Distribution des Moments (Hardy Cross) : la Méthode Qui a Bâti le XXe Siècle, sur un Portique

Pendant la quasi-totalité du XXe siècle, chaque portique rigide en béton et en acier que vous pouvez nommer a été résolu sans ordinateur. Les ingénieurs qui les ont conçus avaient une méthode, et pendant une trentaine d'années elle fut la méthode : la distribution des moments, publiée par Hardy Cross en 1930. Avec rien de plus qu'un rapport de rigidité, un moment d'encastrement et beaucoup de patience, elle a rendu les portiques hyperstatiques résolubles au crayon, et elle est restée la méthode la plus pratiquée en analyse des structures jusqu'à ce que les ordinateurs prennent le relais dans les années 1960.

Ce guide enseigne cette méthode jusqu'au bout, et il se termine là où la méthode a gagné sa réputation : un portique rigide, le squelette à deux poteaux et une traverse sous presque tout hangar et entrepôt jamais construits. Vous allez bloquer les noeuds, écrire les moments d'encastrement, puis libérer le portique noeud par noeud en regardant le moment se redistribuer jusqu'à l'équilibre, exactement comme Cross l'a enseigné. Chaque nombre ici a été produit par le moteur d'éléments finis de CalcSteel et vérifié contre le calcul à la main à mieux qu'un dixième de pour cent.

Nous l'avons écrit pour trois lecteurs. Si vous êtes étudiant et que vous rencontrez cela en Analyse des Structures ou Structures I, c'est l'exemple résolu que votre cours n'a pas le temps de terminer. Si vous êtes ingénieur concepteur ou calculateur indépendant, c'est la vérification de bon sens que vous pouvez mener de tête avant de faire confiance au logiciel. Et si vous connaissez déjà la méthode des rotations, celle-ci est sa cousine rapide : pas de systèmes d'équations, juste équilibrer et reporter.

Le calculateur de portiques de CalcSteel est gratuit, tourne dans votre navigateur sans connexion pour le calcul, et résout le même portique que cet article traite à la main. Vous pouvez vérifier chaque valeur ci-dessous contre lui en lisant.

Prenez un portique à une travée avec des angles rigides et des pieds encastrés. Détachez-le du sol et comptez les réactions inconnues : chaque base encastrée porte une force horizontale, une force verticale et un moment, soit six composantes de réaction en tout. La statique ne donne que trois équations dans le plan, ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 et ΣM = 0. Six inconnues, trois équations : le portique est hyperstatique de degré trois. L'équilibre seul ne trouve pas les moments. Il existe une infinité de systèmes de forces qui équilibrent les charges, et un seul d'entre eux maintient aussi le portique continu aux genoux rigides.

Cette information manquante est la rigidité. La vraie réponse est celle où les barres fléchissent selon une forme qui s'ajuste à chaque noeud, et plus une barre est rigide, plus grande est la part de moment qu'elle attire vers elle. Toute méthode qui résout le portique, que ce soit la méthode des rotations, la méthode des éléments finis ou celle de cet article, n'est en réalité qu'une façon d'imposer cette compatibilité.

Avant Hardy Cross, la voie pratique était celle des rotations : écrire une équation de compatibilité à chaque noeud et résoudre le système. Pour une poutre à deux travées, ce sont deux équations. Pour un portique à plusieurs étages, ce sont des dizaines, à la main, sans bibliothèques matricielles pour aider. L'idée de Cross fut de sauter entièrement le système et d'atteindre la même réponse par approximations successives. Si vous voulez le test formel du degré d'hyperstaticité d'une structure avant de commencer, notre note sur la détermination statique et la stabilité compte les degrés pour vous.

L'histoire a une date et un lieu. En mai 1930, Hardy Cross, alors professeur à l'Université de l'Illinois, soumit un article de dix pages aux Proceedings de l'American Society of Civil Engineers, intitulé Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments. Il fit l'effet d'une petite révolution. Quand la discussion formelle fut publiée environ deux ans plus tard, trente-huit commentateurs avaient ajouté près de 146 pages de débat. Des années 1930 jusqu'à ce que les ordinateurs deviennent courants dans les bureaux, la distribution des moments fut la méthode la plus pratiquée en analyse des structures.

• Vers 1915, les rotations. G. A. Maney et d'autres formalisent la méthode des rotations, qui relie les moments d'extrémité aux rotations et au déplacement des noeuds. Elle est exacte, mais exige de résoudre des systèmes d'équations à la main.
• 1930, la distribution des moments. Hardy Cross remplace le système par l'itération. Bloquez les noeuds, puis libérez-les un à un et laissez le déséquilibre circuler dans la structure. La réponse émerge par approximations successives, et l'arithmétique est à la portée d'un jeune ingénieur à son bureau.
• Des années 1930 aux années 1950, l'ère de la bête de somme. Bâtiments à portiques, ponts et réservoirs du monde entier sont dimensionnés sur des tableaux de distribution. La méthode s'étend aux portiques à plusieurs étages, aux barres non prismatiques et au déplacement latéral, le tout à la main.
• À partir de 1956, matriciel et éléments finis. Turner, Clough, Martin et Topp publient la formulation en rigidité qui devient la méthode des éléments finis. L'ordinateur résout justement les systèmes d'équations que Cross avait contournés, et il le fait pour dix mille barres à la fois.

La distribution des moments n'est jamais devenue fausse, seulement minoritaire. Elle reste la façon la plus rapide de comprendre pourquoi un portique se comporte comme il le fait, et la vérification à la main la plus sûre d'un solveur. Quand le moteur de CalcSteel trace le diagramme d'un portique en millisecondes, il termine le travail que Cross a commencé, sur la même physique.

La distribution des moments a la réputation d'être fastidieuse, mais elle est bâtie sur quatre idées seulement. Comprenez-les et le reste n'est que comptabilité.

1. Moments d'encastrement (par où vous commencez)

Imaginez chaque noeud bloqué, incapable de tourner. Chaque barre chargée se comporte alors comme une poutre bi-encastrée, et les moments qu'elle exerce sur ces encastrements sont ses moments d'encastrement. Ils sont tabulés pour toute charge courante. Pour une charge uniforme w sur une portée L, la valeur est wL²/12 à chaque extrémité. Pour une charge ponctuelle centrale P, c'est PL/8. Ce sont les moments que la structure porterait si aucun noeud ne pouvait tourner, et ce sont les nombres de départ de tout le tableau.

2. Rigidité (qui résiste à la rotation)

Quand vous libérez un noeud, les barres qui s'y rejoignent se partagent le travail de résister à sa rotation en proportion de leur rigidité rotationnelle, k = 4EI/L pour une barre dont l'extrémité opposée est encastrée. Une barre courte et haute est rigide et tient bon ; une barre longue et élancée est souple et cède. Si l'extrémité opposée est une articulation, la rigidité tombe à 3EI/L, une correction qui compte à tout appui simple.

3. Facteur de distribution (la part de chaque barre)

À un noeud, le facteur de distribution de chaque barre est sa rigidité divisée par la rigidité totale qui s'y rejoint : DF = k / Σk. Les facteurs d'un noeud somment toujours à 1,0, car le déséquilibre doit aller quelque part. Un poteau rigide à un genou prend la part du lion ; une traverse souple prend ce qui reste.

4. Facteur de report (le moment voyage)

Équilibrer un noeud fléchit chaque barre, et cette flexion envoie aussi un moment à l'extrémité opposée de la barre. Pour une barre prismatique à extrémité opposée encastrée, exactement la moitié du moment d'équilibrage est reportée, donc le facteur de report est 1/2. C'est l'étape qui couple les noeuds et la raison pour laquelle la méthode itère : équilibrer le noeud B perturbe le noeud C, alors vous revenez équilibrer C, ce qui perturbe B, et ainsi de suite jusqu'à ce que les perturbations s'éteignent.

Commencez par le seul nombre sur lequel tout le portique est bâti. Encastrez une poutre aux deux extrémités pour qu'aucune ne puisse tourner, portée L = 8 m, et chargez-la d'une charge uniforme w = 20 kN/m. Quel moment pousse-t-elle dans chaque encastrement ?

La réponse tabulée est M = wL²/12 = 20 × 8² / 12 = 106,67 kN·m de moment négatif à chaque extrémité, la fibre supérieure tendue au-dessus des appuis encastrés. Le moment positif à mi-portée en est la moitié dans l'autre sens, wL²/24 = 53,33 kN·m. Ces deux nombres sont la condition d'encastrement : ce que la poutre porte quand aucun noeud ne peut tourner.

Nous avons bâti cette poutre exacte dans le moteur EF de CalcSteel comme contrôle. Il a renvoyé −106,667 kN·m à chaque extrémité et +53,333 kN·m à mi-portée, coïncidant avec la formule fermée à la troisième décimale. Cet accord n'est pas décoratif. C'est la preuve que le moteur reproduit le cas que vous vérifiez à la main, pour que vous puissiez lui faire confiance sur le portique que vous ne pouvez pas. Retenez les 106,67 kN·m : c'est le nombre qui entre dans le tableau du portique, et observez combien il diminue une fois les noeuds libres de tourner.

Si vous voulez la même idée pour une console ou une poutre appuyée-encastrée, les moments d'encastrement tabulés se trouvent à côté des formules fermées dans notre guide de l'effort tranchant et du moment fléchissant.

Avant le portique, échauffez-vous sur le cas à un seul noeud libre : une poutre continue à deux travées, deux travées égales de L = 6 m, charge uniforme w = 20 kN/m, appuis simples aux deux extrémités et un au milieu. L'appui central est le seul noeud qui peut tourner, il y a donc un équilibrage à faire.

Moments d'encastrement

Bloquez l'appui central. Chaque travée devient une poutre bi-encastrée et livre donc wL²/12 = 20 × 6² / 12 = 60 kN·m à ce noeud. La travée gauche pousse dans un sens, la droite dans l'autre. Comme les deux appuis extérieurs sont des articulations, libérez-les d'abord : une extrémité articulée ne peut porter de moment, donc son moment d'encastrement est relâché et la moitié est reportée vers le noeud central, portant la contribution de chaque travée à wL²/8 = 90 kN·m.

Équilibrez le noeud

Avec des travées égales et une charge égale, les deux contributions sont égales et opposées, donc le noeud central est déjà équilibré : les facteurs de distribution (0,5 et 0,5) répartissent un déséquilibre nul. Le moment négatif au-dessus de l'appui central se fixe à 90 kN·m, la fibre supérieure tendue, ce qui est exactement le −wL²/8 des manuels pour ce cas symétrique.

Ce que renvoie le moteur

Le moteur de CalcSteel donne −90,0 kN·m au-dessus de l'appui central, des réactions d'extrémité de 45 kN chacune, une réaction centrale de 150 kN, et un pic positif de 50,6 kN·m à 2,25 m dans chaque travée. L'appui du milieu porte bien plus que sa part, 150 kN contre 45 kN aux extrémités, car il est rigide et attire la charge vers lui. Chargez une seule travée au lieu des deux, la classique vérification de chargement par cas, et le noeud ne s'équilibre plus gratuitement : le déséquilibre se répartit 0,5 / 0,5 et le moment sur l'appui tombe à wL²/16. C'est la distribution des moments qui fait un vrai travail, et c'est une ligne d'un tableau.

Tout problème de cet article, et tout portique que Hardy Cross a résolu, suit les mêmes cinq étapes. Une fois les nombres dans un tableau, c'est de la pure arithmétique.

1. Bloquez les noeuds et écrivez les moments d'encastrement. Traitez chaque barre comme bi-encastrée, cherchez son moment d'encastrement pour la charge appliquée et inscrivez les deux extrémités dans le tableau avec leurs signes.
2. Calculez les facteurs de distribution à chaque noeud libre. Trouvez la rigidité de chaque barre (4EI/L, ou 3EI/L si son extrémité opposée est une articulation), et divisez par la rigidité totale du noeud. Vérifiez que les facteurs de chaque noeud somment à 1,0.
3. Équilibrez un noeud. Additionnez les moments d'un noeud libre. La somme est le moment de déséquilibre. Distribuez son opposé entre les barres au prorata des facteurs de distribution, de sorte que le noeud somme maintenant à zéro.
4. Reportez. Envoyez la moitié de chaque moment d'équilibrage à l'extrémité opposée de cette barre. C'est ce qui perturbe les noeuds voisins et prépare le tour suivant.
5. Itérez jusqu'à convergence. Passez au noeud suivant, équilibrez, reportez et continuez à cycler. Chaque passe est plus petite que la précédente. Arrêtez quand les reports sont négligeables, puis additionnez chaque colonne : ces totaux sont les moments d'extrémité finaux.

C'est toute la méthode. Les seuls jugements sont la correction de rigidité à une articulation (étape 2) et, pour les portiques qui penchent, une correction de déplacement que nous verrons bientôt. Tout le reste consiste à ajouter une colonne, distribuer et transmettre.

La façon la plus rapide d'ancrer la méthode est de changer le portique et de regarder les moments bouger. Voici le calculateur de portiques de CalcSteel, en direct sur cette page. Réglez la travée, la hauteur du poteau, la liaison de base et les charges, et il résout le portique et trace le diagramme de moment fléchissant à l'instant.

Essayez d'abord le portique de la section suivante : une travée de 8 m, des poteaux de 5 m, des bases encastrées et une charge de gravité de 20 kN/m, et confirmez vous-même le moment au genou proche de 81 kN·m. Puis rigidifiez les poteaux ou allongez la traverse et regardez le moment au genou monter ou descendre à mesure que les facteurs de distribution changent. Ajoutez une charge horizontale et le portique penche, les deux genoux cessent d'être égaux, et vous voyez l'effet de déplacement que la méthode à la main doit corriger.

C'est le vrai solveur, pas un aperçu : calculs illimités, gratuit, sans connexion pour le calcul. S'il s'ouvre dans son propre onglet, voici le lien direct vers le calculateur de portiques. Pour une barre unique avec réactions, tranchant et moment ensemble, le calculateur de poutres gratuit est l'outil compagnon.

Voici maintenant le portique pour lequel la méthode a été conçue. Un portique à une travée : travée L = 8 m, poteaux h = 5 m, genoux rigides, bases encastrées, barres prismatiques à EI constant, portant une charge de gravité uniforme w = 20 kN/m sur la traverse. Il est symétrique, et la charge est symétrique, donc le portique ne se déplace pas latéralement : les deux genoux tournent d'angles égaux et opposés et l'ensemble reste immobile à l'horizontale. C'est exactement le cas que la distribution des moments pure résout de façon exacte.

Montez les noeuds

Seuls les deux genoux, B et C, peuvent tourner. Au genou B, deux barres se rejoignent : le poteau (rigidité 4EI/h = 4EI/5) et la traverse (rigidité 4EI/L = 4EI/8). Leurs facteurs de distribution sont

DF_poteau = (4EI/5) / (4EI/5 + 4EI/8) = 0,615 et DF_traverse = 0,385.

Le moment d'encastrement de la traverse est les 106,67 kN·m de l'exemple 1. Les poteaux n'ont pas de charge de travée, donc leurs moments d'encastrement sont nuls. Le noeud C est l'image miroir de B.

Équilibrez et reportez

Libérez le noeud B. Il est déséquilibré de −106,67 kN·m par la traverse, alors distribuez +106,67 entre les deux barres : le poteau prend 0,615 × 106,67 = +65,6, la traverse prend 0,385 × 106,67 = +41,0. Reportez la moitié de chacun à l'extrémité opposée : 32,8 le long du poteau jusqu'à la base, et 20,5 le long de la traverse jusqu'au genou C. Mais C fait la même chose en miroir, et son report retombe sur B. Vous rééquilibrez donc B (maintenant déséquilibré de −20,5), reportez à nouveau, et la correction rétrécit à chaque cycle : 12,6, puis 2,4, puis 0,5, puis 0,1. Après quatre ou cinq cycles, les colonnes du tableau cessent de bouger.

Le résultat

Additionnez le tableau et le moment au genou converge vers 81,27 kN·m à la main. Nous avons bâti le portique identique dans le moteur EF de CalcSteel et il a renvoyé :

• Moment au genou (sablière) ≈ 81,24 kN·m, négatif, là où le poteau rejoint la traverse. Le tableau à la main et le moteur s'accordent à mieux que 0,1%.
• Moment en pied de poteau ≈ 40,55 kN·m, qui est le report, la moitié du genou, exactement comme la méthode le prévoit.
• Moment à mi-travée de la traverse ≈ 78,76 kN·m de moment positif.
• Réactions d'appui : vertical 80 kN à chaque pied (la part de gravité entière wL/2) et une poussée horizontale d'environ 24,4 kN poussant vers l'intérieur, la tendance du portique à s'ouvrir que les pieds encastrés retiennent.

L'histoire de la redistribution

Voici la récompense. La traverse a démarré avec un moment d'encastrement de 106,67 kN·m. À mesure que les noeuds ont été libérés et que les poteaux ont tourné, ce moment s'est détendu à 81,24 kN·m au genou : environ un quart s'est écoulé des extrémités de la traverse vers les poteaux et les bases. Le portique répartit le travail sur chaque noeud au lieu de le piéger aux extrémités. Cette répartition est la raison de l'efficacité des portiques rigides, et c'est précisément ce que calculent les facteurs de distribution.

Le tableau vous donne les moments d'extrémité ; la conception vit dans leur lecture. Quatre nombres comptent sur ce portique, et chacun dit quelque chose de physique.

• Le moment au genou, 81,24 kN·m. C'est le plus grand moment du portique et celui qui dimensionne les barres à la sablière. Il est négatif, donc la fibre extérieure de l'angle est tendue : la semelle de l'extérieur du genou, et l'assemblage à cet endroit, doit le porter.
• Le moment en base, 40,55 kN·m. Exactement la moitié du genou, car une extrémité encastrée reçoit la moitié par report. C'est ce qui fait de la base un assemblage à moment et dimensionne les tiges d'ancrage et la platine de base. Articulez les pieds et ce moment disparaît, mais le moment au genou monte pour compenser.
• Le moment à mi-travée, 78,76 kN·m. Le pic positif dans la traverse. Notez que sur une poutre simplement appuyée de 8 m sous la même charge, il serait wL²/8 = 160 kN·m. L'effet de portique rigide le réduit presque de moitié, car les genoux portent désormais un moment négatif qu'une poutre simple ne peut pas.
• La poussée horizontale, 24,4 kN. Le portique veut s'ouvrir sous la gravité, et les pieds encastrés repoussent. Cette poussée vers l'intérieur est une force réelle dans les fondations, et l'oublier est une erreur classique de semelle.

Entre le genou et la mi-travée, le moment de la traverse passe par zéro : un point d'inflexion, où la face tendue passe du haut du genou au bas de la travée. Sur notre traverse, il se situe à environ 1,2 m de chaque genou. Les poteaux ont le leur aussi, à environ 1,7 m au-dessus de chaque base. Ces points marquent où change la semelle maintenue et où l'on pourrait aboutir une barre avec peu de moment à transmettre, la même lecture qui gouverne un diagramme de moment fléchissant sur n'importe quelle barre.

Tout jusqu'ici a marché parce que le portique ne s'est pas déplacé de côté. La symétrie nous l'a offert. Poussez maintenant le même portique avec une charge horizontale de vent de 20 kN à la sablière et la symétrie disparaît : le portique se déplace latéralement, toute la traverse glisse de côté, et chaque noeud gagne un moment supplémentaire de ce déplacement. Le pur équilibrer-et-reporter ne converge plus vers la réponse, car le déplacement latéral lui-même apporte des moments que les valeurs d'encastrement n'ont jamais comptés.

Le remède à la main est une distribution des moments en deux étapes. Résolvez d'abord le portique sans déplacement en retenant la traverse contre la translation par un étai imaginaire, et notez l'effort de l'étai. Puis relâchez l'étai : appliquez un déplacement arbitraire, distribuez les moments qu'il provoque, et mettez à l'échelle cette seconde solution pour que son effort d'étai annule exactement le premier. Additionnez les deux et vous avez le portique réel. Cela marche, c'est exact, et cela double pratiquement l'arithmétique, ce qui est justement là où un bureau occupé attrape un solveur.

Passez notre cas vent plus gravité dans le moteur de CalcSteel et l'inclinaison saute aux nombres :

• Genou sous le vent ≈ 101 kN·m contre un genou au vent ≈ 61 kN·m. Sous la seule gravité, les deux valaient 81,24 ; le vent en soulève un et soulage l'autre.
• Les moments de base se partagent aussi, environ 71 kN·m au pied sous le vent contre 10 kN·m au pied au vent.
• Les réactions horizontales somment à −20 kN, équilibrant exactement la poussée du vent, tandis que les réactions verticales somment toujours aux 160 kN de gravité.

C'est la frontière honnête de la méthode à la main. La distribution des moments résout tout à fait un portique avec déplacement, et des générations d'ingénieurs l'ont fait, mais un portique à plusieurs étages et plusieurs travées avec plusieurs combinaisons de charges est là où les tableaux deviennent une journée entière de travail et un solveur devient un clic. La même physique, menée par les combinaisons de vent et la méthode des éléments finis, est ce qu'un outil comme le calculateur de portiques fait pour vous.

Un tableau de distribution des moments n'est pas la destination. Sa sortie, le moment au genou, est la sollicitation contre laquelle vous dimensionnez l'acier. L'inégalité qui gouverne est la même qui clôt tout dimensionnement en flexion : la section doit fournir plus de capacité que la sollicitation.

W ≥ M / f_yd

Ici M est le moment de calcul sorti du tableau, pour ce portique les 81,24 kN·m du genou, f_yd est la limite d'élasticité de calcul (la limite caractéristique divisée par le coefficient du matériau, γ_a1 dans la NBR 8800 ou intégré dans le φ de l'AISC 360), et W est le module de résistance que vous cherchez dans un tableau de profils. À l'inverse, la capacité de la barre est M_Rd = W · f_yd, et le dimensionnement est valide quand M_Rd ≥ M_Sd.

Quel module vous utilisez dépend de la classe de la section. Une section compacte atteint la rotule plastique complète, donc vous dimensionnez avec le module plastique Z (W_pl en NBR et Eurocode) et le moment plastique M_pl = Z · f_yd. Une section non compacte ou élancée voile localement avant de plastifier entièrement, donc vous êtes limité au module élastique W_el. Le rapport Z / W_el, environ 1,12 à 1,18 pour un profil I laminé autour de l'axe fort, est une capacité que vous utilisez ou laissez sur la table.

Un avertissement propre aux portiques. La barre du genou est poteau et traverse à la fois : elle porte l'effort normal avec la flexion, pas la flexion seule. Donc la vérification réelle à la sablière est une interaction effort normal et flexion, et le poteau doit encore passer le flambement sous cet effort normal. Dans CalcSteel c'est automatique : le même calcul EF qui produit les moments classe chaque section, applique votre code et colore chaque barre selon son taux de travail, M_Sd / M_Rd, de sorte que vous voyez d'un coup d'oeil quelles barres gouvernent le portique.

La méthode n'est que de l'arithmétique, mais une poignée de faux pas explique la plupart des mauvaises réponses. Passez cette liste avant de faire confiance à un tableau.

• Utiliser 4EI/L à une extrémité articulée. Une barre dont l'extrémité opposée est un appui simple a une rigidité de 3EI/L, pas 4EI/L. Prenez la mauvaise et tout facteur de distribution à ce noeud est faussé. Mieux encore, libérez l'articulation d'abord et reportez son moment une seule fois.
• Erreurs de signe dans les moments d'encastrement. Les deux extrémités d'une barre chargée poussent en sens opposés. Choisissez une convention de signe, sens horaire positif est courant, et tenez-la du premier report au dernier, sinon l'équilibrage se combattra lui-même.
• Arrêter l'itération trop tôt. Les reports rétrécissent mais n'atteignent pas zéro. Arrêtez tant qu'ils valent encore quelques pour cent du total et que vos moments d'extrémité dérivent encore visiblement. Continuez jusqu'à ce qu'un cycle entier ne change rien à votre précision.
• Oublier le report. Équilibrer un noeud sans envoyer la moitié à l'extrémité opposée découple la structure et vous donne un ensemble de poutres indépendantes, pas un portique. Le report, c'est le portique.
• Ignorer le déplacement latéral. Un portique non symétrique en géométrie et en charge penchera, et une distribution sans déplacement seule est fausse pour lui. Ajoutez la correction de déplacement ou utilisez un solveur qui l'inclut.
• Traiter un genou rigide comme une articulation. Modélisez l'angle comme une charnière et vous effacez le moment de 81 kN·m du genou, sous-estimez fortement les poteaux et lisez complètement de travers la façon dont le portique porte la charge.

La distribution des moments est-elle exacte ou approchée ?

La méthode elle-même est exacte : menée jusqu'à convergence complète, elle donne la même réponse que les rotations ou la méthode des éléments finis, car elle impose le même équilibre et la même compatibilité. Ce qui est approché, c'est l'endroit où vous vous arrêtez. Chaque cycle est une approximation plus proche, et vous tronquez quand les reports restants passent sous la précision qui vous importe. Pour notre portique, cinq cycles atteignent la valeur du moteur à mieux que 0,1%.

En quoi diffère-t-elle de la méthode des rotations ?

Elles résolvent le même problème et atteignent la même réponse. La méthode des rotations écrit une équation de compatibilité à chaque noeud et résout le système, donc elle est compacte mais exige de l'algèbre à la main. La distribution des moments ne forme jamais ces équations : elle atteint la solution par itération, un noeud à la fois, et c'est pourquoi une personne vient à bout d'un grand portique avec un simple tableau. Voyez notre exemple résolu de la méthode des rotations pour l'autre voie sur une structure semblable.

Pourquoi le moment de la traverse est-il tombé de 106,67 à 81,24 kN·m ?

Parce que les genoux ont été libres de tourner. Les 106,67 kN·m étaient la valeur d'encastrement, ce que la traverse porte si les noeuds ne peuvent tourner. Les libérer a laissé les poteaux prendre une part du moment par leur rigidité, donc l'extrémité de la traverse s'est détendue. Le moment n'a pas disparu : il a migré vers les poteaux et est descendu aux bases. Cette redistribution est la raison d'être d'un portique rigide.

Peut-on encore résoudre un portique à la main aujourd'hui ?

Oui, et cela vaut la peine au moins une fois. Un portique à une travée sans déplacement est un tableau de quinze minutes, et il bâtit l'intuition qu'aucun solveur ne vous donne : quelle barre est rigide, où le moment veut s'écouler, pourquoi un changement aux poteaux déplace le genou. Ensuite, laissez le logiciel porter le volume. Cette combinaison, sens manuel plus vitesse machine, est exactement ainsi que les structures hyperstatiques sont traitées en pratique.

Vous avez pris un portique que la statique ne touche pas et l'avez résolu avec rien de plus qu'un rapport de rigidité et de la patience, de la même façon que le XXe siècle l'a fait. Voici ce qu'il faut retenir.

• Bloquez, libérez, convergez. Bloquez chaque noeud pour les moments d'encastrement, puis libérez les noeuds un à un. Équilibrez le déséquilibre par le facteur de distribution, reportez la moitié à l'extrémité opposée et itérez jusqu'à ce que les corrections s'éteignent.
• Trois nombres la pilotent. Le moment d'encastrement (wL²/12 sous charge uniforme), le facteur de distribution (k / Σk, en prenant 3EI/L à une articulation) et le facteur de report (1/2). Tout le reste est un tableau.
• Les portiques redistribuent. Le moment d'encastrement de 106,67 kN·m de notre traverse s'est détendu à un genou de 81,24 kN·m à mesure que les poteaux ont pris leur part, et la mi-travée a presque diminué de moitié face à une poutre simple. Cette répartition est ce qui rend les portiques rigides efficaces.
• La symétrie est un cadeau, le déplacement est le piège. Un portique symétrique sous charge symétrique ne penche pas, et la distribution pure est exacte. Ajoutez le vent et le genou sous le vent saute à environ 101 kN·m ; il faut alors la correction de déplacement, ou un solveur.
• Le moment est le début du dimensionnement. Le moment au genou fixe le module de résistance requis, la classe décide entre Z plastique et W_el élastique, et une barre de portique se vérifie pour l'effort normal plus la flexion, pas la flexion seule.

Faites-en un à la main maintenant, puis vérifiez en quelques secondes. Entrez votre propre travée, hauteur, liaison de base et charges dans le calculateur de portiques gratuit et regardez le moment au genou bouger à mesure que vous changez le portique. Quand le portique grandit en un vrai bâtiment, CalcSteel lance le même moteur EF sur toute la structure dans votre navigateur, sur un forfait réellement gratuit, avec chaque diagramme, classe de section et vérification de code inclus. Les étudiants ont tout débloqué via CalcSteel Education, gratuitement. Hardy Cross aurait adoré la vitesse à laquelle le tableau tourne aujourd'hui.