Contrainte dans un fil : pourquoi une barre tendue n'a qu'un seul nombre, avec une vérification chiffrée

Voici une travée que vous pourriez modéliser en cinq minutes. Six mètres de large, quatre mètres de haut, poteaux HEA 200, poutre IPE 300, assemblages articulés partout, et une paire de ronds croisés de 25 mm reprenant 120 kN d'effort tranchant d'étage. C'est la charpente la plus ordinaire du monde.

Dessinez les deux ronds, lancez le calcul, lisez les réponses. La diagonale tendue reprend 70,293 kN. Face à une barre de 25 mm en S355, dont la résistance plastique en traction vaut 174,26 kN, cela fait un taux de travail de 0,403. Le déplacement horizontal d'étage vaut 6,628 mm pour une limite H/400 de 10,0 mm. Tout passe avec de la marge.

Chacun de ces nombres est faux, et ils le sont à cause d'une seule décision de modélisation que personne n'a prise consciemment. L'autre diagonale est ressortie à -73,930 kN. Elle est comprimée. Un rond de 25 mm couvrant la diagonale de 7,2111 m a une charge d'Euler de 0,728 kN. Le modèle lui a demandé de reprendre cent fois ce qu'elle peut, et elle l'a fait sans broncher, parce qu'une matrice de rigidité linéaire n'a aucun moyen de savoir qu'un rond est un fil.

Retirez ce rond, ce qui est ce qui se passe physiquement, et la diagonale survivante reprend 144,222 kN. Taux de travail sur la section brute 0,828. Déplacement 13,599 mm, au-delà de la limite. Et vérifiez ensuite le filetage, parce que le rond est fileté M24 à la chape, et que la résistance y vaut 124,54 kN. Taux de travail 1,158. Le contreventement ruine.

Trois réponses sont sorties d'une seule pièce : 0,403, 0,828, 1,158. Cet article explique pourquoi la première est apparue, pourquoi la contrainte dans un fil est l'état de contrainte le plus simple de toute la mécanique et produit pourtant l'erreur de modélisation la plus coûteuse d'une ossature métallique, et ce que la norme vérifie réellement quand elle vérifie un nombre unique.

En physique, un fil est une idéalisation à deux propriétés, et il vaut la peine de les énoncer comme des interdits plutôt que comme des qualités, car ce sont les interdits que l'analyse doit respecter.

Il n'a pas de rigidité de flexion. EI est pris égal à zéro, donc il ne peut pas reprendre de moment, ne peut pas résister à la courbure, et prend la forme que les charges lui donnent. Un fil pendu à un crochet est droit ; suspendez-y un poids à mi-longueur et il devient deux segments droits ; répartissez le poids et il devient une chaînette. La géométrie est un résultat, pas une donnée.

Il ne peut pas pousser. Traction seule. Essayez de rapprocher ses extrémités et il ne résiste pas, il se détend. Sa courbe effort-déplacement n'a pas de branche négative, seulement un palier à zéro.

Un vrai tirant en acier n'est pas un fil. Il a un EI bien réel, il reprend un petit moment, et si vous le comprimez assez fort il résiste jusqu'à sa charge de flambement. La question n'est pas de savoir si l'idéalisation est exacte, mais si les erreurs qu'elle commet sont petites. Pour le rond de la travée traitée, l'élancement L/r vaut 1153,8. Les normes plafonnent les pièces comprimées à 200 et les pièces tendues à 300. À 1153,8, la rigidité flexionnelle n'est pas petite, elle est sans objet : le rond est un fil à la précision de tout ce que vous pourriez mesurer.

Voilà le test à appliquer. Une pièce est un fil quand son élancement est assez élevé pour que EI cesse de compter, et en construction métallique cela couvre les contreventements à ronds, les contreventements à câbles, les tirants antiflambement de pannes, les suspentes, les ancrages et l'essentiel de ce qui tient une marquise en place.

La contrainte en un point d'un solide est un tenseur du second ordre : neuf composantes, dont six indépendantes une fois que l'équilibre des moments impose la symétrie. Demander « la contrainte » sans nommer un plan est normalement une question incomplète, car la réponse change avec l'orientation de la coupe.

Dans un fil, elle n'est pas incomplète, et il vaut la peine de voir exactement pourquoi chaque composante disparaît.

• σx = T/A. La seule survivante. L'effort axial divisé par l'aire, uniforme sur la section parce qu'aucun moment ne vient la faire varier.
• Aucun σ de flexion. EI est nul, donc M est nul, donc le terme My/I qui remplit la section d'une poutre d'un gradient linéaire de contrainte est purement absent.
• τxy = τxz = 0. Le cisaillement dans une pièce vient du gradient du moment. Pas de moment, pas de gradient, pas de VQ/It.
• σy = σz = τyz = 0. La surface latérale du rond est libre. Rien n'appuie dessus, donc les contraintes normales transversales s'annulent en surface et, dans une pièce élancée sans charge transversale, partout ailleurs aussi.

Il reste un tenseur à une seule entrée non nulle. Sur le rond traité, avec T = 144,222 kN et A = 490,87 mm², cette entrée vaut σ = 293,81 MPa et les huit autres sont nulles à la précision machine.

La conséquence est tout le propos de cet article. Un critère de plasticité est une règle qui transforme six nombres en un seul, et s'il existe plus d'un critère, c'est que des règles raisonnables peuvent diverger. Sur ce tenseur, elles ne le peuvent pas. Les contraintes principales valent (293,81, 0, 0). Von Mises renvoie 293,81 MPa. Tresca renvoie 293,81 MPa. La contrainte principale maximale renvoie 293,81 MPa. La simulation calcule les trois et vérifie que l'écart entre elles est inférieur à 10⁻⁹ MPa ; il ressort exactement à 0,0.

Ainsi, quand la norme écrit σ ≤ fy pour un tirant, elle n'applique pas un substitut calibré pour quelque chose de plus compliqué, comme elle le fait quand elle vérifie la fibre extrême d'une poutre en ignorant discrètement le cisaillement qui y agit. Pour un fil, σ ≤ fy est le critère. C'est la seule famille de pièces où cela est littéralement vrai.

Il y a un piège à l'intérieur de la bonne nouvelle. Un tenseur à une seule composante n'est pas un état où il ne se passe rien sur les autres plans. C'est un état où les composantes sur les autres plans sont toutes déterminées par un seul nombre, ce qui est une affirmation différente.

Balayez le plan de coupe à travers le rond. Sur la section droite, normale à l'axe, vous lisez σn = 293,81 MPa et τn = 0 : traction pure, pas de cisaillement, et c'est pourquoi la section droite est le plan que tout le monde dessine. Tournez la coupe de 45 degrés et le même état donne σn = 146,90 MPa et τn = 146,90 MPa. Tournez jusqu'à 90 degrés, en coupant le long de l'axe, et les deux sont nuls.

Le plan à 45 degrés porte le cisaillement maximal de tout le matériau, et sa valeur est exactement σ/2. Ce n'est pas une coïncidence propre à ce rond, c'est la géométrie d'un état uniaxial : avec des contraintes principales (σ, 0, 0), le rayon du cercle de Mohr vaut σ/2 et le cercle passe par l'origine.

Deux conséquences méritent d'être emportées. D'abord, une éprouvette d'acier ductile tirée jusqu'à la rupture se strictionne et cisaille sur des plans proches de 45 degrés, et la surface de rupture en cône et cupule que vous sortez d'une machine de traction est une image de ce balayage, et non de la contrainte axiale. Ensuite, la résistance au cisaillement de l'acier sort de la même algèbre. Posez von Mises égal à fy en cisaillement pur et vous obtenez τ = fy/√3 = 0,577 fy, qui est le nombre derrière le 0,6 Fy de l'AISC et derrière le Vpl,Rd de l'EN 1993-1-1. Le fil est l'endroit où cette relation est la plus facile à voir, parce que dans un fil le cisaillement maximal est visiblement la moitié de ce que vous venez de calculer.

Le modèle est volontairement dépouillé. Quatre nœuds, les deux pieds articulés, une travée de 6,0 m par 4,0 m, poteaux HEA 200, une poutre IPE 300 à extrémités articulées, et deux ronds croisés de 25 mm à extrémités articulées, de sorte que la travée est un vrai treillis et que chaque pièce ne reprend que de l'effort axial. Une charge horizontale unique de 120 kN est appliquée au nœud supérieur gauche.

Avant de faire confiance à quoi que ce soit que le moteur dit de cette travée, le même script exécute un étalonnage : une IPE 400 sur deux appuis simples sous charge uniforme, vérifiée contre wL²/8, wL/2 et 5wL⁴/384EI. Les trois concordent à six décimales. C'est le filtre ; rien de ce qui suit n'est cité s'il ne passe pas.

La travée est ensuite résolue deux fois. Une fois avec les deux diagonales dans le modèle, ce que fait une analyse linéaire par défaut. Une fois avec la boucle de désactivation que l'API CalcSteel exécute réellement sur les tirants : résoudre, chercher tout tirant comprimé, le retirer du modèle, résoudre à nouveau, et s'arrêter quand plus rien n'est comprimé. Sur cette travée, la boucle a convergé en deux itérations. La première résolution a trouvé d2 à -73,930 kN, l'a retirée, et la seconde n'a plus rien trouvé en compression.

Notez ce que désactiver veut dire : la pièce est retirée, pas assouplie. Pas de module réduit, pas de rigidité résiduelle, pas de ressort unilatéral. Un rond détendu n'apporte rien du tout, et la façon honnête de modéliser rien est de l'enlever.

Avec une seule diagonale, la travée devient isostatique, et c'est ce qui rend cet exemple digne d'être publié : la réponse est vérifiable à la main, exactement. Écrivez l'équilibre des moments et vous obtenez T = H · Ld / W = 120 · 7,2111 / 6,0 = 144,222 kN, avec la poutre à -120 kN et le poteau sous le vent à -80,0 kN. Le moteur renvoie les trois, et la simulation vérifie chacun contre la forme fermée à mieux que 0,001 %.

Le calcul linéaire n'est pas manifestement cassé. Il satisfait l'équilibre : les deux diagonales ensemble délivrent (70,293 + 73,930) · 6,0/7,2111 = 120,0 kN d'effort tranchant horizontal, exactement la charge appliquée. Il satisfait la compatibilité. Rien n'est signalé dans les résultats. Vous les liriez et vous valideriez la travée.

Ce qu'il viole est un fait de comportement : l'une de ces pièces ne peut pas reprendre l'effort qui lui est attribué. Le rond de 25 mm sur la diagonale de 7,2111 m a I = 19 174,8 mm⁴ et r = 6,25 mm, donc sa charge d'Euler vaut π²EI/L² = 0,728 kN. Le modèle lui a donné 73,930 kN de compression. C'est 101,6 fois sa capacité au flambement, et 0,5 % de la traction que l'autre rond doit réellement reprendre.

Une fois la fiction supprimée, les nombres bougent ensemble :

• La traction passe de 70,293 kN à 144,222 kN, un facteur de 2,0517.
• Le déplacement passe de 6,628 mm à 13,599 mm, un facteur de 2,0517 à quatre décimales, parce que retirer l'un de deux ressorts identiques divise par deux la rigidité latérale de la travée.
• La vérification de service bascule. H/400 sur un étage de 4,0 m donne 10,0 mm. Le modèle linéaire passe à 6,628 mm. La travée réelle ne passe pas, à 13,599 mm.

Inversez la charge et l'image est symétrique : d1 se détend, d2 reprend 144,222 kN, et la simulation vérifie que l'intensité est identique. C'est la raison d'être des deux ronds. Ils ne se partagent pas la charge, ils se relaient, et chacun doit être dimensionné pour la totalité. Une croix de contreventement, ce sont deux pièces faisant le travail d'une seule dans deux directions, et une analyse linéaire y lit deux pièces se partageant un seul travail, ce qui est le même dessin et l'ingénierie inverse.

L'effort une fois fixé, la contrainte est de l'arithmétique. Une barre ronde de 25 mm a A = πd²/4 = 490,87 mm², et la simulation vérifie l'aire du registre contre cette forme fermée plutôt que de faire confiance au tableau. Donc :

σ = T/A = 144 222 N / 490,87 mm² = 293,81 MPa

Face à fy = 355 MPa, cela fait un taux de travail de 0,828, et par l'argument des sections précédentes ce nombre unique est l'état de contrainte complet de la pièce. Comparez-le à ce qu'aurait donné le modèle linéaire : 143,20 MPa, taux de travail 0,403. Même rond, même article de norme, même acier.

Mais 490,87 mm² n'est pas l'aire partout. Un tirant doit s'attacher à quelque chose, et le détail habituel est un filetage à chaque extrémité, dans une chape ou un tendeur. Filetez un M24 sur une tige de 25 mm et la section qui résiste n'est pas la tige, c'est la section résistante en traction du filetage : As = 353 mm² selon l'ISO 898-1. Cela fait 28,1 % du métal en moins, à la seule section où l'effort est le plus élevé et où la géométrie concentre les contraintes.

Voilà pourquoi les normes vérifient les pièces tendues deux fois, et pourquoi les deux vérifications utilisent des propriétés de matériau et des coefficients de sécurité différents. Ce n'est pas de la ceinture et bretelles, ce sont deux modes de ruine réellement différents.

L'EN 1993-1-1 §6.2.3 demande la plus petite de deux résistances.

Plastification de la section brute. Npl,Rd = A fy / γM0 = 490,87 · 355 / 1,0 = 174,26 kN. C'est un état limite de ductilité : la pièce entière plastifie, s'allonge visiblement et redistribue. Il se vérifie contre fy avec γM0 = 1,0.

Rupture de la section nette. Nu,Rd = 0,9 Anet fu / γM2 = 0,9 · 353 · 490 / 1,25 = 124,54 kN. C'est un état limite de rupture en une seule section, sans avertissement et sans redistribution, et c'est pourquoi il utilise fu, le γM2 = 1,25 plus sévère, et le 0,9 supplémentaire. Le 0,9 n'est pas un arrondi : c'est le calage qui rend la ruine par rupture moins probable que la plastification, de sorte qu'une pièce surchargée plastifie d'abord et vous prévient.

Pour le rond traité, la résistance vaut min(174,26 ; 124,54) = 124,54 kN pour une sollicitation de 144,222 kN. Taux de travail 1,158. Elle ruine.

L'AISC 360 arrive au même endroit par un autre chemin. Le chapitre D2 donne φPn = 0,90 Fy Ag pour la plastification et 0,75 Fu Ae pour la rupture, ce qui pour un rond de nuance Grade 50 avec Fu = 450 MPa donne 152,42 kN et 119,14 kN, la rupture gouvernant à 119,14 kN et un taux de travail de 1,211. Pour les ronds filetés en particulier, la table J3.2 vous permet de laisser de côté la section nette et d'utiliser Fnt = 0,75 Fu sur l'aire brute du boulon, ce qui donne ici 124,25 kN, à 0,3 % près de la réponse européenne en section nette.

Ce 0,75 forfaitaire mérite un second regard, car il se lit habituellement comme un coefficient arbitraire. Il ne l'est pas. Calculez As/Ab sur toute la série métrique à pas gros et vous obtenez 0,745 à M12, 0,780 au milieu de la gamme, et 0,803 à M36. Le 0,75 de l'AISC est ce rapport géométrique arrondi vers son extrémité sécuritaire. La spécification vous dit la même chose que l'ISO 898-1, en un nombre au lieu d'un tableau.

La correction sur cette travée est de l'arithmétique, une fois que vous savez quelle vérification gouverne. La section résistante nécessaire vaut 144 222 · 1,25 / (0,9 · 490) = 408,8 mm², donc M27 avec As = 459 mm² est le plus petit filetage qui convient, à un taux de travail de 0,891. La tige passe à 30 mm pour le porter. La barre a pris 44 % de poids à cause de quelques centimètres à chaque extrémité.

Tout ce qui précède repose sur une affirmation : la diagonale comprimée n'apporte rien. Il vaut la peine de mettre un nombre dessus plutôt que de l'affirmer, car « le tirant se détend » est le genre de phrase que l'on croit sans la vérifier.

Le rond fait 25 mm de diamètre sur une diagonale de 7,2111 m, articulé aux deux extrémités. Son rayon de giration vaut d/4 = 6,25 mm, donc l'élancement vaut 1153,8. À titre de comparaison, l'EN 1993-1-1 et la plupart des annexes nationales recommandent de rester sous 200 pour les pièces comprimées et sous 300 pour les pièces tendues ; on est ici à près de quatre fois la plus large des deux limites. En termes adimensionnels λ̄ = 15,47, là où les courbes de flambement cessent d'être tracées.

La charge d'Euler suit : Ncr = π²EI/L² = π² · 200 000 · 19 174,8 / 7 211,1² = 0,728 kN. Mettez-la à côté de la résistance en traction du même rond, 174,26 kN, et le rapport vaut 239,4. Mettez-la à côté de l'effort que la pièce doit réellement reprendre, 144,222 kN, et la capacité en compression en représente 0,5 %.

Autrement dit, le rond n'est pas simplement plus faible en compression, il est absent. Zéro est un meilleur modèle de 0,728 kN, dans une travée où l'effort de travail vaut 144 kN, que 0,728 kN ne l'est. Le modéliser comme une pièce tendue seule n'est pas une simplification sécuritaire ; c'est la simplification exacte.

Vous pouvez voir l'effondrement vous-même. Mettez la même section circulaire de 25 mm dans le calculateur de flambement ci-dessous avec une longueur de 7,2111 m et des extrémités articulées, et regardez la capacité tomber sous le bas du graphique. Puis raccourcissez-la à 1 m et regardez-la revenir. Rien n'a changé dans le matériau ; seul L² a changé.

Il reste une hypothèse cachée dans l'analyse, et c'est l'inverse de la première. Le modèle linéaire laissait à tort le rond pousser. Il a aussi supposé que le rond délivre toute sa rigidité axiale EA dès le premier newton de traction, et ce n'est pas vrai non plus.

Un rond tendu sur une diagonale porte son propre poids. La barre de 25 mm pèse 3,85 kg/m, donc w = 37,79 N/m sur 7,2111 m. Sous une traction T, elle pend en chaînette avec une flèche d'environ wL²/8T. Tirez un millimètre de plus sur les extrémités et une partie va redresser la courbe plutôt qu'allonger l'acier, donc la rigidité que vous obtenez réellement est inférieure à EA. La façon classique de l'écrire est le module effectif d'Ernst, Eeff = E / (1 + w²L²AE/12T³), et son comportement est spectaculaire parce que T apparaît au cube.

• À 1 kN, le rond prend une flèche de 245,6 mm et délivre Eeff/E = 0,0016. C'est une courbe suspendue avec un boulon à chaque bout, et au vent elle va claquer.
• À 10 kN, la flèche vaut 24,6 mm et Eeff/E = 0,6221. Mieux, et toujours 38 % en dessous de la rigidité supposée par le modèle.
• À 50 kN, la flèche vaut 4,9 mm et Eeff/E = 0,9952. C'est la première ligne du balayage au-dessus de 0,99, et cela représente 34,7 % de la traction de calcul.
• À la traction de calcul de 144,222 kN, la flèche vaut 1,7 mm et Eeff/E = 0,9998. Là, le fil est vraiment une barre.

L'hypothèse élastique linéaire se mérite donc, elle n'est pas gratuite. Elle se mérite au-dessus d'environ un tiers de la charge de calcul, ce qui est exactement l'argument d'ingénieur pour précontraindre un contreventement à ronds avec un tendeur plutôt que de se contenter de le boulonner en comptant sur le vent pour rattraper le mou. La précontrainte n'est pas là pour rendre le rond plus résistant. Elle est là pour rendre le modèle vrai.

La réponse propre vaut pour la longueur libre d'un tirant droit, tendu et chargé axialement. Il vaut la peine de nommer les endroits où elle ne vaut pas, car ce sont les endroits où les tirants ruinent réellement.

Aux extrémités. Une chape, une fourche ou une oreille soudée bride le rond et l'oblige à fléchir quand la géométrie bouge. La flexion revient, donc le σ dû à M revient, et il se superpose au σ = T/A complet de la longueur libre. C'est un effet local sur une longueur de quelques diamètres, et c'est une des raisons pour lesquelles les tirants se détaillent avec des axes plutôt qu'avec des boulons encastrés.

Au filetage. Le changement de section concentre les contraintes, et le pic local est bien au-dessus des 408,6 MPa que vous obtenez en divisant l'effort par As. Pour le dimensionnement statique, la norme s'en occupe en utilisant fu et γM2, comme ci-dessus. Pour un contreventement qui voit des milliers d'inversions de charge, la fatigue au premier filet en prise est une vérification distincte avec sa propre catégorie de détail, et c'est là que les contreventements à ronds cassent en pratique.

Sous charge transversale. Dès qu'un rond porte quoi que ce soit en travers de sa longueur, y compris son propre poids à faible traction, la forme devient une partie du problème. C'est le régime de chaînette de la section précédente, et c'est un problème géométriquement non linéaire, pas un problème de contrainte.

Dans la structure environnante. Retirer une pièce change le cheminement des efforts partout, et pas seulement dans le contreventement. Dans la travée traitée, la poutre est passée de -58,487 kN à -120,0 kN et le poteau sous le vent de -38,991 kN à -80,0 kN quand d2 est sortie. Si vous corrigez le contreventement et laissez la poutre et les poteaux sur les anciens nombres, vous avez déplacé l'erreur au lieu de la corriger.

Six points, dans l'ordre de leur importance.

1. Déclarez la pièce comme tirant, pas comme barre. Dans CalcSteel c'est le type de classe ; dans tout autre logiciel c'est l'option traction seule ou sans compression. Si le logiciel n'a pas cette option, modélisez une diagonale par sens de charge et lancez les deux.
2. Vérifiez le signe de chaque diagonale dans les résultats. Un tirant qui affiche de la compression n'est pas une petite erreur à noter ; c'est l'analyse qui vous dit qu'elle a résolu une autre structure.
3. Faites-le par cas de charge, pas une fois pour toutes. Un rond détendu sous un vent venant de la gauche travaille sous un vent venant de la droite. Le désactiver pour tout le modèle serait aussi faux que de le laisser en place.
4. Dimensionnez les deux ronds pour l'effort complet. Ils se relaient ; ils ne se partagent rien.
5. Vérifiez le filetage, pas la barre. Nu,Rd sur la section résistante en traction est la résistance déterminante pour presque tous les tirants filetés, et c'est celle que l'on saute.
6. Revérifiez le déplacement après la correction. Diviser par deux la rigidité du contreventement déplace les états limites de service, et c'est souvent le déplacement qui gouverne une travée contreventée au bout du compte.

Et une chose à ne pas faire : ne modélisez pas le tirant comme une barre très souple pour « aider la convergence ». Une petite rigidité résiduelle en compression injecte un effort dans une pièce physiquement détendue, ce qui ressort comme une erreur égale et opposée ailleurs dans l'ossature. Retirez-le ou gardez-le ; il n'y a rien de raisonnable entre les deux.

Il y a une jolie symétrie dans la façon dont cette affaire tourne mal. Le fil est l'objet le plus facile de la résistance des matériaux. Son tenseur des contraintes a une seule entrée, tous les critères de plasticité s'accordent dessus, et la vérification qu'écrit la norme est le critère lui-même plutôt qu'une approximation calibrée de celui-ci. Si l'analyse des contraintes était la partie difficile, les tirants seraient les pièces les plus sûres d'un bâtiment.

La difficulté n'est pas dans la contrainte, elle est dans l'effort. Obtenir T exige que l'analyse sache quelque chose qu'une matrice de rigidité n'a aucun moyen d'exprimer : que cette pièce n'a pas de branche négative. Omettez cela et tous les nombres en aval sont faux d'un facteur deux, et chacun d'eux est individuellement plausible.

La travée de cet article a passé trois vérifications qu'elle aurait dû rater. Elle a affiché 0,403 sur le contreventement quand la réponse était 0,828 sur la section brute et 1,158 au filetage. Elle a affiché 6,628 mm de déplacement pour une limite de 10,0 mm quand le chiffre réel valait 13,599 mm. Et elle a fait tout cela en satisfaisant exactement l'équilibre, ce qui explique que rien dans les résultats n'avait l'air faux.

La version pratique de tout ce qui précède tient donc en une ligne. Dans un fil la contrainte est un seul nombre, et tout le travail consiste à s'assurer que c'est le bon.