Critères de plastification des matériaux : von Mises et Tresca sur un même détail structural, et les 15,470 % qui les séparent

Un plat de 8 mm, de 210 mm de hauteur, en S355, soudé sur une semelle de poteau et boulonné sur l'âme d'une poutre. Il reprend 208,8 kN, c'est-à-dire ce que le moteur CalcSteel a renvoyé comme réaction d'about de la poutre qui s'appuie dessus. Rien d'inhabituel nulle part.

Vérifiez-le vis-à-vis de la plastification et vous obtenez deux réponses.

• Par von Mises, la contrainte équivalente de pointe vaut 322,90 MPa. Face à fy = 355 MPa cela fait un taux de travail de 0,910. La platine passe.
• Par Tresca, le même point est à 372,86 MPa. Taux de travail 1,050. La platine échoue.

Même platine, même chargement, même acier, même jour. Les deux nombres sont séparés de 15,470 %, et ce n'est ni une coïncidence ni une différence d'arrondi. C'est exactement 2/√3, le plus grand écart dont les deux critères soient capables, et cette platine tombe pile dessus parce qu'elle est en cisaillement pur.

Traduit en épaisseur plutôt qu'en ratio, le désaccord vaut 7,277 mm contre 8,402 mm de plat. L'un s'arrondit à un plat de 8 mm, l'autre s'arrondit à un plat de 10 mm. Tout le sujet tient dans ce seul détail.

Ce qui suit, c'est la même question posée partout ailleurs sur la même structure : sur toute la hauteur de la section de poutre, en trois stations le long de la portée, et aux huit extrémités de barre d'un portique. La réponse se révèle très inégale. Les 15,470 % sont réels, ils sont bornés, et presque partout ils se trouvent au mauvais endroit pour compter.

Toute contrainte admissible que vous avez utilisée remonte à une seule expérience : une éprouvette cylindrique tirée dans une seule direction jusqu'à la plastification. Cet essai produit un nombre, fy, et il décrit un état de contrainte, la traction uniaxiale pure.

Les points réels des structures réelles ne sont presque jamais dans cet état. Un point de l'âme d'une poutre subit une contrainte normale σ due à la flexion et une contrainte de cisaillement τ due à l'effort tranchant au même instant. Un point d'un plat d'assemblage subit τ et rien d'autre. Un point à la racine d'un cordon subit tout à la fois. On ne peut pas comparer un état à un nombre tant que l'état n'a pas été converti en nombre, et la règle qui fait la conversion est le critère de plastification.

La question à laquelle un critère répond est donc étroite et précise :

Ce point subit σ et τ ensemble. Quelle contrainte uniaxiale unique serait aussi dangereuse ?

Appelons la réponse la contrainte équivalente. Une fois qu'on la tient, la vérification redevient celle du manuel : contrainte équivalente face à fy, divisée par le coefficient partiel que la norme y attache.

Pour l'état plan qui domine la construction métallique, une contrainte normale et une contrainte de cisaillement, les deux critères survivants donnent :

• von Mises : σ_eq = √(σ² + 3τ²)
• Tresca : σ_eq = √(σ² + 4τ²)

Le 3 et le 4 constituent tout le débat. Tout le reste de cet article est une conséquence de ces deux coefficients.

Si vous voulez voir d'où viennent le σ et le τ d'un point au départ, l'article compagnon sur le tenseur des contraintes construit le tenseur de Cauchy complet sur un gousset réel. Celui-ci prend l'état comme donné et discute de ce qu'il faut en faire.

Tracez tous les états de contrainte exactement à la plastification et vous obtenez une surface. Dans le plan des deux contraintes principales σ₁ et σ₂, la troisième étant nulle, les deux critères dessinent deux formes.

von Mises dessine une ellipse : σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂² = fy². Son grand axe suit la droite σ₁ = σ₂, la direction de pression, ce qui revient à dire que comprimer un point également de tous les côtés ne le plastifie pas. Seule la distorsion le fait.

Tresca dessine un hexagone : le plus grand de |σ₁|, |σ₂| et |σ₁ − σ₂| vaut fy. C'est le critère qui dit que la plastification démarre quand la contrainte de cisaillement maximale dans le point atteint la moitié de fy, ce que montre l'essai uniaxial à l'instant où il plastifie.

La relation entre les deux est figée et mérite d'être énoncée avec soin, car c'est elle qui borne tout le désaccord :

• L'hexagone est inscrit dans l'ellipse. Tresca est donc toujours le conservateur, partout, sans exception.
• Ils se touchent en six points, les sommets de l'hexagone : les états uniaxiaux (fy, 0), (0, fy), (−fy, 0), (0, −fy) et les états biaxiaux égaux (fy, fy) et (−fy, −fy). En substituant chacun des six dans l'équation de l'ellipse on retrouve exactement 1,000000, ce qui est la vérification que la simulation exécute avant de tracer quoi que ce soit.
• Le plus grand écart se situe au milieu des arêtes de l'hexagone, et le balayage le confirme : en scrutant les 360 directions radiales, la pire est à 135°, la direction de cisaillement pur σ₁ = −σ₂, où l'ellipse est 15,4701 % plus loin que l'hexagone.

Voilà le plafond de tout le débat. Quel que soit l'état de contrainte, les deux critères ne peuvent pas être séparés de plus de 15,470 %, et Tresca n'est jamais l'optimiste. Comme désaccord d'ingénierie, celui-ci est d'une sagesse inhabituelle.

Prenez le rapport des deux contraintes équivalentes et tout se simplifie sauf la forme de l'état lui-même. En posant k = τ/σ :

Tresca / von Mises = √(1 + 4k²) / √(1 + 3k²)

En balayant k de 0 à 2 et en confrontant cette expression aux critères évalués directement, l'accord tient à 1e-12, ce qui est la vérification algébrique. C'est la forme de la courbe qui compte :

• k = 0, contrainte normale pure. Le rapport vaut exactement 1,000000. Les critères sont le même critère.
• k = 0,1463. L'écart atteint 1 %.
• k = 0,3847. L'écart atteint 5 %.
• k → ∞, cisaillement pur. Le rapport tend vers 2/√3 = 1,154701, et c'est asymptotique, donc on approche 15,470 % sans jamais les dépasser.

Lisez cela comme un énoncé pratique et il dit quelque chose de brutal. Il faut qu'un point soit sérieusement dominé par le cisaillement avant que le choix du critère ne déplace le nombre ne serait-ce que de 5 %. En dessous de τ = 0,38σ les deux critères sont, pour le dimensionnement, le même outil.

C'est aussi pour cela que le débat est si souvent théorique. Dans une structure dimensionnée par barres plutôt que par éléments finis, les points qui décident du dimensionnement sont d'ordinaire ceux où k est petit. Les points où k est grand sont d'ordinaire loin de leur limite. Les trois sections suivantes sont cette affirmation, mise à l'épreuve.

La structure est volontairement ordinaire. Un IPE 450 en S355, sur appuis simples avec 8,0 m de portée, portant g = 22,0 kN/m de charge permanente et q = 15,0 kN/m de charge variable. La combinaison durable de l'EN 1990 donne 1,35 × 22,0 + 1,5 × 15,0 = 52,2 kN/m.

Le moteur a été calibré avant qu'on lui fasse confiance. Résolu avec une charge uniformément répartie simple, il renvoie wL²/8 et wL/2 avec une erreur de 0,000000 %, et la flèche à mi-portée face à 5wL⁴/384EI avec une erreur de 0,000010 %. C'est seulement ensuite que les nombres de calcul ont été retenus :

• Moment fléchissant de pointe 417,6 kN·m, et face au module élastique de la section Wel = 1447,92 cm³ cela donne une contrainte de flexion de 288,41 MPa, un taux de travail de 0,812 face au S355.
• Réaction d'about 208,8 kN. C'est le nombre que l'assemblage reprend.

L'assemblage est un plat d'assemblage unique, de 8 mm d'épaisseur et 210 mm de hauteur, soudé sur le poteau porteur et boulonné sur l'âme de la poutre. Ce détail a été choisi pour une raison qui va devenir évidente : le plat d'assemblage est le seul élément d'une ossature métallique ordinaire dont le point déterminant se situe à k → ∞.

Toutes les contraintes ci-dessous sont construites à partir des M et V propres au moteur et de la géométrie propre au registre de profils : Ix = 32578,28 cm⁴, tw = 9,4 mm, tf = 14,6 mm, b = 190 mm, h = 450 mm. Le moment statique Q(y) est calculé à partir de cette géométrie plutôt que lu dans une table, parce que le module plastique stocké dans le registre est connu pour valoir la moitié de sa valeur correcte et n'est utilisé nulle part dans cet article. Les caractéristiques de section ignorent les congés de raccordement, donc Ix se situe quelques pour cent en dessous de la valeur catalogue publiée, et la sollicitation comme la résistance sont sur cette même base.

Prenez la section de poutre juste à l'assemblage, à 0,10 m de l'appui. Le moteur y donne V = 203,58 kN et M = 20,62 kN·m : presque tout en cisaillement, presque pas de flexion. Descendez maintenant sur la hauteur de cette seule section, en évaluant σ = M·y/Ix et τ = V·Q(y)/(Ix·t) à 41 hauteurs, et appliquez les deux critères à chacune.

L'écart entre eux n'est pas une propriété de la section. C'est une propriété de chaque point, et sur cette seule section il balaye toute la plage possible :

• Fibre extrême, y = ±225 mm. Q = 0, donc τ = 0 et l'état est de la flexion pure. L'écart vaut exactement 0,000 %, vérifié à 1e-6. Les critères sont identiques ici, et ils le sont toujours à la fibre extérieure de n'importe quelle poutre.
• Jonction âme semelle, y = 210,4 mm, prise côté âme où l'épaisseur vaut tw. σ = 13,32 MPa, τ = 40,15 MPa. von Mises 70,80 MPa, Tresca 81,39 MPa. Écart 14,958 %. C'est le point vers lequel l'EN 1993-1-5 §7.1 vous envoie, et la contrainte de cisaillement y chute d'un facteur b/tw = 20,2 dès que vous passez dans la semelle, où le même Q est divisé par 190 mm au lieu de 9,4 mm.
• Axe neutre, y = 0. σ = 0 par définition et τ culmine à 53,98 MPa, avec Q = 811,96 cm³ sur tw = 9,4 mm. von Mises 93,49 MPa, Tresca 107,96 MPa. Écart exactement 15,470 %.

Cette dernière ligne mérite qu'on s'y arrête. L'axe neutre de n'importe quelle poutre sous effort tranchant est en cisaillement pur par construction, donc il se place toujours au pire cas exact pour les deux critères. Si vous partez chercher le désaccord maximal entre von Mises et Tresca dans une structure métallique, vous le trouverez sur l'axe neutre de chaque barre fléchie, garanti, en entier.

Et cela n'aura presque jamais d'importance, pour la raison que la section suivante précise.

Une vérification de section ne se soucie pas du point moyen. Elle se soucie du point déterminant, celui qui porte la contrainte équivalente la plus élevée. La question honnête n'est donc pas quelle est la taille de l'écart, c'est quelle est la taille de l'écart là où la section est réellement gouvernée.

Trois stations le long de la même poutre de 8,0 m y répondent :

Le schéma est exact et ce n'est pas un hasard. Au quart de portée et à mi-portée le point déterminant est la fibre extrême, où τ = 0, donc les critères renvoient le même nombre à cinq chiffres significatifs. À la station du plat le point déterminant est l'axe neutre, parce qu'il n'y a presque pas de flexion, donc l'écart vaut les 15,470 % pleins.

Mais regardez la dernière colonne. La station où les critères divergent de 15,470 % tourne à un taux de travail de 0,263. La station qui gouverne la poutre est à 0,812 et les critères y coïncident exactement. Le désaccord est réel et il est confiné à la partie de la structure qui a de la réserve.

C'est la version structurale d'un fait très général : la flexion gagne le débat sur l'endroit où se trouve la contrainte de pointe, et la flexion est l'état où les deux critères sont le même critère.

Voici maintenant la platine de la première section, en entier.

Le plat fait 8 mm par 210 mm, aire brute 16,8 cm², et reprend la réaction de 208,8 kN du moteur. Un rectangle en cisaillement a une distribution parabolique du cisaillement, donc la pointe vaut 1,5 fois la moyenne :

• Contrainte de cisaillement moyenne, V/A = 208,8/16,8 = 124,29 MPa.
• Contrainte de cisaillement de pointe à mi-hauteur, 1,5 × 124,29 = 186,43 MPa.
• En ce point σ = 0. C'est du cisaillement pur, donc les critères sont à leur séparation maximale, par construction.
• von Mises : √3 × 186,43 = 322,90 MPa. Taux de travail face au S355 avec γM0 = 1,0 : 0,910.
• Tresca : 2 × 186,43 = 372,86 MPa. Taux de travail : 1,050.

Les verdicts sont opposés, et contrairement aux stations de la poutre il n'y a ailleurs dans la platine aucun point de flexion fortement sollicité pour les contredire. Le plat d'assemblage n'a aucune autre vérification derrière laquelle se cacher : il est l'élément critique en cisaillement.

Transformez le même désaccord en ce qui sera commandé à l'aciérie et il devient concret. L'épaisseur nécessaire pour amener le taux de travail exactement à 1,0 vaut 7,277 mm par von Mises et 8,402 mm par Tresca. Arrondi aux épaisseurs courantes, cela donne un plat de 8 mm contre un plat de 10 mm, soit 25 % de poids en plus sur chaque plat d'assemblage du chantier, décidé entièrement par laquelle des deux équations, celle des années 1860 ou celle des années 1910, vous avez ouverte.

Une réserve, et elle est de taille, traitée correctement deux sections plus loin : les nombres ci-dessus sont les contraintes ponctuelles de pointe, ce que rapporte un modèle plaque en éléments finis. Toutes les normes acier vérifient le plat sur le cisaillement moyen, et ce choix de modélisation vaut 50 %, plus de trois fois l'écart entre critères.

Le moyen le plus rapide de se construire une intuition de la courbe de rapport est de déplacer un état de contrainte et de regarder les contraintes principales réagir. Entrez l'état de l'axe neutre de la poutre au droit du plat, σ = 0 et τ = 53,98 MPa, et lisez les contraintes principales : elles reviennent à +53,98 et −53,98 MPa, égales et opposées, ce qui est la signature du cisaillement pur et l'état exact où les critères sont séparés de 15,470 %.

Ajoutez ensuite de la flexion. Entrez la jonction âme semelle au quart de portée, σ = 208,85 MPa avec τ = 19,56 MPa, et le cercle glisse loin de l'origine jusqu'à presque la toucher. Cela fait k = 0,094, et l'écart est déjà retombé à 0,426 %.

Vous n'avez probablement jamais tapé un critère de plastification dans une vérification, parce que les normes ont fait le choix pour vous et l'ont enfoui dans un coefficient. Posez σ = 0 dans chaque critère et résolvez pour la contrainte de cisaillement à la plastification :

• Tresca : τy = fy/2 = 0,500 fy. Pour le S355, 177,50 MPa.
• von Mises : τy = fy/√3 = 0,5774 fy. Pour le S355, 204,96 MPa.
• AISC 360 : la spécification écrit 0,600 fy, en G2.1 pour le cisaillement de l'âme et en J4.2 pour la plastification par cisaillement sur la section brute. Pour le S355, 213,00 MPa.

L'AISC n'est donc sur aucune des deux surfaces. Il est 3,923 % au-dessus de von Mises, ce qui est un arrondi de 1/√3 vers le haut, délibéré et documenté, et 20,0 % au-dessus de Tresca. L'Eurocode est explicite plutôt qu'arrondi : l'EN 1993-1-1 §6.2.6 écrit Vpl,Rd = Av·(fy/√3)/γM0, et le √3 de cette formule c'est von Mises, énoncé en toutes lettres. La NBR 8800 suit la convention 0,60. L'EN 1993-1-1 §6.2.1(5) va plus loin et vous donne le critère à découvert, sous la forme de la vérification σ² + 3τ² ≤ fy².

Voici maintenant la partie qui vaut plus que tout le débat sur les critères. Appliquez les trois constantes à la résistance au cisaillement du même IPE 450 et les réponses ne s'alignent pas comme les constantes le suggèrent :

L'AISC, avec la constante la plus généreuse des trois, atterrit à 901,0 kN, soit à moins de 0,2 % de la réponse que donne le critère le plus conservateur sur l'aire européenne. La raison est que les deux normes ne s'accordent pas sur ce qu'est l'aire de cisaillement. L'EN 1993-1-1 §6.2.6(3) inclut les congés entre semelle et âme et donne Av = A − 2b·tf + (tw + 2r)·tf = 50,85 cm². L'AISC prend la hauteur totale multipliée par l'épaisseur d'âme, 45,0 × 0,94 = 42,30 cm², soit 16,8 % de moins.

La leçon n'est pas qu'une norme a raison. C'est que le critère est un terme dans un produit, et que les autres termes sont tout aussi capables de déplacer la réponse de 15 %. Se disputer sur von Mises et Tresca en ignorant la définition de l'aire, c'est se disputer sur la plus petite moitié.

Une poutre, c'est une anecdote. Pour voir si le choix du critère compte à l'échelle d'une ossature réelle, un portique à une travée a été résolu sur le même moteur : 20,0 m de portée, 6,0 m sous arbalétrier, poteaux HEA 300, traverses IPE 400, 12,0 kN/m en toiture et 4,5 kN/m de charge latérale sur le poteau au vent, pieds articulés. Les deux critères ont ensuite été appliqués à 41 hauteurs des huit extrémités de barre, avec la contrainte axiale N/A superposée sur chaque fibre.

Le résultat est déséquilibré :

• Six des huit extrémités ont montré un écart de 0,000 %. Sur chacune d'elles le point déterminant est la fibre extrême, où les contraintes axiale et de flexion s'additionnent et où la contrainte de cisaillement est nulle.
• Deux extrémités ont dépassé 1 %, à 10,53 % et 14,14 %. Ce sont toutes deux les pieds de poteau articulés, où M = 0 par définition et où la section ne reprend que N et V, donc le point déterminant descend sur l'axe neutre.
• Ces deux extrémités tournent à des taux de travail de 0,051 et 0,104. L'ossature est gouvernée par les moments au faîtage et aux arbalétriers, à 0,764 et 0,679, où les critères coïncident exactement.
• L'écart moyen sur les huit extrémités vaut 3,08 %, une statistique qui ne décrit rien : c'est la moyenne de six zéros et de deux nombres provenant des sections les moins chargées de l'ossature.

Pendant ce temps l'axe neutre de chacune de ces huit sections porte l'écart plein de 15,470 %, en permanence. Simplement, il ne porte jamais plus de 33,1 % de la contrainte déterminante de la section, et au faîtage il en porte 3,1 %.

Telle est la forme générale de la réponse. Dans les ossatures dimensionnées barre par barre, le choix du critère est quasiment gratuit. Il cesse d'être gratuit dès l'instant où le cheminement des efforts passe par quelque chose de mince et de court : un plat d'assemblage, une âme de poutre grugée, un gousset, un tronçon court, un panneau d'âme dans un assemblage de continuité, une ouverture raidie. Ce sont les détails pour lesquels vous devriez savoir quel critère votre logiciel utilise, et ce sont exactement les détails sur lesquels on braque un modèle plaque en éléments finis.

Les deux critères ne sont pas deux opinions. Ce sont deux hypothèses sur ce qui déclenche physiquement la plastification dans un métal ductile, et les expériences sont tombées depuis longtemps.

Tresca (1864) a proposé que la plastification démarre quand la contrainte de cisaillement maximale atteint une valeur critique. C'est simple, c'est sûr, et l'image physique est nette : les métaux plastifient par glissement sur des plans, et le glissement est piloté par le cisaillement.

von Mises (1913), avec Huber devant lui en 1904 et Hencky lui donnant sa lecture physique en 1924, a proposé que le déclencheur soit l'énergie de distorsion stockée dans le point, ce qui revient à parler du second invariant du déviateur des contraintes. C'est pourquoi la pression hydrostatique n'y apparaît pas : la pression change le volume, pas la forme.

Taylor et Quinney (1931) ont tranché expérimentalement. Ils ont chargé des tubes à paroi mince en cuivre, en aluminium et en acier doux en traction et torsion combinées, ce qui est exactement l'état combiné σ et τ d'une âme de poutre, et ont mesuré où la plastification démarrait réellement. Les points se sont placés entre les deux surfaces et systématiquement bien plus près de l'ellipse. Pour les métaux ductiles avec lesquels nous construisons, von Mises colle simplement mieux.

Deux conséquences pratiques en découlent, et elles pointent dans des directions opposées :

• Les normes de construction métallique utilisent von Mises, parce que pour un matériau qui plastifie de façon ductile, les 15,470 % supplémentaires en cisaillement sont de la capacité réelle et pas de l'optimisme. Le √3 du Vpl,Rd de l'EN 1993-1-1 est cette décision.
• Tresca a survécu là où les conséquences sont pires. L'ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Section VIII Division 2, a tourné sur Tresca, sous le nom d'intensité de contrainte, pendant des décennies. Il est passé à von Mises lors de la refonte de 2007 de la Partie 5, pour la même raison que les normes acier.

Tresca survit aussi comme outil de calcul à la main, et il le mérite. Il ne demande aucune racine carrée d'une somme, il est toujours du côté sûr, et si une vérification Tresca passe alors la vérification von Mises passe aussi, garanti, sans travail supplémentaire. Échouer à Tresca de moins de 15,470 % est la seule situation qui vous oblige à reprendre et à faire les choses proprement.

• Comparer une contrainte équivalente à fu au lieu de fy. Les deux critères sont des critères de plastification. Ils ne disent rien de la rupture, et la réserve ductile entre fy et fu n'est pas la leur à décrire.
• Ajouter une contrainte de von Mises à une autre contrainte de von Mises. La contrainte équivalente est un scalaire dérivé d'un état. Deux d'entre elles ne se superposent pas : on superpose d'abord les composantes σ et τ, puis on applique le critère une seule fois. L'appliquer deux fois et additionner les résultats est une erreur réelle et courante, et elle va dans le sens de l'insécurité pour certaines combinaisons.
• Lire la contrainte EF de pointe comme une sollicitation normative. Un modèle plaque vous donne la pointe de 186,43 MPa ; la norme écrit sa vérification sur la moyenne de 124,29 MPa. Cela fait 50 % de différence, trois fois l'écart entre critères, et mélanger les deux bases est la façon dont un plat parfaitement correct se retrouve épaissi.
• Courir après l'axe neutre. Il montre toujours l'écart maximal entre critères et il ne gouverne presque jamais. Vérifiez le point déterminant, pas le plus intéressant.
• Appliquer une vérification de von Mises à un élément fragile ou gouverné par le flambement. Aucun des deux critères ne connaît l'instabilité, et aucun n'est valable pour un matériau qui rompt sans plastifier. Une âme élancée ruine par voilement par cisaillement bien avant d'atteindre 0,5774 fy, et aucun critère ne vous préviendra.
• Supposer que le nombre de votre logiciel est comparable à celui de la norme. Le critère, la définition de l'aire et la convention pointe contre moyenne sont trois choix indépendants. Sur cet IPE 450 ils valaient respectivement 15,5 %, 16,8 % et 50 %.

• Estimez k = τ/σ au point déterminant avant de débattre. En dessous de k = 0,15 le choix du critère vaut moins de 1 % et le débat ne mérite pas d'être tenu.
• Repérez les éléments critiques en cisaillement et traitez-les à part. Plats d'assemblage, âmes grugées, goussets, tronçons courts, panneaux d'âme. C'est là que les 15,470 % se transforment en épaisseur de plat.
• Quand vous utilisez Tresca, utilisez-le comme filtre de réussite. Une vérification Tresca qui passe garantit une vérification von Mises qui passe. Seul un échec à Tresca demande la seconde passe.
• Lisez la constante, pas le nom du critère. 0,500, 0,5774 et 0,600 fy sont trois livres différents, et l'aire de cisaillement qu'ils multiplient peut déplacer la réponse plus qu'eux.
• Gardez la pointe et la moyenne sur des lignes séparées. Dites laquelle vous citez, à chaque fois.

La platine qui ouvrait cet article est un bon endroit où s'arrêter. Elle est à 322,90 MPa ou 372,86 MPa selon le critère, à 0,910 ou 1,050 selon le critère, et à 0,606 si vous la vérifiez comme l'AISC 360 J4.2 vous le demande réellement, sur le cisaillement moyen de la section brute. Les trois nombres sont des réponses correctes à trois questions différentes. L'ingénierie consiste à savoir à partir de quelle question le plan sera construit.