Linhas de Influência: Onde Posicionar a Carga para a Viga Sofrer o Máximo

Pergunte a um aluno de primeiro ano onde uma viga biapoiada sente o maior momento fletor e a resposta vem rápido: no meio. Pergunte onde colocar uma única carga errante para tornar esse momento tão grande quanto possível, e os mais confiantes ainda dizem o meio, e desta vez estão certos, mas por uma razão que normalmente não conseguem provar. Leve a pergunta para uma viga de piso de dois vãos, ou para um trilho de ponte rolante com duas rodas rolando sobre ele, e a intuição silenciosamente se esgota. Carregar todos os vãos parece conservador e acaba não sendo. Centralizar um par de rodas parece óbvio e acaba estando ligeiramente errado.

Uma linha de influência é o instrumento que resolve todas essas questões com uma única figura. É o gráfico de um único efeito escolhido, digamos a reação em um apoio, ou o momento fletor em uma seção transversal específica, à medida que uma carga unitária percorre a estrutura de uma extremidade à outra. Leia-a corretamente e ela lhe diz exatamente onde posicionar a carga para tornar esse efeito máximo, e quão grande será esse máximo. Esta é a ferramenta por trás de todo cálculo de viga de rolamento, de toda faixa de carga móvel de ponte e de toda regra de carregamento alternado de uma norma de piso de concreto ou de aço.

Tudo o que segue é conferido contra o motor de elementos finitos do CalcSteel, o mesmo solver que alimenta a calculadora de diagramas de esforço cortante e momento fletor gratuita. Você mesmo pode operar essa ferramenta ao final do artigo e observar um momento mudar enquanto desliza a carga.

Uma linha de influência para uma resposta R é um gráfico cujo eixo horizontal é a posição de uma carga unitária móvel e cujo eixo vertical é o valor que R assume para essa posição da carga. Uma linha de influência descreve apenas uma resposta: a reação em A, ou o cortante na seção C, ou o momento na seção C, cada uma tem a sua própria linha de influência separada.

Esta é a única distinção que confunde as pessoas, então vale a pena enunciá-la devagar. Um diagrama de momento fletor e uma linha de influência parecem semelhantes, ambos são curvas desenhadas sob uma viga, mas respondem a perguntas opostas:

• Um diagrama de momento fixa a carga e varia a seção: o arranjo de carga fica congelado, e a curva mostra o momento em cada ponto ao longo da viga para aquele único arranjo.
• Uma linha de influência fixa a seção e varia a carga: a seção fica congelada (digamos, o meio do vão), e a curva mostra o momento naquela única seção à medida que a carga se move por toda parte.

Portanto o eixo horizontal carrega um significado diferente em cada caso. Em um diagrama de momento é a coordenada do ponto onde você lê o momento. Em uma linha de influência é a coordenada onde você posiciona a carga. A ordenada de uma linha de influência é uma sensibilidade: ela diz o quanto o efeito escolhido cresce por unidade de carga situada naquela posição. Essa interpretação, efeito por unidade de carga em uma posição, é o que torna as linhas de influência a ferramenta certa no momento em que as cargas começam a se mover.

Tome uma viga biapoiada de vão L = 8 m, com apoio fixo em A e apoio de rolete em B, e escolha uma seção interior C em a = 3 m a partir de A, de modo que b = 5 m até B. Vamos construir três linhas de influência: para a reação da esquerda R_A, para o cortante V_C e para o momento M_C. Em cada caso imagine uma única carga unitária descendente (1 kN) posicionada na posição x, e registre o efeito.

Reação R_A: uma linha reta

A estática dá R_A = (L − x) / L diretamente. Quando a carga está sobre A, ela toma tudo (ordenada 1,0); quando está sobre B, A não carrega nada (ordenada 0). A linha de influência é uma reta com inclinação de 1 descendo a 0. O CalcSteel confirma ponto a ponto: 1,000 em A, 0,750 em x = 2 m, 0,500 no meio do vão, 0,000 em B.

Momento M_C: um triângulo com pico em ab/L

Com a carga à direita de C, M_C = R_A·a = a(L − x)/L; com ela à esquerda, M_C = R_B·b = b·x/L. Ambos os ramos são retos e se encontram em C, onde a ordenada atinge seu máximo, o clássico a·b/L = 3 × 5 / 8 = 1,875 m. O motor retorna exatamente 1,875 em C, diminuindo até zero em ambos os apoios. A forma é um triângulo cujo ápice fica sob a seção.

Cortante V_C: dois triângulos com um salto unitário

Esta é a linha de influência que os alunos erram com mais frequência. Logo à direita de C a ordenada é +b/L = +0,625; logo à esquerda é −a/L = −0,375; as duas são separadas por um salto vertical de exatamente 1,0 em C, a marca da carga unitária cruzando a seção. O cortante do CalcSteel logo à direita de C lê 0,625 e logo à esquerda lê −0,375, coincidindo com a teoria em três casas decimais.

Estas não são apenas formas elegantes. Elas são a matéria-prima de toda decisão de carregamento que se segue, e o fato de o motor de elementos finitos reproduzir exatamente as ordenadas de forma fechada é o que permite confiar nele nos casos mais difíceis onde não existe forma fechada.

Uma linha de influência só vale a pena ser desenhada por causa de duas regras que a transformam em um número. Ambas decorrem do fato de que sua ordenada é o efeito produzido por uma carga unitária naquela posição, e de que a estrutura é linear, de modo que os efeitos se somam.

Regra 1, uma carga concentrada. Uma carga concentrada de magnitude P na posição x produz uma resposta igual a P multiplicado pela ordenada da linha de influência em x. Duas consequências surgem. Primeira, para maximizar a resposta você desliza a carga até a posição da maior ordenada. Segunda, o valor máximo é simplesmente P vezes essa ordenada de pico. Para M_C na viga acima, uma carga de 50 kN posicionada em C dá 50 × 1,875 = 93,75 kN·m.

Regra 2, uma carga distribuída. Uma carga uniforme de intensidade w sobre algum comprimento produz uma resposta igual a w multiplicado pela área sob a linha de influência abaixo do comprimento carregado. Esta é a regra que subverte a intuição, porque a linha de influência muitas vezes tem regiões tanto positivas quanto negativas. Para tornar a resposta a maior possível em uma direção, você carrega apenas as partes do vão onde a ordenada tem aquele sinal, e deixa deliberadamente o restante descarregado. Uma carga móvel que pode estar em qualquer lugar deve ser posicionada onde causa mais dano, não espalhada por toda parte por reflexo.

A Regra 2 é toda a justificativa para o carregamento alternado, também chamado de carregamento em xadrez ou de alternância de vãos, no dimensionamento de pisos. Nós a veremos decidir uma viga contínua real dois exemplos adiante.

Agora deixe uma única carga de P = 50 kN rolar ao longo da mesma viga biapoiada de 8 m e faça a pergunta central: entre todas as posições possíveis, onde a viga está pior, e quão ruim fica? A Regra 1 diz que o momento máximo em qualquer seção fixa ocorre com a carga naquela seção, dando P·a·b/L para uma seção em a. Mas a própria seção agora também é uma escolha livre, então buscamos a posição que maximiza P·a·b/L sobre todas as seções, e a·b/L é máximo quando a = b = L/2.

A resposta é portanto o meio do vão, e o valor é o famoso M_max = P·L/4 = 50 × 8 / 4 = 100 kN·m. Varrendo a carga ao longo da viga no motor do CalcSteel e registrando o momento de pico em cada posição, traça-se uma corcova suave que atinge o topo em exatamente 100 kN·m com a carga em x = 4 m, e cai simetricamente em direção aos apoios. Posicione a mesma carga de 50 kN na seção do quarto de vão C que usamos antes e o pior que ela pode fazer ali é 93,75 kN·m, genuinamente menos que 100.

Então a resposta honesta de uma linha para o título, para uma única carga em uma viga biapoiada, é: posicione-a no meio do vão. Esse é todo o conteúdo da linha de influência do momento para a seção do meio do vão, cuja ordenada de pico é L/4. A razão pela qual isso importa é que quase nada no dimensionamento real é uma única carga em uma viga biapoiada, e no momento em que você adiciona um segundo apoio ou uma segunda roda, a resposta se desloca para algum lugar que você não teria adivinhado.

Escrever equações para cada ramo funciona em uma viga biapoiada, mas torna-se penoso em uma contínua. Felizmente há um atalho que é um dos resultados mais elegantes da análise estrutural, e é onde vive a história do assunto. O engenheiro alemão Emil Winkler introduziu as linhas de influência por volta de 1868 exatamente para o problema de cargas ferroviárias móveis em pontes. Duas décadas depois Heinrich Müller-Breslau formulou o princípio qualitativo que ainda leva seu nome.

O princípio de Müller-Breslau: para obter a linha de influência de qualquer reação ou esforço interno, remova a restrição que carrega esse esforço, imponha um deslocamento (ou rotação) unitário na liberação no sentido positivo do esforço, e a configuração deformada resultante da estrutura é a linha de influência para esse esforço.

Leia-o devagar com as três linhas do exemplo 1. Para a reação R_A, remova o apoio A e levante-o em uma unidade: a viga gira como uma reta rígida em torno de B, que é exatamente a linha de influência reta de 1 a 0. Para o momento em C, insira uma rótula em C e gire uma unidade: os dois segmentos se dobram no triângulo que desenhamos. Para o cortante em C, corte a viga em C e deslize um lado para cima em relação ao outro em uma unidade: os dois ramos se separam por aquele salto unitário. As formas surgem da geometria deformada, sem nenhuma álgebra de equilíbrio.

O verdadeiro benefício é que o princípio não se importa se a estrutura é estaticamente determinada. Para uma viga contínua a forma liberada é uma curva suave em vez de segmentos retos, mas ainda é a linha de influência, e ainda lhe diz, pelo seu sinal, quais vãos carregar. É precisamente disso que precisamos a seguir.

É aqui que a intuição de um aluno de primeiro ano se quebra e as linhas de influência conquistam seu lugar em toda norma. Tome uma viga contínua de dois vãos, cada vão L = 6 m, carregando uma carga móvel uniforme de w = 15 kN/m que pode ou não estar presente em cada vão. Três apoios: A na extremidade esquerda, M no meio, C na extremidade direita. A pergunta não é o que faz um arranjo de carga, mas qual arranjo é o pior para cada efeito.

Por Müller-Breslau, a linha de influência do momento positivo no meio do vão esquerdo é positiva sobre o vão esquerdo e negativa sobre o vão direito. A Regra 2 então diz: para maximizar esse momento positivo, carregue apenas o vão esquerdo e deixe o vão direito vazio. O motor do CalcSteel confirma o resultado com precisão:

• Ambos os vãos carregados: o momento positivo no meio do vão é 37,97 kN·m (o valor de manual 9wL²/128), e o momento negativo sobre o apoio central é −67,5 kN·m (wL²/8).
• Apenas o vão esquerdo carregado: o momento positivo no meio do vão sobe para 51,56 kN·m, cerca de 36 por cento a mais, mesmo havendo agora menos carga total sobre a viga.

Carregar a viga inteira, o movimento conservador instintivo, na verdade alivia o vão com que você se preocupava, porque a carga no vão distante empurra o apoio compartilhado para cima e flexiona o vão próximo de volta. A linha de influência antecipou isso pela sua mudança de sinal.

E o pior caso é diferente para cada efeito. O momento negativo de pico sobre o apoio central quer ambos os vãos carregados (−67,5 kN·m), porque essa linha de influência é negativa sobre os dois. Há uma armadilha no final também: com apenas o vão esquerdo carregado, o motor reporta a reação distante em C como −5,625 kN, uma tração para baixo, significando que a viga tenta se levantar do seu apoio de extremidade. Uma carga em um vão pode levantar a outra extremidade, um detalhe que as linhas de influência tornam óbvio e que um único caso de carga esconde. É por isso que diagramas sozinhos não bastam quando uma estrutura é contínua.

O último caso é o que paga as contas de qualquer um que dimensiona uma viga de rolamento ou uma viga principal de ponte: não uma carga, mas um conjunto de cargas com espaçamento fixo rolando juntas. Tome duas rodas de 40 kN cada, a 2 m de distância, sobre uma viga biapoiada de vão L = 10 m. Onde ao longo da viga o par deve ficar para produzir o momento fletor máximo absoluto, e quanto vale?

A resposta tentadora é centralizar o par no vão, rodas em 4 m e 6 m. Faça isso e o motor reporta um momento máximo de 160 kN·m. Mas não é o verdadeiro máximo. O critério exato, que vem direto da linha de influência do momento para uma seção móvel, é a regra da bissecção da resultante: o momento máximo absoluto ocorre sob a roda mais próxima da resultante do grupo, quando essa roda e a resultante estão posicionadas equidistantes da linha de centro do vão.

A resultante de duas rodas iguais de 40 kN fica a meio caminho entre elas, a 1 m de cada. Colocar uma roda 0,5 m além da linha de centro deixa essa roda e a resultante simétricas em relação ao meio do vão. Isso significa rodas em 3,5 m e 5,5 m, e a varredura do CalcSteel confirma que o máximo ali é 162 kN·m, sob a roda em 5,5 m. Aqui é apenas 2 kN·m acima do palpite centralizado, mas o princípio é exato, e para rodas desiguais ou espaçamento maior a diferença entre o palpite ingênuo e o verdadeiro máximo cresce o suficiente para mudar uma seção.

Esta é toda a razão pela qual as linhas de influência existem como ferramenta de engenharia e não como curiosidade de sala de aula. Um fabricante de ponte rolante lhe dá as cargas e os espaçamentos das rodas; a linha de influência, somada à regra da bissecção da resultante, lhe diz onde no trilho elas causam o pior e quão grande é o momento de dimensionamento, sem precisar testar cada posição à mão.

A maneira mais rápida de sentir uma linha de influência é tornar-se a carga móvel. Na calculadora abaixo, monte uma viga, coloque uma carga concentrada e arraste-a ao longo do vão enquanto observa o diagrama de momento fletor ser redesenhado. O pico do momento em qualquer seção escolhida, traçado enquanto você desliza a carga, é a linha de influência dessa seção, exatamente o experimento por trás de cada número deste artigo. Mude a viga para dois vãos e você poderá observar o efeito do carregamento alternado do exemplo 3 aparecer diante de você.

Ela roda no seu navegador, sem cadastro para a matemática, no mesmo motor de elementos finitos que produziu cada figura verificada acima. Quando estiver pronto para passar de uma única viga para um pórtico completo, o mesmo solver verifica as barras segundo a AISC 360, o Eurocode 3 e a NBR 8800.

As linhas de influência respondem à pergunta que os diagramas de cortante e momento não conseguem: não como uma carga fixa flui por uma estrutura, mas onde uma carga móvel deve estar para prejudicá-la ao máximo. A receita é curta e nunca muda. Desenhe a linha de influência para o único efeito que lhe interessa, por estática em estruturas simples ou pela configuração deformada de Müller-Breslau em qualquer coisa mais difícil. Depois leia-a: posicione as cargas concentradas na maior ordenada, e posicione as cargas distribuídas sobre as regiões cujo sinal você deseja, deixando o restante vazio.

Três resultados vale a pena levar deste artigo. Uma única carga em uma viga biapoiada é pior no meio do vão, PL/4. Uma viga contínua pede carregamento alternado, um vão aqui, ambos os vãos ali, com um padrão diferente para cada efeito, e carregar tudo não é conservador. Um trem de rodas é pior não quando centralizado, mas na posição de bissecção da resultante. Cada um destes já custou aos engenheiros páginas de posições de tentativa; cada um sai direto de uma linha de influência.

O software moderno constrói essas envoltórias automaticamente, varrendo as cargas pelo modelo e reportando o pior caso por barra, que é o que transforma um método manual trabalhoso em uma verificação de rotina. Comece com a calculadora de cortante e momento para construir a intuição, confira suas reações e seus momentos à mão, e deixe o modelo cuidar da contabilidade quando as cargas começarem a se mover.