Recalque de Apoio: As Forças Que Uma Viga Contínua Inventa Quando um Pilar Afunda

Aqui está um resultado que abala todo estudante da primeira vez que o encontra. Pegue uma viga de aço contínua, aplique nenhuma carga, e deixe um de seus apoios afundar vinte milímetros. A viga passa a carregar um momento fletor real, grande o bastante para importar no dimensionamento, inventado a partir de um movimento sem força alguma por trás dele. Nada foi colocado sobre a viga. Um pilar embaixo dela simplesmente recalcou, e o aço se viu solicitado.

Isto é recalque de apoio, e é uma das lições mais afiadas de Análise Estrutural e Estruturas I. Só acontece em estruturas estaticamente indeterminadas, e é a prova mais clara de que uma estrutura hiperestática é um animal diferente de uma isostática. Uma viga simplesmente apoiada não se importa se um apoio cai: ela apenas gira e acompanha, sem se solicitar. Uma viga contínua sobre três ou mais apoios não pode girar livremente, então, quando um apoio se move, a viga é obrigada a fletir para permanecer conectada a todos eles, e fletir significa momento.

Vamos resolver tudo de ponta a ponta numa viga real: uma IPE 400 de dois vãos, vãos de 6 m, e um afundamento de 20 mm do apoio central. Você verá de onde vem o momento inventado, vai calculá-lo à mão com a fórmula 3EIΔ/L² e o método das forças, e depois observará o que acontece quando o recalque é somado a uma carga de gravidade comum. Cada número abaixo foi produzido pelo motor de elementos finitos do CalcSteel e conferido contra a forma fechada até a terceira casa.

Nós o escrevemos para três leitores. Se você é estudante, este é o exemplo resolvido que finalmente torna a indeterminação concreta. Se você é engenheiro atuante ou autônomo, é o raciocínio ao qual você recorre quando um relatório geotécnico lhe entrega um recalque diferencial e pergunta o que ele faz com o pórtico. E se você já se perguntou por que as normas fazem você verificar recalque afinal, este artigo é a resposta, numa viga só. A calculadora de vigas gratuita do CalcSteel roda no seu navegador sem login para a matemática, e você pode dimensionar os elementos que este artigo solicita.

Recalque é o movimento vertical para baixo de um apoio à medida que o solo abaixo dele se comprime sob carga. Toda fundação recalca um pouco; a pergunta é sempre quanto, e quão uniformemente. Importa dividi-lo em duas parcelas.

Recalque uniforme é quando todos os apoios de uma estrutura descem na mesma quantidade. O prédio inteiro desce como um bloco rígido único. Isso pode fissurar instalações e inclinar um piso em relação à rua, mas não coloca nenhuma força interna extra numa viga contínua, porque a viga mantém a mesma forma: se A, B e C caem 20 mm juntos, a viga não foi fletida em nada.

Recalque diferencial é o que solicita o aço. É o movimento relativo entre apoios, um pilar afundando mais que os vizinhos. É isso que flexiona uma viga contínua, e é o número que um relatório geotécnico está de fato tentando limitar quando cita uma distorção angular admissível, tipicamente algo como L/500 entre pilares adjacentes numa estrutura aporticada. Nosso exemplo resolvido é recalque diferencial puro: A e C mantêm seu nível, e só B desce.

A causa física vale ter em vista, porque decide quão permanente é o efeito. O recalque vem do solo adensando, de uma sapata dimensionada um pouco generosamente de um lado e apertada de outro, de uma nova carga ao lado, de um lençol freático que se moveu. Parte dele é imediata e parte se desenvolve ao longo de meses. Um momento inventado por recalque é uma força travada: diferente de uma carga variável, ele não vai e volta, ele fica na estrutura até o solo estabilizar ou a viga ser renivelada.

O fenômeno inteiro mora numa palavra: redundância. Uma estrutura é estaticamente indeterminada quando tem mais apoios (ou mais elementos) do que o equilíbrio estritamente precisa. Esses apoios extras são chamados de redundantes, e são exatamente sobre eles que o recalque age.

Olhe as duas vigas lado a lado. Uma viga simplesmente apoiada repousa sobre dois apoios, um pino e um rolete. Faça o rolete cair qualquer quantidade e a viga simplesmente gira em torno do pino como corpo rígido: permanece perfeitamente reta, sem curvatura, sem momento. É isostática, e só o equilíbrio fixa suas reações, então um movimento imposto não muda nada internamente. A viga tem liberdade suficiente para acompanhar o apoio.

Agora adicione um terceiro apoio no meio e você tem uma viga contínua, hiperestática de primeiro grau. Ela não tem mais a liberdade de permanecer reta quando um apoio se move. Faça o apoio central descer e a viga é puxada para baixo ali enquanto as extremidades são mantidas em cima; para permanecer conectada aos três ela precisa fletir numa forma de S, e essa curvatura é momento fletor. O apoio redundante é o que impõe a incompatibilidade, e a viga paga por isso em tensão.

É por isso que o recalque é um teste puro de indeterminação. O momento que ele inventa é proporcional a quão duro o redundante resiste ao movimento, que é a rigidez própria da viga. Esse é o significado físico do EI que está prestes a aparecer na fórmula: quanto mais rígida a viga, mais duro ela resiste a ser fletida pelo apoio que recalca, e maior o momento inventado. É a mesma indeterminação que torna uma viga contínua eficiente sob carga, trabalhando aqui contra você. Se você quer a contagem formal de redundantes antes de começar, nossa nota sobre determinação estática e estabilidade faz a contabilidade, e o quadro mais amplo está em estruturas estaticamente indeterminadas.

Para o caso deste artigo, uma viga contínua de dois vãos de vãos iguais L com extremidades simples, o momento inventado sobre o apoio interior que recalca tem uma forma fechada limpa:

M_B = 3EIΔ / L²

onde E é o módulo de elasticidade, I o momento de inércia da seção, Δ o recalque diferencial do apoio interior, e L o vão. Leia o que ela diz. O momento é proporcional a EI, a rigidez à flexão da viga, então uma seção mais rígida ou mais alta inventa um momento de recalque maior para o mesmo afundamento. É inversamente proporcional a L², então vãos curtos são punidos muito mais que os longos. E é linear em Δ, então o dobro do recalque é o dobro do momento.

A fórmula sai direto da equação dos três momentos (teorema de Clapeyron), a ferramenta clássica para vigas contínuas. Na sua forma geral, para dois vãos que se encontram no apoio B com recalques δ em cada apoio, o teorema diz

M_AL₁ + 2M_B(L₁+L₂) + M_CL₂ = −6EI[ (δ_A−δ_B)/L₁ + (δ_C−δ_B)/L₂ ] + termos de carga

Para o nosso caso não há carga, as extremidades são simples então M_A = M_C = 0, os vãos são iguais (L₁ = L₂ = L), e só B recalca (δ_A = δ_C = 0, δ_B = Δ). Substitua e a equação colapsa para 4M_BL = 12EIΔ/L, que é M_B = 3EIΔ/L². A mesma resposta vem do método das forças: remova o apoio interior para obter uma viga primária simplesmente apoiada sobre o vão duplo, depois ache a reação redundante que empurra o ponto liberado de volta para baixo exatamente Δ. Essa reação, vezes a geometria, é o momento. Vale fazer uma vez à mão, e é o raciocínio que nosso exemplo resolvido segue.

Agora o número. Nossa viga é uma IPE 400 contínua de dois vãos, dois vãos iguais de L = 6 m, rotulada na extremidade A, um rolete no apoio interior B, e um rolete na extremidade C. O momento de inércia da seção, como o motor do CalcSteel o calcula a partir da geometria, é I = 22 222 cm⁴, e o módulo do aço é E = 200 GPa. Aplique nenhuma carga, e afunde o apoio B em Δ = 20 mm.

Direto da fórmula:

M_B = 3EIΔ/L² = 3 × (20 000 kN/cm²) × (22 222 cm⁴) × (2 cm) / (600 cm)² = 74.1 kN·m.

Vinte milímetros de afundamento, nenhuma carga na viga, e ela carrega 74,1 kN·m. Para sentir a escala, isso é mais da metade do que uma carga de gravidade plena de 25 kN/m colocaria sobre o mesmo apoio, e apareceu só de um movimento. Duas outras características importam:

• É momento positivo, não negativo. Como o apoio cai, a viga afunda na depressão e a tração vai para a fibra inferior sobre o apoio. Esse é o sentido oposto ao momento negativo que uma carga para baixo produz ali, e é por isso que o recalque pode ajudar ou prejudicar dependendo do que mais estiver agindo.
• Ele descarrega a carga do apoio interior. As reações inventadas são −24,7 kN em B (o apoio está sendo aliviado, até puxado para cima em relação à sua parcela de gravidade) e +12,3 kN em cada uma de A e C. O apoio que afunda entrega sua carga aos vizinhos.

Construímos exatamente esta viga no motor de FEM do CalcSteel como controle, usando o método das forças que o motor consegue expressar: o vão duplo liberado deflete 0,081 mm por kN no meio do vão, batendo com a flexibilidade em forma fechada L³/6EI até a sexta casa, e a reação que o empurra 20 mm para baixo induz 74,07 kN·m, concordando com o valor manual até a terceira casa. O momento inventado não é um artefato de modelagem. Ele é tão real quanto qualquer momento de carga, e o aço tem que carregá-lo.

O jeito mais rápido de construir intuição sobre rigidez e vão é mudar uma viga e observar os números se moverem. Aqui está a calculadora de vigas do CalcSteel, ao vivo nesta página. Defina o vão, a seção e a carga, e ela resolve a viga e desenha os diagramas de cortante e de momento fletor instantaneamente, com as reações de apoio.

Comece com um único vão de 6 m e uma IPE 400 para pegar o jeito da seção que este artigo usa, depois mude o perfil e observe como a rigidez EI comanda a deflexão. Lembre da lição da fórmula: o momento de recalque escala com esse mesmo EI, então uma seção que deflete pouco sob carga é uma seção que inventa um momento grande sob recalque. Para ver a viga contínua de três apoios e impor um movimento de apoio real, modele-a no editor completo do CalcSteel, onde o mesmo motor de FEM que produziu cada número acima roda sobre a estrutura inteira.

É o solver de verdade, não uma prévia: execuções ilimitadas, gratuito, sem login necessário para a matemática. Se abrir na própria aba, aqui está o link direto para a calculadora de vigas. Para as reações por si só, o guia de forças de reação em vigas é a leitura companheira.

O recalque puro é o caso didático limpo, mas uma viga real carrega carga ao mesmo tempo. Então coloque a gravidade de volta: a mesma IPE 400 de dois vãos agora carrega uma carga uniforme w = 25 kN/m, e depois o apoio B recalca os mesmos 20 mm. Como a viga é linear elástica, os dois efeitos se superpõem exatamente, então resolvemos cada um e somamos.

Só gravidade

A viga contínua sob carga uniforme é um caso padrão, e o motor do CalcSteel retorna os valores de livro-texto até a terceira casa: um momento negativo de −112,5 kN·m sobre o apoio interior (o clássico −wL²/8), um pico positivo no meio do vão de 63,3 kN·m a 2,25 m dentro de cada vão, e reações de 187,5 kN no apoio interior contra 56,25 kN em cada extremidade. O apoio interior está fazendo a maior parte do trabalho, como deve numa viga contínua.

Some o recalque de 20 mm

O recalque contribui com seu +74,1 kN·m de momento positivo sobre B, apontando contra o momento negativo da gravidade, mais sua transferência de reação de −24,7 kN / +12,3 kN. Superponha e o quadro muda de um jeito que vale ler devagar:

• O momento negativo interior cai de 112,5 para 38,4 kN·m, um alívio de 66%. O momento positivo inventado pelo afundamento come a maior parte do momento negativo que a carga havia posto ali.
• O momento positivo no vão sobe de 63,3 para 94,1 kN·m, um aumento de 49%, e seu pico desloca para fora, para cerca de 2,75 m. O momento não desapareceu, ele se mudou para o vão.
• As reações se reequilibram: o apoio interior carrega 162,8 kN em vez de 187,5, e cada extremidade sobe para 68,6 kN a partir de 56,25. O total ainda é 300 kN, a carga de gravidade plena, apenas compartilhada de outra forma.

Esta é a manchete de todo o assunto: o recalque não reduz a demanda, ele a redistribui. Sob gravidade sozinha a viga era governada no apoio (112,5 kN·m). Depois de um afundamento de 20 mm o apoio está confortável mas o vão agora governa com 94,1 kN·m, e um engenheiro que só verificou o apoio perdeu onde a viga está realmente trabalhando. É por isso que um caso de recalque não pode ser descartado como sempre conservador.

Como M_B = 3EIΔ/L² é tão simples, todo o risco do recalque pode ser lido a partir dela, e alguns números na nossa viga tornam as sensibilidades concretas.

• Linear no recalque. Cada milímetro extra de afundamento adiciona cerca de 3,7 kN·m sobre o apoio. Dez milímetros inventam 37 kN·m, trinta milímetros inventam 111 kN·m. Não há limiar abaixo do qual o recalque seja de graça; é proporcional o caminho todo.
• Proporcional à rigidez. Troque a IPE 400 por uma seção com o dobro do I e o mesmo afundamento de 20 mm inventa o dobro do momento, perto de 148 kN·m. A lição contraintuitiva é que uma viga mais parruda é mais sensível ao recalque, não menos, porque resiste com mais força ao movimento imposto. Deflexão e momento de recalque puxam em sentidos opostos quando você dimensiona um elemento.
• Inversamente proporcional ao quadrado do vão. Reduza o vão pela metade para 3 m e o mesmo afundamento inventa quatro vezes o momento. Vãos contínuos longos toleram recalque graciosamente; baias curtas e rígidas não, e é por isso que o recalque é uma dor de cabeça em coisas como blocos de estaca pouco espaçados e pisos industriais de baia curta.

O número único mais útil é o ponto de virada. Nosso momento negativo de gravidade era 112,5 kN·m. Igualando 3EIΔ/L² a isso e resolvendo para Δ dá cerca de 30,4 mm: nesse recalque o momento positivo inventado cancela exatamente o momento negativo da gravidade, o momento no apoio interior passa por zero, e a viga contínua se comporta por esse instante como dois vãos simplesmente apoiados independentes. Empurre o afundamento além de 30 mm e o momento no apoio se inverte para momento positivo líquido enquanto os momentos no vão continuam subindo em direção ao wL²/8 = 112,5 kN·m de um vão simples. O recalque não é monotonicamente útil; ele alivia o apoio até um ponto e depois começa a carregar os vãos com força. Como o momento inventado fica travado, ele também se empilha com a pior combinação de ações, e o caso de recalque pertence à envoltória, não a um pensamento posterior.

Nem toda estrutura precisa de uma verificação de recalque, e saber quais precisam é metade da habilidade. A regra segue direto da física.

• Estruturas isostáticas são imunes. Uma viga simplesmente apoiada, uma viga em balanço, uma treliça estaticamente determinada: nenhuma delas inventa força alguma a partir do movimento de apoio, porque têm a liberdade de acomodá-lo. Se a sua estrutura é isostática, o recalque diferencial é um problema de serviço e de alinhamento, não de resistência.
• Estruturas contínuas e aporticadas rígidas ficam expostas. Vigas contínuas, pórticos rígidos, arcos engastados, qualquer coisa com apoios redundantes, todas inventam forças a partir do recalque diferencial. Quanto mais redundante a estrutura e mais rígidos seus elementos, mais ela inventa. Um pórtico rígido leva momentos de recalque para seus pilares e bases assim como nossa viga os leva para seus vãos.
• Solo mole e fundações mistas elevam o risco. O recalque é maior e menos uniforme sobre solos compressíveis, onde sapatas apoiam em estratos diferentes, ou onde um pilar muito carregado vizinha um pouco carregado. É precisamente ali que o relatório geotécnico ganha seus honorários.

A caixa de ferramentas do engenheiro contra o recalque é uma lista curta. Limite-o: o projeto de fundação limita o recalque diferencial a uma distorção angular admissível, e você dimensiona a superestrutura para esse limite como uma deformação imposta. Dimensione para ele: inclua um caso de carga de recalque nas combinações e deixe-o ficar na envoltória, já que é um efeito travado que não desaparece convenientemente. Amoleça a estrutura: paradoxalmente, um aporticamento mais flexível (ou um detalhe genuinamente rotulado) inventa menos momento para o mesmo afundamento, o que é uma das razões para nem toda ligação ser feita rígida. E detalhe para renivelar onde o solo é duvidoso, com apoios calçáveis ou pontos de macaqueamento, para que um momento que cresceu possa ser liberado. A única coisa que você não pode fazer é ignorá-lo, porque a viga não vai.

O recalque derruba engenheiros cuidadosos de um punhado de jeitos repetíveis. Rode esta lista antes de confiar num cálculo de recalque.

• Supor que carga nula significa momento nulo. O ponto todo do recalque é que uma viga hiperestática descarregada ainda está solicitada. Se o seu modelo não mostra momento sob um movimento de apoio, ou a estrutura é isostática ou o movimento não foi de fato imposto.
• Usar recalque uniforme em vez de diferencial. Só o afundamento relativo entre apoios inventa força. Subtraia primeiro o movimento comum; uma viga cujos apoios todos caem 20 mm juntos não está solicitada.
• Trocar o sinal. Um apoio que afunda inventa momento positivo sobre si mesmo, oposto ao momento negativo que uma carga para baixo faz ali. Suponha que ele sempre soma ao momento de gravidade e você pode errar feio, em qualquer direção.
• Esquecer que mais rígido é pior. O instinto de resolver um problema de recalque adicionando aço sai pela culatra: uma seção maior inventa um momento maior para o mesmo afundamento. Reduzir a rigidez, ou liberar um apoio, é muitas vezes a cura real.
• Deixar o recalque fora das combinações. O momento inventado fica travado e soma ao caso de carga que governa. Verificar gravidade sozinha e recalque sozinho, mas nunca juntos, perde a envoltória onde o vão governa.

O recalque sempre alivia o momento no apoio?

Só até um ponto, e só para recalque para baixo de um apoio interior sob gravidade. Na nossa viga ele aliviou o momento negativo até cerca de 30 mm, depois o inverteu. Recalque de um apoio de extremidade, ou movimento para cima, ou um padrão de carga diferente, pode com a mesma facilidade somar ao momento de pico. Tem que ser verificado, não suposto.

Quanto recalque é admissível?

Essa é uma decisão de fundação e de serviço, geralmente expressa como uma distorção angular entre apoios adjacentes, com limites comuns para prédios aporticados em torno de L/500 a L/300 dependendo do que a estrutura e seus acabamentos podem tolerar. O trabalho estrutural é tomar esse diferencial admissível como uma deformação imposta e confirmar que os elementos ainda passam sob a combinação completa.

Por que EI aparece quando não há limite de deflexão envolvido?

Porque o momento de recalque é um efeito de rigidez, não de resistência. A viga resiste ao movimento imposto na proporção de quão rígida ela é, então EI define a força. É o mesmo EI que governa a deflexão sob carga, aparecendo aqui como a origem de uma força inventada em vez de um limite ao movimento.

Você viu uma viga inventar um momento fletor real a partir de um movimento sem carga por trás, e agora pode dizer exatamente por quê, quão grande, e o que fazer a respeito.

• Só estruturas hiperestáticas inventam forças a partir do recalque. Uma viga isostática acompanha o apoio e permanece sem solicitação; uma viga contínua é obrigada a fletir, e fletir é momento. A redundância é toda a diferença.
• O momento é 3EIΔ/L². Ele cresce com a rigidez da viga EI, cai com o quadrado do vão, e é linear no recalque diferencial Δ. Vãos curtos e rígidos sofrem mais.
• Na nossa viga, 20 mm inventam 74,1 kN·m de momento positivo sobre o apoio que recalcou, verificado pelo motor até a terceira casa, e ele aponta ao contrário do momento negativo da gravidade.
• O recalque redistribui, ele não reduz. Os mesmos 20 mm aliviaram o momento negativo interior em 66% mas empurraram o momento positivo no vão para cima em 49%, e a seção que governa se moveu do apoio para o vão. Nunca suponha que o recalque é conservador.
• Só o recalque diferencial conta, e é um efeito travado que pertence às combinações de ações, não a um pensamento posterior.

Faça um à mão, depois confira em segundos. Coloque um vão, uma seção e uma carga na calculadora de vigas gratuita e sinta como a rigidez comanda tanto a deflexão quanto o momento de recalque. Quando a estrutura cresce para um pórtico real, o CalcSteel roda o mesmo motor de FEM sobre a coisa inteira no seu navegador, num plano genuinamente gratuito, com cada diagrama, classe de seção e verificação de norma incluídos. Estudantes recebem tudo liberado pela CalcSteel Education, de graça. As forças que um pilar em recalque inventa são reais, mas também são, uma vez que você tem a fórmula, inteiramente previsíveis.