Tensão em um tirante: por que uma peça que só traciona tem um único número, com uma verificação resolvida

Eis um pórtico que você modelaria em cinco minutos. Seis metros de vão, quatro metros de altura, pilares HEA 200, uma viga IPE 300, ligações simples em tudo, e um par de barras redondas de 25 mm cruzadas recebendo 120 kN de cortante de piso. É a peça de estrutura metálica mais comum do mundo.

Desenhe as duas barras, rode a análise, leia as respostas. A diagonal tracionada carrega 70,293 kN. Contra uma barra de 25 mm em S355, cuja resistência plástica à tração é 174,26 kN, isso dá uma utilização de 0,403. O deslocamento horizontal de piso é 6,628 mm contra um limite H/400 de 10,0 mm. Passa tudo com folga.

Cada um desses números está errado, e estão errados por causa de uma única decisão de modelagem que ninguém tomou conscientemente. A outra diagonal voltou com -73,930 kN. Ela está comprimida. Uma barra redonda de 25 mm vencendo a diagonal de 7,2111 m tem carga de Euler de 0,728 kN. O modelo pediu que ela carregasse cem vezes o que ela aguenta, e ela obedeceu em silêncio, porque uma matriz de rigidez linear não tem como saber que uma barra redonda é uma corda.

Tire aquela barra, que é o que acontece fisicamente, e a diagonal sobrevivente carrega 144,222 kN. Utilização na seção bruta de 0,828. Deslocamento de 13,599 mm, acima do limite. E então verifique a rosca, porque a barra é rosqueada M24 na forquilha, e a resistência ali é 124,54 kN. Utilização 1,158. O contraventamento reprova.

Três respostas saíram de uma peça só: 0,403, 0,828, 1,158. Este artigo trata de por que a primeira apareceu, de por que a tensão em uma corda é o estado de tensão mais simples de toda a mecânica e ainda assim produz o erro de modelagem mais caro de um pórtico de aço, e do que a norma está de fato verificando quando verifica um número só.

Na física a corda é uma idealização com duas propriedades, e vale enunciá-las como proibições em vez de qualidades, porque são as proibições que a análise tem de respeitar.

Ela não tem rigidez à flexão. EI é tomado como zero, então ela não carrega momento, não resiste à curvatura, e assume a forma que as cargas lhe derem. Um fio pendurado em um gancho fica reto; pendure um peso no meio e ele vira dois trechos retos; distribua o peso e ele vira uma catenária. A geometria é saída, não entrada.

Ela não empurra. Só tração. Tente aproximar as extremidades e ela não resiste, fica frouxa. Não existe ramo negativo na curva força deslocamento, só um ramo horizontal no zero.

Um tirante real de aço não é uma corda. Ele tem um EI de verdade, carrega um pequeno momento, e se você o comprimir o bastante ele resiste até a carga de flambagem. A pergunta não é se a idealização é exata, e sim se os erros que ela comete são pequenos. Para a barra do pórtico resolvido a esbeltez L/r é 1153,8. As normas limitam peças comprimidas em 200 e tracionadas em 300. Em 1153,8 a rigidez à flexão não é pequena, é irrelevante: a barra é uma corda dentro da precisão de qualquer coisa que você consiga medir.

Esse é o teste a aplicar. Uma peça é uma corda quando sua esbeltez é alta o bastante para que EI deixe de importar, e em estrutura metálica isso cobre contraventamento em barra redonda, contraventamento em cabo, tirantes de corrente, pendurais, amarrações e quase tudo que segura uma marquise.

A tensão em um ponto de um sólido é um tensor de segunda ordem: nove componentes, seis delas independentes assim que o equilíbrio de momentos impõe simetria. Pedir “a tensão” sem nomear um plano é normalmente uma pergunta incompleta, porque a resposta muda com a orientação do corte.

Em uma corda ela não é incompleta, e vale ver exatamente por que cada componente morre.

• σx = T/A. A única sobrevivente. A força axial dividida pela área, uniforme na seção porque não há momento que a faça variar.
• Nenhum σ de flexão. EI é zero, logo M é zero, logo o termo My/I que preenche a seção de uma viga com um gradiente linear de tensão simplesmente não existe.
• τxy = τxz = 0. O cisalhamento em uma peça vem do gradiente do momento. Sem momento, sem gradiente, sem VQ/It.
• σy = σz = τyz = 0. A superfície lateral da barra é livre. Nada pressiona contra ela, então as tensões normais transversais se anulam na superfície e, em uma peça esbelta sem carga transversal, em todo o resto também.

O que sobra é um tensor com uma única entrada não nula. Na barra resolvida, com T = 144,222 kN e A = 490,87 mm², essa entrada vale σ = 293,81 MPa e as outras oito são zero até a precisão de máquina.

A consequência é o ponto deste artigo inteiro. Um critério de escoamento é uma regra para transformar seis números em um, e a razão de existir mais de um critério é que regras razoáveis discordam. Neste tensor elas não podem. As tensões principais são (293,81, 0, 0). Von Mises devolve 293,81 MPa. Tresca devolve 293,81 MPa. A máxima tensão principal devolve 293,81 MPa. A simulação calcula os três e verifica que a dispersão entre eles fica abaixo de 10⁻⁹ MPa; ela sai exatamente em 0,0.

Então, quando a norma escreve σ ≤ fy para um tirante, ela não está aplicando um substituto calibrado para algo mais complicado, como faz quando verifica a fibra extrema de uma viga e ignora discretamente o cisalhamento que age ali. Para uma corda, σ ≤ fy é o critério. Esta é a única família de peças em que isso é literalmente verdade.

Há uma armadilha dentro da boa notícia. Um tensor de componente única não é um estado em que nada acontece nos outros planos. É um estado em que as componentes nos outros planos são todas determinadas por um número, o que é outra afirmação.

Varra o plano de corte pela barra. Na seção transversal, normal ao eixo, você lê σn = 293,81 MPa e τn = 0: tração pura, sem cisalhamento, que é por que a seção transversal é o plano que todo mundo desenha. Gire o corte em 45 graus e o mesmo estado passa a ler σn = 146,90 MPa e τn = 146,90 MPa. Gire até 90 graus, cortando ao longo do eixo, e os dois se anulam.

O plano de 45 graus carrega o cisalhamento máximo de todo o material, e seu valor é exatamente σ/2. Isso não é uma coincidência desta barra, é a geometria de um estado uniaxial: com tensões principais (σ, 0, 0), o raio do círculo de Mohr é σ/2 e o círculo passa pela origem.

Duas coisas decorrem daí e vale carregá-las consigo. Primeira, um corpo de prova de aço dúctil tracionado até a ruptura estrigila e cisalha em planos próximos de 45 graus, e a superfície de fratura em taça e cone que sai da máquina de ensaio é uma fotografia dessa varredura, e não da tensão axial. Segunda, a resistência ao cisalhamento do aço sai da mesma álgebra. Iguale von Mises a fy em cisalhamento puro e você obtém τ = fy/√3 = 0,577 fy, que é o número por trás do 0,6 Fy do AISC e por trás do Vpl,Rd da EN 1993-1-1. A corda é onde essa relação é mais fácil de enxergar, porque em uma corda o cisalhamento máximo é visivelmente a metade do que você já calculou.

O modelo é propositalmente simples. Quatro nós, as duas bases rotuladas, um pórtico de 6,0 m por 4,0 m, pilares HEA 200, uma viga IPE 300 com extremidades rotuladas, e duas barras redondas de 25 mm cruzadas com extremidades rotuladas, de modo que o pórtico é uma treliça genuína e toda peça carrega apenas força axial. Uma única carga horizontal de 120 kN é aplicada no nó superior esquerdo.

Antes de confiar em qualquer coisa que o motor diga sobre este pórtico, o mesmo script roda uma calibração: uma IPE 400 biapoiada sob carga uniforme, conferida contra wL²/8, wL/2 e 5wL⁴/384EI. As três batem até a sexta casa decimal. Esse é o portão; nada abaixo é citado se ele não passar.

O pórtico é então resolvido duas vezes. Uma com as duas diagonais no modelo, que é o que uma análise linear faz por padrão. Outra com o laço de desativação que a API do CalcSteel de fato roda em peças de tirante: resolve, procura qualquer tirante comprimido, remove-o do modelo, resolve de novo, e para quando nada estiver comprimido. Neste pórtico o laço convergiu em duas iterações. A primeira solução encontrou d2 em -73,930 kN, removeu-a, e a segunda solução não encontrou mais nada comprimido.

Note o que desativar significa: a peça é removida, não amolecida. Não há módulo reduzido, nem rigidez residual pequena, nem mola só de compressão. Uma barra frouxa não contribui com nada, e o jeito honesto de modelar nada é tirá-la.

Com uma diagonal só o pórtico se torna isostático, que é o que faz este exemplo valer a publicação: a resposta é conferível à mão, exatamente. Some os momentos e você obtém T = H · Ld / W = 120 · 7,2111 / 6,0 = 144,222 kN, com a viga em -120 kN e o pilar de sotavento em -80,0 kN. O motor devolve os três, e a simulação verifica cada um contra a forma fechada com erro melhor que 0,001 %.

O processamento linear não parece quebrado. Ele satisfaz o equilíbrio: as duas diagonais juntas entregam (70,293 + 73,930) · 6,0/7,2111 = 120,0 kN de cortante horizontal, que é exatamente a carga aplicada. Ele satisfaz a compatibilidade. Nada na saída é sinalizado. Você leria e liberaria o pórtico.

O que ele viola é um fato constitutivo: uma daquelas peças não consegue carregar a força atribuída a ela. A barra de 25 mm na diagonal de 7,2111 m tem I = 19 174,8 mm⁴ e r = 6,25 mm, então sua carga de Euler é π²EI/L² = 0,728 kN. O modelo lhe deu 73,930 kN de compressão. Isso é 101,6 vezes a capacidade de flambagem dela, e 0,5 % da tração que a outra barra realmente tem de carregar.

Removida a ficção, os números se movem juntos:

• A tração vai de 70,293 kN para 144,222 kN, um fator de 2,0517.
• O deslocamento horizontal vai de 6,628 mm para 13,599 mm, um fator de 2,0517 até a quarta casa, porque remover uma de duas molas idênticas reduz à metade a rigidez lateral do pórtico.
• A verificação de serviço inverte. H/400 em um piso de 4,0 m é 10,0 mm. O modelo linear passa com 6,628 mm. O pórtico real não passa, com 13,599 mm.

Inverta a carga e o quadro é simétrico: d1 fica frouxa, d2 assume os 144,222 kN, e a simulação verifica que o módulo é idêntico. É por isso que as duas barras existem. Elas não estão dividindo a carga, estão se revezando, e cada uma tem de ser dimensionada para a carga inteira. Um contraventamento em X são duas peças fazendo o trabalho de uma em dois sentidos, e a análise linear o lê como duas peças dividindo um trabalho, que é o mesmo desenho e a engenharia oposta.

Com a força resolvida, a tensão é aritmética. Uma barra redonda de 25 mm tem A = πd²/4 = 490,87 mm², e a simulação confere a área do registro contra essa forma fechada em vez de confiar na tabela. Portanto:

σ = T/A = 144 222 N / 490,87 mm² = 293,81 MPa

Contra fy = 355 MPa isso é uma utilização de 0,828, e pelo argumento das seções anteriores esse número único é o estado de tensão completo da peça. Compare com o que o modelo linear teria dado: 143,20 MPa, utilização 0,403. Mesma barra, mesmo item de norma, mesmo aço.

Mas 490,87 mm² não é a área em todo lugar. Um tirante precisa se ligar a alguma coisa, e o detalhe usual é uma rosca em cada extremidade contra uma forquilha ou um esticador. Abra uma rosca M24 em um fuste de 25 mm e a seção que resiste não é o fuste, é a área resistente de tração da rosca: As = 353 mm² pela ISO 898-1. São 28,1 % do metal que se foram, justamente na seção em que a carga é máxima e a geometria é um concentrador de tensões.

É por isso que as normas verificam peças tracionadas duas vezes, e por que as duas verificações usam propriedades de material e coeficientes de segurança diferentes. Não é redundância por precaução, são dois modos de falha genuinamente distintos.

A EN 1993-1-1 §6.2.3 pede a menor de duas resistências.

Escoamento da seção bruta. Npl,Rd = A fy / γM0 = 490,87 · 355 / 1,0 = 174,26 kN. Este é um estado-limite de ductilidade: a peça inteira plastifica, alonga visivelmente, e redistribui. É verificado contra fy com γM0 = 1,0.

Ruptura da seção líquida. Nu,Rd = 0,9 Anet fu / γM2 = 0,9 · 353 · 490 / 1,25 = 124,54 kN. Este é um estado-limite de fratura em uma seção só, sem aviso e sem redistribuição, e é por isso que ele usa fu, o γM2 = 1,25 mais severo, e o 0,9 adicional. O 0,9 não é arredondamento: é a calibração que mantém a verificação de ruptura menos provável que a de escoamento, para que uma peça sobrecarregada escoe primeiro e avise você.

Para a barra resolvida a resistência é min(174,26, 124,54) = 124,54 kN contra uma demanda de 144,222 kN. Utilização 1,158. Reprova.

A AISC 360 chega ao mesmo lugar por outro caminho. O capítulo D2 dá φPn = 0,90 Fy Ag para escoamento e 0,75 Fu Ae para ruptura, o que para uma barra Grau 50 com Fu = 450 MPa dá 152,42 kN e 119,14 kN, governando em 119,14 kN e uma utilização de 1,211. Especificamente para barras rosqueadas, a tabela J3.2 permite pular a área líquida e usar Fnt = 0,75 Fu sobre a área bruta do parafuso, o que aqui dá 124,25 kN, dentro de 0,3 % da resposta europeia de seção líquida.

Esse 0,75 fixo merece um segundo olhar, porque costuma soar como coeficiente arbitrário. Não é. Calcule As/Ab ao longo de toda a série métrica de passo grosso e você obtém 0,745 na M12, 0,780 no meio da faixa, e 0,803 na M36. O 0,75 do AISC é essa razão geométrica arredondada para a ponta conservadora. A especificação está dizendo a mesma coisa que a ISO 898-1 diz, em um número em vez de uma tabela.

A correção neste pórtico é aritmética depois que você sabe qual verificação governa. A área resistente necessária é 144 222 · 1,25 / (0,9 · 490) = 408,8 mm², então a M27 com As = 459 mm² é a menor rosca que funciona, com utilização de 0,891. O fuste cresce para 30 mm para acomodá-la. A barra ficou 44 % mais pesada por causa de alguns centímetros em cada ponta.

Tudo acima depende de uma afirmação: a de que a diagonal comprimida não contribui com nada. Vale colocar um número nisso em vez de afirmar, porque “o tirante fica frouxo” é o tipo de frase em que se acredita sem conferir.

A barra tem 25 mm de diâmetro ao longo de uma diagonal de 7,2111 m, rotulada nas duas extremidades. Seu raio de giração é d/4 = 6,25 mm, então a esbeltez é 1153,8. Para comparar, a EN 1993-1-1 e a maioria dos anexos nacionais recomendam manter peças comprimidas abaixo de 200 e tracionadas abaixo de 300; isto é quase quatro vezes o mais folgado dos dois limites. Em termos adimensionais λ̄ = 15,47, onde as curvas de flambagem deixam de ser desenhadas.

A carga de Euler decorre disso: Ncr = π²EI/L² = π² · 200 000 · 19 174,8 / 7 211,1² = 0,728 kN. Ponha isso ao lado da resistência à tração da mesma barra, 174,26 kN, e a razão é 239,4. Ponha ao lado da força que a peça realmente tem de carregar, 144,222 kN, e a capacidade à compressão é 0,5 % dela.

Em outras palavras, a barra não é meramente mais fraca à compressão, ela é ausente. Zero é um modelo melhor de 0,728 kN, em um pórtico onde a força de trabalho é 144 kN, do que os próprios 0,728 kN. Modelá-la como peça que só traciona não é uma simplificação a favor da segurança; é a simplificação correta.

Você mesmo pode ver o colapso. Ponha a mesma seção circular de 25 mm na calculadora de flambagem abaixo com 7,2111 m de comprimento e extremidades rotuladas, e observe a capacidade cair para fora do gráfico. Depois encurte para 1 m e observe-a voltar. Nada mudou no material; só L² mudou.

Há mais uma hipótese escondida na análise, e ela é o inverso da primeira. O modelo linear deixou a barra empurrar, o que é errado. Ele também supôs que a barra entrega a rigidez axial EA inteira desde o primeiro newton de tração, e isso também não é verdade.

Uma barra pendurada ao longo de uma diagonal carrega o próprio peso. A barra de 25 mm tem 3,85 kg/m, então w = 37,79 N/m ao longo de 7,2111 m. Sob uma tração T ela pende em catenária com uma flecha de aproximadamente wL²/8T. Puxe mais um milímetro nas extremidades e parte disso vai em endireitar a curva em vez de alongar o aço, então a rigidez que você de fato obtém é menor que EA. A forma usual de escrever isso é o módulo efetivo de Ernst, Eeff = E / (1 + w²L²AE/12T³), e o comportamento dele é dramático porque T aparece ao cubo.

• Com 1 kN a barra tem flecha de 245,6 mm e entrega Eeff/E = 0,0016. É uma curva pendurada com um parafuso em cada ponta, e ao vento ela vai bater.
• Com 10 kN a flecha é 24,6 mm e Eeff/E = 0,6221. Melhor, e ainda 38 % abaixo da rigidez que o modelo supôs.
• Com 50 kN a flecha é 4,9 mm e Eeff/E = 0,9952. Esta é a primeira linha da varredura acima de 0,99, e são 34,7 % da tração de projeto.
• Na tração de projeto de 144,222 kN a flecha é 1,7 mm e Eeff/E = 0,9998. Aqui a corda é genuinamente uma barra.

Ou seja, a hipótese elástica linear é conquistada, não gratuita. Ela é conquistada acima de aproximadamente um terço da carga de projeto, que é exatamente a justificativa de engenharia para protender um contraventamento em barra redonda com um esticador em vez de apenas parafusá-lo e confiar no vento para tirar a folga. A protensão não está ali para deixar a barra mais forte. Está ali para tornar o modelo verdadeiro.

A resposta limpa vale para o comprimento livre de um tirante reto, esticado e carregado axialmente. Vale nomear os lugares em que ela não vale, porque é ali que os tirantes de fato falham.

Nas extremidades. Uma forquilha, um garfo ou uma orelha soldada prendem a barra e a obrigam a fletir quando a geometria se move. A flexão volta, então o σ de M volta, e ele se superpõe ao σ = T/A cheio do comprimento livre. É um efeito local ao longo de alguns diâmetros, e é uma das razões de os tirantes serem detalhados com pinos em vez de parafusos engastados.

Na rosca. A mudança de seção é um concentrador de tensões, e o pico local fica bem acima dos 408,6 MPa que você obtém dividindo a força por As. Para projeto estático a norma trata disso usando fu e γM2, como acima. Para um contraventamento que vê milhares de reversões de carga, a fadiga no primeiro filete engajado é uma verificação separada, com categoria de detalhe própria, e é onde contraventamentos em barra redonda de fato quebram.

Sob carga transversal. No instante em que uma barra carrega qualquer coisa ao longo do comprimento, inclusive o próprio peso sob tração baixa, a forma passa a fazer parte do problema. Esse é o regime de catenária da seção anterior, e é um problema geometricamente não linear, não um problema de tensão.

Na estrutura ao redor. Remover uma peça muda o caminho de carga em todo lugar, não só no contraventamento. No pórtico resolvido a viga foi de -58,487 kN para -120,0 kN e o pilar de sotavento de -38,991 kN para -80,0 kN quando d2 saiu. Se você corrige o contraventamento e deixa a viga e os pilares com os números antigos, você mudou o erro de lugar em vez de corrigi-lo.

Seis coisas, na ordem em que importam.

1. Declare a peça como tirante, não como barra. No CalcSteel isso é o tipo da classe; em qualquer outro programa é a marcação de só tração ou sem compressão. Se o software não tiver essa marcação, modele uma diagonal por sentido de carga e rode os dois.
2. Confira o sinal de toda diagonal na saída. Um tirante acusando compressão não é um errinho a anotar; é a análise avisando que resolveu outra estrutura.
3. Faça isso por caso de carga, não uma vez só globalmente. Uma barra que fica frouxa com vento pela esquerda está trabalhando com vento pela direita. Desativá-la para o modelo inteiro seria tão errado quanto deixá-la.
4. Dimensione as duas barras para a força inteira. Elas se revezam; não dividem.
5. Verifique a rosca, não a barra. Nu,Rd na área resistente de tração é a resistência que governa em quase todo tirante rosqueado, e é a que as pessoas pulam.
6. Reconfira o deslocamento depois da correção. Reduzir à metade a rigidez do contraventamento mexe no estado de serviço, e o deslocamento é o que frequentemente governa um pórtico contraventado no fim.

E uma coisa a não fazer: não modele o tirante como uma barra muito mole para “ajudar a convergir”. Uma pequena rigidez residual à compressão põe força em uma peça que está fisicamente frouxa, o que aparece como um erro igual e oposto em algum outro ponto do pórtico. Remova ou mantenha; não há nada sensato no meio.

Há uma simetria bonita no modo como este caso dá errado. A corda é o objeto mais fácil da resistência dos materiais. Seu tensor de tensões tem uma entrada, todo critério de escoamento concorda sobre ela, e a verificação que a norma escreve é o próprio critério, e não uma aproximação calibrada dele. Se a análise de tensões fosse a parte difícil, os tirantes seriam as peças mais seguras de um edifício.

A dificuldade não está na tensão, está na força. Obter T exige que a análise saiba algo que uma matriz de rigidez não tem como expressar: que esta peça não tem ramo negativo. Deixe isso de fora e todo número a jusante fica errado por um fator de dois, e cada um deles é individualmente plausível.

O pórtico deste artigo passou em três verificações em que deveria ter reprovado. Ele leu 0,403 no contraventamento quando a resposta era 0,828 na seção bruta e 1,158 na rosca. Ele leu 6,628 mm de deslocamento contra um limite de 10,0 mm quando o valor real era 13,599 mm. E fez tudo isso satisfazendo o equilíbrio exatamente, que é por que nada na saída parecia errado.

Então a versão prática de tudo acima cabe em uma linha. Em uma corda a tensão é um número só, e o trabalho inteiro é garantir que ele seja o número certo.