Derivadas parciales: el teorema de Castigliano y la deflexión de una celosía de acero

La derivada parcial que conociste en Cálculo II suele presentarse como una herramienta para superficies y gradientes: cómo se inclina una función de varias variables cuando modificas una de ellas. Parece geometría pura, lejos de una viga o un perno. No lo es. En 1873 un joven ingeniero ferroviario italiano, Carlo Alberto Castigliano, demostró que esa misma derivada parcial calcula la deflexión de una estructura cargada de forma directa, a partir de la energía que la estructura almacena.

Esa es toda la promesa de este artículo. Tomamos una celosía de acero real, la cargamos y leemos tres deflexiones distintas a partir de derivadas parciales de su energía almacenada. Sin física nueva entre ellas: la misma derivada, apuntada a tres preguntas distintas.

• La deflexión bajo la carga, donde la fuerza realmente empuja.
• Una deflexión donde no actúa ninguna carga, usando una fuerza ficticia que derivamos y luego apagamos.
• Las fuerzas internas de una celosía estáticamente indeterminada, donde la derivada igualada a cero elige la única solución que la naturaleza realmente escoge.

Cada respuesta se coteja contra el motor MEF de CalcSteel hasta el decimal. Ese es el sentido de tener un motor real detrás de las palabras: el cálculo a mano y la solución de la máquina tienen que encontrarse, y lo hacen. Todo aquí corre gratis en el navegador, así que puedes reconstruir la celosía tú mismo mientras lees.

Tres lectores obtendrán algo distinto de esto. El estudiante de ingeniería obtiene una razón concreta por la que la derivada parcial se gana su lugar en el temario. El calculista en ejercicio obtiene un repaso limpio de los métodos de energía y de dónde todavía le ganan a una caja negra. El calculista independiente obtiene una forma gratuita y nativa del navegador de verificar una deflexión sin comprar una licencia de nada.

Una derivada parcial df/dx mide cómo cambia una función de varias variables f(x, y, z, ...) cuando modificas una variable y mantienes todas las demás fijas. Es la derivada ordinaria en todo salvo en una cosa: tú decides qué variable se mueve y congelas el resto en sus valores actuales mientras derivas.

Este es exactamente el paso hacia el que se construye tu secuencia de cálculo. Cálculo I te da la derivada ordinaria de una función de una variable. Cálculo II amplía el mundo a funciones de varias variables, y la derivada parcial es la primera herramienta natural ahí: derivar respecto de una entrada a la vez. No se te pide nada nuevo, solo elegir qué perilla girar.

Aquí está el punto de giro que hace funcionar el resto de este artículo. Una estructura cargada almacena energía, y esa energía almacenada es una función de las cargas que actúan sobre ella: escríbela U(P1, P2, P3, ...). Cambia una carga y la energía almacenada cambia. Así, una derivada parcial de U respecto de una carga, dU/dP1, es precisamente el tipo de objeto que Cálculo II te entrega: una función de varias variables derivada en una de sus variables.

La idea de Castigliano fue preguntar qué significa físicamente esa derivada parcial concreta. La respuesta, que las dos secciones siguientes construyen con cuidado, es que es una deflexión. La maquinaria abstracta de Cálculo II resulta ser una calculadora de deflexiones disfrazada.

Antes de poder derivar la energía almacenada, la necesitamos como una fórmula honesta. Cuando una estructura se deforma elásticamente bajo carga, almacena el trabajo hecho sobre ella como energía de deformación, U. En su forma más general es la integral de la densidad de energía sobre todo el cuerpo, U = integral de (1/2) sigma epsilon dV, con sigma la tensión y epsilon la deformación. Esa es la cantidad que un peso en caída tiene que descargar en una estructura, razón por la cual también gobierna la carga de impacto.

Para una sola barra que soporta únicamente una fuerza axil N, esa integral se reduce a un resultado compacto:

U = N² L / (2 E A)

donde L es la longitud de la barra, E es el módulo de Young y A es el área de la sección transversal. Una celosía no es más que un conjunto de tales barras articuladas entre sí, cada una soportando su propia fuerza axil, de modo que su energía de deformación total es la suma sobre todas las barras:

U = suma de N_i² L_i / (2 E A_i)

Ahora la frase de la que depende todo el método: U es una función de las cargas. No lo parece, porque las cargas P no aparecen en la fórmula. Están escondidas dentro de cada N_i. En una celosía cada fuerza de barra N_i queda fijada por las cargas aplicadas a través del equilibrio, así que N_i = N_i(P1, P2, ...), y por lo tanto U = U(P1, P2, ...). La energía es exactamente la función de varias variables U(P1, P2, ...) de la sección anterior, escrita en el lenguaje del acero.

Eso es todo lo que necesitamos. Tenemos una función de las cargas. Cálculo II nos dice cómo derivarla una carga a la vez. La siguiente sección dice qué es esa derivada.

Aquí está el teorema, dicho sin rodeos. Para una estructura elástica lineal, el desplazamiento en el punto de aplicación de una carga P_i, medido en la dirección de esa carga, es igual a la derivada parcial de la energía de deformación respecto de esa carga:

delta_i = dU/dP_i

Esa es toda la idea. La derivada parcial abstracta de las secciones anteriores es una deflexión real y medible en milímetros.

Para convertirlo en algo que puedas calcular, deriva la energía de la celosía bajo el signo de suma. Partiendo de U = suma de N² L / (2 E A) y aplicando la regla de la cadena a cada N (que depende de P_i), el factor 2 se cancela y te queda una fórmula de trabajo:

delta = suma de N (dN/dP) L / (E A)

Léela término a término. Para cada barra tomas su fuerza N, la multiplicas por qué tan rápido cambia esa fuerza con la carga, dN/dP, la multiplicas por la longitud L, sumas sobre todas las barras y divides por la rigidez axil E A. Cada cantidad de la derecha es algo que ya sabes obtener: N a partir del equilibrio, dN/dP derivando esa misma expresión de equilibrio, L y E A a partir de la geometría y la sección.

El teorema viene con supuestos, y son importantes. Es válido para material elástico lineal, bajo pequeños desplazamientos, con las cargas aplicadas gradualmente de modo que todo el trabajo externo se almacene como energía de deformación recuperable y nada se pierda en dinámica o fluencia. Dentro de esos límites, que cubren la inmensa mayoría del diseño en acero a nivel de servicio, la igualdad es exacta.

Unas palabras sobre su origen. Carlo Alberto Castigliano (1847 a 1884) fue un ingeniero estructural y ferroviario italiano que trabajó para los Ferrocarriles del Norte de Italia, la Strade Ferrate dell'Alta Italia. Presentó estos teoremas en su tesis de ingeniería de 1873 en el Politecnico di Torino y los publicó en 1879 como Theorie de l'equilibre des systemes elastiques. Murió a los 36. Sus métodos de energía se ubican junto al trabajo virtual, desarrollado por Maxwell en 1864 y por Mohr, como la vía clásica hacia las deflexiones que sostuvo el análisis estructural hasta la llegada de los métodos matriciales y de elementos finitos en las décadas de 1950 y 1960.

Antes de tocar una celosía real, aquí está todo el método de un vistazo. El primer teorema de Castigliano convierte una deflexión en un ejercicio de contabilidad: halla las fuerzas, derívalas, multiplica, suma, divide. Cada ejemplo resuelto de este artículo no es más que estos cinco pasos repetidos.

1. Halla las fuerzas de barra N como funciones de la carga P. Resuelve la celosía para la carga aplicada y conserva P como símbolo, de modo que cada fuerza de barra se lea como una fórmula en P y no como un número pelado.
2. Toma la derivada parcial dN/dP de cada barra. Como una celosía es lineal, esta derivada parcial es simplemente la fuerza que esa barra soporta por unidad de P, manteniendo fijas la geometría y todas las demás cargas.
3. Multiplica N por (dN/dP) por L, barra por barra. Este producto es la contribución propia de cada barra a la deflexión, arrastrando su signo consigo.
4. Suma sobre todas las barras. Suma las siete contribuciones en un único número, tracción y compresión juntas.
5. Divide por EA. La rigidez axil EA convierte esa suma fuerza-longitud en un desplazamiento real, en las mismas unidades de longitud que usaste dentro de la suma.

Ese es todo el motor. En la siguiente sección lo corremos sobre una celosía de acero real y verificamos la respuesta contra el solver MEF de CalcSteel hasta el decimal.

Aquí está la estructura que arrastraremos por todo el artículo. Es una celosía de acero simplemente apoyada con una luz de L = 6,0 m y una altura de 2,0 m. Los nudos inferiores son L en (0,0), articulado, M en (3,0) y R en (6,0) sobre un apoyo móvil. Los dos nudos superiores son T1 en (1,5, 2,0) y T2 en (4,5, 2,0). Siete barras los conectan: los cordones inferiores LM y MR, las diagonales extremas LT1 y T2R, las diagonales interiores T1M y MT2, y el cordón superior T1T2.

Cada barra es el mismo perfil tubular cuadrado, un SHS 90x5 con área A = 17,0 cm^2 (el valor que el motor recalcula a partir de la geometría), grado MR250, con E = 200 GPa = 20 000 kN/cm^2. Eso da una rigidez axil EA = 340 000 kN para cada barra. La celosía es estáticamente determinada: con m = 7 barras, r = 3 reacciones y j = 5 nudos, m + r es igual a 2j, así que el equilibrio por sí solo fija todas las fuerzas.

Ahora cuelga una única carga puntual P = 60 kN hacia abajo en el nudo inferior central M, y pregunta por la deflexión vertical en M, justo bajo la carga. Esa es exactamente la situación para la que se construyó el primer teorema de Castigliano: la deflexión en la carga es igual a dU/dP, que se expande en la suma que armamos en la receta.

Como las fuerzas son lineales en P, el paso 2 es fácil: dN/dP es simplemente la fuerza que cada barra soporta por unidad de P. Así que resolvemos la celosía una vez para P = 60 kN, leemos las siete fuerzas de barra (positivas en tracción, negativas en compresión), y la columna por unidad se obtiene dividiendo por 60. La última columna es el producto N por (dN/dP) por L que sumamos, con las longitudes escritas en centímetros para que la respuesta salga en centímetros.

Fíjate en que cada producto de la última columna es positivo, incluso para las barras en compresión LT1, T2R y T1T2. Una barra en compresión tiene una N negativa y una dN/dP negativa, y los dos signos menos se multiplican dando un más. Este es el corazón físico del método: las barras en compresión almacenan energía y contribuyen a la deflexión exactamente tanto como las barras en tracción.

La suma es 38 625 kN.cm. Divide por EA = 340 000 kN y obtienes la deflexión:

delta_M = 38 625 / 340 000 = 0,1136 cm = 1,136 mm hacia abajo.

Ahora el remate. Construimos esta misma celosía en el motor MEF de CalcSteel en producción, el mismo que corre dentro de la app del navegador, y le pedimos el desplazamiento vertical en el nudo M. Devuelve 1,136 mm, igual hasta el decimal. Una derivada parcial que aprendiste a tomar en Cálculo II, aplicada a la energía almacenada de una estructura de acero, aterriza en el número idéntico que calcula un solver completo de elementos finitos. (Si prefieres la forma de energía, las mismas siete barras dan suma N^2 L = 2 317 500 kN^2.cm, y delta = suma N^2 L / (P.EA) devuelve 1,136 mm también.)

El primer teorema de Castigliano te da la deflexión en una carga, en la dirección de esa carga. Entonces, ¿qué haces cuando quieres el movimiento en un punto donde nada empuja? En nuestra celosía, la carga en M es vertical, pero a un proyectista a menudo le importa la apertura horizontal en el apoyo móvil R, donde no hay ninguna fuerza horizontal. Hay un truco limpio para exactamente este caso.

Añade una fuerza ficticia Q en R, apuntando en la dirección que quieres medir, aquí horizontalmente. Ahora cada fuerza de barra es una combinación lineal de la carga real y la ficticia, N = a P + b Q. Toma la derivada parcial respecto de Q, luego haz Q = 0 al final del todo. La carga real permanece; la imaginaria se desvanece después de haber hecho su trabajo de seleccionar el desplazamiento correcto.

La belleza está en lo que resulta ser la derivada. Como N = a P + b Q, tenemos dN/dQ = b, que es precisamente la fuerza de barra bajo una carga horizontal unitaria en R. Así, el paso 2 de la receta se convierte en: resuelve la celosía para una sola fuerza unitaria en R, en la dirección de interés, y lee las fuerzas de barra. Esos son tus valores de dN/dQ, y hacer Q = 0 significa que las fuerzas de barra reales N de la suma son justamente las de la Celosía resuelta 1.

Una carga horizontal unitaria aplicada en el apoyo móvil R corre directamente a lo largo del cordón inferior hasta la articulación en L, y no alcanza ninguna otra barra. Así que solo los dos cordones inferiores tienen una dN/dQ distinta de cero:

• LM: dN/dQ = +1,0
• MR: dN/dQ = +1,0
• todas las demás barras: dN/dQ = 0

La suma se reduce a dos términos. Usando las fuerzas reales de los cordones inferiores N_LM = N_MR = +22,5 kN y longitudes de 300 cm cada una:

delta_R,horizontal = (22,5 x 1 x 300 + 22,5 x 1 x 300) / 340 000 = 13 500 / 340 000 = 0,03971 cm = 0,397 mm.

Le pedimos al motor MEF de CalcSteel el desplazamiento horizontal en R sobre el mismo modelo. Devuelve 0,397 mm, igual hasta el decimal, una deflexión leída limpiamente en un punto que no soportaba ninguna carga horizontal real.

Si ese paso de carga unitaria te resulta familiar, es normal. La cantidad dN/dQ, la fuerza de barra bajo una carga unitaria ficticia en el punto y la dirección de interés, es la fuerza de carga ficticia del método del trabajo virtual (carga unitaria). Por eso Castigliano y el trabajo virtual siempre producen la suma idéntica, barra por barra: están escribiendo el mismo producto N por (fuerza de carga unitaria) por L sobre EA. La diferencia es solo el camino que cada uno recorre para llegar ahí. El trabajo virtual parte de un argumento de equilibrio con una carga ficticia; Castigliano alcanza ese mismísimo resultado a partir de la energía almacenada y una sola derivada parcial. Dos ramas de la caja de herramientas de Cálculo II, una deflexión en acero.

Acabas de ver cómo una derivada parcial se convierte en una deflexión dos veces sobre el papel. Ahora hazlo tú mismo, sin tomar un lápiz. La calculadora interactiva incrustada aquí mismo te deja fijar una carga y leer la deflexión de vuelta, de modo que el abstracto dU/dP se convierte en un número que puedes manipular.

Cambia la carga, cambia la geometría y observa cómo responde la deflexión. Es la misma idea que nuestra celosía resuelta: energía almacenada en las barras, derivada respecto de la carga, leída como un desplazamiento. Verlo moverse es la forma más rápida de confiar en el método.

Es genuinamente gratis, no hay registro para las cuentas, y no hay límite en cuántas veces lo corras. Explóralo como explorarías un gráfico en Cálculo II: modifica una cosa, mantén el resto fijo y lee el cambio.

Todo hasta ahora supuso una celosía que puedes resolver solo con equilibrio. Nuestra celosía compartida es estáticamente determinada: siete barras, tres reacciones, cinco nudos, así que m más r es igual a 2j exactamente. Las ecuaciones de nudo bastan, y el primer teorema de Castigliano lee la deflexión directamente.

Añade una diagonal más y ese balance se rompe. Coloca una barra T1R cruzando la celosía (longitud 4,924 m) y ahora tienes ocho barras y tres reacciones contra cinco nudos, así que m más r es igual a 2j más 1. Hay una fuerza incógnita más de las que el equilibrio puede determinar. La estructura es una vez indeterminada, y a las ecuaciones de nudo les falta una ecuación.

El segundo teorema de Castigliano, el teorema del trabajo mínimo, cierra exactamente esa brecha. Dice que la fuerza redundante toma el valor que minimiza la energía de deformación: dU/dX = 0. La estructura, librada a sí misma, se asienta en el estado de mínima energía, y esa condición aporta la ecuación que falta.

Derivar la energía respecto de la fuerza redundante X e igualarla a cero da una fórmula compacta:

X = menos suma(N0 n L) / suma(n al cuadrado L)

Aquí N0 son las fuerzas de barra en la celosía determinada liberada bajo la carga real de 60 kN (exactamente las fuerzas de la SIM-1), y n son las fuerzas de barra bajo una tracción unitaria solo en la diagonal redundante. Es la misma energía, la misma derivada parcial, ahora resuelta para una fuerza en lugar de un desplazamiento.

Para nuestra celosía el resultado es X = menos 9,77 kN. El signo importa: la diagonal añadida entra en compresión. Una vez que conoces X, el resto de las barras se redistribuyen, porque cada una ahora soporta su antigua N0 más su parte n por X.

Lee la redistribución físicamente. El cordón inferior MR sube de +22,5 a +28,45 kN y el cordón superior T1T2 se alivia de menos 45,0 a menos 39,05 kN. La diagonal interior T1M trepa de +37,5 a +42,46 kN mientras MT2 se relaja de +37,5 a +32,54 kN, y la diagonal extrema T2R se alivia de menos 37,5 a menos 32,54 kN. LM y LT1 no se mueven. La barra nueva simplemente le quita algo de carga a una trayectoria y se la entrega a otra, que es para lo que sirve una barra redundante.

Luego la verificación que importa. Construimos la verdadera celosía indeterminada de ocho barras en el motor MEF de CalcSteel en producción y la resolvimos directamente, sin ninguna fórmula de trabajo mínimo de por medio. Devuelve X = menos 9,77 kN y cada fuerza redistribuida de arriba, coincidiendo hasta el decimal (la mayor diferencia entre todas las barras es 0,0003 kN). Una derivada parcial igualada a cero y una resolución completa por rigidez aterrizan en los mismos números.

Una nota sobre la historia. El principio del trabajo mínimo fue enunciado por primera vez por Luigi Federico Menabrea en 1858. Fue Castigliano quien le dio una demostración rigurosa y general, razón por la cual el teorema del trabajo mínimo suele llamarse teorema de Menabrea-Castigliano. Si quieres ver la misma redistribución desde el lado de las fuerzas de barra, nuestro post de diseño de celosías de acero recorre las fuerzas mismas.

Da un paso atrás y todo el arco de Cálculo I y II aterriza sobre acero real, una herramienta a la vez. La derivada ordinaria da la tasa de cambio a lo largo de una viga: dM/dx es igual a la fuerza cortante. Deriva una vez más y la segunda derivada se convierte en la curvatura de la línea elástica.

Corre la derivada hacia atrás y la integral definida recupera una cantidad como el área bajo un diagrama. Y ahora la derivada parcial, el objeto que conociste para superficies y gradientes, da una deflexión directamente a partir de la energía almacenada: delta = dU/dP.

Es un cálculo coherente, no cuatro trucos inconexos. La misma idea de una tasa de cambio, aplicada a distintas funciones de una estructura, cada una produciendo un número que un ingeniero realmente verifica. La derivada parcial es simplemente el último miembro de esa familia, y es la que lee un desplazamiento.

Una deflexión es solo la mitad de una respuesta de ingeniería. La otra mitad es la comparación que hace una norma: ¿es ese movimiento lo suficientemente pequeño para que la estructura cumpla su propósito? Castigliano te da el número, y el criterio de servicio te dice cuánto se le permite ser al número.

Toma la deflexión que calculamos bajo la carga. La derivada parcial de la energía de deformación dio delta_M = 1,136 mm en el nudo cargado, y el motor MEF de CalcSteel coincidió hasta el decimal. Ahora ponla frente a la luz. La celosía tiene una luz de 6,0 m, que son 6000 mm, así que la deflexión es una razón de 6000 / 1,136, es decir L/5282.

Los límites de servicio se escriben exactamente en esta forma L sobre delta. Un límite de servicio común para este tipo de barra es L/360, que en una luz de 6,0 m permitiría 6000 / 360 = 16,7 mm de deflexión. Nuestros 1,136 mm quedan muy dentro de esa envolvente: L/5282 es aproximadamente quince veces más rígido de lo que exige la línea L/360.

Así que la celosía está cómoda en cuanto a deflexión, y vale la pena dejar claro por qué lo mostramos. El punto aquí es el método, no una verificación dramática que falle. Castigliano produce la delta; la norma toma esa misma delta, forma la razón L/delta bajo carga de servicio, y la aprueba o la reprueba. La derivada parcial que aprendiste en Cálculo II alimenta directamente la cláusula de servicio que un ingeniero firma.

Si quieres ver de dónde vienen esos límites y cómo se eligen las razones, lee la guía de límites de deflexión, y para la visión desde el lado de la viga de una deflexión como el pico de una curva elástica, mira la deflexión máxima en vigas.

La fórmula es corta, que es exactamente por lo que los errores son fáciles de cometer. Aquí está la lista de verificación que mantiene honesta una deflexión de Castigliano.

• dN/dP es una derivada parcial. Cuando derivas, mantén fijas la geometría y todas las demás cargas. Estás modificando una carga y observando una respuesta, nada más se mueve.
• Para leer una deflexión necesitas una carga ahí. Real o ficticia, debe haber una carga en el punto exacto y en la dirección exacta en que quieres el movimiento. Sin carga en ese lugar, no hay derivada parcial que tomar.
• Conserva el signo de cada N. La suma usa N por dN/dP, y una barra en compresión (N negativa) con una dN/dP negativa contribuye un producto positivo igual que una barra en tracción. Las barras en compresión aportan todo su peso a la deflexión; descartar su signo desvía la respuesta en silencio.
• Mantén las unidades consistentes. La longitud L y el área A deben vivir en el mismo sistema. En la celosía resuelta llevamos L en cm dentro de la suma para que dividir por EA en kN y cm diera un centímetro limpio de deflexión.
• Supone comportamiento elástico lineal y de pequeños desplazamientos. Cargas aplicadas gradualmente, sin fluencia, sin gran cambio de geometría. Fuera de ese marco la propia expresión de la energía de deformación ya no es la función que derivaste.
• El resultado es el desplazamiento en la dirección de la carga. Una carga vertical da una deflexión vertical; una fuerza ficticia horizontal da una horizontal. No es automáticamente el movimiento vertical a menos que la carga fuera vertical.

¿Cuál es la diferencia entre una derivada parcial y una derivada ordinaria aquí? Una derivada ordinaria como dM/dx sigue una función de una variable, como en dM/dx es igual a la fuerza cortante. La energía de deformación U depende de varias cargas a la vez, U(P1, P2, ...), así que dU/dP es una derivada parcial: cambias una carga y congelas el resto. Ese es precisamente el objeto que Cálculo II introduce para funciones de varias variables.

¿Por qué Castigliano y el trabajo virtual dan la misma respuesta? Porque dN/dQ, la derivada parcial de una fuerza de barra respecto de una carga unitaria ficticia, es idéntica a la fuerza de barra de carga unitaria del método del trabajo virtual. Las dos técnicas construyen la misma suma desde dos puntos de partida distintos, energía frente a trabajo virtual. Mira el método de la carga unitaria para la vía paralela.

¿Puedo usar Castigliano en una estructura indeterminada? Sí. Para eso está el segundo teorema, el teorema del trabajo mínimo. La fuerza redundante toma el valor que minimiza la energía de deformación, dU/dX = 0, y las fuerzas de barra se redistribuyen en consecuencia. En el ejemplo resuelto la diagonal redundante se asentó en X = menos 9,77 kN, igualada por el motor MEF hasta el decimal.

¿El tamaño de la sección cambia la deflexión? Sí, a través de EA. Una fuerza de barra N depende de la carga y la geometría, pero la deflexión divide por EA, así que un área A mayor o un material E más rígido da una deflexión menor para las mismas fuerzas. Las fuerzas de la celosía en nuestro ejemplo no dependen de A porque la celosía es determinada, pero el movimiento sí.

Una celosía, tres deflexiones, todas leídas directamente de derivadas parciales de la energía almacenada, y todas igualadas a un motor MEF real hasta el decimal.

• Una deflexión es una derivada parcial. El primer teorema de Castigliano dice que el desplazamiento en una carga es igual a dU/dP, que se convierte en la suma de trabajo delta = suma de N (dN/dP) L / EA. En la celosía resuelta eso dio delta_M = 1,136 mm bajo P = 60 kN.
• ¿No hay carga en el punto? Añade una ficticia. La apertura horizontal en el apoyo móvil resultó ser 0,397 mm porque dN/dQ seleccionó solo los dos cordones inferiores, y esa dN/dQ es exactamente la fuerza de barra de carga unitaria del trabajo virtual.
• Las estructuras indeterminadas se cierran con trabajo mínimo. El segundo teorema de Castigliano hace dU/dX = 0, que fijó la diagonal redundante en X = menos 9,77 kN y redistribuyó las fuerzas, coincidiendo de nuevo con el motor.
• El número alimenta la norma. Esos 1,136 mm sobre 6,0 m son L/5282, cómodamente dentro de un límite de servicio L/360 de 16,7 mm. La derivada parcial aterriza en una verificación de servicio real.
• Esto es Cálculo I y II haciendo trabajo estructural. La derivada ordinaria da el cortante, la segunda derivada da la curvatura, la integral da las áreas bajo diagramas, y la derivada parcial da la deflexión. Un arco, todo aterrizando sobre acero real.

Ahora pon las manos en ello. Construye la celosía, cárgala y lee la deflexión tú mismo en CalcSteel, una herramienta de diseño y análisis de acero estructural nativa del navegador con un motor MEF genuino. Las cuentas y las calculadoras son gratis, sin registro, ilimitadas, y si eres estudiante la oferta /education es gratis para ti. La prueba no es un ensayo con cuenta regresiva; es una herramienta que puedes abrir ahora mismo y verificar contra cada número de esta página.