Lignes d'influence : où placer la charge pour que la poutre souffre le plus

Demandez à un étudiant de première année où une poutre sur deux appuis subit le plus de flexion et la réponse fuse : au milieu. Demandez où placer une seule charge itinérante pour rendre cette flexion aussi grande que possible, et les plus sûrs d'eux répondent encore le milieu, et cette fois ils ont raison, mais pour une raison qu'ils ne savent généralement pas démontrer. Déplacez la question vers une poutre de plancher à deux travées, ou vers un rail de pont roulant parcouru par deux roues, et l'intuition s'épuise discrètement. Charger toutes les travées paraît sécuritaire et se révèle ne pas l'être. Centrer une paire de roues paraît évident et se révèle légèrement faux.

Une ligne d'influence est l'instrument qui règle toutes ces questions avec une seule image. C'est le tracé d'un unique effet choisi, disons la réaction sur un appui, ou le moment fléchissant à une section transversale particulière, à mesure qu'une charge unité voyage d'une extrémité de la structure à l'autre. Lisez-la correctement et elle vous dit exactement où placer la charge pour rendre cet effet maximal, et quelle sera la valeur de ce maximum. C'est l'outil derrière chaque calcul de chemin de roulement, chaque voie de charge d'exploitation d'un pont, et chaque règle de chargement alterné dans une norme de plancher en béton ou en acier.

Tout ce qui suit est vérifié avec le moteur aux éléments finis de CalcSteel, le même solveur qui alimente le calculateur de diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant gratuit. Vous pourrez piloter cet outil vous-même à la fin de l'article et observer un moment changer à mesure que vous déplacez la charge.

Une ligne d'influence pour une réponse R est un graphique dont l'axe horizontal est la position d'une charge unité mobile et dont l'axe vertical est la valeur que prend R pour cette position de charge. Une ligne d'influence ne décrit qu'une seule réponse : la réaction en A, ou l'effort tranchant à la section C, ou le moment à la section C, chacune a sa propre ligne d'influence distincte.

C'est la seule distinction qui fait trébucher, il vaut donc la peine de l'énoncer lentement. Un diagramme de moment fléchissant et une ligne d'influence se ressemblent, tous deux sont des courbes tracées sous une poutre, mais ils répondent à des questions opposées :

• Un diagramme de moment fixe la charge et fait varier la section : la disposition de charge est figée, et la courbe montre le moment en chaque point le long de la poutre pour cette disposition unique.
• Une ligne d'influence fixe la section et fait varier la charge : la section est figée (disons, à mi-travée), et la courbe montre le moment à cette section unique à mesure que la charge se déplace partout.

Ainsi l'axe horizontal porte un sens différent dans chaque cas. Sur un diagramme de moment, c'est la coordonnée du point où vous lisez le moment. Sur une ligne d'influence, c'est la coordonnée où vous placez la charge. L'ordonnée d'une ligne d'influence est une sensibilité : elle indique de combien l'effet choisi croît par unité de charge placée à cette position. Cette interprétation, effet par unité de charge en une position, est ce qui fait des lignes d'influence le bon outil dès l'instant où les charges se mettent à bouger.

Prenons une poutre sur deux appuis de portée L = 8 m, articulée en A et sur appui simple en B, et choisissons une section intérieure C à a = 3 m de A, soit b = 5 m jusqu'à B. Nous allons construire trois lignes d'influence : pour la réaction de gauche R_A, pour l'effort tranchant V_C, et pour le moment M_C. Dans chaque cas, imaginez une seule charge unité descendante (1 kN) placée à la position x, et notez l'effet.

Réaction R_A : une droite

La statique donne directement R_A = (L − x) / L. Lorsque la charge est au-dessus de A, celle-ci la reprend entièrement (ordonnée 1,0) ; lorsqu'elle est au-dessus de B, A n'en reprend rien (ordonnée 0). La ligne d'influence est une droite qui descend de 1 jusqu'à 0. CalcSteel le confirme point par point : 1,000 en A, 0,750 à x = 2 m, 0,500 à mi-travée, 0,000 en B.

Moment M_C : un triangle culminant à ab/L

Avec la charge à droite de C, M_C = R_A·a = a(L − x)/L ; avec elle à gauche, M_C = R_B·b = b·x/L. Les deux branches sont droites et se rejoignent en C, où l'ordonnée atteint son maximum, le classique a·b/L = 3 × 5 / 8 = 1,875 m. Le moteur renvoie exactement 1,875 en C, s'effilant jusqu'à zéro aux deux appuis. La forme est un triangle dont le sommet se trouve sous la section.

Effort tranchant V_C : deux triangles avec un saut unité

C'est la ligne d'influence que les étudiants se trompent le plus souvent. Juste à droite de C, l'ordonnée vaut +b/L = +0,625 ; juste à gauche, elle vaut −a/L = −0,375 ; les deux sont séparées par un saut vertical d'exactement 1,0 en C, l'empreinte de la charge unité franchissant la section. L'effort tranchant CalcSteel juste à droite de C indique 0,625 et juste à gauche indique −0,375, en accord avec la théorie à trois décimales.

Ce ne sont pas de simples formes soignées. Elles sont la matière première de chaque décision de chargement qui suit, et le fait que le moteur aux éléments finis reproduise exactement les ordonnées de la forme analytique est ce qui vous permet de lui faire confiance sur les cas plus difficiles où aucune forme analytique n'existe.

Une ligne d'influence ne vaut la peine d'être tracée qu'en raison de deux règles qui la transforment en un nombre. Toutes deux découlent du fait que son ordonnée est l'effet produit par une charge unité à cette position, et que la structure est linéaire, de sorte que les effets s'additionnent.

Règle 1, une charge concentrée. Une charge ponctuelle d'intensité P à la position x produit une réponse égale à P multiplié par l'ordonnée de la ligne d'influence en x. Deux conséquences en découlent. D'abord, pour maximiser la réponse, on fait glisser la charge à la position de la plus grande ordonnée. Ensuite, la valeur maximale est simplement P fois cette ordonnée de pointe. Pour M_C sur la poutre ci-dessus, une charge de 50 kN placée en C donne 50 × 1,875 = 93,75 kN·m.

Règle 2, une charge répartie. Une charge uniforme d'intensité w sur une certaine longueur produit une réponse égale à w multiplié par l'aire sous la ligne d'influence sous la longueur chargée. C'est la règle qui renverse l'intuition, car la ligne d'influence comporte souvent à la fois des régions positives et négatives. Pour rendre la réponse aussi grande que possible dans un sens, on ne charge que les parties de la travée où l'ordonnée a ce signe, et on laisse délibérément le reste sans charge. Une charge d'exploitation qui pourrait se trouver n'importe où doit être placée là où elle fait le plus de dégâts, non pas répartie partout par réflexe.

La règle 2 est toute la justification du chargement alterné, aussi appelé chargement en damier ou par alternance de travées, dans le dimensionnement des planchers. Nous le verrons trancher le cas d'une véritable poutre continue dans deux exemples.

Faisons maintenant rouler une seule charge de P = 50 kN le long de la même poutre isostatique de 8 m et posons la question centrale : parmi toutes les positions possibles, où la poutre est-elle la plus sollicitée, et jusqu'à quel point ? La règle 1 indique que le moment maximal à une section fixe donnée se produit lorsque la charge est à cette section, ce qui donne P·a·b/L pour une section en a. Mais la section elle-même est désormais un choix libre aussi, donc nous cherchons la position qui maximise P·a·b/L sur toutes les sections, et a·b/L est maximal lorsque a = b = L/2.

La réponse est donc à mi-travée, et la valeur est le célèbre M_max = P·L/4 = 50 × 8 / 4 = 100 kN·m. En balayant la charge le long de la poutre dans le moteur CalcSteel et en enregistrant le moment de pointe à chaque position, on trace une bosse régulière qui culmine exactement à 100 kN·m avec la charge à x = 4 m, et retombe symétriquement vers les appuis. Placez la même charge de 50 kN à la section C au quart de portée utilisée plus tôt et le pire qu'elle puisse y produire est 93,75 kN·m, réellement inférieur à 100.

Ainsi la réponse honnête en une ligne au titre, pour une charge unique sur une poutre isostatique, est : placez-la à mi-travée. C'est là tout le contenu de la ligne d'influence du moment pour la section à mi-travée, dont l'ordonnée de pointe vaut L/4. La raison pour laquelle cela importe est que presque rien, en dimensionnement réel, n'est une charge unique sur une poutre isostatique, et dès l'instant où vous ajoutez un second appui ou une seconde roue, la réponse se déplace là où vous ne l'auriez pas deviné.

Écrire les équations de chaque branche fonctionne sur une poutre isostatique, mais cela devient pénible sur une poutre continue. Heureusement, il existe un raccourci qui est l'un des résultats les plus élégants de l'analyse des structures, et c'est là que vit l'histoire du sujet. L'ingénieur allemand Emil Winkler a introduit les lignes d'influence vers 1868 pour précisément le problème des charges ferroviaires mobiles sur les ponts. Deux décennies plus tard, Heinrich Müller-Breslau a énoncé le principe qualitatif qui porte encore son nom.

Principe de Müller-Breslau : pour obtenir la ligne d'influence de toute réaction ou effort interne, supprimez la liaison qui reprend cet effort, imposez un déplacement unité (ou une rotation) au niveau de la libération dans le sens positif de l'effort, et la déformée résultante de la structure est la ligne d'influence de cet effort.

Lisez-le lentement avec les trois lignes de l'exemple 1. Pour la réaction R_A, supprimez l'appui A et soulevez-le d'une unité : la poutre pivote en droite rigide autour de B, ce qui est exactement la ligne d'influence droite de 1 à 0. Pour le moment en C, insérez une rotule en C et imposez une rotation unité : les deux segments se plient en le triangle que nous avons tracé. Pour l'effort tranchant en C, coupez la poutre en C et faites glisser un côté vers le haut par rapport à l'autre d'une unité : les deux branches se séparent de ce saut unité. Les formes découlent de la géométrie de la déformée, sans aucune algèbre d'équilibre.

Le vrai gain, c'est que le principe se moque de savoir si la structure est isostatique. Pour une poutre continue, la forme libérée est une courbe régulière plutôt que des segments droits, mais c'est toujours la ligne d'influence, et elle vous indique toujours, par son signe, quelles travées charger. C'est précisément ce dont nous avons besoin ensuite.

C'est ici que l'intuition d'un étudiant de première année s'effondre et que les lignes d'influence gagnent leur place dans chaque norme. Prenons une poutre continue à deux travées, chaque travée L = 6 m, portant une charge d'exploitation uniforme de w = 15 kN/m qui peut être présente ou non sur l'une ou l'autre travée. Trois appuis : A à l'extrémité gauche, M au milieu, C à l'extrémité droite. La question n'est pas ce que produit une disposition de charge, mais quelle disposition est la plus défavorable pour chaque effet.

D'après Müller-Breslau, la ligne d'influence du moment positif au milieu de la travée de gauche est positive sur la travée de gauche et négative sur la travée de droite. La règle 2 dit alors : pour maximiser ce moment positif, ne chargez que la travée de gauche et laissez la travée de droite nue. Le moteur CalcSteel confirme le gain avec précision :

• Les deux travées chargées : le moment positif à mi-travée est de 37,97 kN·m (le classique 9wL²/128), et le moment négatif sur l'appui central est de −67,5 kN·m (wL²/8).
• Seule la travée de gauche chargée : le moment positif à mi-travée grimpe à 51,56 kN·m, soit environ 36 pour cent de plus, alors même qu'il y a maintenant moins de charge totale sur la poutre.

Charger toute la poutre, le geste sécuritaire instinctif, soulage en réalité la travée qui vous inquiétait, car la charge sur la travée éloignée pousse l'appui commun vers le haut et fait fléchir la travée proche en sens inverse. La ligne d'influence l'avait prévu, par son changement de signe.

Et le cas le plus défavorable diffère selon l'effet. Le moment négatif de pointe sur l'appui central exige que les deux travées soient chargées (−67,5 kN·m), car cette ligne d'influence est négative sur les deux. Il y a aussi un piège dans la queue : avec seulement la travée de gauche chargée, le moteur indique la réaction éloignée en C à −5,625 kN, une traction vers le bas, ce qui signifie que la poutre cherche à se soulever de son appui d'extrémité. Une charge sur une travée peut soulever l'autre extrémité, un détail que les lignes d'influence rendent évident et qu'un cas de charge unique masque. C'est pourquoi les diagrammes seuls ne suffisent pas dès qu'une structure est continue.

Le dernier cas est celui qui fait vivre quiconque dimensionne un chemin de roulement ou une poutre maîtresse de pont : non pas une charge, mais un ensemble de charges à espacement fixe qui roulent ensemble. Prenons deux roues de 40 kN chacune, distantes de 2 m, sur une poutre isostatique de portée L = 10 m. Où le long de la poutre la paire doit-elle se situer pour produire le moment fléchissant maximal absolu, et quel est-il ?

La réponse tentante est de centrer la paire sur la travée, roues à 4 m et 6 m. Faites-le et le moteur indique un moment maximal de 160 kN·m. Mais ce n'est pas le vrai maximum. Le critère exact, qui découle directement de la ligne d'influence du moment pour une section mobile, est la règle de bissection de la résultante : le moment maximal absolu se produit sous la roue la plus proche de la résultante du groupe, lorsque cette roue et la résultante sont placées à égale distance de l'axe médian de la travée.

La résultante de deux roues égales de 40 kN se situe à mi-distance entre elles, à 1 m de chacune. Placer une roue à 0,5 m au-delà de l'axe médian rend cette roue et la résultante symétriques par rapport à la mi-travée. Cela signifie des roues à 3,5 m et 5,5 m, et le balayage CalcSteel confirme que le maximum y est de 162 kN·m, sous la roue à 5,5 m. Il n'est ici supérieur que de 2 kN·m à l'estimation centrée, mais le principe est exact, et pour des roues inégales ou un espacement plus large, l'écart entre l'estimation naïve et le vrai maximum devient assez grand pour changer une section.

C'est toute la raison pour laquelle les lignes d'influence existent comme outil d'ingénierie plutôt que comme curiosité de salle de classe. Un fabricant de pont roulant vous donne les charges de roue et les espacements ; la ligne d'influence, ajoutée à la règle de bissection de la résultante, vous indique où sur le rail elles font le plus de mal et quelle est l'ampleur du moment de calcul, sans essayer chaque position à la main.

La façon la plus rapide de ressentir une ligne d'influence est de devenir la charge mobile. Dans le calculateur ci-dessous, configurez une poutre, placez une charge ponctuelle, et faites-la glisser le long de la travée pendant que vous observez le diagramme de moment fléchissant se redessiner. Le pic du moment à une section choisie, tracé à mesure que vous déplacez la charge, est la ligne d'influence de cette section, exactement l'expérience derrière chaque nombre de cet article. Passez la poutre à deux travées et vous pourrez voir l'effet du chargement alterné de l'exemple 3 apparaître sous vos yeux.

Il fonctionne dans votre navigateur, sans inscription pour les mathématiques, sur le même moteur aux éléments finis qui a produit chaque valeur vérifiée ci-dessus. Lorsque vous serez prêt à passer d'une poutre unique à un portique complet, le même solveur vérifie les éléments selon AISC 360, Eurocode 3 et NBR 8800.

Les lignes d'influence répondent à la question que les diagrammes d'effort tranchant et de moment ne peuvent pas résoudre : non pas comment une charge fixe circule dans une structure, mais où une charge mobile doit se trouver pour lui faire le plus de mal. La recette est courte et ne change jamais. Tracez la ligne d'influence pour l'unique effet qui vous importe, par la statique sur les structures simples ou par la déformée de Müller-Breslau sur tout ce qui est plus difficile. Puis lisez-la : placez les charges concentrées à la plus grande ordonnée, et placez les charges réparties sur les régions dont vous voulez le signe, en laissant le reste nu.

Trois résultats méritent d'être retenus de cet article. Une charge unique sur une poutre isostatique est la plus défavorable à mi-travée, PL/4. Une poutre continue réclame un chargement alterné, une travée ici, les deux travées là, avec une disposition différente pour chaque effet, et tout charger n'est pas sécuritaire. Un convoi de roues est le plus défavorable non pas centré mais à la position de bissection de la résultante. Chacun de ces cas coûtait autrefois aux ingénieurs des pages de positions d'essai ; chacun découle directement d'une ligne d'influence.

Les logiciels modernes construisent ces enveloppes automatiquement, en balayant les charges à travers le modèle et en signalant le cas le plus défavorable par élément, ce qui transforme une méthode manuelle laborieuse en une vérification de routine. Commencez par le calculateur d'effort tranchant et de moment pour bâtir l'intuition, confirmez vos réactions et vos moments à la main, et laissez le modèle assurer la comptabilité lorsque les charges se mettent à bouger.