O método dos deslocamentos (slope-deflection): uma viga de aço de dois vãos resolvida à mão

Em algum ponto da segunda metade de um curso de análise estrutural, Estruturas I ou Análise Estrutural ou seja lá como a sua grade chama, o assunto deixa de ser desenhar corpos livres e passa a ser uma pergunta mais difícil: como você encontra os esforços numa viga que a estática sozinha não consegue resolver? A primeira resposta completa que a maioria dos estudantes encontra é o método dos deslocamentos (slope-deflection), e ele compensa cada hora que você gasta nele, porque é exatamente a ideia que o seu software de análise executa milhões de vezes por segundo sem nunca te contar.

O método tem uma ideia central. Em vez de perseguir esforços, você adota os deslocamentos como incógnitas: as rotações dos nós. Você escreve os momentos de extremidade de cada barra como função dessas rotações, impõe o equilíbrio em cada nó e resolve um pequeno sistema de equações lineares para as rotações. Faça a retrosubstituição e cada momento de extremidade aparece. É o método inteiro, e ele é o ancestral manual da matriz de rigidez.

Este guia resolve um problema por completo: uma viga contínua de aço de dois vãos, com vãos desiguais, uma carga distribuída em um e uma carga concentrada no outro. Nós a montamos, contamos o grau de hiperestaticidade, escrevemos as equações do slope-deflection, resolvemos as rotações dos nós e lemos os momentos. Depois entregamos a mesma viga ao motor de elementos finitos que vem dentro do CalcSteel e o vemos reproduzir cada número com três casas decimais. Há uma calculadora ao vivo na página para você mesmo testar.

Escrevemos para três leitores. Se você é estudante, este é o exemplo resolvido que finalmente faz o método fazer sentido. Se você é um calculista atuante ou autônomo, é a conferência por trás da caixa-preta, aquilo que permite confiar, ou pegar o erro, no que o software devolve. E se você só apertou Analisar até hoje, é isto o que o software está de fato fazendo.

O método dos deslocamentos (slope-deflection) é um método de deslocamentos: adota como incógnitas primárias as rotações desconhecidas dos nós, e quando um pórtico pode se deslocar lateralmente também as translações dos nós, e expressa cada momento de extremidade de barra como função linear delas. É o oposto dos métodos das forças, trabalho virtual ou método da flexibilidade, que tomam as forças redundantes como incógnitas. Escolher os deslocamentos é o que o torna escalável, e o que o torna o ancestral direto da análise matricial e por elementos finitos.

Três grandezas aparecem em todo cálculo de slope-deflection, e entendê-las bem já é a maior parte do método:

• Rotações dos nós θ. Cada nó rígido gira de um certo ângulo sob a carga. Essas são as incógnitas que você resolve. Uma viga contínua sobre apoios simples tem uma incógnita de rotação em cada apoio interno, e uma em cada extremidade simples até você simplificá-las.
• Momentos de engastamento perfeito (FEM). Os momentos que um vão desenvolveria nas extremidades se ambas estivessem perfeitamente engastadas, calculados só a partir da carga. São o ponto de partida: a carga aplicada entra no método apenas pelos FEMs.
• Rigidez da barra 2EI/L. O quanto uma barra resiste a ter as extremidades giradas. Barras mais rígidas ou mais curtas atraem mais momento, e é por isso que uma estrutura hiperestática reparte a carga pela rigidez relativa.

A convenção de sinais não é opcional nem negociável. Momentos de extremidade no sentido horário são positivos. Todo momento de extremidade, todo momento de engastamento perfeito, toda rotação é medida com a mesma regra de horário positivo, e a maneira mais comum de estragar uma solução de slope-deflection é deixar uma convenção de momento fletor positivo tracionando a fibra inferior vazar para dentro dela no meio do caminho. Mantenha as duas separadas: resolva em momentos de barra positivos no sentido horário e só depois, bem no final, converta para o diagrama de momento fletor com positivo tracionando a fibra inferior.

O método dos deslocamentos (slope-deflection) não é um truque moderno. É uma ponte histórica específica entre a estática manual e o computador, e conhecer essa linhagem explica por que ele tem a cara que tem.

• 1880, Heinrich Manderla escreve os momentos de extremidade de barra em função das rotações das extremidades para calcular tensões secundárias nos nós de treliça, a primeira aparição da ideia central.
• 1892, Otto Mohr e Emil Winkler a desenvolvem mais, ainda no contexto das tensões secundárias em estruturas reticuladas.
• 1914, Axel Bendixen aplica a ideia dos deslocamentos de forma sistemática a pórticos rígidos e dá nome ao método: o método dos deslocamentos (slope-deflection).
• 1915, George A. Maney o apresenta na forma ainda ensinada hoje para estruturas de nós rígidos, e ele se torna um método de análise padrão nos Estados Unidos.
• 1930, Hardy Cross publica a distribuição de momentos, uma forma iterativa de resolver exatamente as mesmas equações de equilíbrio dos nós sem inverter uma matriz à mão, e ela domina os escritórios de cálculo por uma geração.
• Décadas de 1950 e 1960, a análise matricial de estruturas e o método dos elementos finitos generalizam as equações do slope-deflection na matriz de rigidez. Cada incógnita de rotação vira um grau de liberdade, cada 2EI/L vira um termo de K, e as equações de equilíbrio dos nós viram Ku = F.

Esta é a conclusão para levar pelo resto do artigo: quando um solver de elementos finitos monta a matriz de rigidez e resolve as rotações nodais, ele está fazendo exatamente o que você está prestes a fazer à mão, só que com mais graus de liberdade e sem escorregões de aritmética. O método dos deslocamentos (slope-deflection) é o código-fonte legível da caixa-preta.

Tudo se reduz a uma equação, escrita uma vez para cada extremidade de cada barra. Para uma barra que vai de uma extremidade próxima n a uma extremidade distante f, o momento na extremidade próxima é:

M_nf = (2EI / L)(2θ_n + θ_f − 3ψ) + FEM_nf

Leia termo a termo, porque cada termo é um efeito físico:

• (2EI / L) é a rigidez rotacional da barra. Barras longas e flexíveis contribuem pouco, barras curtas e rígidas dominam.
• 2θ_n + θ_f acopla as duas extremidades. Girar a extremidade próxima aumenta o momento dela mesma duas vezes mais do que girar a extremidade distante, a transmissão de 2 para 1 que também aparece na distribuição de momentos como um coeficiente de transmissão de um meio.
• − 3ψ é o termo de rotação da corda, em que ψ = Δ / L é a rotação de corpo rígido do eixo da barra causada por uma extremidade recalcar, ou o pórtico se deslocar lateralmente, de Δ. Numa viga sem movimento de apoio, ψ = 0 e o termo desaparece. É o termo que deixa o slope-deflection tratar recalque e deslocamento lateral diretamente, o que os métodos das forças puros não fazem de forma tão limpa.
• FEM_nf é o momento de engastamento perfeito naquela extremidade, o único lugar por onde a carga aplicada entra.

Há uma simplificação que vale ouro. Quando a extremidade distante de uma barra é um apoio simples, uma rótula ou apoio móvel com momento nulo conhecido, você pode eliminar a rotação dela de antemão e usar a equação modificada do slope-deflection:

M_nf = (3EI / L)(θ_n − ψ) + (FEM_nf − FEM_fn / 2)

Isso elimina uma incógnita por extremidade rotulada, e é por isso que uma viga contínua com extremidades simples se reduz apenas às rotações dos apoios internos. Usamos as duas formas abaixo para você vê-las concordar.

A carga nunca toca numa rotação diretamente. Ela entra apenas pelos momentos de engastamento perfeito, os momentos que cada vão desenvolveria nas extremidades se ambas estivessem totalmente engastadas contra a rotação. Você os consulta em tabela, e para as duas cargas do nosso problema eles são os dois casos mais comuns de qualquer tabela:

• Carga uniforme w num vão L: FEM = ± wL² / 12, anti-horário (negativo) na extremidade esquerda e horário (positivo) na extremidade direita.
• Carga concentrada P no meio de um vão L: FEM = ± PL / 8, com o mesmo padrão de sinais.

Para a nossa viga isso dá, antes de qualquer rotação ser conhecida:

• Vão AB, w = 20 kN/m, L = 6 m: FEM_AB = − 20 × 6² / 12 = − 60 kN·m, FEM_BA = + 60 kN·m.
• Vão BC, P = 60 kN, L = 4 m: FEM_BC = − 60 × 4 / 8 = − 30 kN·m, FEM_CB = + 30 kN·m.

Repare no que são os momentos de engastamento perfeito: os momentos num mundo onde os nós não podem girar. A estrutura real não é esse mundo, então os seus nós de fato giram, e as equações do slope-deflection são a contabilidade que corrige os momentos de engastamento perfeito pela rotação que os nós realmente sofrem. É a lógica inteira numa frase.

Agora o método inteiro numa estrutura. Viga contínua A-B-C: apoio fixo em A, apoio móvel em B, apoio móvel em C, prismática com EI constante. O vão AB = 6 m recebe uma carga uniforme w = 20 kN/m, o vão BC = 4 m recebe uma carga concentrada no meio P = 60 kN.

Passo 1, conte as incógnitas

Três apoios numa viga contínua com extremidades simples: a contagem dá um grau de hiperestaticidade igual a um, um redundante, que você pode tomar como o momento sobre o apoio interno. Em termos de deslocamentos, as rotações livres são θ_A, θ_B, θ_C. Resolvemos o conjunto completo de três e depois mostramos que o atalho de uma incógnita dá a mesma resposta.

Passo 2, escreva os quatro momentos de extremidade de barra

Usando M_nf = (2EI / L)(2θ_n + θ_f) + FEM com ψ = 0 (sem movimento de apoio), e escrevendo a = EIθ_A, b = EIθ_B, c = EIθ_C para manter a álgebra limpa:

• M_AB = (2EI/6)(2θ_A + θ_B) − 60 = (2a + b)/3 − 60
• M_BA = (2EI/6)(2θ_B + θ_A) + 60 = (2b + a)/3 + 60
• M_BC = (2EI/4)(2θ_B + θ_C) − 30 = (2b + c)/2 − 30
• M_CB = (2EI/4)(2θ_C + θ_B) + 30 = (2c + b)/2 + 30

Passo 3, imponha o equilíbrio dos nós

Em cada apoio os momentos de extremidade das barras devem equilibrar o momento aplicado no nó, que aqui é zero. A e C são extremidades simples com uma única barra, então o momento de extremidade delas é zero. B é contínuo, então os dois momentos de barra ali devem somar zero:

• Nó A: M_AB = 0 ⇒ 2a + b = 180
• Nó C: M_CB = 0 ⇒ 2c + b = − 60
• Nó B: M_BA + M_BC = 0 ⇒ 2a + 10b + 3c = − 180

Passo 4, resolva as rotações

Das equações de A e C, a = 90 − b/2 e c = − 30 − b/2. Substitua as duas na equação de B e tudo se reduz a uma incógnita: 270 + 7.5b = 0, logo EIθ_B = b = − 36 kN·m². Recupere as outras: EIθ_A = 108 e EIθ_C = − 12 kN·m². As rotações dependem do EI, mas os momentos não vão depender, porque o EI se cancela numa viga prismática.

Passo 5, retrosubstitua para os momentos

Coloque as rotações de volta nas quatro equações:

• M_AB = (2×108 − 36)/3 − 60 = 180/3 − 60 = 0 (como tem que ser, A é uma extremidade livre)
• M_BA = (2×(−36) + 108)/3 + 60 = 36/3 + 60 = + 72 kN·m
• M_BC = (2×(−36) − 12)/2 − 30 = −84/2 − 30 = − 72 kN·m
• M_CB = (2×(−12) − 36)/2 + 30 = −60/2 + 30 = 0 (C é uma extremidade livre)

O nó B confere: +72 e −72 somam zero. O apoio interno carrega um momento negativo (no apoio) de 72 kN·m, e esse único número é o redundante que a contagem mandou esperar. O atalho de uma incógnita, usando a equação modificada 3EI/L nos dois vãos com extremidade rotulada, dá o mesmo EIθ_B = −36 e os mesmos 72 kN·m, que é a forma mais rápida de conferir sua álgebra.

A forma mais rápida de sentir o método é montar a viga você mesmo e ver a redistribuição acontecer. A calculadora abaixo é a ferramenta de viga real do CalcSteel, ao vivo nesta página. Comece com um único vão biapoiado e leia o momento parabólico bem-comportado. Depois acrescente um apoio interno para tornar a viga contínua, e veja surgir um momento negativo sobre esse apoio enquanto os momentos de vão caem: esse valor negativo é exatamente o redundante que o método dos deslocamentos (slope-deflection) resolve.

Mude os comprimentos dos vãos para que fiquem desiguais, como os nossos 6 e 4, e a simetria se quebra do jeito que quebra no exemplo resolvido: o vão mais curto e mais rígido puxa mais momento para o nó. Cada número que a ferramenta mostra vem das mesmas equações de rigidez que você acabou de resolver à mão, só que montadas numa matriz em vez de escritas uma a uma.

É a coisa de verdade, gratuita, sem login para as contas. Se ela abrir em uma aba própria, aqui está o link direto para a calculadora de viga gratuita, e a sua companheira, a calculadora de diagrama de cortante e momento, desenha os diagramas completos para qualquer vão e carga.

Os momentos de extremidade são a parte difícil. Tudo depois deles é estática. Com o momento no apoio interno conhecido, corte a viga em B em dois vãos biapoiados, cada um carregando o momento negativo de 72 kN·m na sua extremidade B, e tome momentos.

Reações

No vão AB, a carga uniforme sozinha reparte 60 kN para cada extremidade; o momento negativo de 72 kN·m em B acrescenta um binário de 72 / 6 = 12 kN que tira 12 de A e coloca 12 em B, então este vão entrega 48 kN a A e 72 kN a B. No vão BC, a carga concentrada sozinha reparte 30 kN para cada extremidade; os mesmos 72 kN·m em B acrescentam 72 / 4 = 18 kN, então este vão entrega 48 kN a B e 12 kN a C. Somando em cada apoio:

• R_A = 48 kN (só do vão AB)
• R_B = 120 kN (72 de AB mais 48 de BC, o apoio interno fica com a maior parte)
• R_C = 12 kN (só do vão BC)

Elas somam 180 kN, que é a carga total aplicada: 20 × 6 + 60 = 180. Essa verificação não é opcional. Se as suas reações não somam a carga, os momentos de extremidade estão errados.

O diagrama de momento fletor

Agora com positivo tracionando a fibra inferior, o diagrama vai de 0 em A, sobe até um pico no vão AB onde o cortante cruza o zero em x = R_A / w = 48 / 20 = 2.4 m, alcançando + 57.6 kN·m, depois desce passando pelo zero até o momento negativo de − 72 kN·m sobre B, sobe de volta até + 24 kN·m sob a carga concentrada, e desce a 0 em C.

O motor concorda, com três casas decimais

Modelada como viga contínua no motor de elementos finitos (FEM) do CalcSteel, a mesma estrutura devolve R_A = 48.0, R_B = 120.0 e R_C = 12.0 kN, um momento no apoio B de − 72.0 kN·m, um pico de vão de + 57.6 kN·m em x = 2.4 m no AB, e + 24.0 kN·m sob a carga no BC. Cada número calculado à mão, reproduzido exatamente. Para o passo das reações em si, o guia de forças de reação em vigas percorre a estática, e o de diagramas de esforço cortante e momento fletor cobre o desenho do diagrama.

É aqui que o método dos deslocamentos (slope-deflection) ganha o seu lugar sobre os métodos da flexibilidade e do trabalho virtual na análise manual, e aquele termo −3ψ que você vem carregando é a razão. Como ψ = Δ / L é uma rotação de corpo rígido da barra, o método absorve um recalque de apoio ou um deslocamento lateral do pórtico como só mais um dado conhecido de entrada, sem nenhuma mudança na maquinaria.

Suponha que o apoio B recalque de Δ. Os dois vãos adquirem uma rotação de corda ψ = Δ / L, de sinal oposto porque B desce em relação a A de um lado e em relação a C do outro, e você simplesmente soma a contribuição −3(2EI/L)ψ aos momentos de extremidade afetados antes de resolver. As incógnitas, as rotações dos nós, ficam inalteradas; só os termos constantes se movem. Um recalque que uma viga isostática ignoraria, já que uma estrutura isostática não desenvolve esforços por movimento de apoio, produz momentos reais e às vezes governantes nesta viga hiperestática, e o método te entrega esses momentos diretamente.

O mesmo termo −3ψ, aplicado à translação horizontal do topo de um pórtico, é exatamente como o slope-deflection trata o deslocamento lateral, acrescentando uma equação de cortante por grau de liberdade de deslocamento lateral às equações dos nós. É a mesma informação que um solver captura quando monta a geometria do comportamento do pórtico, e se liga ao porquê de um pórtico estável ainda poder ser flexível demais, o assunto da discussão método manual versus método matricial. Como a nossa viga não tem movimento de apoio, ψ = 0 em toda parte e o termo dormiu, mas é o único recurso que faz o método valer o aprendizado para além da prova.

Três métodos que você encontra no mesmo curso são, na verdade, um só método em três níveis de automação, e enxergar isso poupa muita confusão.

• Slope-deflection escreve as equações de equilíbrio dos nós de forma explícita e as resolve diretamente. Exato e transparente, mas a álgebra cresce com o número de nós.
• Distribuição de momentos (Hardy Cross) resolve exatamente as mesmas equações de forma iterativa, travando e liberando os nós um a um, de modo que você nunca inverte uma matriz à mão. O seu coeficiente de transmissão de um meio é o acoplamento de 2 para 1 da equação do slope-deflection, e os seus fatores de distribuição são as rigidezes relativas 2EI/L. Mesma física, aritmética diferente.
• O método matricial da rigidez, e o método dos elementos finitos montam cada 2EI/L numa matriz de rigidez global K e resolvem Ku = F em um passo. As suas três equações de nó viram três linhas de K. É isto que o CalcSteel executa, e é por isso que o motor concordou com a solução manual até a terceira casa decimal: são as mesmas equações, resolvidas sem escorregões de aritmética.

Então o valor de fazer à mão uma vez não é nostalgia. É que você agora sabe, concretamente, o que são os números na sua tela e onde eles podem dar errado: um apoio digitado errado que muda uma equação de nó, um momento liberado que você não pretendia, uma rigidez fora por causa de uma seção errada. O método que você consegue conferir à mão é o método em que você pode confiar naqueles que não consegue. Para ver onde as soluções manuais deixam de ser práticas e a matriz assume de vez, leia por que o método manual para e o método matricial começa, e para a classificação que vem antes de tudo isso, contar os graus de determinação.

O método é mecânico, e é exatamente por isso que os erros são tão repetíveis. Passe por esta lista de conferência.

• Misturar convenções de sinais. O slope-deflection é horário positivo para os momentos de extremidade de barra. O diagrama de momento fletor é positivo tracionando a fibra inferior. Converta só no final. Escorregar entre as duas no meio da solução é a fonte número um de respostas erradas.
• Sinais errados no momento de engastamento perfeito. O FEM da extremidade esquerda de uma carga para baixo é anti-horário (negativo), o da extremidade direita é horário (positivo). Um sinal de FEM invertido se propaga para todas as rotações.
• Esquecer o termo de rotação da corda. Se um apoio recalca ou um pórtico se desloca lateralmente, ψ não é zero. Deixar o −3ψ de fora descarta momentos reais em silêncio.
• Tratar mal uma extremidade distante rotulada. Ou você carrega θ na rótula como uma incógnita genuína e impõe momento zero naquela extremidade, ou usa a equação modificada 3EI/L, mas não faça metade de cada.
• Supor que os momentos dependem do EI. Numa viga contínua prismática o EI se cancela e os momentos são puramente geométricos. O EI só afeta as rotações e flechas reais, não a distribuição de momentos.

O método dos deslocamentos (slope-deflection) precisa da seção, do E e do I?

Para os momentos numa barra prismática, não: o EI se cancela e os momentos de extremidade dependem só dos comprimentos dos vãos e das cargas. Você precisa do EI apenas se as barras têm rigidezes diferentes, caso em que o EI/L relativo importa, ou se você quer as rotações e flechas reais, ou se um apoio recalca, já que os momentos de recalque escalam com o EI.

Quantas incógnitas vou de fato resolver?

Uma rotação por nó rígido livre para girar, mais uma translação por deslocamento lateral independente. Usar a equação modificada para toda extremidade de apoio simples remove essas rotações de antemão, e é por isso que a nossa viga de três rotações se reduziu a uma única incógnita, EIθ_B.

Slope-deflection ou distribuição de momentos?

Eles dão respostas idênticas. O slope-deflection é melhor quando você quer um resultado exato em forma fechada ou tem um computador; a distribuição de momentos é mais rápida à mão para vigas de muitos vãos porque evita resolver equações simultâneas. A maioria das grades ensina o slope-deflection primeiro porque ele expõe a ideia de rigidez sobre a qual o método matricial é construído.

Você resolveu à mão uma viga genuinamente hiperestática e viu o motor confirmar. Leve estes pontos com você.

• É um método de deslocamentos. As incógnitas são as rotações dos nós, não as forças. Escreva cada momento de extremidade como M_nf = (2EI/L)(2θ_n + θ_f − 3ψ) + FEM, imponha o equilíbrio dos nós, resolva.
• A carga entra apenas pelos momentos de engastamento perfeito. wL²/12 para carga uniforme, PL/8 para carga concentrada no meio do vão. Todo o resto é rigidez e rotação.
• A nossa viga. Três rotações se reduziram a uma incógnita, EIθ_B = −36, dando um momento negativo de 72 kN·m sobre B, reações de 48, 120 e 12 kN, e picos de vão de +57.6 e +24 kN·m, todos reproduzidos pelo motor com três casas decimais.
• O termo −3ψ é a recompensa. Recalque e deslocamento lateral entram direto, algo que os métodos das forças não conseguem igualar no trabalho à mão.
• É a caixa-preta, tornada legível. A distribuição de momentos itera as mesmas equações; a matriz de rigidez e o método dos elementos finitos as montam em Ku = F. Fazer uma vez à mão é o que permite confiar no software, e pegá-lo quando um modelo está errado.

Agora monte a sua. Jogue uma viga contínua na calculadora de viga gratuita, acrescente e mova um apoio interno, e veja o momento negativo que você acabou de resolver surgir e se deslocar. Quando você estiver pronto para pórticos completos, o CalcSteel roda o mesmo motor de elementos finitos real em estruturas completas no seu navegador, de graça, com todas as reações, diagramas e verificações de norma incluídas. Estudantes têm tudo liberado pelo CalcSteel Education, de graça.