Distribuição de Momentos (Hardy Cross): O Método Que Construiu o Século XX, num Pórtico

Durante quase todo o século XX, cada pórtico rígido de concreto ou aço que você conseguir nomear foi resolvido sem computador. Os engenheiros que os projetaram tinham um método, e por cerca de trinta anos ele foi o método: a distribuição de momentos, publicada por Hardy Cross em 1930. Com nada além de uma razão de rigidez, um momento de engastamento e muita paciência, ela tornou os pórticos hiperestáticos resolvíveis a lápis, e permaneceu o método mais praticado na análise estrutural até os computadores assumirem, nos anos 1960.

Este guia ensina esse método a distância inteira, e termina onde ele ganhou sua fama: um pórtico rígido, o esqueleto de dois pilares e uma viga sob quase todo galpão e barracão já construídos. Você vai travar os nós, escrever os momentos de engastamento e depois liberar o pórtico nó a nó, vendo o momento se redistribuir até equilibrar, exatamente como Cross ensinou. Cada número aqui foi produzido pelo motor de elementos finitos da CalcSteel e conferido contra o cálculo à mão com erro menor que um décimo de por cento.

Escrevemos para três leitores. Se você é estudante e encontra isto em Análise Estrutural ou Estruturas I, é o exemplo resolvido que a disciplina não tem tempo de terminar. Se você é engenheiro que projeta ou calculista autônomo, é a conferência de sanidade que dá para rodar de cabeça antes de confiar no software. E se você já conhece o método dos deslocamentos angulares, este é o primo mais rápido: sem sistemas de equações, só equilibrar e transmitir.

A calculadora de pórticos da CalcSteel é gratuita, roda no navegador sem login para a conta, e resolve o mesmo pórtico que este artigo trabalha à mão. Você pode conferir cada valor abaixo contra ela enquanto lê.

Pegue um pórtico de um vão com cantos rígidos e pés engastados. Solte-o do chão e conte as reações desconhecidas: cada base engastada carrega uma força horizontal, uma força vertical e um momento, logo seis componentes de reação ao todo. A estática dá apenas três equações no plano, ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 e ΣM = 0. Seis incógnitas, três equações: o pórtico é hiperestático de terceiro grau. O equilíbrio sozinho não acha os momentos. Existem infinitos sistemas de forças que equilibram as cargas, e só um deles também mantém o pórtico contínuo nos joelhos rígidos.

A informação que falta é a rigidez. A resposta real é aquela em que as barras fletem numa forma que se encaixa em cada nó, e quanto mais rígida uma barra, maior a parcela de momento que ela puxa para si. Qualquer método que resolva o pórtico, seja o método dos deslocamentos angulares, o método dos elementos finitos ou o deste artigo, é na verdade só uma forma de impor essa compatibilidade.

Antes de Hardy Cross, o caminho prático era o dos deslocamentos angulares: escrever uma equação de compatibilidade em cada nó e resolver o sistema. Para uma viga de dois vãos são duas equações. Para um pórtico de vários andares são dezenas, à mão, sem bibliotecas de matrizes para ajudar. A sacada de Cross foi pular o sistema por completo e chegar à mesma resposta por aproximações sucessivas. Se você quer o teste formal de quão hiperestática é uma estrutura antes de começar, nossa nota sobre determinação estática e estabilidade conta os graus para você.

A história tem data e lugar. Em maio de 1930, Hardy Cross, então professor na Universidade de Illinois, submeteu um artigo de dez páginas aos Proceedings da American Society of Civil Engineers, intitulado Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments. Caiu como uma pequena revolução. Quando a discussão formal foi publicada cerca de dois anos depois, trinta e oito comentaristas tinham somado aproximadamente 146 páginas debatendo o assunto. Dos anos 1930 até os computadores se tornarem rotina nos escritórios, a distribuição de momentos foi o método mais praticado na análise estrutural.

• Por volta de 1915, os deslocamentos angulares. G. A. Maney e outros formalizam o método dos deslocamentos angulares, que relaciona os momentos de extremidade às rotações e à translação dos nós. É exato, mas exige resolver sistemas de equações à mão.
• 1930, a distribuição de momentos. Hardy Cross troca o sistema pela iteração. Trave os nós, depois libere-os um a um e deixe o desequilíbrio fluir pela estrutura. A resposta emerge por aproximações sucessivas, e a aritmética é algo que um engenheiro júnior faz na mesa.
• Dos anos 1930 aos 1950, a era do cavalo de batalha. Edifícios em pórtico, pontes e reservatórios pelo mundo são dimensionados em tabelas de distribuição. O método escala para pórticos de vários andares, barras não prismáticas e translação, tudo à mão.
• De 1956 em diante, matricial e elementos finitos. Turner, Clough, Martin e Topp publicam a formulação de rigidez que vira o método dos elementos finitos. O computador resolve justamente os sistemas de equações que Cross havia contornado, e faz isso para dez mil barras de uma vez.

A distribuição de momentos nunca virou errada, só ficou em minoria. Ainda é a forma mais rápida de entender por que um pórtico se comporta como se comporta, e a conferência à mão mais segura de um solver. Quando o motor da CalcSteel desenha o diagrama de um pórtico em milissegundos, ele termina o trabalho que Cross começou, sobre a mesma física.

A distribuição de momentos tem fama de ser trabalhosa, mas é construída a partir de apenas quatro ideias. Entenda-as e o resto é escrituração.

1. Momentos de engastamento (por onde você começa)

Imagine cada nó travado, sem poder girar. Cada barra carregada passa a se comportar como uma viga biengastada, e os momentos que ela exerce sobre esses travamentos são seus momentos de engastamento. Eles são tabelados para toda carga comum. Para uma carga uniforme w sobre um vão L o valor é wL²/12 em cada extremidade. Para uma carga pontual central P é PL/8. São os momentos que a estrutura carregaria se nenhum nó pudesse girar, e são os números de partida da tabela inteira.

2. Rigidez (quem resiste à rotação)

Ao liberar um nó, as barras que ali se encontram dividem o trabalho de resistir à sua rotação na proporção da sua rigidez rotacional, k = 4EI/L para uma barra cuja extremidade oposta é engastada. Uma barra curta e alta é rígida e segura firme; uma longa e esbelta é flexível e cede. Se a extremidade oposta é uma rótula, a rigidez cai para 3EI/L, uma correção que importa em todo apoio simples.

3. Fator de distribuição (a parcela de cada barra)

Num nó, o fator de distribuição de cada barra é a sua rigidez dividida pela rigidez total que ali se encontra: DF = k / Σk. Os fatores de um nó sempre somam 1,0, porque o desequilíbrio precisa ir para algum lugar. Um pilar rígido num joelho leva a maior parte; uma viga flexível leva o que sobra.

4. Fator de transmissão (o momento viaja)

Equilibrar um nó flete cada barra, e essa flexão manda um momento também para a extremidade oposta da barra. Para uma barra prismática com extremidade oposta engastada, exatamente metade do momento de equilíbrio é transmitida, então o fator de transmissão é 1/2. Este é o passo que acopla os nós e a razão de o método iterar: equilibrar o nó B perturba o nó C, então você volta e equilibra C, o que perturba B, e assim por diante, até as perturbações se apagarem.

Comece pelo único número sobre o qual o pórtico inteiro é construído. Engaste uma viga nas duas extremidades para que nenhuma possa girar, vão L = 8 m, e carregue-a com uma carga uniforme w = 20 kN/m. Que momento ela empurra em cada engaste?

A resposta tabelada é M = wL²/12 = 20 × 8² / 12 = 106,67 kN·m de momento negativo em cada extremidade, com a fibra superior tracionada sobre os apoios engastados. O momento positivo no meio do vão é metade disso no sentido contrário, wL²/24 = 53,33 kN·m. Esses dois números são a condição de engastamento: o que a viga carrega quando nenhum nó pode girar.

Construímos essa viga exata no motor de MEF da CalcSteel como controle. Ele devolveu −106,667 kN·m em cada extremidade e +53,333 kN·m no meio do vão, batendo com a fórmula fechada até a terceira casa. Essa concordância não é enfeite. É a prova de que o motor reproduz o caso que você confere à mão, para que você possa confiar nele no pórtico que não confere. Guarde os 106,67 kN·m: é o número que entra na tabela do pórtico, e observe o quanto ele diminui quando os nós ficam livres para girar.

Se você quer a mesma ideia para uma viga em balanço ou uma viga apoiada e engastada, os momentos de engastamento tabelados vivem ao lado das fórmulas fechadas no nosso guia de esforço cortante e momento fletor.

Antes do pórtico, aqueça no caso com um único nó livre: uma viga contínua de dois vãos, dois vãos iguais de L = 6 m, carga uniforme w = 20 kN/m, apoios simples nas duas pontas e um no meio. O apoio central é o único nó que pode girar, então há um equilíbrio a fazer.

Momentos de engastamento

Trave o apoio central. Cada vão vira uma viga biengastada, então entrega wL²/12 = 20 × 6² / 12 = 60 kN·m a esse nó. O vão da esquerda empurra num sentido, o da direita no outro. Como os dois apoios externos são rótulas, libere-os primeiro: uma extremidade rotulada não pode carregar momento, então seu momento de engastamento é relaxado e metade dele é transmitida de volta ao nó central, elevando a contribuição de cada vão para wL²/8 = 90 kN·m.

Equilibre o nó

Com vãos iguais e carga igual, as duas contribuições são iguais e opostas, então o nó central já está equilibrado: os fatores de distribuição (0,5 e 0,5) repartem um desequilíbrio nulo. O momento negativo sobre o apoio central se fixa em 90 kN·m, a fibra superior tracionada, que é exatamente o −wL²/8 de livro para este caso simétrico.

O que o motor devolve

O motor da CalcSteel dá −90,0 kN·m sobre o apoio central, reações de extremidade de 45 kN cada, uma reação central de 150 kN, e um pico positivo de 50,6 kN·m a 2,25 m dentro de cada vão. O apoio do meio carrega muito mais que sua parcela, 150 kN contra 45 kN nas pontas, porque é rígido e puxa carga para si. Carregue só um vão em vez dos dois, a clássica verificação de carregamento em padrão, e o nó deixa de se equilibrar de graça: o desequilíbrio se reparte 0,5 / 0,5 e o momento no apoio cai para wL²/16. Isso é a distribuição de momentos fazendo trabalho de verdade, e é uma linha de uma tabela.

Todo problema deste artigo, e todo pórtico que Hardy Cross já resolveu, roda os mesmos cinco passos. Uma vez que os números estão numa tabela é pura aritmética.

1. Trave os nós e escreva os momentos de engastamento. Trate cada barra como biengastada, consulte seu momento de engastamento para a carga aplicada e lance as duas extremidades na tabela com seus sinais.
2. Calcule os fatores de distribuição em cada nó livre. Ache a rigidez de cada barra (4EI/L, ou 3EI/L se a extremidade oposta é uma rótula), e divida pela rigidez total do nó. Confira que os fatores de cada nó somam 1,0.
3. Equilibre um nó. Some os momentos de um nó livre. A soma é o momento de desequilíbrio. Distribua o seu negativo entre as barras na proporção dos fatores de distribuição, de modo que o nó agora some zero.
4. Transmita. Mande metade de cada momento de equilíbrio à extremidade oposta daquela barra. É isto que perturba os nós vizinhos e arma a próxima rodada.
5. Itere até convergir. Vá ao próximo nó, equilibre, transmita e continue ciclando. Cada passada é menor que a anterior. Pare quando as transmissões forem desprezíveis, depois some cada coluna: esses totais são os momentos finais de extremidade.

É o método inteiro. Os únicos julgamentos são a correção de rigidez numa rótula (passo 2) e, para pórticos que se inclinam, uma correção de translação que veremos logo adiante. Todo o resto é somar uma coluna, distribuir e passar adiante.

A forma mais rápida de fixar o método é mudar o pórtico e ver os momentos se moverem. Aqui está a calculadora de pórticos da CalcSteel, ao vivo nesta página. Ajuste o vão, a altura do pilar, a vinculação da base e as cargas, e ela resolve o pórtico e desenha o diagrama de momento fletor na hora.

Experimente primeiro o pórtico da próxima seção: um vão de 8 m, pilares de 5 m, bases engastadas e uma carga de gravidade de 20 kN/m, e confirme por conta própria o momento no joelho perto de 81 kN·m. Depois enrijeça os pilares ou alongue a viga e veja o momento no joelho subir ou descer conforme os fatores de distribuição mudam. Acrescente uma carga horizontal e o pórtico se inclina, os dois joelhos deixam de ser iguais, e você enxerga o efeito de translação que o método à mão precisa corrigir.

É o solver de verdade, não uma prévia: rodadas ilimitadas, gratuito, sem login para a conta. Se abrir em aba própria, aqui está o link direto para a calculadora de pórticos. Para uma única barra com reações, cortante e momento juntos, a calculadora de vigas gratuita é a ferramenta companheira.

Agora o pórtico para o qual o método foi criado. Um pórtico de um vão: vão L = 8 m, pilares h = 5 m, joelhos rígidos, bases engastadas, barras prismáticas de EI constante, carregando uma carga de gravidade uniforme w = 20 kN/m na viga. Ele é simétrico, e a carga é simétrica, então o pórtico não translada: os dois joelhos giram em ângulos iguais e opostos e o conjunto fica parado na horizontal. É exatamente o caso que a distribuição de momentos pura resolve de forma exata.

Monte os nós

Só os dois joelhos, B e C, podem girar. No joelho B duas barras se encontram: o pilar (rigidez 4EI/h = 4EI/5) e a viga (rigidez 4EI/L = 4EI/8). Seus fatores de distribuição são

DF_pilar = (4EI/5) / (4EI/5 + 4EI/8) = 0,615 e DF_viga = 0,385.

O momento de engastamento da viga é os 106,67 kN·m do exemplo 1. Os pilares não têm carga de vão, então seus momentos de engastamento são zero. O nó C é a imagem espelhada de B.

Equilibre e transmita

Libere o nó B. Ele está desequilibrado em −106,67 kN·m da viga, então distribua +106,67 entre as duas barras: o pilar leva 0,615 × 106,67 = +65,6, a viga leva 0,385 × 106,67 = +41,0. Transmita metade de cada à extremidade oposta: 32,8 pilar abaixo até a base, e 20,5 viga adentro até o joelho C. Mas C faz o mesmo espelhado, e a sua transmissão volta a cair sobre B. Então você equilibra B de novo (agora desequilibrado em −20,5), transmite de novo, e a correção encolhe a cada ciclo: 12,6, depois 2,4, depois 0,5, depois 0,1. Após quatro ou cinco ciclos as colunas da tabela param de se mover.

O resultado

Some a tabela e o momento no joelho converge para 81,27 kN·m à mão. Construímos o pórtico idêntico no motor de MEF da CalcSteel e ele devolveu:

• Momento no joelho (beiral) ≈ 81,24 kN·m, negativo, onde o pilar encontra a viga. A tabela à mão e o motor concordam com erro menor que 0,1%.
• Momento na base do pilar ≈ 40,55 kN·m, que é a transmissão, metade do joelho, exatamente como o método prevê.
• Momento no meio do vão da viga ≈ 78,76 kN·m de momento positivo.
• Reações de apoio: vertical 80 kN em cada pé (a parcela de gravidade cheia wL/2) e um empuxo horizontal de cerca de 24,4 kN empurrando para dentro, a tendência do pórtico de se abrir que os pés engastados seguram.

A história da redistribuição

Aqui está o prêmio. A viga começou com um momento de engastamento de 106,67 kN·m. Conforme os nós foram liberados e os pilares giraram, esse momento relaxou para 81,24 kN·m no joelho: cerca de um quarto dele escorreu das extremidades da viga e desceu para os pilares e as bases. O pórtico reparte o trabalho por cada nó em vez de prendê-lo nas pontas. Essa repartição é a razão de os pórticos rígidos serem eficientes, e é exatamente o que os fatores de distribuição calculam.

A tabela lhe dá momentos de extremidade; o projeto vive em lê-los. Quatro números importam neste pórtico, e cada um diz algo físico.

• O momento no joelho, 81,24 kN·m. É o maior momento do pórtico e o que dimensiona as barras no beiral. É negativo, então a fibra externa do canto está tracionada: a mesa do lado de fora do joelho, e a ligação ali, tem que carregá-lo.
• O momento na base, 40,55 kN·m. Exatamente metade do joelho, porque uma extremidade engastada recebe metade por transmissão. É o que faz da base uma ligação de momento e dimensiona os chumbadores e a placa de base. Rotule os pés e este momento some, mas o momento no joelho sobe para compensar.
• O momento no meio do vão, 78,76 kN·m. O pico positivo na viga. Note que numa viga biapoiada de 8 m sob a mesma carga ele seria wL²/8 = 160 kN·m. A ação de pórtico rígido quase o reduz à metade, porque agora os joelhos carregam um momento negativo que uma viga simples não pode.
• O empuxo horizontal, 24,4 kN. O pórtico quer se abrir sob gravidade, e os pés engastados empurram de volta. Esse empuxo para dentro é força real na fundação, e esquecê-lo é um erro clássico de sapata.

Entre o joelho e o meio do vão o momento da viga passa por zero: um ponto de inflexão, onde a face tracionada muda do topo do joelho para a base do vão. Na nossa viga ele fica a cerca de 1,2 m de cada joelho. Os pilares têm o seu também, a cerca de 1,7 m acima de cada base. Esses pontos marcam onde a mesa contida muda e onde você poderia emendar uma barra com pouco momento a transferir, a mesma leitura que governa um diagrama de momento fletor em qualquer barra.

Tudo até aqui funcionou porque o pórtico não se moveu para o lado. A simetria comprou isso. Agora empurre o mesmo pórtico com uma carga horizontal de vento de 20 kN no beiral e a simetria acaba: o pórtico translada, a viga inteira desliza para o lado, e cada nó ganha um momento extra dessa translação. O puro equilibrar-e-transmitir já não converge para a resposta, porque a própria translação lateral contribui com momentos que os valores de engastamento nunca contabilizaram.

A cura à mão é uma distribuição de momentos em duas etapas. Primeiro resolva o pórtico sem translação segurando a viga contra o deslocamento com um escoramento imaginário, e registre a força do escoramento. Depois solte o escoramento: aplique uma translação arbitrária, distribua os momentos que ela causa, e escale essa segunda solução para que sua força de escoramento cancele exatamente a primeira. Some as duas e você tem o pórtico real. Funciona, é exato, e praticamente dobra a aritmética, que é justamente onde um escritório ocupado pega um solver.

Rode nosso caso de vento mais gravidade pelo motor da CalcSteel e a inclinação salta aos números:

• Joelho a sotavento ≈ 101 kN·m contra um joelho a barlavento ≈ 61 kN·m. Só sob gravidade os dois eram 81,24; o vento levanta um e alivia o outro.
• Os momentos de base também se dividem, cerca de 71 kN·m no pé a sotavento contra 10 kN·m no pé a barlavento.
• As reações horizontais somam −20 kN, equilibrando o empurrão do vento exatamente, enquanto as reações verticais ainda somam os 160 kN de gravidade.

Este é o limite honesto do método à mão. A distribuição de momentos sem dúvida resolve um pórtico com translação, e gerações de engenheiros o fizeram, mas um pórtico de vários andares e vários vãos com várias combinações de carga é onde as tabelas viram um dia inteiro de trabalho e um solver vira um clique. A mesma física, rodada pelas combinações de vento e pelo método dos elementos finitos, é o que uma ferramenta como a calculadora de pórticos faz por você.

Uma tabela de distribuição de momentos não é o destino. Sua saída, o momento no joelho, é a solicitação contra a qual você dimensiona o aço. A desigualdade que governa é a mesma que fecha todo dimensionamento à flexão: a seção precisa oferecer mais capacidade que a solicitação.

W ≥ M / f_yd

Aqui M é o momento de projeto saído da tabela, para este pórtico os 81,24 kN·m do joelho, f_yd é a tensão de escoamento de projeto (o escoamento característico dividido pelo coeficiente do material, γ_a1 na NBR 8800 ou embutido no φ da AISC 360), e W é o módulo de resistência que você consulta numa tabela de perfis. Invertendo, a capacidade da barra é M_Rd = W · f_yd, e o dimensionamento é válido quando M_Rd ≥ M_Sd.

Qual módulo você usa depende da classe da seção. Uma seção compacta atinge a rótula plástica completa, então você dimensiona pelo módulo plástico Z (W_pl na NBR e no Eurocode) e pelo momento plástico M_pl = Z · f_yd. Uma seção não compacta ou esbelta flamba localmente antes de escoar por inteiro, então você fica limitado ao módulo elástico W_el. A razão Z / W_el, aproximadamente 1,12 a 1,18 para um perfil I laminado em torno do eixo forte, é capacidade que você usa ou deixa na mesa.

Um alerta específico de pórticos. A barra do joelho é pilar e viga ao mesmo tempo: ela carrega esforço normal junto com flexão, não só flexão. Então a verificação real no beiral é uma interação de esforço normal e flexão, e o pilar ainda tem que passar na flambagem sob aquele esforço normal. Na CalcSteel isto é automático: a mesma rodada de MEF que produz os momentos classifica cada seção, aplica a sua norma e colore cada barra pela sua utilização, M_Sd / M_Rd, de modo que você vê num relance quais barras governam o pórtico.

O método é só aritmética, mas um punhado de deslizes responde pela maioria das respostas erradas. Rode esta lista antes de confiar numa tabela.

• Usar 4EI/L numa extremidade rotulada. Uma barra cuja extremidade oposta é um apoio simples tem rigidez de 3EI/L, não 4EI/L. Use a errada e todo fator de distribuição naquele nó fica torto. Melhor ainda, libere a rótula primeiro e transmita o seu momento de volta uma vez.
• Erros de sinal nos momentos de engastamento. As duas extremidades de uma barra carregada empurram em sentidos opostos. Escolha uma convenção de sinal, horário positivo é comum, e mantenha do primeiro lançamento ao último, ou o equilíbrio vai brigar consigo mesmo.
• Parar a iteração cedo demais. As transmissões encolhem mas não zeram. Pare enquanto ainda são alguns por cento do total e seus momentos de extremidade ainda estão visivelmente escorregando. Continue até um ciclo inteiro não mudar nada na sua precisão.
• Esquecer a transmissão. Equilibrar um nó e não mandar metade à extremidade oposta desacopla a estrutura e lhe dá um conjunto de vigas independentes, não um pórtico. A transmissão é o pórtico.
• Ignorar a translação. Um pórtico que não seja simétrico em geometria e em carga vai se inclinar, e uma distribuição sem translação sozinha está errada para ele. Ou acrescente a correção de translação ou use um solver que a inclua.
• Tratar um joelho rígido como rótula. Modele o canto como articulação e você apaga o momento de 81 kN·m do joelho, subestima muito os pilares e lê completamente errado como o pórtico carrega.

A distribuição de momentos é exata ou aproximada?

O método em si é exato: levado à convergência plena, dá a mesma resposta que os deslocamentos angulares ou o método dos elementos finitos, porque impõe o mesmo equilíbrio e a mesma compatibilidade. O que é aproximado é onde você para. Cada ciclo é uma aproximação mais próxima, e você trunca quando as transmissões restantes ficam abaixo da precisão que lhe importa. Para o nosso pórtico, cinco ciclos alcançam o valor do motor com erro menor que 0,1%.

Como ela difere dos deslocamentos angulares?

Resolvem o mesmo problema e chegam à mesma resposta. Os deslocamentos angulares escrevem uma equação de compatibilidade em cada nó e resolvem o sistema, então é compacto mas exige álgebra à mão. A distribuição de momentos nunca forma essas equações: chega à solução por iteração, um nó de cada vez, e é por isso que uma pessoa dá conta de um pórtico grande só com uma tabela. Veja o nosso exemplo resolvido de deslocamentos angulares para o outro caminho numa estrutura parecida.

Por que o momento da viga caiu de 106,67 para 81,24 kN·m?

Porque os joelhos ficaram livres para girar. Os 106,67 kN·m eram o valor de engastamento, o que a viga carrega se os nós não puderem virar. Liberá-los deixou os pilares tomarem uma parcela do momento pela sua rigidez, então a extremidade da viga relaxou. O momento não sumiu: ele se mudou para os pilares e desceu para as bases. Essa redistribuição é a razão de ser de um pórtico rígido.

Ainda dá para resolver um pórtico à mão hoje?

Sim, e vale fazer ao menos uma vez. Um pórtico de um vão sem translação é uma tabela de quinze minutos, e constrói a intuição que nenhum solver lhe entrega: qual barra é rígida, para onde o momento quer fluir, por que uma mudança nos pilares move o joelho. Depois deixe o software carregar o volume. Essa combinação, sensibilidade à mão mais velocidade de máquina, é exatamente como as estruturas hiperestáticas são tratadas na prática.

Você pegou um pórtico que a estática não alcança e o resolveu com nada além de uma razão de rigidez e paciência, do mesmo jeito que o século XX fez. Aqui está o que levar.

• Trave, libere, convirja. Trave cada nó para os momentos de engastamento, depois libere os nós um a um. Equilibre o desequilíbrio pelo fator de distribuição, transmita metade à extremidade oposta e itere até as correções se apagarem.
• Três números comandam. O momento de engastamento (wL²/12 sob carga uniforme), o fator de distribuição (k / Σk, usando 3EI/L numa rótula) e o fator de transmissão (1/2). Todo o resto é uma tabela.
• Pórticos redistribuem. O momento de engastamento de 106,67 kN·m da nossa viga relaxou para um joelho de 81,24 kN·m conforme os pilares tomaram sua parcela, e o meio do vão quase reduziu à metade contra uma viga simples. Essa repartição é o que torna os pórticos rígidos eficientes.
• A simetria é um presente, a translação é a pegadinha. Um pórtico simétrico sob carga simétrica não se inclina, e a distribuição pura é exata. Acrescente o vento e o joelho a sotavento salta para cerca de 101 kN·m; aí você precisa da correção de translação, ou de um solver.
• O momento é o começo do projeto. O momento no joelho define o módulo de resistência necessário, a classe decide entre Z plástico e W_el elástico, e uma barra de pórtico é verificada para esforço normal mais flexão, não só flexão.

Agora faça um à mão, depois confira em segundos. Lance seu próprio vão, altura, vinculação de base e cargas na calculadora de pórticos gratuita e veja o momento no joelho se mover conforme você muda o pórtico. Quando o pórtico crescer para um edifício de verdade, a CalcSteel roda o mesmo motor de MEF sobre a estrutura inteira no seu navegador, num plano genuinamente gratuito, com todo diagrama, classe de seção e verificação de norma incluídos. Estudantes têm tudo liberado pela CalcSteel Education, de graça. Hardy Cross teria adorado a velocidade com que a tabela roda agora.