Contrainte et matériau : pourquoi les mêmes 226,60 MPa passent dans un acier et échouent dans un autre, avec une vérification chiffrée

Voici une poutre sans rien de remarquable. Un IPE 360, sur deux appuis simples, 8,0 m de portée, portant 10,0 kN/m de charge permanente et 7,5 kN/m de charge variable. Les planchers mixtes, les mezzanines et les travées de bureaux en sont pleins.

Lancez le calcul. La combinaison de dimensionnement vaut 1,35 × 10,0 + 1,5 × 7,5 = 24,75 kN/m, le moteur CalcSteel renvoie un moment fléchissant maximal de 198,0 kN·m et, rapporté au module élastique de l'IPE 360, Wel = 873,77 cm³, cela fait une contrainte de flexion de 226,60 MPa.

Répondez maintenant à une question : la poutre passe-t-elle ?

Vous ne pouvez pas. Non parce que le nombre serait incertain, mais parce que la question n'est posée qu'à moitié. En MR250, l'acier de construction courant au Brésil, la limite de prédimensionnement vaut fy/1,10 = 227,27 MPa et le taux de travail est de 0,997, ça passe. En ASTM A36, qui possède exactement la même limite d'élasticité de 250 MPa, la limite vaut 0,90 × 250 = 225,0 MPa et le taux de travail est de 1,007, ça ne passe pas. Même acier. Même poutre. Même contrainte. Verdicts opposés, séparés par 2,27 MPa de pure convention.

Et en inoxydable 1.4301, que la plupart des gens appelleraient le matériau haut de gamme, le taux de travail vaut 1,187 et la poutre n'y est pas du tout. Pendant ce temps, en S460, l'acier le plus résistant de la série, le taux en flexion tombe à 0,493 et la poutre échoue quand même, pour une raison qui n'a rien à voir avec la résistance.

C'est le sujet de cet article. L'expression « contrainte du matériau » fond en une seule deux questions qui se comportent de manières complètement différentes, et chacun des nombres ci-dessus a été produit par le moteur même qui tourne dans CalcSteel, avec le matériau changé et rien d'autre.

Cherchez « contrainte du matériau » et vous obtenez deux sujets différents sous une seule étiquette. L'un est l'état de contrainte : l'intensité de l'effort interne en un point, en MPa, ce que calculent σ = N/A et σ = M/W. L'autre est la limite du matériau : l'intensité à laquelle ce métal précis cesse de se comporter comme le modèle le supposait.

Ils appartiennent à des propriétaires différents. L'état de contrainte appartient à la charge et à la géométrie. La limite appartient au matériau et à la norme qui le juge. Les tenir séparés n'est pas du pédantisme, c'est la différence entre deux phrases qui se ressemblent et qui ne sont pas la même chose :

• « Cet acier a une contrainte de 226 MPa. » Cela ne veut rien dire. Un acier n'a pas de contrainte. Un point d'une pièce chargée, si.
• « Cette pièce est à 226 MPa, et cet acier est autorisé à 225. » Un énoncé d'ingénieur complet, et la raison pour laquelle la poutre ci-dessus échoue.

Il y a pourtant une vraie question cachée dans la confusion, et elle mérite d'être posée correctement : la contrainte elle-même dépend-elle du matériau ? La réponse honnête est que cela dépend du caractère isostatique de la structure. Dans une pièce isostatique, non. Dans une pièce hyperstatique, oui, et beaucoup. Le moteur tranche les deux cas plus bas, et c'est dans le second que logent les erreurs de modélisation.

Un modèle, défini une fois, résolu de nombreuses fois. Seul l'identifiant de matériau porté par les barres change d'un calcul à l'autre.

Avant de faire confiance à quoi que ce soit, le moteur doit reproduire le manuel. Un calcul d'étalonnage sur un IPE 400 de 8,0 m sous 30,0 kN/m a renvoyé M = 240,0 kN·m contre wL²/8 = 240,0, V = 120,0 kN contre wL/2 = 120,0, et une flèche à mi-portée de 35,99968 mm contre 5wL⁴/384EI = 35,99968 mm. Accord à cinq décimales : ce qui suit est donc le modèle qui parle, pas le solveur.

Une remarque sur les caractéristiques de section, parce qu'elle compte pour reproduire ces nombres avec un catalogue en main. Le registre de profilés construit la forme à partir de la géométrie laminée sans les congés de raccordement, ce qui donne Wel = 873,77 cm³ là où le catalogue publié d'un IPE 360 annonce 903,6 cm³, environ 3 % de plus. Sollicitation et capacité sont ici calculées sur la même base, donc tous les taux de travail sont cohérents, et légèrement conservateurs.

La vérification elle-même est le prédimensionnement élastique que fait le calculateur de poutre CalcSteel : σ = M/Wel contre la contrainte de calcul de la norme. Une vérification complète d'une section compacte utiliserait le moment plastique et serait plus généreuse. C'est délibéré. Le propos de cet article est une comparaison entre matériaux, et la voie élastique les compare à conditions identiques.

La poutre a été résolue dix fois. Des aciers de construction issus de quatre traditions, un inoxydable austénitique et un alliage d'aluminium, chacun portant les valeurs de E, fy, fu et masse volumique du catalogue du moteur. Le moment fléchissant est revenu identique dans les dix calculs : 198,0 kN·m, avec un écart entre le plus grand et le plus petit de 0,000 kN·m.

Ce n'est pas une coïncidence et ce n'est pas un artefact d'arrondi. La poutre est isostatique, donc l'équilibre seul fixe les efforts internes : M = wL²/8 contient la charge et la portée, et rien d'autre. E, fy, fu et la masse volumique sont tout simplement absents de l'équation. Donc σ = M/Wel = 226,60 MPa dans les dix cas, y compris celui de l'aluminium.

C'est la chose la plus utile qu'un étudiant puisse retirer d'un chapitre sur les contraintes, et la moins souvent dite clairement : dans une structure isostatique, le matériau n'apparaît pas du tout dans la sollicitation. Choisir un acier plus résistant ne réduit pas la contrainte que vous devez reprendre. Cela élève la contrainte que vous avez le droit d'atteindre.

La flèche, c'est une autre histoire, et la différence est instructive. Elle porte E explicitement, δ = 5wL⁴/384EI, donc elle a bougé dans chaque calcul où E a bougé. Sous la combinaison de service, la même poutre est revenue à 28,26 mm avec les aciers européens à 210 GPa, à 29,67 mm avec les aciers américains et brésiliens et l'inoxydable à 200 GPa, et à 84,77 mm en aluminium à 70 GPa. Le rapport au cas acier vaut 3,0000, c'est-à-dire 210/70 à quatre décimales, exactement comme l'exige la forme fermée.

Regardez à nouveau les deux premiers nombres, parce qu'il y a quelque chose d'étrange dedans. Le S235 et l'A36 sont, physiquement, presque le même métal. Leurs modules d'Young réels diffèrent de bien moins d'un pour cent. Mais l'EN 1993-1-1 déclare E = 210 GPa quand l'AISC 360 et la NBR 8800 déclarent tous deux E = 200 GPa, et c'est cette déclaration qu'utilise un solveur. La poutre identique fléchit donc 5,000 % de plus dans le modèle américain que dans le modèle européen, et aucun laboratoire ne trouverait la différence. Une part de ce que nous appelons une propriété de matériau est une décision écrite en commission.

Voici toute la comparaison en un seul tableau. La colonne de sollicitation est constante parce que la section précédente a démontré qu'elle devait l'être. Tout ce qui varie est du côté de la capacité.

Trois choses dans ce tableau valent plus que le reste de l'article.

L'inoxydable échoue alors que l'acier doux passe. L'austénitique 1.4301 coûte plusieurs fois le prix du S235 et tout le monde l'appelle un meilleur matériau, ce qu'il est, pour la corrosion. Structurellement, sa limite conventionnelle à 0,2 % vaut 210 MPa, en dessous du simple S235, et l'EN 1993-1-4 la divise par 1,10 au lieu de 1,00. « Meilleur matériau » n'est pas une catégorie de structure. Ce n'est jamais que meilleur pour quelque chose de précis.

L'aluminium passe en résistance. Avec fo = 260 MPa, le profilé 6082 T6 est autorisé à 236,36 MPa et atterrit à 0,959, mieux que le S235. Quiconque arrêterait la vérification là le livrerait. La section suivante raconte ce qui arrive à cette poutre.

Deux limites d'élasticité identiques, verdicts opposés. Le MR250 et l'A36 ont tous deux fy = 250 MPa, et les normes qui les jugent divergent de 1,0 %. Cela mérite sa propre section.

Le MR250 et l'ASTM A36 sont, pour ce qui nous occupe, le même acier : fy = 250 MPa, fu = 400 MPa, E = 200 GPa. Les deux normes traitent ensuite le nombre différemment.

• La NBR 8800 divise. La résistance de calcul vaut fy/γa1 avec γa1 = 1,10, donc 250/1,10 = 227,27 MPa, et 226,60/227,27 = 0,997.
• L'AISC 360 LRFD multiplie. La résistance de calcul vaut φb·fy avec φb = 0,90, donc 0,90 × 250 = 225,00 MPa, et 226,60/225,00 = 1,007.

L'écart vaut 2,27 MPa, soit 1,01 %, et c'est toute la différence entre une poutre que vous détaillez et une poutre que vous redimensionnez. Ce n'est pas un désaccord sur l'acier. 1/1,10 = 0,909 et 0,90 sont deux arrondis de la même cible de fiabilité, calibrés sur des jeux de coefficients de charge différents par des commissions différentes à des décennies différentes. Aucun n'est plus juste que l'autre.

C'est précisément pour cela que le calculateur de poutre CalcSteel affiche les deux taux de travail côte à côte à chaque calcul au lieu d'en choisir un. Quand une pièce atterrit dans la bande 0,99 à 1,01, la norme qui gouverne n'est pas un détail du rapport, c'est la réponse.

La règle pratique qui en découle est courte. Un taux de travail n'est un nombre qu'à côté de la norme qui l'a produit. Recopier 0,997 d'une affaire brésilienne vers une affaire américaine n'est pas une conversion d'unités, et la poutre ne sait pas qu'elle a déménagé.

Revenons à la poutre qui échoue. Le réflexe de tout ingénieur sous pression est de monter en nuance d'acier : faisons donc exactement cela et mesurons ce que cela achète.

Du S235 au S460, c'est 1,9574 fois la limite d'élasticité, le plus grand saut que le catalogue européen propose en construction courante. Le taux de travail en résistance tombe de 0,964 à 0,493, presque divisé par deux, et on croirait le problème résolu.

La flèche sous la combinaison de service vaut 28,26 mm en S235. En S460, elle vaut 28,26 mm. Pas approximativement : le moteur a renvoyé un écart d'exactement 0,000 mm entre S235, S275, S355 et S460, parce que les quatre ont le même E = 210 GPa. Face à la limite L/300 de 26,67 mm, le taux de travail vaut 1,0597 avant la montée en nuance et 1,0597 après.

La poutre échoue à l'identique dans l'acier le plus résistant disponible. Pas un peu mieux, pas un peu moins bien. À l'identique, jusqu'au dernier chiffre que porte le solveur.

La raison tient en une ligne. La flèche dépend de E et de I, et la nuance ne change ni l'un ni l'autre. La limite d'élasticité résulte de la chimie et du traitement ; le module d'Young est fixé par la raideur de la liaison interatomique du fer et il est pour l'essentiel le même dans tous les aciers au carbone jamais laminés. La résistance s'achète avec la nuance. La raideur s'achète avec la forme.

C'est pourquoi tant de poutres de plancher réelles sont gouvernées par les états limites de service. Dès que vous êtes dans ce régime, la colonne des nuances du catalogue cesse d'être utile, et l'argent que vous y mettez n'achète plus rien du tout.

Si le matériau ne peut pas régler un problème de raideur, c'est à la section de le faire. Même portée, mêmes charges, même S235, seul le profilé change.

L'IPE 400 coûte 16,1 % d'acier de plus que l'IPE 360 et fait passer le taux en flèche de 1,060 à 0,750. Problème réglé, dans la monnaie la moins chère qui soit.

Le HEA 300 est l'échec instructif. Il pèse 54,6 % de plus que l'IPE 360, 33 % de plus que l'IPE 400, et finit quand même à 0,948, moins bien que l'IPE plus léger. Tout ce métal supplémentaire est parti dans la largeur des semelles, qui sert la stabilité et le travail en poteau, pas dans la hauteur, qui est ce dont un moment quadratique est fait. Ix varie comme le cube de la hauteur. Rien d'autre dans le catalogue n'approche ce levier.

Deux phrases à retenir, donc, et elles sont le noyau pratique de tout le sujet : un problème de résistance est un problème de matériau, et un problème de raideur est un problème de géométrie. Diagnostiquez lequel vous avez avant de dépenser, car les deux remèdes ne se remplacent pas l'un l'autre, dans aucun des deux sens.

Faites-le vous-même ci-dessous. Changez fy et regardez seulement le taux en résistance bouger. Changez le profilé et regardez les deux bouger. Le calculateur affiche les prédimensionnements NBR 8800 et AISC 360 côte à côte, ce qui est l'argument des 2,27 MPa de trois sections plus haut, en direct.

Tout ce qui précède reposait sur le caractère isostatique de la poutre. Retirez cela et la conclusion s'inverse.

Prenez le même IPE 360 en S355 et suspendez sa mi-portée à une barre ronde de 25 mm qui monte sur 12 m jusqu'à un point fixe en hauteur, comme un plancher repris par une ferme de toiture dans un bâtiment industriel. Cela fait un degré d'hyperstaticité. L'équilibre ne détermine plus le partage entre les deux chemins de charge : c'est la compatibilité qui le fait, et la compatibilité s'écrit en raideurs.

Passer le tirant de l'acier à l'aluminium, sans toucher à rien d'autre, fait passer le moment maximal dans la poutre de 57,847 kN·m à 96,942 kN·m. Cela fait 1,6758 fois plus de flexion, et la contrainte de flexion de la poutre passe de 66,2 MPa à 110,9 MPa. La charge n'a pas changé. La géométrie n'a pas changé. Seule la matière du tirant a changé, et la contrainte dans une pièce située à 12 m de là a bougé de 68 %.

Chaque résultat du moteur a été confronté à la forme fermée de compatibilité R = δ₀/(L³/48EI + Lh/EhAh), où δ₀ = 39,965 mm est la flèche libre à mi-portée de la poutre non étayée. Acier : 90,962 kN au moteur contre 90,962 kN à la main. Aluminium : 59,456 contre 59,456.

Voici maintenant le contrôle qui empêche d'en tirer la mauvaise leçon. Résolvez de nouveau avec la poutre et le tirant tous deux en aluminium : l'effort dans le tirant revient à 90,9621 kN, et le cas tout acier donnait 90,9621 kN. Une différence de 0,0000 kN.

Donc un matériau souple n'attire pas moins de charge. Un matériau relativement souple, si. E se simplifie dans une structure hyperstatique linéaire dès qu'il est uniforme, et seul le rapport entre les parties survit. C'est pourquoi mélanger des matériaux dans un même chemin de charge est une décision et pas un détail : tirants en acier sur ossature aluminium, suspentes inox sur ossature carbone, bois sur acier. Le partenaire le plus raide prend la charge, et il la prend en proportion d'un rapport que personne n'a écrit dans le cahier des charges.

Restons sur la poutre étayée et supprimons les charges. Tous les cas de charge sont vides. Élevons maintenant la température du tirant de 30 K, ce qui correspond à un après-midi ensoleillé sur une pièce exposée.

La barre veut s'allonger de α·ΔT·L. La structure ne la laisse pas s'allonger librement, et la part de l'allongement qui est empêchée devient de l'effort. Appliqué au moteur comme charge thermique équivalente, N₀ = E·A·α·ΔT, et confronté à N = -N₀·kpoutre/(kpoutre + ktirant) :

Trois choses ici méritent qu'on ralentisse.

D'abord, la contrainte existe alors qu'il n'y a aucune charge dans le modèle. C'est aussi littéral que « contrainte du matériau » puisse l'être : le nombre a été produit par une propriété du matériau, α, et par rien d'autre.

Ensuite, la contrainte à bridage total E·α·ΔT est un piège. L'acier affiche 75,6 MPa et l'aluminium seulement 48,3 MPa, parce que le α plus grand de l'aluminium est plus que compensé par son E plus petit. À partir de cette colonne, vous concluriez que le tirant en aluminium est le choix le plus sûr.

Enfin, la vraie réponse inverse le classement. La barre en aluminium finit à 25,09 MPa contre 20,03 MPa pour la barre en acier, 1,2528 fois plus, parce qu'une barre souple en série avec une poutre de raideur finie garde une part plus grande de sa propre charge thermique : le rapport de bridage kpoutre/(kpoutre + ktirant) vaut 0,52 pour l'aluminium et 0,26 pour l'acier. Le bridage total est une borne, pas une estimation, et dans une structure réelle c'est la raideur environnante qui décide de la fraction qui survit.

L'habitude d'ingénieur qui en découle est ancienne et fiable. L'effort thermique vit sur l'hyperstaticité : si vous n'en voulez pas, ne construisez pas l'hyperstaticité. Un trou oblong, un appui glissant ou un joint de dilatation met tout le tableau à zéro.

Toutes les vérifications précédentes comparaient une contrainte à fy. La limite qu'impose réellement un matériau est un ensemble, et fy n'en est que l'entrée qui gouverne par temps chaud sous charge statique.

fu, aux sections où c'est l'aire nette qui gouverne. La plastification de la section brute est ductile et auto-limitée, elle est donc jugée contre fy avec un coefficient doux. La rupture au travers d'une file de boulons n'est ni l'un ni l'autre, elle est donc jugée contre fu avec un coefficient plus dur, l'EN 1993-1-1 §6.2.3 associant A·fy/γM0 à 0,9·Anet·fu/γM2 avec γM2 = 1,25. Le rapport fu/fy est lui-même une propriété de matériau : 1,380 en S355 et 2,476 en 1.4301, ce qui explique que les assemblages inox et les assemblages carbone ne ruinent pas dans le même ordre.

La température. Au-delà d'environ 400 °C, fy cesse d'être fy. L'EN 1993-1-2 le réduit par ky,θ : 0,78 à 500 °C, 0,47 à 600 °C, 0,23 à 700 °C. Sous la combinaison accidentelle, cette poutre porte g + 0,3q = 12,25 kN/m, donc M = 98,0 kN·m et σ = 112,16 MPa, 49,5 % de sa sollicitation à froid. La température critique est celle où ky,θ·fy descend à ce niveau :

• Le S235 a besoin de ky,θ = 0,477, atteint à 597,7 °C.
• Le S355 a besoin de ky,θ = 0,316, atteint à 664,2 °C.
• Le S460 a besoin de ky,θ = 0,244, atteint à 694,2 °C.

Notez ce qui vient de se passer. La montée en nuance qui n'achetait exactement rien contre la flèche achète ici presque 100 °C, et 100 °C d'une courbe d'incendie normalisée, ce sont de vraies minutes et de vrais millimètres de peinture intumescente. Qu'une propriété de matériau aide ou non dépend entièrement de l'état limite dans lequel vous êtes.

Les cycles. En fatigue, fy sort complètement de la vérification. Un détail soudé en S460 et le même détail en S235 partagent une catégorie de détail et une courbe S-N ; c'est l'étendue de contrainte qui décide, et l'acier le plus résistant du chantier n'apporte aucun avantage. C'est le cas le plus net d'une limite de matériau qui n'est pas une résistance de matériau.

Une hypothèse est enfouie sous chaque nombre de cet article : que le matériau est linéaire jusqu'à un palier de plastification, donc que E est une constante et fy un angle. L'acier au carbone mérite cette hypothèse. L'inoxydable austénitique, non.

Une courbe de traction du 1.4301 s'incurve dès le tout début et ne montre jamais de palier. Il n'y a pas de limite d'élasticité à lire, alors les normes en définissent une : la limite conventionnelle à 0,2 %, la contrainte qui laisse 0,002 de déformation permanente derrière elle. Pour le 1.4301, elle vaut 210 MPa, et c'est une convention assortie d'un mesurage, pas un angle physique.

La conséquence tombe sur la raideur, pas sur la résistance. L'EN 1993-1-4 modélise la courbe par ε = σ/E + 0,002(σ/f₀.₂)ⁿ avec n ≈ 6 pour les austénitiques, si bien que le module sécant chute quand la contrainte monte. À la contrainte de service de cette poutre, 160,22 MPa, soit 0,763 de la limite conventionnelle, la déformation totale vaut 1,1957 × 10⁻³ contre 8,011 × 10⁻⁴ en élastique. Le module sécant vaut 134 005 MPa, 67,0 % des 200 GPa nominaux.

Ce qui veut dire que la flèche d'une poutre inox n'est pas les 29,67 mm qu'annonce un solveur linéaire. Elle vaut environ 44,28 mm, 49,2 % de plus, et c'est précisément pour cela que l'EN 1993-1-4 demande un module sécant aux états limites de service au lieu du E nominal. Une pièce inox dimensionnée par un calcul linéaire et vérifiée contre une limite de flèche peut se tromper de moitié.

Les alliages d'aluminium se comportent de la même façon, pour la même raison, et sont traités de la même façon dans l'EN 1999-1-1. La leçon générale vaut plus que l'un ou l'autre cas : les constantes élastiques que vous donnez à un solveur sont un modèle du matériau, et les modèles ont un domaine de validité. Demandez où le domaine s'arrête avant de faire confiance à la troisième décimale.

Encore un endroit où la propriété du matériau ne se comporte pas du tout comme l'intuition. Un poteau HEA 200, flambant selon l'axe faible, vérifié avec l'EN 1993-1-1 §6.3.1 sur la courbe b, en S235 et en S460.

À 1 m, le poteau trapu est un problème d'écrasement et le S460 délivre 1,897 fois la capacité, presque le rapport complet de 1,9574 des limites d'élasticité. À 12 m, il délivre 1,041 : 96 % de limite d'élasticité en plus ont acheté 4 % de poteau en plus.

La raison est qu'un poteau élancé n'est pas limité par la résistance du tout. La charge d'Euler de cette pièce à 6,0 m vaut 768,1 kN et elle contient E, I et la longueur : fy n'y figure nulle part. La courbe de dimensionnement ne fait que rabattre la réponse élastique pour tenir compte des imperfections et des contraintes résiduelles. Plus la pièce devient élancée, plus la réponse converge vers Euler, et Euler se moque de la nuance estampillée sur la semelle.

Ainsi, la même montée en catalogue est une affaire dans un poteau court, un gaspillage dans un poteau long, et précisément rien dans une poutre gouvernée par la flèche. Le matériau n'est ni bon ni mauvais en soi. Il est bon ou mauvais par rapport à l'état limite qui gouverne réellement, ce qui est une propriété de la structure et non du métal.

Tout ce qui précède se ramène à une procédure courte.

• Calculez la contrainte sans penser au matériau. Dans une pièce isostatique, elle ne peut pas dépendre du matériau, et c'est un contrôle de votre modèle, pas une approximation.
• Demandez ensuite quelle limite gouverne. La résistance répond à la nuance. La raideur ne répond qu'à E et I. La stabilité répond surtout à E. La fatigue ignore complètement la nuance. L'incendie répond fortement à la nuance.
• Lisez le taux de travail avec la norme qui l'a produit. La même limite fy = 250 MPa vaut 227,27 MPa dans la NBR 8800 et 225,00 MPa dans l'AISC 360.
• Cherchez les matériaux mélangés dans un même chemin de charge. C'est le seul endroit où changer un matériau réécrit la contrainte, et le moment de cette poutre a bougé de 1,6758 fois quand le tirant a changé.
• Vérifiez que vos constantes élastiques sont encore valables. L'inox à 0,763 de sa limite conventionnelle est déjà à 67,0 % de son module nominal, et une flèche linéaire est alors optimiste de 49,2 %.

La poutre qui ouvrait l'article est un bon endroit pour finir. Elle était à 226,60 MPa, ce qui passait à 0,997 au Brésil et échouait à 1,007 aux États-Unis, elle était confortable à 0,493 en S460, et elle échouait de toute façon dans ces trois cas parce qu'elle fléchissait de 28,26 mm contre une limite de 26,67 mm. Sa vraie réponse n'a jamais été un matériau. C'était un IPE 400.