Dérivées partielles : le théorème de Castigliano et la flèche d'un treillis en acier

La dérivée partielle que vous avez rencontrée en Calcul II est en général présentée comme un outil pour les surfaces et les gradients : la manière dont une fonction de plusieurs variables s'incline quand on en pousse une. Cela ressemble à de la géométrie pure, loin d'une poutre ou d'un boulon. Il n'en est rien. En 1873, un jeune ingénieur ferroviaire italien, Carlo Alberto Castigliano, a montré que cette même dérivée partielle calcule directement la flèche d'une structure chargée, tout droit issue de l'énergie que la structure emmagasine.

Voilà toute la promesse de cet article. Nous prenons un vrai treillis en acier, nous le chargeons, et nous lisons trois flèches différentes à partir de dérivées partielles de son énergie emmagasinée. Aucune physique nouvelle entre elles : la même dérivée, pointée vers trois questions différentes.

• La flèche sous la charge, là où l'effort pousse réellement.
• Une flèche là où aucune charge n'agit, au moyen d'une force fictive que l'on dérive puis que l'on annule.
• Les efforts internes d'un treillis statiquement hyperstatique, où la dérivée mise à zéro choisit la seule solution que la nature retient vraiment.

Chaque réponse est calée sur le moteur EF de CalcSteel à la décimale près. C'est tout l'intérêt d'un vrai moteur derrière les mots : le calcul à la main et la solution machine doivent se rejoindre, et elles le font. Tout ici tourne gratuitement dans le navigateur, vous pouvez donc reconstruire le treillis vous-même pendant votre lecture.

Trois lecteurs en tireront quelque chose de différent. L'étudiant en ingénierie obtient une raison concrète pour laquelle la dérivée partielle gagne sa place dans le programme. Le calculateur en exercice obtient un rappel propre des méthodes énergétiques et de là où elles battent encore une boîte noire. Le calculateur indépendant obtient un moyen gratuit, natif du navigateur, de vérifier une flèche sans acheter de licence quoi que ce soit.

Une dérivée partielle df/dx mesure comment une fonction à plusieurs variables f(x, y, z, ...) change quand on pousse une seule variable en maintenant toutes les autres fixes. C'est la dérivée ordinaire en tous points sauf un : vous décidez quelle variable bouge, et vous figez les autres à leurs valeurs courantes pendant que vous dérivez.

C'est exactement l'étape vers laquelle votre séquence de calcul construit. Le Calcul I vous donne la dérivée ordinaire d'une fonction d'une variable. Le Calcul II élargit le monde aux fonctions de plusieurs variables, et la dérivée partielle en est le premier outil naturel : dériver par rapport à une entrée à la fois. On ne vous demande rien de nouveau, seulement de choisir quel bouton tourner.

Voici le pivot qui fait fonctionner tout le reste de cet article. Une structure chargée emmagasine de l'énergie, et cette énergie emmagasinée est une fonction des charges qui agissent sur elle : écrivons U(P1, P2, P3, ...). Changez une charge et l'énergie emmagasinée change. Ainsi, une dérivée partielle de U par rapport à une charge, dU/dP1, est précisément le genre d'objet que le Calcul II vous tend : une fonction à plusieurs variables dérivée selon l'une de ses variables.

L'intuition de Castigliano a été de se demander ce que cette dérivée partielle particulière signifie physiquement. La réponse, que les deux sections suivantes construisent soigneusement, est qu'il s'agit d'une flèche. La machinerie abstraite du Calcul II se révèle être une calculatrice de flèche déguisée.

Avant de pouvoir dériver l'énergie emmagasinée, il nous la faut sous forme d'une formule honnête. Quand une structure se déforme élastiquement sous charge, elle emmagasine le travail qui lui est fourni sous forme d'énergie de déformation, U. Dans sa forme la plus générale, c'est l'intégrale de la densité d'énergie sur tout le corps, U = intégrale de (1/2) sigma epsilon dV, avec sigma la contrainte et epsilon la déformation. C'est la quantité qu'un poids en chute doit déverser dans une structure, ce qui explique pourquoi elle gouverne aussi le chargement par impact.

Pour une seule barre ne portant qu'un effort normal N, cette intégrale se réduit à un résultat compact :

U = N² L / (2 E A)

où L est la longueur de la barre, E le module de Young et A l'aire de la section. Un treillis n'est qu'un ensemble de telles barres articulées entre elles, chacune portant son propre effort normal, si bien que son énergie de déformation totale est la somme sur toutes les barres :

U = somme de N_i² L_i / (2 E A_i)

Voici maintenant la phrase autour de laquelle toute la méthode tourne : U est une fonction des charges. Cela ne saute pas aux yeux, car les charges P n'apparaissent pas dans la formule. Elles se cachent dans chaque N_i. Dans un treillis, chaque effort de barre N_i est fixé par les charges appliquées à travers l'équilibre, donc N_i = N_i(P1, P2, ...), et par conséquent U = U(P1, P2, ...). L'énergie est exactement la fonction à plusieurs variables U(P1, P2, ...) de la section précédente, écrite dans la langue de l'acier.

C'est tout ce dont nous avons besoin. Nous avons une fonction des charges. Le Calcul II nous dit comment la dériver par une charge à la fois. La section suivante dit ce qu'est cette dérivée.

Voici le théorème, énoncé sans détour. Pour une structure élastique linéaire, le déplacement au point d'application d'une charge P_i, mesuré dans la direction de cette charge, est égal à la dérivée partielle de l'énergie de déformation par rapport à cette charge :

delta_i = dU/dP_i

Voilà toute l'idée. La dérivée partielle abstraite des sections précédentes est une flèche réelle, mesurable, en millimètres.

Pour en faire quelque chose de calculable, dérivons l'énergie du treillis sous le signe somme. En partant de U = somme de N² L / (2 E A) et en appliquant la règle de dérivation en chaîne à chaque N (qui dépend de P_i), le facteur 2 se simplifie et il reste une formule de travail :

delta = somme de N (dN/dP) L / (E A)

Lisez-la terme par terme. Pour chaque barre vous prenez son effort N, vous multipliez par la vitesse à laquelle cet effort change avec la charge, dN/dP, vous multipliez par la longueur L, vous additionnez sur toutes les barres, et vous divisez par la rigidité axiale E A. Chaque quantité à droite est quelque chose que vous savez déjà obtenir : N par l'équilibre, dN/dP en dérivant cette même expression d'équilibre, L et E A par la géométrie et la section.

Le théorème vient avec des hypothèses, et elles comptent. Il vaut pour un matériau élastique linéaire, sous petits déplacements, avec des charges appliquées progressivement de sorte que tout le travail extérieur soit emmagasiné en énergie de déformation récupérable et qu'aucune ne soit perdue en dynamique ou en plastification. À l'intérieur de ces limites, qui couvrent la grande majorité du dimensionnement de l'acier en service, l'égalité est exacte.

Un mot sur l'origine. Carlo Alberto Castigliano (1847 à 1884) était un ingénieur italien des structures et des chemins de fer qui travaillait pour les Chemins de fer de l'Italie du Nord, les Strade Ferrate dell'Alta Italia. Il a présenté ces théorèmes dans sa dissertation d'ingénieur de 1873 au Politecnico di Torino et les a publiés en 1879 sous le titre Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques. Il est mort à 36 ans. Ses méthodes énergétiques côtoient le travail virtuel, développé par Maxwell en 1864 et par Mohr, comme la voie classique vers les flèches qui a porté l'analyse des structures jusqu'à l'arrivée des méthodes matricielles et des éléments finis dans les années 1950 et 1960.

Avant de toucher à un vrai treillis, voici toute la méthode d'un coup d'œil. Le premier théorème de Castigliano transforme une flèche en exercice de comptabilité : trouver les efforts, les dériver, multiplier, additionner, diviser. Chaque exemple traité de cet article n'est que ces cinq étapes répétées.

1. Trouver les efforts de barre N en fonctions de la charge P. Résolvez le treillis pour la charge appliquée et gardez P comme symbole, de sorte que chaque effort de barre se lise comme une formule en P plutôt qu'un nombre nu.
2. Prendre la dérivée partielle dN/dP de chaque barre. Parce qu'un treillis est linéaire, cette dérivée partielle est simplement l'effort que porte cette barre par unité de P, géométrie et toutes les autres charges maintenues fixes.
3. Multiplier N fois (dN/dP) fois L, barre par barre. Ce produit est la contribution propre de chaque barre à la flèche, en gardant son signe.
4. Sommer sur toutes les barres. Additionnez les sept contributions en un seul nombre, traction et compression ensemble.
5. Diviser par EA. La rigidité axiale EA convertit cette somme effort-longueur en un déplacement réel, dans les mêmes unités de longueur que celles utilisées dans la somme.

Voilà tout le moteur. Dans la section suivante, nous le faisons tourner sur un vrai treillis en acier et nous vérifions la réponse contre le solveur EF de CalcSteel à la décimale près.

Voici la structure que nous porterons tout au long de l'article. C'est un treillis en acier sur appuis simples de portée L = 6,0 m et de hauteur 2,0 m. Les nœuds inférieurs sont L en (0,0), articulé, M en (3,0), et R en (6,0) sur appui simple. Les deux nœuds supérieurs sont T1 en (1,5, 2,0) et T2 en (4,5, 2,0). Sept barres les relient : les membrures inférieures LM et MR, les diagonales d'extrémité LT1 et T2R, les diagonales intérieures T1M et MT2, et la membrure supérieure T1T2.

Chaque barre est le même profil creux carré, un SHS 90x5 d'aire A = 17,0 cm^2 (la valeur que le moteur recalcule à partir de la géométrie), nuance MR250, avec E = 200 GPa = 20 000 kN/cm^2. Cela donne une rigidité axiale EA = 340 000 kN pour chaque barre. Le treillis est statiquement isostatique : avec m = 7 barres, r = 3 réactions et j = 5 nœuds, m + r est égal à 2j, donc l'équilibre seul fixe tous les efforts.

Suspendez maintenant une seule charge ponctuelle P = 60 kN vers le bas au nœud inférieur central M, et demandez la flèche verticale en M, juste sous la charge. C'est exactement la situation pour laquelle le premier théorème de Castigliano a été conçu : la flèche à la charge est égale à dU/dP, qui se développe en la somme assemblée dans la recette.

Comme les efforts sont linéaires en P, l'étape 2 est facile : dN/dP est juste l'effort que porte chaque barre par unité de P. On résout donc le treillis une fois pour P = 60 kN, on lit les sept efforts de barre (positif en traction, négatif en compression), et la colonne par unité suit en divisant par 60. La dernière colonne est le produit N fois (dN/dP) fois L que l'on somme, avec les longueurs écrites en centimètres pour que la réponse tombe en centimètres.

Remarquez que chaque produit de la dernière colonne est positif, même pour les barres comprimées LT1, T2R et T1T2. Une barre comprimée a un N négatif et un dN/dP négatif, et les deux signes moins se multiplient en un plus. C'est le cœur physique de la méthode : les barres comprimées emmagasinent de l'énergie et contribuent à la flèche exactement autant que les barres tendues.

La somme vaut 38 625 kN.cm. Divisez par EA = 340 000 kN et vous obtenez la flèche :

delta_M = 38 625 / 340 000 = 0,1136 cm = 1,136 mm vers le bas.

Voici maintenant la chute. Nous avons construit ce même treillis dans le moteur EF de CalcSteel livré en production, celui-là même qui tourne dans l'application navigateur, et nous lui avons demandé le déplacement vertical au nœud M. Il renvoie 1,136 mm, identique à la décimale près. Une dérivée partielle que vous avez appris à prendre en Calcul II, appliquée à l'énergie emmagasinée d'une structure en acier, tombe sur le nombre identique que calcule un solveur éléments finis complet. (Si vous préférez la forme énergétique, les mêmes sept barres donnent somme N^2 L = 2 317 500 kN^2.cm, et delta = somme N^2 L / (P.EA) renvoie 1,136 mm également.)

Le premier théorème de Castigliano vous donne la flèche à une charge, dans la direction de cette charge. Que faites-vous alors quand vous voulez le mouvement en un point où rien ne pousse ? Sur notre treillis, la charge en M est verticale, pourtant un concepteur se soucie souvent de l'écartement horizontal à l'appui simple R, où il n'y a aucune force horizontale du tout. Il existe une astuce propre pour exactement ce cas.

Ajoutez une force fictive Q en R, pointant dans la direction que vous voulez mesurer, ici horizontalement. Chaque effort de barre est alors une combinaison linéaire de la charge réelle et de la charge fictive, N = a P + b Q. Prenez la dérivée partielle par rapport à Q, puis posez Q = 0 tout à la fin. La charge réelle reste, l'imaginaire disparaît après avoir fait son travail de repérage du bon déplacement.

La beauté est dans ce que devient la dérivée. Puisque N = a P + b Q, on a dN/dQ = b, qui est précisément l'effort de barre sous une charge horizontale unitaire en R. L'étape 2 de la recette devient donc : résolvez le treillis pour une seule force unitaire en R, dans la direction d'intérêt, et lisez les efforts de barre. Ce sont vos valeurs dN/dQ, et poser Q = 0 signifie que les efforts de barre réels N dans la somme sont juste ceux du Treillis traité 1.

Une charge horizontale unitaire appliquée à l'appui simple R chemine tout droit le long de la membrure inférieure jusqu'à l'articulation en L, et n'atteint aucune autre barre. Ainsi, seules les deux membrures inférieures ont un dN/dQ non nul :

• LM : dN/dQ = +1,0
• MR : dN/dQ = +1,0
• toutes les autres barres : dN/dQ = 0

La somme se réduit à deux termes. En utilisant les efforts réels des membrures inférieures N_LM = N_MR = +22,5 kN et des longueurs de 300 cm chacune :

delta_R,horizontal = (22,5 x 1 x 300 + 22,5 x 1 x 300) / 340 000 = 13 500 / 340 000 = 0,03971 cm = 0,397 mm.

Nous avons demandé au moteur EF de CalcSteel le déplacement horizontal en R sur le même modèle. Il renvoie 0,397 mm, identique à la décimale près, une flèche lue proprement en un point qui ne portait aucune charge horizontale réelle.

Si cette étape de charge unitaire vous semble familière, c'est normal. La quantité dN/dQ, l'effort de barre sous une charge fictive unitaire au point et dans la direction d'intérêt, est l'effort de charge fictive de la méthode du travail virtuel (charge unitaire). Voilà pourquoi Castigliano et le travail virtuel produisent toujours la somme identique, barre par barre : ils écrivent le même produit N fois (effort de charge unitaire) fois L sur EA. La différence n'est que le chemin que chacun emprunte pour y arriver. Le travail virtuel part d'un argument d'équilibre avec une charge fictive ; Castigliano atteint le même résultat à partir de l'énergie emmagasinée et d'une seule dérivée partielle. Deux branches de la boîte à outils du Calcul II, une seule flèche d'acier.

Vous venez de voir une dérivée partielle devenir une flèche deux fois sur le papier. Faites-le maintenant vous-même, sans prendre de crayon. La calculatrice interactive intégrée juste ici vous laisse fixer une charge et relire la flèche, de sorte que l'abstrait dU/dP devienne un nombre que vous pouvez manipuler.

Changez la charge, changez la géométrie, et regardez la flèche répondre. C'est la même idée que notre treillis traité : l'énergie emmagasinée dans les barres, dérivée par rapport à la charge, relue comme un déplacement. La voir bouger est le moyen le plus rapide de faire confiance à la méthode.

C'est véritablement gratuit, il n'y a aucun compte pour le calcul, et il n'y a aucune limite au nombre de fois que vous le lancez. Explorez-le comme vous exploreriez un graphique en Calcul II : poussez une chose, figez le reste, et lisez le changement.

Tout ce qui précède supposait un treillis que l'on peut résoudre par le seul équilibre. Notre treillis partagé est statiquement isostatique : sept barres, trois réactions, cinq nœuds, donc m plus r est exactement égal à 2j. Les équations des nœuds suffisent, et le premier théorème de Castigliano lit la flèche par-dessus.

Ajoutez une diagonale de plus et cet équilibre se rompt. Placez une barre T1R en travers du treillis (longueur 4,924 m) et vous avez maintenant huit barres et trois réactions contre cinq nœuds, donc m plus r est égal à 2j plus 1. Il y a un effort inconnu de plus que ce que l'équilibre peut fixer. La structure est une fois hyperstatique, et les équations des nœuds tombent une équation trop court.

Le second théorème de Castigliano, le théorème du travail minimal, comble exactement cet écart. Il dit que l'effort surabondant prend la valeur qui minimise l'énergie de déformation : dU/dX = 0. La structure, laissée à elle-même, se pose dans l'état de moindre énergie, et cette condition fournit l'équation manquante.

En dérivant l'énergie par rapport à l'effort surabondant X et en la posant à zéro, on obtient une formule compacte :

X = moins somme(N0 n L) / somme(n carré L)

Ici N0 sont les efforts de barre dans le treillis isostatique relâché sous la charge réelle de 60 kN (exactement les efforts SIM-1), et n sont les efforts de barre sous une traction unitaire dans la seule diagonale surabondante. C'est la même énergie, la même dérivée partielle, résolue maintenant pour un effort au lieu d'un déplacement.

Pour notre treillis, le résultat est X = moins 9,77 kN. Le signe compte : la diagonale ajoutée part en compression. Une fois X connu, le reste des barres se redistribue, car chacune porte maintenant son ancien N0 plus sa part n fois X.

Lisez la redistribution physiquement. La membrure inférieure MR monte de +22,5 à +28,45 kN et la membrure supérieure T1T2 se détend de moins 45,0 à moins 39,05 kN. La diagonale intérieure T1M grimpe de +37,5 à +42,46 kN tandis que MT2 se relâche de +37,5 à +32,54 kN, et la diagonale d'extrémité T2R se détend de moins 37,5 à moins 32,54 kN. LM et LT1 ne bougent pas. La nouvelle barre retire simplement de la charge d'un chemin et la remet à un autre, ce qui est le rôle d'une barre surabondante.

Vient ensuite la vérification qui compte. Nous avons construit le vrai treillis hyperstatique à huit barres dans le moteur EF de CalcSteel livré en production et l'avons résolu directement, sans aucune formule de travail minimal. Il renvoie X = moins 9,77 kN et chaque effort redistribué ci-dessus, calé à la décimale près (le plus grand écart sur toutes les barres est de 0,0003 kN). Une dérivée partielle mise à zéro et une résolution complète en rigidité tombent sur les mêmes nombres.

Une note d'histoire. Le principe du travail minimal a d'abord été énoncé par Luigi Federico Menabrea en 1858. C'est Castigliano qui en a donné une démonstration rigoureuse et générale, raison pour laquelle le théorème du travail minimal est souvent appelé théorème de Menabrea-Castigliano. Si vous voulez voir la même redistribution du côté des efforts de barre, notre article sur le dimensionnement des treillis en acier parcourt les efforts eux-mêmes.

Prenez du recul et tout l'arc du Calcul I et II atterrit sur de l'acier réel, un outil à la fois. La dérivée ordinaire donne le taux de variation le long d'une poutre : dM/dx est égal à l'effort tranchant. Dérivez une fois de plus et la dérivée seconde devient la courbure de la ligne élastique.

Faites tourner la dérivée à rebours et l'intégrale définie récupère une quantité comme l'aire sous un diagramme. Et maintenant la dérivée partielle, l'objet que vous avez rencontré pour les surfaces et les gradients, donne une flèche tout droit issue de l'énergie emmagasinée : delta = dU/dP.

C'est un seul calcul cohérent, pas quatre astuces déconnectées. La même idée de taux de variation, appliquée à différentes fonctions d'une structure, chacune produisant un nombre qu'un ingénieur vérifie réellement. La dérivée partielle est simplement le dernier membre de cette famille, et c'est celui qui lit un déplacement.

Une flèche n'est que la moitié d'une réponse d'ingénierie. L'autre moitié est la comparaison que fait un règlement : ce mouvement est-il assez petit pour que la structure remplisse son rôle ? Castigliano vous donne le nombre, et l'aptitude au service vous dit ce que le nombre a le droit d'être.

Prenez la flèche que nous avons calculée sous la charge. La dérivée partielle de l'énergie de déformation a donné delta_M = 1,136 mm au nœud chargé, et le moteur EF de CalcSteel a coïncidé à la décimale près. Mettez-la maintenant en regard de la portée. Le treillis a une portée de 6,0 m, soit 6000 mm, la flèche est donc un rapport de 6000 / 1,136, c'est-à-dire L/5282.

Les limites d'aptitude au service s'écrivent exactement sous cette forme L sur delta. Une limite de service courante pour ce genre de barre est L/360, qui sur une portée de 6,0 m autoriserait 6000 / 360 = 16,7 mm de flèche. Nos 1,136 mm se logent très loin à l'intérieur de cette enveloppe : L/5282 est environ quinze fois plus rigide que ne l'exige la ligne L/360.

Le treillis est donc confortable en flèche, et il vaut la peine d'être clair sur le pourquoi de cette démonstration. Le propos ici est la méthode, pas une vérification qui échoue spectaculairement. Castigliano produit le delta ; le règlement prend ce même delta, forme le rapport L/delta sous charge de service, et le déclare admissible ou non. La dérivée partielle que vous avez apprise en Calcul II alimente directement la clause d'aptitude au service qu'un ingénieur signe.

Si vous voulez voir d'où viennent ces limites et comment les rapports sont choisis, lisez le guide des limites de flèche, et pour la vue côté poutre d'une flèche comme sommet d'une courbe élastique, voyez la flèche maximale d'une poutre.

La formule est courte, et c'est exactement pourquoi les erreurs sont faciles à commettre. Voici la liste de contrôle qui garde une flèche de Castigliano honnête.

• dN/dP est une dérivée partielle. Quand vous dérivez, maintenez la géométrie et toutes les autres charges fixes. Vous poussez une charge et regardez une réponse, rien d'autre ne bouge.
• Pour lire une flèche il faut une charge là. Réelle ou fictive, il doit y avoir une charge au point exact et dans la direction exacte du mouvement voulu. Pas de charge à cet endroit, pas de dérivée partielle à prendre.
• Gardez le signe de chaque N. La somme utilise N fois dN/dP, et une barre comprimée (N négatif) avec un dN/dP négatif contribue un produit positif tout comme une barre tendue. Les barres comprimées tirent tout leur poids dans la flèche ; laisser tomber leur signe fausse silencieusement la réponse.
• Gardez des unités cohérentes. La longueur L et l'aire A doivent vivre dans le même système. Dans le treillis traité, nous avons porté L en cm dans la somme pour que la division par EA en kN et cm donne un centimètre propre de flèche.
• Cela suppose un comportement élastique linéaire en petits déplacements. Charges appliquées progressivement, pas de plastification, pas de grand changement de géométrie. Hors de cette boîte, l'expression de l'énergie de déformation elle-même n'est plus la fonction que vous avez dérivée.
• Le résultat est le déplacement dans la direction de la charge. Une charge verticale donne une flèche verticale ; une force fictive horizontale en donne une horizontale. Ce n'est pas automatiquement le mouvement vertical à moins que la charge n'ait été verticale.

Quelle est la différence ici entre une dérivée partielle et une dérivée ordinaire ? Une dérivée ordinaire comme dM/dx suit une fonction d'une variable, comme dans dM/dx est égal à l'effort tranchant. L'énergie de déformation U dépend de plusieurs charges à la fois, U(P1, P2, ...), donc dU/dP est une dérivée partielle : vous changez une charge et figez les autres. C'est précisément l'objet que le Calcul II introduit pour les fonctions de plusieurs variables.

Pourquoi Castigliano et le travail virtuel donnent-ils la même réponse ? Parce que dN/dQ, la dérivée partielle d'un effort de barre par rapport à une charge fictive unitaire, est identique à l'effort de barre sous charge unitaire de la méthode du travail virtuel. Les deux techniques construisent la même somme à partir de deux points de départ différents, énergie contre travail virtuel. Voyez la méthode de la charge unitaire pour la voie parallèle.

Puis-je utiliser Castigliano sur une structure hyperstatique ? Oui. C'est à cela que sert le second théorème, le théorème du travail minimal. L'effort surabondant prend la valeur qui minimise l'énergie de déformation, dU/dX = 0, et les efforts de barre se redistribuent en conséquence. Dans l'exemple traité, la diagonale surabondante s'est fixée à X = moins 9,77 kN, calée par le moteur EF à la décimale près.

La taille de la section change-t-elle la flèche ? Oui, par EA. Un effort de barre N dépend de la charge et de la géométrie, mais la flèche divise par EA, donc une aire A plus grande ou un matériau E plus rigide donne une flèche plus petite pour les mêmes efforts. Les efforts du treillis dans notre exemple ne se soucient pas de A car le treillis est isostatique, mais le mouvement, lui, s'en soucie.

Un treillis, trois flèches, toutes lues tout droit à partir de dérivées partielles de l'énergie emmagasinée, et toutes calées sur un vrai moteur EF à la décimale près.

• Une flèche est une dérivée partielle. Le premier théorème de Castigliano dit que le déplacement à une charge est égal à dU/dP, qui devient la somme de travail delta = somme de N (dN/dP) L / EA. Sur le treillis traité, cela a donné delta_M = 1,136 mm sous P = 60 kN.
• Aucune charge au point ? Ajoutez-en une fictive. L'écartement horizontal à l'appui simple est ressorti à 0,397 mm parce que dN/dQ n'a repéré que les deux membrures inférieures, et ce dN/dQ est exactement l'effort de barre sous charge unitaire du travail virtuel.
• Les structures hyperstatiques se ferment par le travail minimal. Le second théorème de Castigliano pose dU/dX = 0, ce qui a fixé la diagonale surabondante à X = moins 9,77 kN et redistribué les efforts, coïncidant à nouveau avec le moteur.
• Le nombre alimente le règlement. Ces 1,136 mm sur 6,0 m font L/5282, confortablement à l'intérieur d'une limite de service L/360 de 16,7 mm. La dérivée partielle atterrit sur une vraie vérification d'aptitude au service.
• C'est le Calcul I et II qui fait du travail de structure. La dérivée ordinaire donne l'effort tranchant, la dérivée seconde la courbure, l'intégrale les aires sous les diagrammes, et la dérivée partielle la flèche. Un seul arc, tous atterrissant sur de l'acier réel.

Maintenant, mettez-y les mains. Construisez le treillis, chargez-le, et lisez la flèche vous-même dans o CalcSteel, un outil de dimensionnement et d'analyse de charpente en acier natif du navigateur avec un vrai moteur EF. Le calcul et les calculatrices sont gratuits, sans compte, illimités, et si vous êtes étudiant l'offre /education est gratuite pour vous. La preuve n'est pas un essai avec compte à rebours ; c'est un outil que vous pouvez ouvrir dès maintenant et vérifier contre chaque nombre de cette page.