada um dos números acima foi produzido pelo mesmo motor que roda dentro do CalcSteel, com o material trocado e nada mais.

Procure por “tensão no material” e você recebe dois assuntos diferentes usando um rótulo só. Um é o estado de tensão: a intensidade da força interna em um ponto, em MPa, aquilo que σ = N/A e σ = M/W calculam. O outro é o limite do material: a intensidade a partir da qual aquele metal específico deixa de se comportar como o modelo supôs.

Eles têm donos diferentes. O estado de tensão pertence à carga e à geometria. O limite pertence ao material e à norma que o julga. Manter os dois separados não é preciosismo, é a diferença entre duas frases que parecem iguais e não são:

• “Este aço tem uma tensão de 226 MPa.” Não quer dizer nada. Aço não tem tensão. Um ponto de uma peça carregada tem.
• “Esta peça está a 226 MPa, e este aço admite 225.” Uma afirmação completa de engenharia, e o motivo pelo qual a viga acima reprova.

Existe, porém, uma pergunta real escondida dentro da confusão, e vale fazer ela direito: a própria tensão depende do material? A resposta honesta é que depende de a estrutura ser isostática ou não. Em uma peça isostática, não. Em uma hiperestática, sim, e muito. O motor resolve os dois casos abaixo, e o segundo é onde moram os erros de modelagem.

Um modelo, definido uma vez, resolvido muitas vezes. Entre as rodadas muda só o identificador de material das barras.

Antes de confiar em qualquer coisa, o motor tem que reproduzir o livro. Uma rodada de calibração em um IPE 400 de 8,0 m sob 30,0 kN/m devolveu M = 240,0 kN·m contra wL²/8 = 240,0, V = 120,0 kN contra wL/2 = 120,0, e uma flecha no meio do vão de 35,99968 mm contra 5wL⁴/384EI = 35,99968 mm. Concordância na quinta casa decimal, então o que vem a seguir é o modelo falando, não o solver.

Uma observação sobre as propriedades do perfil, porque ela importa para reproduzir estes números com a tabela de aço na mão. O registro de perfis monta a seção a partir da geometria laminada sem os raios de concordância, o que dá Wel = 873,77 cm³ onde a tabela publicada de um IPE 360 diz 903,6 cm³, cerca de 3 % a mais. Solicitação e capacidade aqui são calculadas na mesma base, então toda utilização é coerente, e levemente a favor da segurança.

A verificação em si é a triagem elástica que a calculadora de viga do CalcSteel roda: σ = M/Wel contra a tensão de projeto da norma. Uma verificação completa de uma seção compacta usaria o momento plástico e seria mais generosa. Isso é proposital. O ponto deste artigo é uma comparação entre materiais, e o caminho elástico compara todos em termos idênticos.

A viga foi resolvida dez vezes. Aços estruturais de quatro tradições, um inoxidável austenítico e uma liga de alumínio, cada um carregando os valores de E, fy, fu e densidade do próprio catálogo do motor. O momento fletor voltou idêntico nas dez rodadas: 198,0 kN·m, com uma diferença entre o maior e o menor de 0,000 kN·m.

Isso não é coincidência e não é artefato de arredondamento. A viga é isostática, então só o equilíbrio fixa os esforços internos: M = wL²/8 contém a carga e o vão e mais nada. E, fy, fu e densidade simplesmente não aparecem na equação. Logo σ = M/Wel = 226,60 MPa nos dez casos, inclusive no de alumínio.

Esta é a coisa mais útil que um estudante pode tirar de um capítulo de tensão, e a menos dita com todas as letras: em uma estrutura isostática o material não aparece na solicitação, em lugar nenhum. Escolher um aço mais resistente não reduz a tensão que você tem que resistir. Aumenta a tensão que você pode alcançar.

A flecha é outra história, e a diferença é instrutiva. Ela carrega E explicitamente, δ = 5wL⁴/384EI, então se mexeu em toda rodada em que E se mexeu. Na combinação de serviço a mesma viga voltou com 28,26 mm com os aços europeus a 210 GPa, 29,67 mm com os aços americanos e brasileiros e com o inoxidável a 200 GPa, e 84,77 mm em alumínio a 70 GPa. A razão contra o caso do aço é 3,0000, que é 210/70 com quatro casas, exatamente como a forma fechada exige.

Olhe de novo para os dois primeiros números, porque tem algo estranho neles. S235 e A36 são, fisicamente, quase o mesmo metal. Os módulos de elasticidade reais dos dois diferem em bem menos de um por cento. Mas a EN 1993-1-1 declara E = 210 GPa e tanto o AISC 360 quanto a NBR 8800 declaram E = 200 GPa, e é essa declaração que um solver usa. A viga idêntica, portanto, tem flecha 5,000 % maior no modelo americano do que no europeu, e nenhum laboratório acharia a diferença. Parte do que chamamos de propriedade do material é uma decisão escrita em comissão.

Aqui está a comparação inteira em uma tabela. A coluna de solicitação é constante porque a seção anterior provou que ela tem que ser. Tudo o que varia está do lado da capacidade.

Três coisas nessa tabela valem mais que o resto do artigo.

O inoxidável reprova enquanto o aço comum passa. O austenítico 1.4301 custa várias vezes o que custa o S235 e todo mundo o chama de material melhor, e ele é, para corrosão. Estruturalmente a tensão de prova de 0,2 % dele é 210 MPa, abaixo do S235 simples, e a EN 1993-1-4 divide isso por 1,10 em vez de 1,00. “Material melhor” não é categoria estrutural. Ele só é melhor em alguma coisa específica.

O alumínio passa na resistência. Com fo = 260 MPa o perfil 6082 T6 pode ir a 236,36 MPa e fica em 0,959, melhor que o S235. Quem parasse a verificação aí mandaria fabricar. A próxima seção é o que acontece com essa viga.

Duas resistências ao escoamento idênticas, vereditos opostos. MR250 e A36 têm os dois fy = 250 MPa, e as normas que os julgam discordam em 1,0 %. Isso merece uma seção só para ele.

MR250 e ASTM A36 são, para este fim, o mesmo aço: fy = 250 MPa, fu = 400 MPa, E = 200 GPa. As duas normas então tratam o número de formas diferentes.

• A NBR 8800 divide. A resistência de cálculo é fy/γa1 com γa1 = 1,10, então 250/1,10 = 227,27 MPa, e 226,60/227,27 = 0,997.
• O AISC 360 LRFD multiplica. A resistência de cálculo é φb·fy com φb = 0,90, então 0,90 × 250 = 225,00 MPa, e 226,60/225,00 = 1,007.

A diferença são 2,27 MPa, ou 1,01 %, e é a distância inteira entre uma viga que você detalha e uma viga que você redimensiona. Não é uma discordância sobre aço. 1/1,10 = 0,909 e 0,90 são dois arredondamentos do mesmo alvo de confiabilidade, calibrados contra conjuntos de coeficientes de carga diferentes por comissões diferentes em décadas diferentes. Nenhum é mais correto.

É exatamente por isso que a calculadora de viga do CalcSteel imprime as duas utilizações lado a lado em toda rodada, em vez de escolher uma. Quando uma peça cai na faixa de 0,99 a 1,01, a norma que governa não é um detalhe do relatório, é a resposta.

A regra prática que sai disso é curta. Uma utilização só é um número junto da norma que a produziu. Copiar 0,997 de uma obra brasileira para uma americana não é conversão de unidade, e a viga não sabe que mudou de lugar.

Volte para a viga que reprova. O instinto de todo engenheiro sob pressão de prazo é subir o aço, então vamos fazer exatamente isso e medir o que compra.

De S235 para S460 é 1,9574 vez a resistência ao escoamento, o maior salto que o catálogo europeu oferece na construção corrente. A utilização de resistência cai de 0,964 para 0,493, quase metade, e parece problema resolvido.

A flecha na combinação de serviço é 28,26 mm no S235. No S460 é 28,26 mm. Não aproximadamente: o motor devolveu uma dispersão de exatamente 0,000 mm entre S235, S275, S355 e S460, porque os quatro têm o mesmo E = 210 GPa. Contra o limite L/300 de 26,67 mm, a utilização é 1,0597 antes do upgrade e 1,0597 depois dele.

A viga reprova de forma idêntica no aço mais forte disponível. Não marginalmente melhor, não um pouco pior. Idêntica, até o último dígito que o solver carrega.

O motivo tem uma linha. A flecha depende de E e de I, e o grau do aço não muda nenhum dos dois. Resistência ao escoamento é resultado de química e de processamento; o módulo de elasticidade é fixado pela rigidez da ligação interatômica do ferro e é essencialmente o mesmo em todo aço-carbono já laminado. Resistência se compra com grau. Rigidez se compra com forma.

É por isso que tanta viga de piso real é governada pelo estado limite de serviço. No instante em que você está nesse regime, a coluna de grau do catálogo deixa de ser útil, e o dinheiro gasto ali não compra absolutamente nada.

Se o material não resolve problema de rigidez, a seção tem que resolver. Mesmo vão, mesmas cargas, mesmo S235, muda só o perfil.

O IPE 400 custa 16,1 % mais aço que o IPE 360 e leva a utilização de flecha de 1,060 para 0,750. Problema encerrado, na moeda mais barata possível.

O HEA 300 é o fracasso instrutivo. Ele pesa 54,6 % mais que o IPE 360, 33 % mais que o IPE 400, e mesmo assim termina em 0,948, pior que o IPE mais leve. Todo esse metal a mais foi para a largura da mesa, que serve à estabilidade e ao trabalho de pilar, e não para a altura, que é do que um momento de inércia é feito. Ix cresce com o cubo da altura. Nada mais no catálogo chega perto dessa alavanca.

Duas frases para guardar, então, e elas são o miolo prático do assunto inteiro: problema de resistência é problema de material, e problema de rigidez é problema de geometria. Diagnostique qual dos dois você tem antes de gastar dinheiro, porque os dois remédios não se substituem em nenhuma das direções.

Rode você mesmo, abaixo. Mude fy e veja mexer só a utilização de resistência. Mude o perfil e veja as duas mexerem. A calculadora imprime as triagens da NBR 8800 e do AISC 360 lado a lado, que é o argumento dos 2,27 MPa de três seções atrás, ao vivo.

Tudo até aqui se apoiou no fato de a viga ser isostática. Tire isso e a conclusão se inverte.

Pegue o mesmo IPE 360 em S355 e pendure o meio do vão dele em uma barra redonda de 25 mm que sobe 12 m até um ponto fixo lá em cima, do jeito que uma viga de piso é suspensa por uma treliça de cobertura em um galpão industrial. Isso é um grau de hiperestaticidade. O equilíbrio já não determina a divisão entre os dois caminhos de carga: quem determina é a compatibilidade, e compatibilidade se escreve em rigidezes.

Trocar o pendural de aço por alumínio, sem mexer em mais nada, leva o momento máximo na viga de 57,847 kN·m para 96,942 kN·m. Isso é 1,6758 vez mais flexão, e a tensão de flexão da viga vai de 66,2 MPa para 110,9 MPa. A carga não mudou. A geometria não mudou. Mudou só do que o pendural é feito, e a tensão em uma peça a 12 m de distância se moveu 68 %.

Cada resultado do motor foi conferido contra a forma fechada da compatibilidade R = δ₀/(L³/48EI + Lh/EhAh), onde δ₀ = 39,965 mm é a flecha livre no meio do vão da viga sem apoio intermediário. Aço: 90,962 kN do motor contra 90,962 kN à mão. Alumínio: 59,456 contra 59,456.

Agora o controle que impede a lição errada de ser aprendida. Resolva de novo com a viga e o pendural os dois em alumínio: a força no pendural volta em 90,9621 kN, e o caso todo em aço deu 90,9621 kN. Diferença de 0,0000 kN.

Ou seja, um material mole não atrai menos carga. Um relativamente mole atrai. O E se cancela em uma estrutura hiperestática linear sempre que ele é uniforme, e só a razão entre as partes sobrevive. É por isso que misturar materiais em um mesmo caminho de carga é uma decisão e não um detalhe: tirantes de aço em pórticos de alumínio, pendurais de inoxidável em pórticos de carbono, madeira sobre aço. O parceiro mais rígido leva a carga, e leva na proporção de uma razão que ninguém escreveu na especificação.

Fique com a viga pendurada e apague as cargas. Todo caso de carga está vazio. Agora suba a temperatura do pendural em 30 K, que é uma tarde de sol em uma peça exposta.

A barra quer crescer α·ΔT·L. A estrutura não deixa ela crescer livre, e a parte do crescimento que é impedida vira força. Aplicada ao motor como a carga térmica equivalente, N₀ = E·A·α·ΔT, e conferida contra N = -N₀·kviga/(kviga + kpendural):

Três coisas aqui merecem que você desacelere.

Primeira, a tensão existe sem carga nenhuma no modelo. Isto é o mais literal que “tensão no material” chega a ser: o número foi produzido por uma propriedade do material, α, e por mais nada.

Segunda, a tensão de restrição total E·α·ΔT é uma armadilha. O aço marca 75,6 MPa e o alumínio só 48,3 MPa, porque o α maior do alumínio é mais do que cancelado pelo E menor dele. Por aquela coluna você concluiria que o pendural de alumínio é a escolha mais segura.

Terceira, a resposta real inverte isso. A barra de alumínio termina em 25,09 MPa contra os 20,03 MPa da barra de aço, 1,2528 vez mais, porque uma barra mole em série com uma viga de rigidez finita guarda uma fatia maior da própria carga térmica: a razão de restrição kviga/(kviga + kpendural) é 0,52 no alumínio e 0,26 no aço. Restrição total é um limite superior, não uma estimativa, e em uma estrutura real a fração que sobrevive é decidida pelas rigidezes em volta da peça.

O hábito de engenharia que sai disso é antigo e confiável. Força térmica vive de hiperestaticidade, então, se você não a quer, não construa a hiperestaticidade: um furo oblongo, um aparelho de apoio deslizante ou uma junta de dilatação transformam a tabela inteira em zeros.

Toda verificação até aqui comparou uma tensão com fy. O limite que um material de fato impõe é um pacote, e fy é só a entrada que governa em um dia quente com carga estática.

fu, nas seções em que a área líquida governa. O escoamento na seção bruta é dúctil e autolimitado, então é julgado contra fy com um coeficiente ameno. A ruptura pela linha de parafusos não é nem uma coisa nem outra, então é julgada contra fu com um coeficiente mais duro, a EN 1993-1-1 §6.2.3 pareando A·fy/γM0 com 0,9·Anet·fu/γM2 com γM2 = 1,25. A razão fu/fy é ela mesma uma propriedade do material: 1,380 no S355 e 2,476 no 1.4301, que é por que ligações em inoxidável e ligações em carbono não rompem na mesma ordem.

Temperatura. Acima de mais ou menos 400 °C, fy deixa de ser fy. A EN 1993-1-2 reduz o valor por ky,θ: 0,78 a 500 °C, 0,47 a 600 °C, 0,23 a 700 °C. Na combinação excepcional esta viga carrega g + 0,3q = 12,25 kN/m, então M = 98,0 kN·m e σ = 112,16 MPa, 49,5 % da solicitação a frio. A temperatura crítica é onde ky,θ·fy cai até esse valor:

• O S235 precisa de ky,θ = 0,477, alcançado a 597,7 °C.
• O S355 precisa de ky,θ = 0,316, alcançado a 664,2 °C.
• O S460 precisa de ky,θ = 0,244, alcançado a 694,2 °C.

Repare no que acabou de acontecer. O upgrade de grau que não comprou absolutamente nada contra a flecha compra quase 100 °C aqui, e 100 °C de uma curva de incêndio padrão são minutos reais e milímetros reais de tinta intumescente. Se uma propriedade do material ajuda depende inteiramente de qual estado limite você está.

Ciclos. Na fadiga, fy sai da verificação por completo. Um detalhe soldado em S460 e o mesmo detalhe em S235 compartilham a mesma categoria de detalhe e a mesma curva S-N; quem decide é a faixa de variação de tensão, e o aço mais forte do canteiro não traz vantagem nenhuma. É o caso mais claro de um limite de material que não é uma resistência do material.

Existe uma hipótese enterrada debaixo de todo número deste artigo: a de que o material é linear até um patamar de escoamento, de modo que E é constante e fy é uma quina. O aço-carbono merece essa hipótese. O inoxidável austenítico não.

Uma curva de tração do 1.4301 arredonda desde o começo e nunca mostra patamar. Não há ponto de escoamento para ler, então as normas definem um: a tensão de prova de 0,2 %, a tensão que deixa para trás 0,002 de deformação permanente. Para o 1.4301 isso é 210 MPa, e é uma convenção com uma medida presa nela, não uma quina física.

A consequência cai sobre a rigidez, não sobre a resistência. A EN 1993-1-4 modela a curva como ε = σ/E + 0,002(σ/f₀.₂)ⁿ com n ≈ 6 para os austeníticos, então o módulo secante cai conforme a tensão sobe. Na tensão de serviço desta viga, de 160,22 MPa, que é 0,763 da tensão de prova, a deformação total é 1,1957 × 10⁻³ contra uma elástica de 8,011 × 10⁻⁴. O módulo secante é 134 005 MPa, 67,0 % dos 200 GPa nominais.

O que significa que a flecha de uma viga de inoxidável não é os 29,67 mm que um solver linear informa. É mais ou menos 44,28 mm, 49,2 % a mais, e é precisamente por isso que a EN 1993-1-4 pede um módulo secante em serviço em vez do E nominal. Uma peça de inoxidável projetada por uma rodada linear e conferida contra um limite de flecha pode estar errada pela metade.

As ligas de alumínio se comportam do mesmo jeito, pelo mesmo motivo, e são tratadas do mesmo jeito na EN 1999-1-1. A lição geral vale mais que qualquer um dos dois casos: as constantes elásticas que você dá a um solver são um modelo do material, e modelo tem faixa de validade. Pergunte onde a faixa termina antes de confiar na terceira casa decimal.

Mais um lugar em que a propriedade do material se comporta ao contrário da intuição. Um pilar HEA 200, flambando em torno do eixo de menor inércia, verificado com a EN 1993-1-1 §6.3.1 na curva b, em S235 e em S460.

A 1 m o pilar atarracado é um problema de esmagamento e o S460 entrega 1,897 vez a capacidade, quase a razão cheia de 1,9574 das resistências ao escoamento. A 12 m ele entrega 1,041, ou seja, 96 % a mais de resistência ao escoamento compraram 4 % a mais de pilar.

O motivo é que um pilar esbelto não é limitado por resistência, em nada. A carga de Euler desta peça a 6,0 m é 768,1 kN e contém E, I e o comprimento: fy não está em lugar nenhum ali. A curva de projeto só puxa a resposta elástica para baixo por conta das imperfeições e das tensões residuais. Conforme a peça fica mais esbelta a resposta converge para Euler, e Euler não liga para o grau carimbado na mesa.

Então o mesmo upgrade de catálogo é uma pechincha em um pilar curto, um desperdício em um longo, e exatamente nada em uma viga governada por flecha. O material não é bom ou ruim sozinho. Ele é bom ou ruim em relação ao estado limite que está de fato governando, que é uma propriedade da estrutura, não do metal.

Tudo acima se resume a um procedimento curto.

• Calcule a tensão sem pensar no material. Em uma peça isostática ela não pode depender do material, e isso é uma conferência do seu modelo, não uma aproximação.
• Depois pergunte qual limite governa. Resistência responde ao grau. Rigidez responde só a E e I. Estabilidade responde principalmente a E. Fadiga ignora o grau por completo. Incêndio responde ao grau com força.
• Leia a utilização junto com a norma que a produziu. O mesmo fy = 250 MPa é 227,27 MPa na NBR 8800 e 225,00 MPa no AISC 360.
• Procure materiais misturados em um mesmo caminho de carga. É o único lugar em que trocar um material reescreve a tensão, e o momento desta viga se moveu 1,6758 vez quando o pendural mudou.
• Confira se as suas constantes elásticas ainda valem. Inoxidável a 0,763 da tensão de prova já está em 67,0 % do módulo nominal dele, e uma flecha linear é então 49,2 % otimista.

A viga que abriu o artigo é um bom lugar para terminar. Ela estava a 226,60 MPa, o que passou com 0,997 no Brasil e reprovou com 1,007 nos Estados Unidos, ficou confortável com 0,493 em S460, e mesmo assim reprovou nas três vezes porque teve flecha de 28,26 mm contra um limite de 26,67 mm. A resposta real dela nunca foi um material. Foi um IPE 400.