La méthode des rotations (slope-deflection) : une poutre continue en acier à deux travées résolue à la main

Quelque part dans la seconde moitié d'un cours d'analyse structurale, Estruturas I ou Análise Estrutural (Analyse des Structures) ou quel que soit le nom que lui donne votre cursus, la matière cesse de parler de tracé de corps libres pour aborder une question plus difficile : comment trouver les efforts dans une poutre que la statique seule ne peut pas résoudre ? La première réponse complète que rencontrent la plupart des étudiants est la méthode des rotations (slope-deflection), et elle mérite chaque heure que vous lui consacrez, car c'est exactement l'idée que votre logiciel d'analyse exécute des millions de fois par seconde sans jamais vous le dire.

La méthode repose sur une seule idée directrice. Au lieu de traquer les efforts, vous prenez les déplacements comme inconnues : les rotations des nœuds. Vous exprimez les moments d'extrémité de chaque barre en fonction de ces rotations, vous imposez l'équilibre à chaque nœud, et vous résolvez un petit système d'équations linéaires pour obtenir les rotations. Reportez ces valeurs, et chaque moment d'extrémité en découle. Voilà toute la méthode, et c'est l'ancêtre à la main de la matrice de rigidité.

Ce guide résout un problème de bout en bout : une poutre continue en acier à deux travées, travées inégales, une charge répartie sur l'une et une charge ponctuelle sur l'autre. Nous la posons, comptons son degré d'hyperstaticité, écrivons les équations des rotations (slope-deflection), résolvons les rotations de nœud, et lisons les moments. Puis nous confions la poutre identique au moteur par éléments finis intégré à CalcSteel et le regardons reproduire chaque valeur à trois décimales. Un calculateur interactif est présent sur la page pour que vous le manipuliez vous-même.

Nous l'avons écrit pour trois lecteurs. Si vous êtes étudiant, c'est l'exemple résolu qui fait enfin déclic sur la méthode. Si vous êtes ingénieur calculateur en exercice ou indépendant, c'est le contrôle de bon sens derrière la boîte noire, ce qui vous permet de faire confiance à ce que renvoie le logiciel, ou de le prendre en défaut. Et si vous n'avez jamais fait qu'appuyer sur Analyser, voici ce que le logiciel fait réellement.

La méthode des rotations (slope-deflection) est une méthode des déplacements : elle prend comme inconnues principales les rotations de nœud inconnues, et, lorsqu'un portique peut se déplacer latéralement, aussi les translations de nœud, et exprime chaque moment d'extrémité de barre comme une fonction linéaire de celles-ci. C'est l'inverse des méthodes des forces, le travail virtuel ou la méthode des flexibilités, qui prennent les efforts surabondants comme inconnues. Le choix des déplacements est ce qui la rend extensible, et ce qui en fait l'ancêtre direct de l'analyse matricielle et par éléments finis.

Trois grandeurs apparaissent dans tout calcul par la méthode des rotations, et bien les maîtriser, c'est l'essentiel de la méthode :

• Rotations de nœud θ. Chaque nœud rigide tourne d'un certain angle sous charge. Ce sont les inconnues que vous cherchez. Une poutre continue sur appuis simples possède une rotation inconnue à chaque appui intermédiaire, et une à chaque extrémité simple, jusqu'à ce que vous les éliminiez.
• Moments d'encastrement parfait (FEM). Les moments qu'une travée développerait à ses extrémités si les deux étaient parfaitement encastrées, calculés à partir de la seule charge. Ils sont le point de départ : la charge appliquée n'entre dans la méthode qu'à travers les FEM.
• Raideur de barre 2EI/L. La résistance d'une barre à la rotation de ses extrémités. Les barres plus raides ou plus courtes attirent plus de moment, ce qui explique pourquoi une structure hyperstatique répartit la charge selon la raideur relative.

La convention de signe n'est ni optionnelle ni négociable. Les moments d'extrémité de barre horaires sont positifs. Chaque moment d'extrémité, chaque moment d'encastrement parfait, chaque rotation se mesure avec la même règle du sens horaire positif, et la façon la plus courante de ruiner une solution par la méthode des rotations est de laisser une convention de flexion positive en travée s'y glisser en cours de route. Gardez les deux séparées : résolvez en moments de barre positifs dans le sens horaire, puis convertissez en diagramme des moments fléchissants à convention de flexion positive en travée seulement tout à la fin.

La méthode des rotations (slope-deflection) n'est pas une astuce moderne. C'est un pont historique précis entre la statique à la main et l'ordinateur, et connaître sa filiation vous dit pourquoi elle a la forme qu'elle a.

• 1880, Heinrich Manderla écrit les moments d'extrémité de barre en fonction des rotations d'extrémité pour calculer les contraintes secondaires dans les nœuds de treillis, première apparition de l'idée centrale.
• 1892, Otto Mohr et Emil Winkler la développent davantage, toujours dans le cadre des contraintes secondaires des structures à ossature.
• 1914, Axel Bendixen applique systématiquement l'idée des déplacements aux portiques à nœuds rigides et donne son nom à la méthode : la méthode des rotations (slope-deflection).
• 1915, George A. Maney la présente sous la forme encore enseignée aujourd'hui pour les structures à nœuds rigides, et elle devient une méthode d'analyse standard aux États-Unis.
• 1930, Hardy Cross publie la distribution des moments, une façon itérative de résoudre exactement les mêmes équations d'équilibre des nœuds sans inverser de matrice à la main, et elle domine les bureaux d'études pendant une génération.
• Des années 1950 aux années 1960, l'analyse structurale matricielle et la méthode des éléments finis généralisent les équations des rotations en matrice de rigidité. Chaque rotation inconnue devient un degré de liberté, chaque 2EI/L devient un terme de K, et les équations d'équilibre des nœuds deviennent Ku = F.

Voici la conclusion à garder tout au long de l'article : lorsqu'un solveur par éléments finis assemble sa matrice de rigidité et résout les rotations nodales, il fait exactement ce que vous vous apprêtez à faire à la main, avec seulement plus de degrés de liberté et sans erreurs d'arithmétique. La méthode des rotations (slope-deflection) est le code source lisible de la boîte noire.

Tout se ramène à une seule équation, écrite une fois pour chaque extrémité de chaque barre. Pour une barre allant d'une extrémité proche n à une extrémité éloignée f, le moment à l'extrémité proche vaut :

M_nf = (2EI / L)(2θ_n + θ_f − 3ψ) + FEM_nf

Lisez-la terme par terme, car chaque terme est un effet physique :

• (2EI / L) est la raideur en rotation de la barre. Les barres longues et souples contribuent peu, les barres courtes et raides dominent.
• 2θ_n + θ_f couple les deux extrémités. Faire tourner l'extrémité proche augmente son propre moment deux fois plus que ne le fait la rotation de l'extrémité éloignée, le report 2 pour 1 qui apparaît aussi dans la distribution des moments sous la forme d'un facteur de report d'un demi.
• − 3ψ est le terme de rotation de la corde, où ψ = Δ / L est la rotation de corps rigide de l'axe de la barre provoquée par le tassement d'une extrémité, ou par le déplacement latéral du portique, d'une valeur Δ. Sur une poutre sans mouvement d'appui, ψ = 0 et le terme disparaît. C'est le terme qui permet à la méthode des rotations de traiter directement le tassement et le déplacement latéral, ce que les méthodes des forces pures ne font pas aussi proprement.
• FEM_nf est le moment d'encastrement parfait à cette extrémité, le seul endroit où intervient la charge appliquée.

Il existe une simplification qui vaut de l'or. Lorsque l'extrémité éloignée d'une barre est un appui simple, une articulation ou un appui à rouleau dont le moment est nul et connu, vous pouvez éliminer sa rotation à l'avance et utiliser l'équation des rotations modifiée :

M_nf = (3EI / L)(θ_n − ψ) + (FEM_nf − FEM_fn / 2)

Cela retire une inconnue par extrémité articulée, et c'est pourquoi une poutre continue à extrémités simples se réduit aux seules rotations des appuis intermédiaires. Nous utilisons les deux formes ci-dessous pour que vous les voyiez concorder.

La charge ne touche jamais directement une rotation. Elle n'entre qu'à travers les moments d'encastrement parfait, les moments que chaque travée développerait à ses extrémités si les deux étaient totalement encastrées contre la rotation. Vous les lisez dans une table, et pour les deux charges de notre problème ce sont les deux cas les plus courants de toutes les tables :

• Charge uniforme w sur une travée L : FEM = ± wL² / 12, antihoraire (négatif) à l'extrémité gauche et horaire (positif) à l'extrémité droite.
• Charge ponctuelle centrée P sur une travée L : FEM = ± PL / 8, avec le même schéma de signes.

Pour notre poutre, cela donne, avant de connaître la moindre rotation :

• Travée AB, w = 20 kN/m, L = 6 m : FEM_AB = − 20 × 6² / 12 = − 60 kN·m, FEM_BA = + 60 kN·m.
• Travée BC, P = 60 kN, L = 4 m : FEM_BC = − 60 × 4 / 8 = − 30 kN·m, FEM_CB = + 30 kN·m.

Remarquez ce que sont les moments d'encastrement parfait : les moments dans un monde où les nœuds ne peuvent pas tourner. La structure réelle n'est pas ce monde, donc ses nœuds tournent bel et bien, et les équations des rotations sont la comptabilité qui corrige les moments d'encastrement parfait pour tenir compte de la rotation que les nœuds subissent réellement. Voilà toute la logique en une phrase.

Maintenant la méthode complète sur une structure. Poutre continue A-B-C : articulation en A, appui à rouleau en B, appui à rouleau en C, prismatique à EI constant. La travée AB = 6 m porte une charge uniforme w = 20 kN/m, la travée BC = 4 m porte une charge centrée P = 60 kN.

Étape 1, compter les inconnues

Trois appuis sur une poutre continue à extrémités simples : le compte donne un degré d'hyperstaticité de un, une inconnue surabondante, que vous pouvez prendre comme le moment sur l'appui intermédiaire. En termes de déplacements, les rotations libres sont θ_A, θ_B, θ_C. Nous résolvons l'ensemble complet des trois, puis montrons que le raccourci à une seule inconnue donne la même réponse.

Étape 2, écrire les quatre moments d'extrémité de barre

En utilisant M_nf = (2EI / L)(2θ_n + θ_f) + FEM avec ψ = 0 (aucun mouvement d'appui), et en posant a = EIθ_A, b = EIθ_B, c = EIθ_C pour garder l'algèbre propre :

• M_AB = (2EI/6)(2θ_A + θ_B) − 60 = (2a + b)/3 − 60
• M_BA = (2EI/6)(2θ_B + θ_A) + 60 = (2b + a)/3 + 60
• M_BC = (2EI/4)(2θ_B + θ_C) − 30 = (2b + c)/2 − 30
• M_CB = (2EI/4)(2θ_C + θ_B) + 30 = (2c + b)/2 + 30

Étape 3, imposer l'équilibre des nœuds

À chaque appui, les moments d'extrémité de barre doivent équilibrer le moment appliqué au nœud, ici nul. A et C sont des extrémités simples ne portant qu'une seule barre, donc leur moment d'extrémité est nul. B est continu, donc les deux moments de barre en ce point doivent avoir une somme nulle :

• Nœud A : M_AB = 0 ⇒ 2a + b = 180
• Nœud C : M_CB = 0 ⇒ 2c + b = − 60
• Nœud B : M_BA + M_BC = 0 ⇒ 2a + 10b + 3c = − 180

Étape 4, résoudre les rotations

À partir des équations en A et C, a = 90 − b/2 et c = − 30 − b/2. Reportez les deux dans l'équation en B et tout se réduit à une seule inconnue : 270 + 7.5b = 0, donc EIθ_B = b = − 36 kN·m². Déduisez les autres : EIθ_A = 108 et EIθ_C = − 12 kN·m². Les rotations dépendent de EI, mais pas les moments, car EI se simplifie dans une poutre prismatique.

Étape 5, reporter pour obtenir les moments

Réinjectez les rotations dans les quatre équations :

• M_AB = (2×108 − 36)/3 − 60 = 180/3 − 60 = 0 (comme il se doit, A est une extrémité libre)
• M_BA = (2×(−36) + 108)/3 + 60 = 36/3 + 60 = + 72 kN·m
• M_BC = (2×(−36) − 12)/2 − 30 = −84/2 − 30 = − 72 kN·m
• M_CB = (2×(−12) − 36)/2 + 30 = −60/2 + 30 = 0 (C est une extrémité libre)

Le nœud B se vérifie : +72 et −72 ont une somme nulle. L'appui intermédiaire porte un moment négatif de 72 kN·m, et ce seul nombre est l'inconnue surabondante que le compte nous annonçait. Le raccourci à une seule inconnue, avec l'équation modifiée 3EI/L sur les deux travées à extrémités articulées, donne le même EIθ_B = −36 et le même 72 kN·m, ce qui est le moyen le plus rapide de vérifier votre algèbre.

La façon la plus rapide de ressentir la méthode est de construire la poutre vous-même et de regarder la redistribution se produire. Le calculateur ci-dessous est le véritable outil de poutre CalcSteel, en direct sur cette page. Commencez par une seule travée sur appuis simples et lisez le moment parabolique bien net. Ajoutez ensuite un appui intermédiaire pour rendre la poutre continue, et regardez un moment négatif apparaître au droit de cet appui tandis que les moments en travée diminuent : cette valeur de moment négatif est exactement l'inconnue surabondante que résout la méthode des rotations (slope-deflection).

Modifiez les longueurs de travée pour les rendre inégales, comme nos 6 et 4, et la symétrie se rompt comme dans l'exemple résolu : la travée plus courte et plus raide attire davantage de moment vers le nœud. Chaque valeur affichée par l'outil provient des mêmes équations de raideur que vous venez de résoudre à la main, simplement assemblées en matrice au lieu d'être écrites une à une.

C'est le vrai outil, gratuit, sans connexion pour les calculs. S'il s'ouvre dans son propre onglet, voici le lien direct vers le calculateur de poutre gratuit, et son compagnon, le calculateur de diagrammes d'effort tranchant et de moment, trace les diagrammes complets pour toute travée et toute charge.

Les moments d'extrémité sont la partie difficile. Tout ce qui suit relève de la statique. Le moment sur l'appui intermédiaire étant connu, coupez la poutre en B en deux travées sur appuis simples, chacune portant le moment négatif de 72 kN·m à son extrémité B, et prenez les moments.

Réactions

Pour la travée AB, la charge uniforme seule répartit 60 kN à chaque extrémité ; le moment négatif de 72 kN·m en B ajoute un couple de 72 / 6 = 12 kN qui retire 12 en A et ajoute 12 en B, si bien que cette travée délivre 48 kN en A et 72 kN en B. Pour la travée BC, la charge ponctuelle seule répartit 30 kN à chaque extrémité ; le même 72 kN·m en B ajoute 72 / 4 = 18 kN, si bien que cette travée délivre 48 kN en B et 12 kN en C. En sommant à chaque appui :

• R_A = 48 kN (de la seule travée AB)
• R_B = 120 kN (72 de AB plus 48 de BC, l'appui intermédiaire prend la part du lion)
• R_C = 12 kN (de la seule travée BC)

Leur somme vaut 180 kN, soit la charge totale appliquée : 20 × 6 + 60 = 180. Cette vérification n'est pas optionnelle. Si vos réactions ne totalisent pas la charge, les moments d'extrémité sont faux.

Le diagramme des moments fléchissants

En flexion positive en travée désormais, le diagramme part de 0 en A, monte jusqu'à un maximum dans la travée AB où l'effort tranchant s'annule en x = R_A / w = 48 / 20 = 2.4 m, atteignant + 57.6 kN·m, puis redescend en passant par zéro jusqu'au moment négatif de − 72 kN·m sur B, remonte à + 24 kN·m sous la charge ponctuelle, et redescend à 0 en C.

Le moteur concorde, à trois décimales

Modélisée comme une poutre continue dans le moteur par éléments finis de CalcSteel, la même structure renvoie R_A = 48.0, R_B = 120.0 et R_C = 12.0 kN, un moment d'appui en B de − 72.0 kN·m, un maximum en travée de + 57.6 kN·m en x = 2.4 m dans AB, et + 24.0 kN·m sous la charge dans BC. Chaque valeur calculée à la main, reproduite exactement. Pour l'étape des réactions à elle seule, le guide efforts de réaction d'une poutre déroule la statique, et diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant traite du tracé du diagramme.

Voici où la méthode des rotations (slope-deflection) gagne sa place face aux méthodes des flexibilités et du travail virtuel pour l'analyse à la main, et ce terme −3ψ que vous traînez depuis le début en est la raison. Parce que ψ = Δ / L est une rotation de corps rigide de la barre, la méthode absorbe un tassement d'appui ou un déplacement latéral du portique comme une simple donnée connue de plus, sans rien changer à la mécanique.

Supposons que l'appui B tasse d'une valeur Δ. Les deux travées acquièrent une rotation de la corde ψ = Δ / L, de signe opposé car B descend par rapport à A d'un côté et par rapport à C de l'autre, et il suffit d'ajouter la contribution −3(2EI/L)ψ aux moments d'extrémité concernés avant de résoudre. Les inconnues, les rotations de nœud, sont inchangées ; seuls les termes constants se déplacent. Un tassement qu'une poutre isostatique encaisserait sans broncher, puisqu'une structure isostatique ne développe aucun effort sous un mouvement d'appui, produit des moments réels et parfois dimensionnants dans cette poutre hyperstatique, et la méthode vous livre ces moments directement.

Le même terme −3ψ, appliqué à la translation horizontale du sommet d'un portique, est exactement la façon dont la méthode des rotations traite le déplacement latéral, en ajoutant une équation d'effort tranchant par degré de liberté de déplacement latéral aux équations des nœuds. C'est la même information qu'un solveur capture lorsqu'il forme la géométrie du comportement du portique, et cela rejoint la raison pour laquelle un portique stable peut tout de même être trop souple, le sujet de la discussion la méthode à la main face à la méthode matricielle. Comme notre poutre n'a aucun mouvement d'appui, ψ = 0 partout et le terme est resté en sommeil, mais c'est l'unique atout qui rend la méthode digne d'être apprise au-delà de l'examen.

Trois méthodes que vous rencontrez dans le même cours ne sont en réalité qu'une seule méthode à trois niveaux d'automatisation, et le comprendre évite bien des confusions.

• La méthode des rotations (slope-deflection) écrit explicitement les équations d'équilibre des nœuds et les résout directement. Exacte et transparente, mais l'algèbre croît avec le nombre de nœuds.
• La distribution des moments (Hardy Cross) résout exactement les mêmes équations de façon itérative, en bloquant et relâchant les nœuds tour à tour, pour ne jamais inverser de matrice à la main. Son facteur de report d'un demi est le couplage 2 pour 1 de l'équation des rotations, et ses facteurs de distribution sont les raideurs relatives 2EI/L. Même physique, arithmétique différente.
• La méthode matricielle des rigidités, et la méthode des éléments finis assemblent chaque 2EI/L dans une matrice de rigidité globale K et résolvent Ku = F en une seule étape. Vos trois équations de nœud deviennent trois lignes de K. C'est ce qu'exécute CalcSteel, et c'est pourquoi le moteur a concordé avec la solution à la main à trois décimales : ce sont les mêmes équations, résolues sans erreurs d'arithmétique.

La valeur de le faire une fois à la main n'est donc pas de la nostalgie. C'est que vous savez désormais, concrètement, ce que sont les nombres à l'écran et où ils peuvent déraper : un appui mal saisi qui change une équation de nœud, un moment relâché sans le vouloir, une raideur fausse parce qu'une section est erronée. La méthode que vous pouvez vérifier à la main est celle en laquelle vous pouvez avoir confiance sur celles que vous ne pouvez pas vérifier. Pour voir où les solutions à la main cessent d'être pratiques et où la matrice prend définitivement le relais, lisez pourquoi la méthode à la main s'arrête et où commence la méthode matricielle, et pour la classification qui précède tout cela, compter les degrés d'hyperstaticité.

La méthode est mécanique, et c'est précisément pourquoi les erreurs sont si répétables. Passez cette liste de contrôle.

• Mélanger les conventions de signe. La méthode des rotations est positive dans le sens horaire pour les moments d'extrémité de barre. Le diagramme des moments fléchissants est positif en flexion en travée. Ne convertissez qu'à la fin. Glisser de l'une à l'autre en cours de résolution est la première source de mauvaises réponses.
• Signes de moment d'encastrement parfait erronés. Le FEM à l'extrémité gauche d'une charge descendante est antihoraire (négatif), celui à l'extrémité droite est horaire (positif). Un signe de FEM inversé se propage dans toutes les rotations.
• Oublier le terme de rotation de la corde. Si un appui tasse ou si un portique se déplace latéralement, ψ n'est pas nul. Omettre −3ψ supprime silencieusement des moments réels.
• Mal traiter une extrémité éloignée articulée. Soit vous conservez θ à l'articulation comme une véritable inconnue et fixez à zéro ce moment d'extrémité, soit vous utilisez l'équation modifiée 3EI/L, mais ne faites pas la moitié de chacune.
• Supposer que les moments dépendent de EI. Dans une poutre continue prismatique, EI se simplifie et les moments sont purement géométriques. EI n'affecte que les rotations et flèches réelles, pas la distribution des moments.

La méthode des rotations a-t-elle besoin de la section, de E et de I ?

Pour les moments dans une barre prismatique, non : EI se simplifie et les moments d'extrémité ne dépendent que des longueurs de travée et des charges. Vous n'avez besoin de EI que si les barres ont des raideurs différentes, auquel cas le rapport EI/L relatif compte, ou si vous voulez les rotations et flèches réelles, ou si un appui tasse, puisque les moments de tassement sont proportionnels à EI.

Combien d'inconnues vais-je réellement résoudre ?

Une rotation par nœud rigide libre de tourner, plus une translation par déplacement latéral indépendant. Utiliser l'équation modifiée pour chaque extrémité sur appui simple élimine ces rotations d'emblée, ce qui explique pourquoi notre poutre à trois rotations s'est réduite à une seule inconnue, EIθ_B.

Méthode des rotations ou distribution des moments ?

Elles donnent des réponses identiques. La méthode des rotations est préférable quand vous voulez un résultat exact sous forme fermée ou que vous disposez d'un ordinateur ; la distribution des moments est plus rapide à la main pour les poutres à nombreuses travées car elle évite de résoudre des équations simultanées. La plupart des cursus enseignent d'abord la méthode des rotations car elle met en évidence l'idée de raideur sur laquelle repose la méthode matricielle.

Vous avez résolu à la main une poutre véritablement hyperstatique et vu le moteur le confirmer. Retenez ceci.

• C'est une méthode des déplacements. Les inconnues sont les rotations de nœud, pas les efforts. Écrivez chaque moment d'extrémité sous la forme M_nf = (2EI/L)(2θ_n + θ_f − 3ψ) + FEM, imposez l'équilibre des nœuds, résolvez.
• La charge n'entre qu'à travers les moments d'encastrement parfait. wL²/12 pour une charge uniforme, PL/8 pour une charge ponctuelle centrée. Tout le reste est raideur et rotation.
• Notre poutre. Trois rotations réduites à une inconnue, EIθ_B = −36, donnant un moment négatif de 72 kN·m sur B, des réactions de 48, 120 et 12 kN, et des maximums en travée de +57.6 et +24 kN·m, tous reproduits par le moteur à trois décimales.
• Le terme −3ψ est la récompense. Le tassement et le déplacement latéral s'y intègrent directement, ce que les méthodes des forces ne peuvent égaler pour le travail à la main.
• C'est la boîte noire, rendue lisible. La distribution des moments itère les mêmes équations ; la matrice de rigidité et la méthode des éléments finis les assemblent en Ku = F. Le faire une fois à la main est ce qui vous permet de faire confiance au logiciel, et de le prendre en défaut quand un modèle est faux.

À vous de construire la vôtre maintenant. Déposez une poutre continue dans le calculateur de poutre gratuit, ajoutez et déplacez un appui intermédiaire, et regardez le moment négatif que vous venez de résoudre apparaître et se déplacer. Quand vous serez prêt pour les portiques complets, CalcSteel exécute le même vrai moteur par éléments finis sur des structures entières dans votre navigateur, gratuitement, avec chaque réaction, chaque diagramme et chaque vérification normative inclus. Les étudiants débloquent tout via CalcSteel Education, gratuitement.