Criterios de fluencia del material: von Mises y Tresca sobre un mismo detalle estructural, y el 15,470 % que los separa

Una chapa de 8 mm, de 210 mm de canto, S355, soldada al ala de un pilar y atornillada al alma de una viga. Lleva 208,8 kN, que es lo que el motor de CalcSteel devolvió como reacción de extremo de la viga que se apoya en ella. Nada raro por ninguna parte.

Verifícala a fluencia y obtienes dos respuestas.

• Por von Mises, la tensión equivalente máxima es de 322,90 MPa. Contra fy = 355 MPa eso es un aprovechamiento de 0,910. La chapa pasa.
• Por Tresca, el mismo punto está a 372,86 MPa. Aprovechamiento 1,050. La chapa no pasa.

Misma chapa, misma carga, mismo acero, mismo día. Los dos números están a un 15,470 % de distancia, y eso no es una casualidad ni una diferencia de redondeo. Es exactamente 2/√3, la mayor separación de la que los dos criterios son capaces, y esta chapa la alcanza de lleno porque está en cortante puro.

Escrita como espesor en lugar de como cociente, la divergencia son 7,277 mm frente a 8,402 mm de chapa. Uno redondea a una chapa de 8 mm, el otro redondea a una chapa de 10 mm. Ahí está todo el asunto, en un solo detalle.

Lo que sigue es la misma pregunta planteada en todos los demás puntos de la misma estructura: a lo largo de todo el canto de la sección de la viga, en tres estaciones del vano y en los ocho extremos de barra de un pórtico. La respuesta resulta ser muy desigual. El 15,470 % es real, está acotado y, casi en todas partes, está en el lugar equivocado para importar.

Todo valor admisible que hayas usado en tu vida se remonta a un solo ensayo: una barra redonda traccionada en una dirección hasta que fluye. Ese ensayo produce un número, fy, y describe un estado de tensión, la tracción uniaxial pura.

Los puntos reales de las estructuras reales casi nunca están en ese estado. Un punto del alma de una viga tiene una tensión normal σ de flexión y una tensión tangencial τ del esfuerzo cortante en el mismo instante. Un punto de una chapa de cortante tiene τ y nada más. Un punto en la raíz de una soldadura lo tiene todo. No puedes comparar un estado con un número hasta que hayas convertido el estado en un número, y la regla que hace la conversión es el criterio de fluencia.

Así que la pregunta que responde un criterio es estrecha y precisa:

Este punto tiene σ y τ actuando a la vez. ¿Qué tensión uniaxial única sería igual de peligrosa?

Llama a la respuesta tensión equivalente. Una vez que la tienes, la verificación vuelve a ser la del libro de texto: tensión equivalente contra fy, dividida por el coeficiente parcial que la norma le adjunte.

Para el estado plano que domina la estructura metálica, una tensión normal y una tensión tangencial, los dos criterios supervivientes dan:

• von Mises: σ_eq = √(σ² + 3τ²)
• Tresca: σ_eq = √(σ² + 4τ²)

El 3 y el 4 son toda la discusión. Todo lo demás en este artículo es una consecuencia de esos dos coeficientes.

Si quieres ver de dónde salen en primer lugar la σ y la τ de un punto, el artículo compañero sobre el tensor de tensiones construye el tensor de Cauchy completo sobre una ménsula real. Este toma el estado como dado y discute qué hacer con él.

Dibuja todos los estados de tensión que están exactamente en fluencia y obtienes una superficie. En el plano de las dos tensiones principales σ₁ y σ₂, con la tercera nula, los dos criterios dibujan dos formas.

von Mises dibuja una elipse: σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂² = fy². Su eje mayor va a lo largo de la recta σ₁ = σ₂, la dirección de presión, que es el criterio diciendo que comprimir un punto por igual desde todos los lados no lo hace fluir. Solo lo hace la distorsión.

Tresca dibuja un hexágono: el mayor de |σ₁|, |σ₂| y |σ₁ − σ₂| iguala fy. Es el criterio diciendo que la fluencia empieza cuando la tensión tangencial máxima en el punto alcanza la mitad de fy, que es lo que muestra el ensayo uniaxial en el instante en que fluye.

La relación entre ambos es fija y conviene enunciarla con cuidado, porque es lo que acota toda la divergencia:

• El hexágono está inscrito en la elipse. Tresca es, por tanto, siempre el conservador, en todas partes, sin excepción.
• Se tocan en seis puntos, los vértices del hexágono: los estados uniaxiales (fy, 0), (0, fy), (−fy, 0), (0, −fy) y los estados biaxiales iguales (fy, fy) y (−fy, −fy). Sustituyendo cada uno de los seis en la ecuación de la elipse se obtiene exactamente 1,000000, que es la comprobación que corre la simulación antes de dibujar nada.
• La mayor diferencia está en los puntos medios de los lados del hexágono, y el barrido lo confirma: recorriendo las 360 direcciones radiales, la peor está a 135°, la dirección de cortante puro σ₁ = −σ₂, donde la elipse queda un 15,4701 % más afuera que el hexágono.

Ese es el techo de toda la discusión. Sea cual sea el estado de tensión, los dos criterios no pueden separarse más de un 15,470 %, y Tresca nunca es el optimista. Para lo que suelen ser las discrepancias en ingeniería, esta es de una docilidad poco común.

Toma el cociente de las dos tensiones equivalentes y se cancela todo salvo la forma del propio estado. Escribiendo k = τ/σ:

Tresca / von Mises = √(1 + 4k²) / √(1 + 3k²)

Barriendo k de 0 a 2 y comprobando esa expresión contra los criterios evaluados directamente se obtiene coincidencia hasta 1e-12, que es la verificación algebraica. La forma de la curva es lo importante:

• k = 0, tensión normal pura. El cociente vale exactamente 1,000000. Los criterios son el mismo criterio.
• k = 0,1463. La diferencia llega al 1 %.
• k = 0,3847. La diferencia llega al 5 %.
• k → ∞, cortante puro. El cociente tiende a 2/√3 = 1,154701, y es asintótico, así que el 15,470 % se aproxima y nunca se supera.

Léelo como enunciado práctico y dice algo contundente. Un punto tiene que estar seriamente dominado por el cortante antes de que la elección de criterio mueva el número siquiera un 5 %. Por debajo de τ = 0,38σ los dos criterios son, a efectos de proyecto, la misma herramienta.

Esta es también la razón de que la discusión sea tan a menudo teórica. En una estructura proyectada por barras y no por elementos finitos, los puntos que deciden el proyecto suelen ser aquellos en los que k es pequeño. Los puntos en los que k es grande suelen estar lejísimos de su límite. Las tres secciones siguientes son esa afirmación, puesta a prueba.

La estructura es deliberadamente corriente. Un IPE 450 en S355, biapoyado sobre 8,0 m, con g = 22,0 kN/m de carga permanente y q = 15,0 kN/m de carga variable. La combinación de proyecto persistente de EN 1990 da 1,35 × 22,0 + 1,5 × 15,0 = 52,2 kN/m.

El motor se calibró antes de darle crédito. Resuelto con una carga uniforme simple, devuelve wL²/8 y wL/2 con un error del 0,000000 %, y la flecha en el centro del vano contra 5wL⁴/384EI con un error del 0,000010 %. Solo entonces se tomaron los números de proyecto:

• Momento flector máximo 417,6 kN·m, y contra el módulo elástico de la sección Wel = 1447,92 cm³ eso es una tensión de flexión de 288,41 MPa, un aprovechamiento de 0,812 contra S355.
• Reacción de extremo 208,8 kN. Este es el número que lleva la unión.

La unión es una chapa de cortante simple, de 8 mm de espesor y 210 mm de canto, soldada al pilar de apoyo y atornillada al alma de la viga. Este detalle se eligió por un motivo que se hará evidente: una chapa de cortante es el único elemento de un pórtico metálico corriente cuyo punto que gobierna se sitúa en k → ∞.

Todas las tensiones que siguen se construyen a partir del M y el V del propio motor y de la geometría del propio registro de perfiles: Ix = 32578,28 cm⁴, tw = 9,4 mm, tf = 14,6 mm, b = 190 mm, h = 450 mm. El momento estático Q(y) se calcula a partir de esa geometría en lugar de leerse de una tabla, porque se sabe que el módulo plástico almacenado en el registro vale la mitad de su valor correcto y no se usa en ninguna parte de este artículo. Las propiedades de la sección ignoran los acuerdos, así que Ix queda un pequeño porcentaje por debajo del valor de catálogo publicado, y tanto la solicitación como la capacidad están sobre esa misma base.

Toma la sección de la viga justo en la unión, a 0,10 m del apoyo. El motor da allí V = 203,58 kN y M = 20,62 kN·m: casi todo cortante, casi nada de flexión. Ahora recorre el canto de esa única sección, evaluando σ = M·y/Ix y τ = V·Q(y)/(Ix·t) en 41 alturas, y aplica los dos criterios en cada una.

La diferencia entre ellos no es una propiedad de la sección. Es una propiedad de cada punto, y en esta sección única recorre todo el rango posible:

• Fibra extrema, y = ±225 mm. Q = 0, así que τ = 0 y el estado es de flexión pura. La diferencia es exactamente del 0,000 %, comprobado hasta 1e-6. Los criterios son idénticos aquí, y siempre lo son en la fibra exterior de cualquier viga.
• Encuentro de alma y ala, y = 210,4 mm, tomado por el lado del alma, donde el espesor es tw. σ = 13,32 MPa, τ = 40,15 MPa. von Mises 70,80 MPa, Tresca 81,39 MPa. Diferencia 14,958 %. Este es el punto al que te manda EN 1993-1-5 §7.1, y la tensión tangencial aquí cae en un factor b/tw = 20,2 en cuanto cruzas al ala, donde el mismo Q se divide por 190 mm en lugar de por 9,4 mm.
• Eje neutro, y = 0. σ = 0 por definición y τ alcanza su máximo en 53,98 MPa, con Q = 811,96 cm³ sobre tw = 9,4 mm. von Mises 93,49 MPa, Tresca 107,96 MPa. Diferencia exactamente 15,470 %.

Merece la pena detenerse en esa última línea. El eje neutro de cualquier viga sometida a cortante está en cortante puro por construcción, así que siempre se sitúa en el peor caso exacto para los dos criterios. Si te pones a buscar la máxima divergencia entre von Mises y Tresca en una estructura metálica, la encontrarás en el eje neutro de cada una de las barras flectadas, garantizado, al completo.

Y casi nunca importará, por la razón que precisa la sección siguiente.

Una verificación de sección no se interesa por el punto medio. Se interesa por el que gobierna, el punto con la tensión equivalente más alta. Así que la pregunta honesta no es cuánto vale la diferencia, es cuánto vale la diferencia allí donde la sección está realmente gobernada.

Tres estaciones a lo largo de la misma viga de 8,0 m lo responden:

El patrón es exacto y no es casualidad. En el cuarto de luz y en el centro del vano el punto que gobierna es la fibra extrema, donde τ = 0, así que los criterios devuelven el mismo número hasta cinco cifras significativas. En la estación de la chapa el punto que gobierna es el eje neutro, porque apenas hay flexión, así que la diferencia es el 15,470 % completo.

Pero mira la última columna. La estación en la que los criterios discrepan un 15,470 % está trabajando a un aprovechamiento de 0,263. La estación que gobierna la viga está en 0,812 y allí los criterios coinciden exactamente. La divergencia es real y está confinada en la parte de la estructura a la que le sobra capacidad.

Esta es la versión estructural de un hecho muy general: la flexión gana la discusión sobre dónde está la tensión máxima, y la flexión es el estado en el que los dos criterios son el mismo criterio.

Ahora la chapa de la primera sección, al completo.

La chapa es de 8 mm por 210 mm, área bruta 16,8 cm², y lleva la reacción de 208,8 kN del motor. Un rectángulo a cortante tiene una distribución parabólica de tensión tangencial, así que el pico vale 1,5 veces la media:

• Tensión tangencial media, V/A = 208,8/16,8 = 124,29 MPa.
• Tensión tangencial máxima a media altura, 1,5 × 124,29 = 186,43 MPa.
• En ese punto σ = 0. Esto es cortante puro, así que los criterios están en su separación máxima, por construcción.
• von Mises: √3 × 186,43 = 322,90 MPa. Aprovechamiento contra S355 con γM0 = 1,0: 0,910.
• Tresca: 2 × 186,43 = 372,86 MPa. Aprovechamiento: 1,050.

Los veredictos son opuestos y, a diferencia de las estaciones de la viga, no hay ningún punto de flexión muy aprovechado en otro sitio de la chapa que los anule. La chapa de cortante no tiene ninguna otra verificación tras la que esconderse: es el elemento crítico a cortante.

Convierte la misma divergencia en aquello que se pide a la acería y se vuelve concreta. El espesor necesario para llevar el aprovechamiento exactamente a 1,0 es de 7,277 mm por von Mises y de 8,402 mm por Tresca. Redondeado a existencias, eso es una chapa de 8 mm frente a una chapa de 10 mm, un aumento del 25 % en el peso de chapa de todas las chapas de cortante de la obra, decidido enteramente por cuál de dos ecuaciones, una de la década de 1860 y otra de la de 1910, abriste.

Una salvedad, y es grande, tratada como es debido dos secciones más abajo: los números de arriba son las tensiones máximas en el punto, que es lo que informa un modelo de elementos finitos de chapa. Todas las normas de acero verifican la chapa sobre el cortante medio, y esa decisión de modelización vale un 50 %, más de tres veces la diferencia entre criterios.

La forma más rápida de construir intuición sobre la curva del cociente es mover un estado de tensión y ver cómo responden las tensiones principales. Introduce el estado del eje neutro de la viga en la chapa, σ = 0 y τ = 53,98 MPa, y lee las tensiones principales: vuelven como +53,98 y −53,98 MPa, iguales y opuestas, que es la firma del cortante puro y el estado exacto en el que los criterios están a un 15,470 % de distancia.

Después añade flexión. Introduce el encuentro de alma y ala en el cuarto de luz, σ = 208,85 MPa con τ = 19,56 MPa, y el círculo se desliza alejándose del origen hasta casi tocarlo. Eso es k = 0,094, y la diferencia ya ha caído al 0,426 %.

Probablemente nunca has tecleado un criterio de fluencia en una verificación de proyecto, porque las normas eligieron por ti y lo enterraron en un coeficiente. Haz σ = 0 en cada criterio y despeja la tensión tangencial de fluencia:

• Tresca: τy = fy/2 = 0,500 fy. Para S355, 177,50 MPa.
• von Mises: τy = fy/√3 = 0,5774 fy. Para S355, 204,96 MPa.
• AISC 360: la especificación escribe 0,600 fy, en G2.1 para el cortante en el alma y en J4.2 para la plastificación a cortante en la sección bruta. Para S355, 213,00 MPa.

Así que AISC no está sobre ninguna de las dos superficies. Está un 3,923 % por encima de von Mises, que es un redondeo deliberado y documentado de 1/√3 hacia arriba, y un 20,0 % por encima de Tresca. El Eurocódigo es explícito en lugar de redondeado: EN 1993-1-1 §6.2.6 escribe Vpl,Rd = Av·(fy/√3)/γM0, y el √3 de esa fórmula es von Mises, escrito con todas las letras. NBR 8800 sigue la convención del 0,60. EN 1993-1-1 §6.2.1(5) va más allá y te da el criterio a cara descubierta, como la verificación σ² + 3τ² ≤ fy².

Ahora la parte que vale más que toda la discusión sobre criterios. Aplica las tres constantes a la capacidad a cortante del mismo IPE 450 y las respuestas no se alinean como sugieren las constantes:

AISC, con la constante más generosa de las tres, aterriza en 901,0 kN, que está a menos de un 0,2 % de la respuesta que se obtiene con el criterio más conservador sobre el área europea. La razón es que las dos normas no se ponen de acuerdo en qué es el área de cortante. EN 1993-1-1 §6.2.6(3) incluye los acuerdos entre ala y alma y da Av = A − 2b·tf + (tw + 2r)·tf = 50,85 cm². AISC usa el canto total por el espesor del alma, 45,0 × 0,94 = 42,30 cm², que es un 16,8 % menos.

La lección no es que una norma tenga razón. Es que el criterio es un término de un producto, y los demás términos son igual de capaces de mover la respuesta un 15 %. Discutir sobre von Mises y Tresca ignorando la definición del área es discutir sobre la mitad más pequeña.

Una viga es una anécdota. Para ver si la elección de criterio importa a escala de un pórtico real, se resolvió un pórtico de un vano con el mismo motor: 20,0 m de luz, 6,0 m hasta el alero, pilares HEA 300, dinteles IPE 400, 12,0 kN/m en la cubierta y 4,5 kN/m de carga lateral sobre el pilar a barlovento, bases articuladas. Después se aplicaron los dos criterios en 41 alturas de los ocho extremos de barra, con la tensión axil N/A montada sobre cada fibra.

El resultado está desequilibrado:

• Seis de los ocho extremos mostraron una diferencia del 0,000 %. En todos y cada uno de ellos el punto que gobierna es la fibra extrema, donde las tensiones de axil y de flexión se suman y la tensión tangencial es nula.
• Dos extremos superaron el 1 %, con un 10,53 % y un 14,14 %. Los dos son las bases articuladas de los pilares, donde M = 0 por definición y la sección solo lleva N y V, así que el punto que gobierna baja al eje neutro.
• Esos dos extremos trabajan a aprovechamientos de 0,051 y 0,104. El pórtico está gobernado por los momentos de cumbrera y alero, en 0,764 y 0,679, donde los criterios coinciden exactamente.
• La diferencia media sobre los ocho extremos es del 3,08 %, que es un estadístico que no describe nada: es el promedio de seis ceros y dos números de las secciones menos cargadas del pórtico.

Mientras tanto, el eje neutro de cada una de esas ocho secciones tiene encima la diferencia completa del 15,470 %, de forma permanente. Solo que nunca lleva más del 33,1 % de la tensión que gobierna la sección, y en la cumbrera lleva el 3,1 %.

Esa es la forma general de la respuesta. En pórticos proyectados barra a barra, la elección de criterio sale casi gratis. Deja de salir gratis en el momento en que el camino de cargas pasa por algo delgado y corto: una chapa de cortante, un alma de viga rebajada, una cartela, un enlace, un panel de alma en una unión rígida, un hueco rigidizado. Esos son los detalles en los que deberías saber qué criterio usa tu software, y son exactamente los detalles a los que se apunta con un modelo de elementos finitos de chapa.

Los dos criterios no son dos opiniones. Son dos hipótesis sobre qué dispara físicamente la fluencia en un metal dúctil, y los experimentos llevan mucho tiempo cerrados.

Tresca (1864) propuso que la fluencia empieza cuando la tensión tangencial máxima alcanza un valor crítico. Es simple, es seguro y tiene una imagen física limpia: los metales fluyen por deslizamiento en planos, y el deslizamiento lo impulsa el cortante.

von Mises (1913), con Huber por delante de él en 1904 y Hencky dándole su lectura física en 1924, propuso que el disparador es la energía de distorsión almacenada en el punto, que es lo mismo que decir el segundo invariante del tensor desviador. Por eso la presión hidrostática no aparece en él: la presión cambia el volumen, no la forma.

Taylor y Quinney (1931) lo zanjaron experimentalmente. Cargaron tubos de pared delgada de cobre, aluminio y acero dulce a tracción y torsión combinadas, que es exactamente el estado combinado de σ y τ del alma de una viga, y midieron dónde empezaba realmente la fluencia. Los puntos cayeron entre las dos superficies y de forma consistente mucho más cerca de la elipse. Para los metales dúctiles con los que construimos, von Mises es sencillamente el mejor ajuste.

De ahí se siguen dos consecuencias prácticas, y apuntan en direcciones opuestas:

• Las normas de acero estructural usan von Mises, porque para un material que fluye de forma dúctil, el 15,470 % extra a cortante es capacidad real y no optimismo. El √3 del Vpl,Rd de EN 1993-1-1 es esa decisión.
• Tresca sobrevivió allí donde las consecuencias son peores. El ASME Boiler and Pressure Vessel Code, Sección VIII División 2, funcionó con Tresca, bajo el nombre de intensidad de tensión, durante décadas. Pasó a von Mises en la reescritura de la Parte 5 de 2007, por la misma razón que las normas de acero.

Tresca también sobrevive como herramienta de mano, y se lo merece. No necesita ninguna raíz cuadrada de una suma, está siempre del lado seguro y, si una verificación de Tresca pasa, la de von Mises pasa también, garantizado, sin más trabajo. Fallar Tresca por menos de un 15,470 % es la única situación que obliga a volver atrás y hacerlo bien.

• Comparar una tensión equivalente con fu en lugar de con fy. Los dos criterios son criterios de fluencia. No dicen nada sobre la rotura, y la reserva dúctil entre fy y fu no les corresponde describirla.
• Sumar una tensión de von Mises a otra tensión de von Mises. La tensión equivalente es un escalar derivado de un estado. Dos de ellas no se superponen: primero superpones las componentes σ y τ, y después aplicas el criterio una sola vez. Aplicarlo dos veces y sumar los resultados es un error real y frecuente, y en algunas combinaciones queda del lado inseguro.
• Leer la tensión máxima de elementos finitos como una solicitación de norma. Un modelo de chapa te da el pico de 186,43 MPa; la norma escribe su verificación sobre la media de 124,29 MPa. Eso es una diferencia del 50 %, tres veces la diferencia entre criterios, y mezclar las dos bases es como se acaba engordando una chapa perfectamente válida.
• Perseguir el eje neutro. Siempre muestra la máxima diferencia entre criterios y casi nunca gobierna. Verifica el punto que gobierna, no el más interesante.
• Aplicar una verificación de von Mises a un elemento frágil o gobernado por pandeo. Ninguno de los dos criterios sabe nada de inestabilidad, y ninguno vale para un material que rompe sin fluir. Un alma esbelta falla por abolladura a cortante mucho antes de llegar a 0,5774 fy, y ningún criterio te avisará.
• Suponer que el número de tu software es comparable con el de la norma. El criterio, la definición del área y la convención de pico frente a media son tres decisiones independientes. En este IPE 450 valieron un 15,5 %, un 16,8 % y un 50 % respectivamente.

• Estima k = τ/σ en el punto que gobierna antes de discutir. Por debajo de k = 0,15 la elección de criterio vale menos de un 1 % y la discusión no merece la pena.
• Encuentra los elementos críticos a cortante y trátalos aparte. Chapas de cortante, almas rebajadas, cartelas, enlaces, zonas de panel. Ahí es donde el 15,470 % se convierte en un espesor de chapa.
• Cuando uses Tresca, úsalo como filtro de aprobación. Una verificación de Tresca que pasa garantiza que la de von Mises pasa. Solo un fallo de Tresca necesita la segunda pasada.
• Lee la constante, no el nombre del criterio. 0,500, 0,5774 y 0,600 fy son tres libros distintos, y el área de cortante que multiplican puede mover la respuesta más que ellos.
• Mantén el pico y la media en líneas separadas. Di cuál de los dos estás citando, cada vez.

La chapa con la que abría este artículo es un buen sitio para parar. Está a 322,90 MPa o a 372,86 MPa según el criterio, a 0,910 o a 1,050 según el criterio, y a 0,606 si la verificas como AISC 360 J4.2 te dice realmente que lo hagas, sobre el cortante medio en la sección bruta. Los tres números son respuestas correctas a tres preguntas distintas. La ingeniería está en saber a partir de qué pregunta se va a construir el plano.