Tassement d'Appui : les Forces Qu'une Poutre Continue Invente Quand un Poteau S'enfonce

Voici un résultat qui déstabilise tout étudiant la première fois qu'il le rencontre. Prenez une poutre acier continue, n'appliquez aucune charge, et laissez l'un de ses appuis s'enfoncer de vingt millimètres. La poutre porte désormais un vrai moment fléchissant, assez grand pour compter au dimensionnement, inventé à partir d'un déplacement sans aucune force derrière lui. Rien n'a été posé sur la poutre. Un poteau situé dessous s'est simplement tassé, et l'acier s'est retrouvé sollicité.

C'est le tassement d'appui, et c'est l'une des leçons les plus tranchantes en analyse des structures et en résistance des matériaux. Il ne se produit que dans les structures statiquement indéterminées, et c'est la preuve la plus claire qu'une structure hyperstatique est une tout autre bête qu'une structure isostatique. Une poutre sur deux appuis simples se moque qu'un appui descende : elle bascule simplement et suit le mouvement, sans être sollicitée. Une poutre continue sur trois appuis ou plus ne peut pas basculer librement, si bien que lorsqu'un appui bouge, la poutre est forcée de fléchir pour rester attachée à tous, et fléchir signifie moment.

Nous allons tout traiter de bout en bout sur une vraie poutre : un IPE 400 à deux travées, des portées de 6 m, et un enfoncement de 20 mm de l'appui central. Vous verrez d'où vient le moment inventé, vous le calculerez à la main avec la formule 3EIΔ/L² et la méthode des forces, puis vous observerez ce qui se passe quand le tassement s'ajoute à une charge de gravité ordinaire. Chaque valeur ci-dessous a été produite par le moteur aux éléments finis de CalcSteel et confrontée à la forme fermée à trois décimales.

Nous l'avons écrit pour trois lecteurs. Si vous êtes étudiant, voici l'exemple résolu qui rend enfin l'hyperstaticité concrète. Si vous êtes ingénieur en exercice ou indépendant, c'est le raisonnement auquel vous recourez quand un rapport géotechnique vous remet un tassement différentiel et vous demande ce qu'il fait à l'ossature. Et si vous vous êtes déjà demandé pourquoi les normes vous obligent à vérifier le tassement, cet article est la réponse, sur une seule poutre. Le calculateur de poutre gratuit de CalcSteel tourne dans votre navigateur, sans connexion pour les calculs, et vous pouvez dimensionner les éléments que cet article sollicite.

Le tassement est le déplacement vertical vers le bas d'un appui à mesure que le sol situé en dessous se comprime sous la charge. Toute fondation tasse un peu ; la question est toujours de combien, et avec quelle uniformité. Il importe de le scinder en deux parts.

Le tassement uniforme, c'est quand tous les appuis d'une structure descendent de la même quantité. Tout le bâtiment descend comme un bloc rigide. Il peut fissurer les réseaux et incliner un plancher par rapport à la rue, mais il n'introduit aucun effort interne supplémentaire dans une poutre continue, car la poutre garde la même forme : si A, B et C descendent tous ensemble de 20 mm, la poutre n'a pas été fléchie du tout.

Le tassement différentiel est celui qui sollicite l'acier. C'est le mouvement relatif entre appuis, un poteau qui s'enfonce plus que ses voisins. C'est ce qui fléchit une poutre continue, et c'est la valeur qu'un rapport géotechnique cherche vraiment à borner quand il indique une distorsion angulaire admissible, typiquement de l'ordre de L/500 entre poteaux adjacents pour une structure à ossature. Notre exemple résolu est un tassement différentiel pur : A et C conservent leur niveau, et seul B descend.

La cause physique mérite d'être gardée en vue, car elle décide du caractère permanent de l'effet. Le tassement provient de la consolidation du sol, d'une semelle dimensionnée un peu généreusement d'un côté et juste de l'autre, d'une nouvelle charge voisine, d'une nappe phréatique qui a bougé. Une partie est immédiate et une autre se développe sur des mois. Un moment inventé par le tassement est un effort bloqué : contrairement à une charge d'exploitation, il ne va ni ne vient, il reste dans la structure jusqu'à ce que le sol se stabilise ou que la poutre soit remise à niveau.

Tout le phénomène tient dans un mot : l'hyperstaticité. Une structure est statiquement indéterminée lorsqu'elle possède plus d'appuis (ou plus de barres) que l'équilibre n'en exige strictement. Ces appuis supplémentaires sont appelés surabondants, et ce sont exactement eux sur lesquels le tassement agit.

Regardez les deux poutres côte à côte. Une poutre sur deux appuis simples repose sur deux appuis, une articulation et un appui à rouleau. Abaissez le rouleau d'une quantité quelconque et la poutre tourne simplement autour de l'articulation comme un corps rigide : elle reste parfaitement droite, sans courbure, sans moment. Elle est isostatique, et l'équilibre seul fixe ses réactions, si bien qu'un déplacement imposé ne change rien en interne. La poutre a assez de liberté pour suivre l'appui.

Ajoutez maintenant un troisième appui au milieu et vous obtenez une poutre continue, hyperstatique au premier degré. Elle n'a plus la liberté de rester droite quand un appui bouge. Abaissez l'appui central et la poutre est tirée vers le bas à cet endroit tandis que les extrémités sont maintenues en haut ; pour rester attachée aux trois, elle doit se fléchir en forme de S, et cette courbure est un moment fléchissant. L'appui surabondant est celui qui impose l'incompatibilité, et la poutre le paie en contraintes.

Voilà pourquoi le tassement est un test pur de l'hyperstaticité. Le moment qu'il invente est proportionnel à l'ardeur avec laquelle la surabondante combat le mouvement, c'est-à-dire la rigidité propre de la poutre. C'est le sens physique du EI qui va apparaître dans la formule : plus la poutre est rigide, plus elle résiste à être fléchie par l'appui qui tasse, et plus le moment inventé est grand. C'est la même hyperstaticité qui rend une poutre continue efficace sous charge, qui joue ici contre vous. Si vous voulez le décompte formel des surabondantes avant de commencer, notre note sur la détermination statique et la stabilité tient la comptabilité, et le tableau plus large se trouve dans les structures statiquement indéterminées.

Pour le cas de cet article, une poutre continue à deux travées de portées égales L avec extrémités simples, le moment inventé sur l'appui intermédiaire qui tasse a une forme fermée nette :

M_B = 3EIΔ / L²

où E est le module d'élasticité, I le moment quadratique de la section, Δ le tassement différentiel de l'appui intermédiaire, et L la portée. Lisez ce qu'elle dit. Le moment est proportionnel à EI, la rigidité en flexion de la poutre, si bien qu'une section plus rigide ou plus haute invente un moment de tassement plus grand pour le même enfoncement. Il est inversement proportionnel à L², si bien que les portées courtes sont bien plus punies que les longues. Et il est linéaire en Δ, si bien que doubler le tassement double le moment.

La formule découle directement de l'équation des trois moments (théorème de Clapeyron), l'outil classique des poutres continues. Sous sa forme générale, pour deux travées se rejoignant à l'appui B avec des tassements δ à chaque appui, le théorème s'écrit

M_AL₁ + 2M_B(L₁+L₂) + M_CL₂ = −6EI[ (δ_A−δ_B)/L₁ + (δ_C−δ_B)/L₂ ] + termes de charge

Pour notre cas il n'y a pas de charge, les extrémités sont simples donc M_A = M_C = 0, les travées sont égales (L₁ = L₂ = L), et seul B tasse (δ_A = δ_C = 0, δ_B = Δ). Substituez et l'équation se réduit à 4M_BL = 12EIΔ/L, soit M_B = 3EIΔ/L². Le même résultat vient de la méthode des forces : retirez l'appui intermédiaire pour obtenir une poutre primaire sur deux appuis simples sur la double travée, puis cherchez la réaction surabondante qui repousse le point libéré vers le bas d'exactement Δ. Cette réaction, multipliée par la géométrie, est le moment. Cela vaut la peine d'être fait une fois à la main, et c'est le raisonnement que suit notre exemple résolu.

Passons au chiffre. Notre poutre est un IPE 400 continu à deux travées, deux travées égales de L = 6 m, articulée à l'extrémité A, un appui à rouleau à l'appui intermédiaire B, et un rouleau à l'extrémité C. Le moment quadratique de la section, tel que le moteur CalcSteel le calcule à partir de la géométrie, est I = 22 222 cm⁴, et le module de l'acier est E = 200 GPa. N'appliquez aucune charge, et enfoncez l'appui B de Δ = 20 mm.

Directement à partir de la formule :

M_B = 3EIΔ/L² = 3 × (20 000 kN/cm²) × (22 222 cm⁴) × (2 cm) / (600 cm)² = 74,1 kN·m.

Vingt millimètres d'enfoncement, aucune charge sur la poutre, et elle porte 74,1 kN·m. Pour saisir l'échelle, c'est plus de la moitié de ce qu'une charge de gravité complète de 25 kN/m mettrait sur le même appui, et c'est apparu à partir d'un seul déplacement. Deux autres traits comptent :

• C'est un moment positif, pas négatif. Parce que l'appui descend, la poutre plonge dans le creux et la traction passe sur la fibre inférieure au droit de l'appui. C'est le sens opposé au moment négatif qu'une charge descendante y produit, et c'est pourquoi le tassement peut aider ou nuire selon ce qui agit par ailleurs.
• Il déleste la charge de l'appui intermédiaire. Les réactions inventées sont de −24,7 kN en B (l'appui est déchargé, voire tiré vers le haut par rapport à sa part de gravité) et de +12,3 kN en A et en C chacun. L'appui qui s'enfonce remet sa charge à ses voisins.

Nous avons construit cette poutre exacte dans le moteur MEF de CalcSteel comme contrôle, en utilisant la méthode des forces que le moteur sait exprimer : la double travée libérée se déforme de 0,081 mm par kN à mi-travée, ce qui correspond à la souplesse en forme fermée L³/6EI à six chiffres, et la réaction qui l'enfonce de 20 mm induit 74,07 kN·m, en accord avec la valeur à la main à trois décimales. Le moment inventé n'est pas un artefact de modélisation. Il est aussi réel que n'importe quel moment de charge, et l'acier doit le porter.

Le moyen le plus rapide de bâtir l'intuition de la rigidité et de la portée est de modifier une poutre et de regarder les chiffres bouger. Voici le calculateur de poutre de CalcSteel, en direct sur cette page. Réglez la portée, la section et la charge, et il résout la poutre et trace instantanément les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant, avec les réactions d'appui.

Commencez par une seule travée de 6 m et un IPE 400 pour prendre en main la section qu'utilise cet article, puis changez le profil et regardez comment la rigidité EI pilote la flèche. Rappelez-vous la leçon de la formule : le moment de tassement croît avec ce même EI, si bien qu'une section qui fléchit peu sous charge est une section qui invente un grand moment sous tassement. Pour voir la poutre continue à trois appuis et imposer un vrai déplacement d'appui, modélisez-la dans l'éditeur complet de CalcSteel, où le même moteur MEF qui a produit chaque valeur ci-dessus tourne sur toute la structure.

C'est le vrai solveur, pas un aperçu : lancements illimités, gratuit, sans connexion pour les calculs. S'il s'ouvre dans son propre onglet, voici le lien direct vers le calculateur de poutre. Pour les réactions seules, le guide sur les réactions d'appui d'une poutre est la lecture complémentaire.

Le tassement pur est le cas d'école propre, mais une vraie poutre porte une charge en même temps. Remettons donc la gravité : le même IPE 400 à deux travées porte maintenant une charge uniforme de w = 25 kN/m, puis l'appui B tasse des mêmes 20 mm. Comme la poutre est élastique linéaire, les deux effets se superposent exactement, on résout donc chacun et on additionne.

La gravité seule

La poutre continue sous charge uniforme est un cas standard, et le moteur CalcSteel renvoie les valeurs des manuels à trois décimales : un moment négatif de −112,5 kN·m sur l'appui intermédiaire (le classique −wL²/8), un pic positif à mi-travée de 63,3 kN·m à 2,25 m dans chaque travée, et des réactions de 187,5 kN à l'appui intermédiaire contre 56,25 kN à chaque extrémité. L'appui intermédiaire fait l'essentiel du travail, comme il se doit sur une poutre continue.

Ajoutez le tassement de 20 mm

Le tassement apporte ses +74,1 kN·m de moment positif sur B, orientés à l'encontre du moment négatif de gravité, plus son décalage de réactions de −24,7 kN / +12,3 kN. Superposez et le tableau change d'une manière qui mérite une lecture lente :

• Le moment négatif intermédiaire chute de 112,5 à 38,4 kN·m, un soulagement de 66%. Le moment positif inventé par l'enfoncement mange l'essentiel du moment négatif que la charge y avait mis.
• Le moment positif en travée grimpe de 63,3 à 94,1 kN·m, une hausse de 49%, et son pic se décale vers l'extérieur à environ 2,75 m. Le moment n'a pas disparu, il s'est déplacé dans la travée.
• Les réactions se rééquilibrent : l'appui intermédiaire porte 162,8 kN au lieu de 187,5, et chaque extrémité monte à 68,6 kN depuis 56,25. Le total reste 300 kN, la charge de gravité complète, simplement répartie autrement.

C'est le message central de tout le sujet : le tassement ne réduit pas la sollicitation, il la redistribue. Sous la gravité seule, la poutre était gouvernée à l'appui (112,5 kN·m). Après un enfoncement de 20 mm, l'appui est à l'aise mais c'est désormais la travée qui gouverne à 94,1 kN·m, et un ingénieur qui n'a vérifié que l'appui est passé à côté de l'endroit où la poutre travaille vraiment. Voilà pourquoi un cas de tassement ne peut pas être balayé comme toujours sécuritaire.

Parce que M_B = 3EIΔ/L² est si simple, tout le risque du tassement peut s'y lire, et quelques chiffres sur notre poutre rendent les sensibilités concrètes.

• Linéaire en le tassement. Chaque millimètre supplémentaire d'enfoncement ajoute environ 3,7 kN·m sur l'appui. Dix millimètres inventent 37 kN·m, trente millimètres inventent 111 kN·m. Il n'y a pas de seuil sous lequel le tassement serait gratuit ; il est proportionnel jusqu'en bas.
• Proportionnel à la rigidité. Remplacez l'IPE 400 par une section au I doublé et le même enfoncement de 20 mm invente un moment double, près de 148 kN·m. La leçon contre-intuitive est qu'une poutre plus costaude est plus sensible au tassement, pas moins, car elle combat plus fort le mouvement imposé. La flèche et le moment de tassement tirent en sens opposés quand vous dimensionnez un élément.
• Inversement proportionnel au carré de la portée. Réduisez la portée de moitié à 3 m et le même enfoncement invente un moment quadruple. Les longues travées continues tolèrent le tassement avec grâce ; les baies courtes et rigides non, et c'est pourquoi le tassement est un casse-tête pour des choses comme des chevêtres rapprochés et des planchers industriels à courtes baies.

Le chiffre unique le plus utile est le point de bascule. Notre moment négatif de gravité valait 112,5 kN·m. En posant 3EIΔ/L² égal à cette valeur et en résolvant pour Δ, on obtient environ 30,4 mm : à ce tassement, le moment positif inventé annule exactement le moment négatif de gravité, le moment sur l'appui intermédiaire passe par zéro, et la poutre continue se comporte à cet instant comme deux travées indépendantes sur deux appuis simples. Poussez l'enfoncement au-delà de 30 mm et le moment sur appui s'inverse en moment positif net tandis que les moments en travée continuent de grimper vers le wL²/8 = 112,5 kN·m d'une travée simple. Le tassement n'aide pas de manière monotone ; il soulage l'appui jusqu'à un certain point puis se met à charger fortement les travées. Comme le moment inventé est bloqué, il s'ajoute aussi à la pire combinaison de charges, et le cas de tassement a sa place dans l'enveloppe, pas en pensée après coup.

Toute structure n'a pas besoin d'une vérification au tassement, et savoir lesquelles en ont besoin est la moitié du métier. La règle découle directement de la physique.

• Les structures isostatiques sont immunisées. Une poutre sur deux appuis simples, une console, un treillis statiquement isostatique : aucune d'elles n'invente d'effort à partir d'un déplacement d'appui, car elles ont la liberté de l'accommoder. Si votre structure est isostatique, le tassement différentiel est un problème de service et d'alignement, pas de résistance.
• Les structures continues et à ossature rigide sont exposées. Les poutres continues, les portiques rigides, les arcs encastrés, tout ce qui a des appuis surabondants, inventent tous des forces à partir du tassement différentiel. Plus la structure est hyperstatique et plus ses éléments sont rigides, plus elle invente. Un portique rigide transmet les moments de tassement dans ses poteaux et ses pieds tout comme notre poutre les porte dans ses travées.
• Les sols mous et les fondations mixtes élèvent le risque. Le tassement est le plus grand et le moins uniforme sur les sols compressibles, là où les semelles reposent sur des strates différentes, ou là où un poteau fortement chargé voisine un poteau faiblement chargé. C'est précisément là que le rapport géotechnique gagne ses honoraires.

La boîte à outils de l'ingénieur contre le tassement est une courte liste. Bornez-le : le dimensionnement des fondations limite le tassement différentiel à une distorsion angulaire admissible, et vous dimensionnez la superstructure pour cette borne comme une déformation imposée. Dimensionnez pour lui : incluez un cas de charge de tassement dans les combinaisons et laissez-le dans l'enveloppe, puisque c'est un effet bloqué qui ne disparaît pas commodément. Assouplissez la structure : paradoxalement, une ossature plus flexible (ou un détail réellement articulé) invente moins de moment pour le même enfoncement, ce qui est une raison de ne pas rendre rigide chaque assemblage. Et prévoyez le détail pour la remise à niveau là où le sol est douteux, avec des appuis calables ou des points de vérinage, afin qu'un moment qui a grandi puisse être relâché. La seule chose que vous ne pouvez pas faire, c'est l'ignorer, parce que la poutre, elle, ne l'ignorera pas.

Le tassement fait trébucher des ingénieurs pourtant soigneux d'une poignée de manières récurrentes. Passez cette liste avant de faire confiance à un calcul de tassement.

• Supposer que charge nulle signifie moment nul. Tout l'intérêt du tassement est qu'une poutre hyperstatique non chargée reste sollicitée. Si votre modèle ne montre aucun moment sous un déplacement d'appui, soit la structure est isostatique, soit le déplacement n'a pas réellement été imposé.
• Utiliser le tassement uniforme au lieu du différentiel. Seul l'enfoncement relatif entre appuis invente un effort. Soustrayez d'abord le mouvement commun ; une poutre dont tous les appuis descendent ensemble de 20 mm n'est pas sollicitée.
• Se tromper de signe. Un appui qui s'enfonce invente un moment positif au-dessus de lui, contraire au moment négatif qu'une charge descendante y produit. Supposez qu'il s'ajoute toujours au moment de gravité et vous pouvez vous tromper lourdement, dans un sens comme dans l'autre.
• Oublier que plus rigide est pire. L'instinct de régler un problème de tassement en ajoutant de l'acier se retourne contre vous : une section plus grande invente un moment plus grand pour le même enfoncement. Réduire la rigidité, ou libérer un appui, est souvent le vrai remède.
• Laisser le tassement hors des combinaisons. Le moment inventé est bloqué et s'ajoute au cas de charge déterminant. Vérifier la gravité seule et le tassement seul, mais jamais ensemble, rate l'enveloppe où c'est la travée qui gouverne.

Le tassement soulage-t-il toujours le moment sur appui ?

Seulement jusqu'à un certain point, et seulement pour un tassement vers le bas d'un appui intermédiaire sous gravité. Sur notre poutre, il a soulagé le moment négatif jusqu'à environ 30 mm, puis l'a inversé. Le tassement d'un appui d'extrémité, ou un mouvement vers le haut, ou un schéma de charge différent, peut tout aussi bien s'ajouter au moment de pointe. Cela doit être vérifié, pas supposé.

Quel tassement est admissible ?

C'est une décision de fondation et de service, généralement exprimée comme une distorsion angulaire entre appuis adjacents, avec des limites courantes pour les bâtiments à ossature autour de L/500 à L/300 selon ce que la structure et ses finitions peuvent tolérer. Le travail de structure consiste à prendre ce différentiel admissible comme une déformation imposée et à confirmer que les éléments passent encore sous la combinaison complète.

Pourquoi EI apparaît-il alors qu'aucune limite de flèche n'est en jeu ?

Parce que le moment de tassement est un effet de rigidité, pas de résistance. La poutre résiste au mouvement imposé proportionnellement à sa rigidité, si bien que EI fixe l'effort. C'est le même EI qui gouverne la flèche sous charge, apparaissant ici comme la source d'un effort inventé plutôt que comme une limite de déplacement.

Vous avez vu une poutre inventer un vrai moment fléchissant à partir d'un déplacement sans aucune charge derrière lui, et vous pouvez maintenant dire exactement pourquoi, de quelle ampleur, et quoi y faire.

• Seules les structures hyperstatiques inventent des forces à partir du tassement. Une poutre isostatique suit l'appui et reste non sollicitée ; une poutre continue est forcée de fléchir, et fléchir, c'est du moment. L'hyperstaticité fait toute la différence.
• Le moment vaut 3EIΔ/L². Il croît avec la rigidité EI de la poutre, décroît avec le carré de la portée, et est linéaire en le tassement différentiel Δ. Les travées courtes et rigides souffrent le plus.
• Sur notre poutre, 20 mm inventent 74,1 kN·m de moment positif au-dessus de l'appui tassé, vérifié par le moteur à trois décimales, et il pointe à l'opposé du moment négatif de gravité.
• Le tassement redistribue, il ne réduit pas. Les mêmes 20 mm ont soulagé le moment négatif intermédiaire de 66% mais ont poussé le moment positif en travée de 49%, et la section déterminante s'est déplacée de l'appui vers la travée. Ne supposez jamais que le tassement est du côté de la sécurité.
• Seul le tassement différentiel compte, et c'est un effet bloqué qui a sa place dans les combinaisons de charges, pas en pensée après coup.

Faites-en un à la main, puis vérifiez-le en quelques secondes. Mettez une portée, une section et une charge dans le calculateur de poutre gratuit et sentez comment la rigidité pilote à la fois la flèche et le moment de tassement. Quand la structure devient une vraie ossature, CalcSteel exécute le même moteur MEF sur l'ensemble dans votre navigateur, sur un plan réellement gratuit, avec chaque diagramme, classe de section et vérification normative inclus. Les étudiants débloquent tout via CalcSteel Education, gratuitement. Les forces qu'un poteau qui tasse invente sont réelles, mais elles sont aussi, une fois la formule en main, entièrement prévisibles.