Centre de gravité et moment statique : calculés à la main et par le logiciel sur la même section

Donnez la même poutre reconstituée soudée à deux personnes et demandez la contrainte de cisaillement dans l'âme. L'une la traite à la main sur papier. L'autre la dessine et lit le nombre à l'écran. La réponse à la main revient à 105,46 MPa, celle du logiciel à 59,95 MPa. Personne n'a fait de faute de frappe, aucun outil n'est cassé, et l'écart vaut un facteur 1,759.

Refaites la même chose avec un IPE 400. Demandez l'aire. La réponse à la main est 80,678 cm², le catalogue dit 84,5 cm², et l'écart vaut 4,482 %. Là encore personne n'a commis d'erreur d'arithmétique.

L'un de ces deux désaccords signifie que quelqu'un a tort. L'autre signifie que les deux côtés décrivaient des formes différentes. Les distinguer, c'est tout le métier, et cela se joue entièrement dans les deux grandeurs que vous calculez avant d'arriver au moment quadratique : le centre de gravité, et le moment statique.

Cet article traite les deux, à la main et sur le moteur de section qui tourne dans CalcSteel, sur les deux mêmes sections. Tout ce que vous lisez ci-dessous a été produit en exécutant le code et en le validant contre une forme fermée. Les efforts tranchants viennent du solveur aux éléments finis, les caractéristiques de section de la routine polygonale derrière le calculateur de moment quadratique, et les valeurs publiées de l'IPE 400 du tableau EN 10365.

Les deux grandeurs sont des moments statiques. La différence tient à ce sur quoi on intègre, et elle est plus grande que le nom commun ne le laisse croire.

Le centre de gravité est le moment statique de la section entière par rapport à un axe choisi, divisé par l'aire :

ȳ = ∫ y dA / ∫ dA

C'est une moyenne des hauteurs pondérée par l'aire. Il a une dimension de longueur. C'est une caractéristique de la forme, et une fois qu'on le connaît, le numérateur mesuré par rapport à ce même axe est nul, ce qui est la définition d'un axe neutre en flexion.

Le moment statique, noté Q ou S, est la même intégrale prise sur une partie de la section, et toujours par rapport au centre de gravité :

Q(y) = ∫ (y − ȳ) dA, sur l'aire située au-dessus de la coupe en y

Il a une dimension de longueur au cube, et c'est une fonction de l'endroit où l'on coupe. C'est la phrase que la plupart des manuels survolent, et c'est pourquoi un catalogue d'acier peut imprimer un A, un I et un S pour un profil, et ne pourra jamais imprimer un Q. Le Q d'un IPE 400 n'existe pas. Il n'existe que le Q d'un IPE 400 à une hauteur donnée.

Pour un composite fait de parties à bords droits, les deux intégrales se réduisent à des sommes, et c'est la méthode manuelle : ȳ = Σ Aᵢ yᵢ / Σ Aᵢ, et Q = A' ȳ', où A' est l'aire d'un côté de la coupe et ȳ' la distance entre le centre de gravité de cette aire et celui de la section entière. Les deux sont exactes pour un polygone, ce ne sont pas des approximations.

La section étudiée est une poutre reconstituée soudée à semelles inégales : une semelle supérieure 200 x 12, une âme 500 x 8, une semelle inférieure 320 x 20, 532 mm de hauteur totale. Les semelles sont délibérément différentes, parce qu'une section symétrique cache le centre de gravité à mi-hauteur et que cacher le centre de gravité est exactement ce contre quoi cet article existe.

Choisissez une référence. N'importe laquelle, et la fibre inférieure est l'habituelle. Puis écrivez trois lignes.

La semelle inférieure fait 320 x 20 = 6 400 mm², son propre centre est à 10 mm, donc A·y = 64 000 mm³. L'âme fait 8 x 500 = 4 000 mm², centrée à 20 + 250 = 270 mm, donc A·y = 1 080 000 mm³. La semelle supérieure fait 200 x 12 = 2 400 mm², centrée à 20 + 500 + 6 = 526 mm, donc A·y = 1 262 400 mm³.

Additionnez les colonnes. A = 12 800 mm², ΣA·y = 2 406 400 mm³, et

ȳ = 2 406 400 / 12 800 = 188,0 mm depuis la fibre inférieure.

La mi-hauteur aurait dit 266,0 mm. Le centre de gravité est 78,0 mm plus bas que le milieu géométrique, parce que la semelle inférieure est plus large et plus épaisse et qu'elle tire la moyenne vers le bas. Tout ce qui suit repose sur ce 188,0.

Le moment quadratique découle du même tableau avec une colonne de plus. Chaque partie apporte son propre bh³/12 plus le terme de transport A·d², où d est la distance entre le centre de cette partie et ȳ : -178,0 mm pour la semelle inférieure, +82,0 mm pour l'âme, +338,0 mm pour la semelle supérieure. Les termes propres font 83 575 466,67 mm⁴, les termes de transport 503 859 200 mm⁴, et

Ix = 587 434 666,67 mm⁴ = 58 743,47 cm⁴.

Notez les proportions : 86 % de la raideur de cette section vient du terme de transport, c'est-à-dire de la distance entre le métal et le centre de gravité. Trompez-vous sur ȳ et vous n'avez pas fait une petite erreur dans un grand nombre, vous avez fait une grande erreur dans le terme qui domine.

Le moteur ne voit pas trois parties. Il voit une liste fermée de sommets, ici douze, et il ne vous demande jamais de choisir une référence ni de décomposer quoi que ce soit.

Ce qu'il exécute, c'est le théorème de Green, qui convertit une intégrale sur une aire en une intégrale le long de la frontière de cette aire. Parcourez les douze arêtes une fois, cumulez un produit vectoriel par arête, et A, ∫y dA et ∫y² dA sortent tous du même passage. Puis on divise pour le centre de gravité et on applique un seul transport pour les moments quadratiques. Il n'y a là ni maillage, ni intégration numérique, ni tolérance d'aucune sorte. C'est l'algèbre de customSection.ts, c'est-à-dire ce que le calculateur intégré plus bas dans cette page exécute dans votre navigateur.

Faites tourner les deux routes sur la poutre et mettez les réponses côte à côte.

Aire : 12 800 mm² à la main, 12 800 mm² par le logiciel. Centre de gravité : 188,0 mm à la main, 188,0 mm par le logiciel. Moment quadratique : 58 743,47 cm⁴ à la main, 58 743,47 cm⁴ par le logiciel, avec un écart relatif de 2 × 10⁻¹⁶, soit une seule étape d'arrondi en virgule flottante et rien d'autre.

Cette concordance n'est pas un hasard et ne valide rien d'astucieux. La section a des côtés droits, donc la somme manuelle et l'intégrale de contour sont la même intégrale écrite deux fois. Ce qui veut dire que tout écart réel entre elles, sur un polygone, est une erreur de calcul et non un choix de modélisation. Cela vaut la peine d'être dit clairement, parce que c'est ce qui rend la vérification manuelle utile : sur une poutre reconstituée, si votre nombre et celui du logiciel divergent au troisième chiffre, l'un de vous deux a simplement tort, et la discussion est courte.

Il existe un test qui démasque un centre de gravité faux sans rien recalculer, et il tient en une ligne.

Par définition, ∫ (y − ȳ) dA sur toute la section vaut zéro. Donc si vous avez un centre de gravité et une décomposition, formez Σ Aᵢ (yᵢ − ȳ) et regardez-la. Sur la poutre étudiée les trois termes valent -1 139 200, +328 000 et +811 200 mm³, et leur somme est exactement 0.

Ce qui rend ce test utile, c'est qu'il est invariant. La même section a été mesurée depuis trois références différentes, et ΣA·y est sorti à 2 406 400 mm³ depuis la fibre inférieure, -4 403 200 mm³ depuis la fibre supérieure et -998 400 mm³ depuis la mi-hauteur. Le centre de gravité affichait respectivement 188,0 mm, -344,0 mm et -78,0 mm. Les trois décrivent le même point sur le même acier, et Ix est revenu à 587 434 666,67 mm⁴ dans tous les cas, identique jusqu'au dernier chiffre.

Donc quand un calcul manuel et un logiciel annoncent des valeurs différentes de ȳ, la première question n'est pas qui a raison. C'est depuis où. Un centre de gravité cité sans sa référence n'est pas un nombre, et c'est la façon la plus courante pour deux calculs justes de sembler se contredire.

Le test du zéro tranche. Faites-le tourner sur votre propre décomposition, avec votre propre référence, et s'il ne renvoie pas zéro l'erreur est la vôtre, quoi qu'ait trouvé quelqu'un d'autre.

Coupez maintenant la poutre horizontalement et demandez le moment statique de tout ce qui se trouve au-dessus de la coupe, par rapport au centre de gravité. Faites glisser la coupe de la fibre inférieure vers le haut et vous n'obtenez pas un nombre, vous obtenez une courbe.

Tout en bas, à la fibre inférieure, il n'y a pas d'aire au-dessus de la coupe d'un côté du centre de gravité sans une aire égale et opposée de l'autre, et Q vaut exactement 0. Tout en haut, à la fibre supérieure, il ne reste plus rien au-dessus de la coupe, et Q vaut exactement 0 de nouveau. Entre les deux il monte vers un maximum unique, et ce maximum se place précisément à l'axe neutre : Q max = 1 252,096 cm³ en y = 188,0 mm, là où la pondération (y − ȳ) change de signe et cesse de retrancher.

Prenez une coupe ailleurs et vous obtenez un autre nombre. Au sommet de la semelle inférieure, y = 20 mm, Q = 1 139,2 cm³. Sous la semelle supérieure, y = 520 mm, Q = 811,2 cm³. Même section, même acier, trois coupes, trois réponses, toutes justes.

Elles ont été calculées deux fois et à dessein par deux routines qui ne partagent aucune algèbre : la forme fermée bande par bande, et des bandes de point milieu en force brute, 40 000 par bande. Le plus grand désaccord sur toute la hauteur a été de 5 × 10⁻¹⁰ mm³ contre des valeurs de l'ordre de 10⁶.

Ce qui ramène au point des définitions. Le logiciel ne stocke pas plus Q qu'un catalogue ne l'imprime, parce qu'il n'y a rien à stocker. Il recalcule Q pour la coupe que vous demandez, chaque fois que vous la demandez.

Q gagne sa place dans une seule formule, celle qui transforme un effort tranchant en contrainte :

τ = V Q / (I t)

Le V ici est réel. La poutre a été placée dans une poutre continue à deux travées, 9,0 m par travée, 40 kN/m, 72 éléments, et résolue sur le moteur aux éléments finis. À l'appui central il a renvoyé 225,0 kN d'effort tranchant et 405,0 kN·m de moment sur appui, contre les 0,625 w L = 225,0 kN et w L² / 8 = 405,0 kN·m du manuel. Le moteur et la forme fermée concordent à erreur relative nulle, et c'est l'étalonnage qui autorise tout ce qui suit.

Passez cela dans la formule. À l'axe neutre, Q = 1 252 096 mm³, I = 587 434 667 mm⁴ et t = 8 mm, donc τ max = 59,947 MPa. Contre fy/√3 = 204,959 MPa pour un S355, cela fait un taux de travail de 0,2925, confortable.

Le raccourci familier τ = V/Aw donne 225 000 / (500 × 8) = 56,25 MPa, en dessous d'un facteur 1,0657. Sur la hauteur totale au lieu de l'âme libre il donne 52,87 MPa, en dessous de 1,1339. Sur une poutre de grande hauteur le raccourci est assez proche pour dimensionner, et savoir à quel point il est proche est tout l'intérêt de calculer Q.

Regardez ensuite les jonctions de semelle, parce que c'est là que la formule fait quelque chose qui surprend. Q est continu à la traversée de la jonction : c'est une intégrale d'aire, et aucune aire n'apparaît ni ne disparaît sur une ligne. L'épaisseur t, elle, n'est pas continue. En y = 520 mm la largeur passe de 200 mm de semelle à 8 mm d'âme, donc dans l'épaisseur d'un cordon la contrainte passe de 1,55 MPa à 38,84 MPa. C'est un saut d'un facteur exactement 25, qui vaut 200/8. À la jonction inférieure la même chose se produit d'un facteur 40, qui vaut 320/8.

Rien de physique n'est discontinu là-bas. La théorie élémentaire, si, parce qu'elle suppose la contrainte de cisaillement uniforme sur la largeur à une hauteur donnée, et à une jonction cette hypothèse tombe. Le saut est le signal que vous lisez une théorie unidimensionnelle au seul endroit où elle ne tient pas.

Passons au deuxième cas, celui où la main et le logiciel diffèrent sans que ni l'un ni l'autre ait tort.

Modélisez un IPE 400 comme tout le monde le modélise d'abord : deux rectangles de semelle et un rectangle d'âme. h = 400, b = 180, tw = 8,6, tf = 13,5. Cela donne A = 80,678 cm², Ix = 21 876,5 cm⁴ et Q à l'axe neutre = 619,161 cm³.

Le tableau publié EN 10365 dit A = 84,5 cm² et Ix = 23 130 cm⁴. Le modèle à la main est inférieur de 4,482 % sur l'aire et de 5,413 % sur Ix. Ce n'est pas de l'arrondi.

L'acier manquant, ce sont les quatre congés de raccordement, les transitions courbes où chaque semelle rejoint l'âme, et sur un IPE 400 le rayon de raccordement vaut r = 21 mm. Un congé est la région comprise entre un coin droit et un quart de cercle, donc son aire vaut (1 − π/4) r² = 94,639 mm², et son centre de gravité se place à (10 − 3π)/(12 − 3π) = 0,22337 du rayon depuis le coin, soit 4,691 mm. Quatre congés font 378,558 mm² d'acier, situés presque aussi loin de l'axe neutre que les semelles.

Ajoutez-les en forme fermée, terme de transport compris, et le modèle à la main renvoie A = 84,464 cm² et Ix = 23 128,4 cm⁴. Cela fait 0,043 % de l'aire publiée et 0,007 % du Ix publié. Le moment statique bouge aussi : Q à l'axe neutre passe de 619,161 cm³ à 653,574 cm³, une correction de 5,265 % qui atterrit directement sur la contrainte de cisaillement.

Le désaccord n'a donc jamais été mathématique. Les deux côtés ont intégré correctement. Ils ont intégré deux formes différentes, et une seule de ces formes sort du laminoir. Avant de discuter d'une caractéristique de section, mettez-vous d'accord sur le contour.

La règle pratique : pour un profilé laminé, prenez les valeurs du catalogue. Elles viennent de la géométrie réelle du profil et ce sont elles qui ont servi à caler la norme. Servez-vous du modèle à trois rectangles pour l'intuition, pour un premier jet, et pour vérifier que la valeur du catalogue est du bon ordre de grandeur, ce qu'elle sera à environ 5 % près.

Le théorème de Green a besoin d'arêtes. Un congé est un arc, et un arc n'est pas une arête, donc quelque chose doit céder. Ce qui cède, c'est l'arc : le moteur le remplace par une chaîne de cordes droites et intègre le polygone exactement.

La question est de savoir combien de cordes. Tracez le même IPE 400 comme un polygone et découpez chacun des quatre congés en n cordes, puis mesurez contre la forme fermée ci-dessus.

Avec une corde par congé, 18 sommets en tout, l'aire est fausse de 5,961 % et Ix de 6,884 %. Avec deux cordes, 1,635 % et 1,907 %. Quatre cordes, 0,418 % et 0,489 %. Huit, 0,105 % et 0,123 %. Seize, 0,026 % et 0,031 %. Trente-deux, 0,007 % et 0,008 %. Soixante-quatre cordes, 270 sommets, 0,002 % sur les deux.

L'erreur est divisée par quatre chaque fois que le nombre de cordes double. C'est une convergence du second ordre, la signature d'une approximation par cordes d'une courbe régulière, et elle se trace comme une droite en axes logarithmiques.

Cela règle aussi une question qui mérite de l'être : seize cordes par congé placent déjà Ix à 0,031 %, ce qui est bien plus fin que la tolérance de laminage de la poutre elle-même. La polygonisation a cessé d'être une source d'erreur d'ingénierie il y a longtemps, et ce n'est pas là qu'il faut chercher quand deux programmes divergent.

Tout ce qui précède a traité le centre de gravité comme quelque chose que l'on trouve. C'est aussi quelque chose que l'on déplace, et une platine de renfort est le levier le moins cher qui existe.

Soudez une platine 200 x 16 sur la semelle supérieure de la poutre. Cela fait 3 200 mm² d'acier, une augmentation d'aire de 25 %, et le tableau composite compte maintenant quatre lignes au lieu de trois. Le polygone a seize sommets au lieu de douze. Les deux routes concordent de nouveau, exactement.

Le centre de gravité monte de 188,0 mm à 258,4 mm, un déplacement de 70,4 mm, et Ix passe de 58 743,47 cm⁴ à 90 469,72 cm⁴, soit 54,01 % de plus. Vingt-cinq pour cent d'acier en plus ont acheté cinquante-quatre pour cent de raideur en plus, ce qui est le terme de transport faisant ce qu'il fait toujours.

Mais regardez ce qui est arrivé aux modules de flexion, parce que c'est le nombre qui dimensionne la poutre. Le module inférieur est passé de 3 124,7 cm³ à 3 501,2 cm³, soit 12,05 % de plus. Le module supérieur est passé de 1 707,7 cm³ à 3 124,0 cm³, soit 82,94 % de plus. La platine est en haut, et c'est la fibre supérieure qu'elle a aidée, presque sept fois plus.

Voilà l'idée de conception. Sur une section à semelles inégales les deux fibres ne se partagent pas la charge : avant la platine, le rapport des deux distances au centre de gravité valait 1,830, donc la fibre supérieure atteignait sa limite pendant que la fibre inférieure se tournait les pouces. Après la platine le rapport vaut 1,121, et les deux fibres sont presque équilibrées. Une platine de renfort n'est pas un moyen d'ajouter de l'aire. C'est un moyen de déplacer le centre de gravité vers la fibre que vous n'utilisiez pas.

L'interface doit reprendre le changement. Le moment statique de la seule platine, par rapport au nouveau centre de gravité, vaut 901,12 cm³, donc le flux de cisaillement à la ligne de soudure vaut q = V Q / I = 224,1 N par mm, soit 112,1 N par mm sur chacun des deux cordons d'angle. Selon EN 1993-1-8, avec fu = 490 MPa, βw = 0,9 et γM2 = 1,25, la résistance de calcul au cisaillement sur la gorge vaut 251,5 MPa, donc la gorge nécessaire fait 0,446 mm et le côté 0,63 mm. AISC 360 J2 avec une électrode E70 demande un côté de 0,734 mm. Les deux sont très loin en dessous de tout cordon réellement déposable, donc c'est la règle de dimension minimale qui gouverne et un cordon de 4 mm est la réponse. Calculez-le quand même : le jour où l'effort tranchant sera quatre fois plus grand, l'arithmétique sera déjà en place.

Le calculateur ci-dessous exécute la routine polygonale décrite plus haut. Donnez-lui un profilé laminé et il renvoie la géométrie du catalogue ; donnez-lui une section sur mesure et il parcourt vos sommets et renvoie A, le centre de gravité, Ix, Iy et le produit d'inertie en un seul passage autour du contour.

L'exercice utile est celui que cet article vient de faire. Saisissez la poutre étudiée : une semelle supérieure 200 x 12, une âme 500 x 8, une semelle inférieure 320 x 20. Vérifiez que le centre de gravité revient à 188,0 mm depuis la fibre inférieure et Ix à 58 743,47 cm⁴. Ajoutez ensuite la platine de renfort 200 x 16 et regardez le centre de gravité monter à 258,4 mm.

Faites d'abord le tableau à la main, sur papier, avant de regarder. Le recoupement vaut plus que chacun des deux nombres pris seul.

1. Mesurer ȳ' depuis la référence au lieu du centre de gravité. C'est la grosse. Sur la poutre étudiée l'aire au-dessus de l'axe neutre fait 5 056 mm² et son propre centre se place à 435,646 mm de la fibre inférieure, mais à seulement 247,646 mm du centre de gravité. Prenez la première et Q devient 2 202 624 mm³ au lieu de 1 252 096 mm³, un facteur 1,759, et la contrainte de cisaillement affiche 105,46 MPa au lieu de 59,95 MPa. Rien dans 105,46 MPa n'a l'air faux, et c'est précisément le danger.

2. S'inquiéter du côté de la coupe à retenir. Celle-là est inoffensive et les gens y perdent du temps. Le moment statique de l'aire au-dessus de la coupe vaut +1 252 096 mm³ et celui de l'aire en dessous -1 252 096 mm³. Leur somme est nulle, parce que c'est encore le test du zéro, donc leurs valeurs absolues sont identiques et τ = VQ/(It) s'en moque. Prenez le côté qui a le moins de parties.

3. Comparer un modèle à trois rectangles à une valeur de catalogue. L'écart d'aire de 4,482 % sur un IPE 400, ce sont les congés de raccordement, et il est réel. Deux formes différentes, deux réponses justes. Décidez de la forme que vous vouliez avant de comparer.

4. Citer un centre de gravité sans sa référence. Le même point sur la même poutre vaut 188,0 mm, -344,0 mm ou -78,0 mm selon l'endroit d'où vous avez mesuré, et les trois sont justes. La moitié des contradictions apparentes entre une vérification manuelle et un modèle sont là.

5. Lire τ à une jonction de semelle comme si c'était une vraie contrainte. Le saut d'un facteur 25 en y = 520 mm est la théorie élémentaire qui lâche au seul endroit où son hypothèse ne tient pas, pas une concentration de contrainte que l'on peut dimensionner. Si une contrainte de jonction gouverne quoi que ce soit, il vous faut un modèle plus fin, pas un coefficient de sécurité plus grand.

1. Mettez-vous d'abord d'accord sur le contour. Congés dedans ou dehors. Rayons de coin dedans ou dehors. Galvanisation et peinture dehors. La plupart des désaccords meurent ici, avant toute arithmétique.

2. Écrivez le tableau avec une référence explicite, et inscrivez cette référence noir sur blanc à côté de ȳ. Un centre de gravité sans référence n'est pas une réponse.

3. Faites le test du zéro. Σ Aᵢ (yᵢ − ȳ) doit valoir zéro. Une ligne, aucune donnée supplémentaire, et il démasque un centre de gravité faux quelle que soit la façon dont vous l'avez obtenu.

4. Vérifiez la répartition de Ix. Sur la poutre étudiée les termes de transport font 86 % du total. Si les termes propres dominent dans votre tableau, vos parties sont probablement trop grosses ou votre ȳ est faux.

5. Calculez Q à la coupe qui vous intéresse vraiment, pas à l'axe neutre par réflexe. L'axe neutre donne le pic de contrainte dans l'âme ; une jonction de semelle donne le flux de cisaillement vers un cordon ou un groupe de boulons ; et ce sont des nombres différents sur la même section.

6. Recoupez τ avec V/Aw. Sur une poutre reconstituée le pic exact doit se placer quelques pour cent au-dessus, 1,0657 ici. Si votre valeur exacte en est loin, vous avez utilisé le mauvais Q, la mauvaise t, ou les deux.

Deux intégrales, une division, une soustraction. Le centre de gravité et le moment statique sont les grandeurs les moins glorieuses de l'analyse des structures, et tous les nombres qui les suivent héritent de ce que vous leur avez fait subir.