Centroide y momento estático de área: calculados a mano y por software sobre la misma sección

Dale la misma viga armada soldada a dos personas y pide la tensión cortante en el alma. Una la resuelve a mano en papel. La otra la dibuja y lee el número en la pantalla. La respuesta a mano vuelve como 105,46 MPa, la del software como 59,95 MPa. Nadie escribió mal, ninguna herramienta está rota, y la brecha es un factor de 1,759.

Ahora haz lo mismo con un IPE 400. Pide el área. La respuesta a mano es 80,678 cm², el catálogo dice 84,5 cm², y la brecha es 4,482 %. Otra vez nadie cometió un error de aritmética.

Uno de esos dos desacuerdos significa que alguien está equivocado. El otro significa que los dos lados estaban describiendo formas distintas. Distinguirlos es toda la habilidad, y vive por completo en las dos cantidades que calculas antes de llegar al momento de inercia: el centroide, y el momento estático de área.

Este artículo resuelve los dos, a mano y con el motor de secciones que va dentro de CalcSteel, sobre las mismas dos secciones. Todo lo que leas abajo se produjo ejecutando el código y verificándolo contra una forma cerrada. Los cortantes vienen del solver de elementos finitos, las propiedades de sección de la rutina de polígonos detrás de la calculadora de momento de inercia, y los valores publicados del IPE 400 de la tabla EN 10365.

Ambas cantidades son momentos de primer orden. La diferencia está en sobre qué integras, y es una diferencia mayor de lo que sugiere el nombre compartido.

El centroide es el momento estático de la sección completa respecto de un eje elegido, dividido por el área:

ȳ = ∫ y dA / ∫ dA

Es un promedio de altura ponderado por área. Tiene unidades de longitud. Es una propiedad de la forma, y una vez que la conoces, el numerador medido respecto de ese mismo eje es cero, que es la definición de eje neutro en flexión.

El momento estático de área, escrito Q o S, es la misma integral tomada sobre una parte de la sección, y siempre respecto del centroide:

Q(y) = ∫ (y − ȳ) dA, sobre el área por encima del corte en y

Tiene unidades de longitud al cubo, y es una función de dónde cortas. Esa es la frase que la mayoría de los textos pasa por alto, y es la razón de que un catálogo de acero pueda imprimir un A, un I y un S para un perfil, y nunca pueda imprimir un Q. No existe el Q de un IPE 400. Solo existe el Q de un IPE 400 a una altura determinada.

Para una sección compuesta por partes de bordes rectos ambas integrales se reducen a sumas, y ese es el método manual: ȳ = Σ Aᵢ yᵢ / Σ Aᵢ, y Q = A' ȳ', donde A' es el área a un lado del corte y ȳ' es la distancia desde el centroide de esa área al centroide de la sección completa. Las dos son exactas para un polígono, no aproximaciones.

La sección del ejemplo es una viga armada soldada con alas desiguales: un ala superior de 200 x 12, un alma de 500 x 8, un ala inferior de 320 x 20, 532 mm de altura total. Las alas son deliberadamente distintas, porque una sección simétrica esconde el centroide en la media altura y esconder el centroide es justo lo que este artículo combate.

Elige un origen. Cualquiera, y la fibra inferior es el habitual. Después escribe tres filas.

El ala inferior es 320 x 20 = 6 400 mm², su propio centro está a 10 mm, así que A·y = 64 000 mm³. El alma es 8 x 500 = 4 000 mm², centrada en 20 + 250 = 270 mm, así que A·y = 1 080 000 mm³. El ala superior es 200 x 12 = 2 400 mm², centrada en 20 + 500 + 6 = 526 mm, así que A·y = 1 262 400 mm³.

Suma las columnas. A = 12 800 mm², ΣA·y = 2 406 400 mm³, y

ȳ = 2 406 400 / 12 800 = 188,0 mm desde la fibra inferior.

La media altura habría dicho 266,0 mm. El centroide está 78,0 mm más abajo que el centro geométrico, porque el ala inferior es más ancha y más gruesa y arrastra el promedio hacia abajo. Todo lo que viene después se apoya en ese 188,0.

El momento de inercia sale de la misma tabla con una columna más. Cada parte aporta su propio bh³/12 más el término de transporte A·d², donde d es la distancia desde el centro de esa parte hasta ȳ: -178,0 mm para el ala inferior, +82,0 mm para el alma, +338,0 mm para el ala superior. Los términos propios suman 83 575 466,67 mm⁴, los de transporte 503 859 200 mm⁴, y

Ix = 587 434 666,67 mm⁴ = 58 743,47 cm⁴.

Fíjate en las proporciones: el 86 % de la rigidez de esta sección viene del término de transporte, es decir, de qué tan lejos del centroide está el metal. Si te equivocas en ȳ no has cometido un error pequeño en un número grande, has cometido un error grande en el término que domina.

El motor no ve tres partes. Ve una lista cerrada de vértices, en este caso doce, y nunca te pide elegir un origen ni descomponer nada.

Lo que ejecuta es el teorema de Green, que convierte una integral sobre un área en una integral a lo largo del contorno de esa área. Recorre las doce aristas una vez, acumula un producto vectorial por arista, y A, ∫y dA e ∫y² dA salen todos del mismo recorrido. Después divide para el centroide y aplica un solo transporte de ejes paralelos para los momentos de segundo orden. No hay malla, ni integración numérica, ni tolerancia en ninguna parte. Esta es el álgebra de customSection.ts, que es lo que la calculadora embebida más abajo en esta página ejecuta en tu navegador.

Corre los dos caminos sobre la viga armada y pon las respuestas lado a lado.

Área: 12 800 mm² a mano, 12 800 mm² por software. Centroide: 188,0 mm a mano, 188,0 mm por software. Momento de segundo orden: 58 743,47 cm⁴ a mano, 58 743,47 cm⁴ por software, con una diferencia relativa de 2 × 10⁻¹⁶, que es un paso de redondeo en punto flotante y nada más.

Esa coincidencia no es casualidad ni valida nada ingenioso. La sección tiene lados rectos, así que la suma manual y la integral de contorno son la misma integral escrita dos veces. Lo que significa que cualquier diferencia real entre ellas, en un polígono, es un error de aritmética y no una decisión de modelado. Vale la pena decirlo claro, porque es lo que hace útil la verificación manual: en una viga armada, si tu número y el del software discrepan en el tercer dígito, uno de los dos está simplemente equivocado, y la discusión es corta.

Hay una prueba que detecta un centroide equivocado sin recalcular nada, y ocupa una línea.

Por definición, ∫ (y − ȳ) dA sobre la sección completa es cero. Así que si tienes un centroide y una descomposición, forma Σ Aᵢ (yᵢ − ȳ) y míralo. En la viga armada del ejemplo los tres términos son -1 139 200, +328 000 y +811 200 mm³, y suman exactamente 0.

Lo que lo hace útil es que es invariante. La misma sección se midió desde tres orígenes distintos, y ΣA·y salió 2 406 400 mm³ desde la fibra inferior, -4 403 200 mm³ desde la fibra superior y -998 400 mm³ desde la media altura. El centroide leyó 188,0 mm, -344,0 mm y -78,0 mm respectivamente. Los tres describen el mismo punto sobre el mismo acero, e Ix volvió como 587 434 666,67 mm⁴ en todos los casos, idéntico hasta el último dígito.

Así que cuando un cálculo a mano y un software reportan valores distintos de ȳ, la primera pregunta no es quién tiene razón. Es desde dónde. Un centroide citado sin su origen no es un número, y esta es la forma más común en que dos cálculos correctos parecen contradecirse.

La prueba del cero lo resuelve. Córrela sobre tu propia descomposición, con tu propio origen, y si no devuelve cero el error es tuyo sin importar lo que haya obtenido cualquier otro.

Ahora corta la viga armada horizontalmente y pide el momento estático de todo lo que queda por encima del corte, respecto del centroide. Desliza el corte desde la fibra inferior hasta la superior y no obtienes un número, obtienes una curva.

En la mismísima fibra inferior no hay área por encima del corte a un lado del centroide sin un área igual y opuesta al otro, y Q es exactamente 0. En la mismísima fibra superior ya no queda nada por encima del corte, y Q es exactamente 0 otra vez. Entre medio sube hasta un único máximo, y ese máximo está precisamente en el eje neutro: Q máx = 1 252,096 cm³ en y = 188,0 mm, que es donde la ponderación (y − ȳ) cambia de signo y deja de restar.

Toma un corte en cualquier otro sitio y obtienes otro número. En la cara superior del ala inferior, y = 20 mm, Q = 1 139,2 cm³. En la cara inferior del ala superior, y = 520 mm, Q = 811,2 cm³. Misma sección, mismo acero, tres cortes, tres respuestas, y todas correctas.

Estas se calcularon dos veces y a propósito por dos rutinas que no comparten álgebra: la forma cerrada banda por banda, y franjas de punto medio por fuerza bruta, 40 000 por banda. La mayor discrepancia en toda la altura fue de 5 × 10⁻¹⁰ mm³ contra valores del orden de 10⁶.

Lo que devuelve el punto de las definiciones. El software no guarda Q como tampoco lo imprime un catálogo, porque no hay nada que guardar. Recalcula Q para el corte que preguntaste, cada vez que preguntas.

Q se gana el sueldo en una sola fórmula, y es la que convierte una fuerza cortante en una tensión:

τ = V Q / (I t)

La V de aquí es real. La viga armada se puso en una viga continua de dos vanos, 9,0 m por vano, 40 kN/m, 72 elementos, y se resolvió en el motor de elementos finitos. En el apoyo interior devolvió 225,0 kN de cortante y 405,0 kN·m de momento negativo, contra los 0,625 w L = 225,0 kN y w L² / 8 = 405,0 kN·m del texto. El motor y la forma cerrada coinciden con error relativo cero, que es la calibración que autoriza todo lo que viene después.

Métele eso. En el eje neutro, Q = 1 252 096 mm³, I = 587 434 667 mm⁴ y t = 8 mm, así que τ máx = 59,947 MPa. Contra fy/√3 = 204,959 MPa para S355 eso es una utilización de 0,2925, holgada.

El atajo conocido τ = V/Aw da 225 000 / (500 × 8) = 56,25 MPa, bajo por un factor de 1,0657. Sobre la altura total en vez del alma libre da 52,87 MPa, bajo por 1,1339. En una viga armada alta el atajo es lo bastante cercano para diseñar con él, y saber cuánto de cerca es todo el sentido de calcular Q.

Después mira las uniones con las alas, porque ahí es donde la fórmula hace algo que sorprende. Q es continua a través de la unión: es una integral de área, y ninguna área aparece o desaparece en una línea. El espesor t no es continuo. En y = 520 mm el ancho pasa de 200 mm de ala a 8 mm de alma, así que dentro del espesor de una soldadura la tensión pasa de 1,55 MPa a 38,84 MPa. Eso es un salto por un factor de exactamente 25, que es 200/8. En la unión inferior pasa lo mismo por un factor de 40, que es 320/8.

Ahí no hay nada físico que sea discontinuo. Lo discontinuo es la teoría elemental, porque supone que la tensión cortante es uniforme en el ancho a cualquier altura, y en una unión esa hipótesis se rompe. El salto es una señal de que estás leyendo una teoría unidimensional en el único sitio donde no vale.

Ahora el segundo caso, y el único donde mano y software difieren sin que ninguno esté equivocado.

Modela un IPE 400 como todo el mundo lo modela primero: dos rectángulos de ala y un rectángulo de alma. h = 400, b = 180, tw = 8,6, tf = 13,5. Eso da A = 80,678 cm², Ix = 21 876,5 cm⁴ y Q en el eje neutro = 619,161 cm³.

La tabla publicada EN 10365 dice A = 84,5 cm² e Ix = 23 130 cm⁴. El modelo a mano queda 4,482 % bajo en área y 5,413 % bajo en Ix. Eso no es redondeo.

El acero que falta son los cuatro acuerdos de raíz, las transiciones curvas donde cada ala se encuentra con el alma, y en un IPE 400 el radio de acuerdo es r = 21 mm. Un acuerdo es la región entre una esquina recta y un cuarto de círculo, así que su área es (1 − π/4) r² = 94,639 mm², y su centroide está a (10 − 3π)/(12 − 3π) = 0,22337 del radio desde la esquina, que son 4,691 mm. Los cuatro son 378,558 mm² de acero, situados casi tan lejos del eje neutro como las alas.

Súmalos en forma cerrada, término de transporte incluido, y el modelo a mano devuelve A = 84,464 cm² e Ix = 23 128,4 cm⁴. Eso es 0,043 % del área publicada y 0,007 % del Ix publicado. El momento estático también se mueve: Q en el eje neutro pasa de 619,161 cm³ a 653,574 cm³, una corrección de 5,265 % que aterriza directo en la tensión cortante.

Así que el desacuerdo nunca fue matemático. Los dos lados integraron bien. Integraron dos formas distintas, y solo una de esas formas es la que se lamina. Antes de discutir sobre una propiedad de sección, pónganse de acuerdo en el contorno.

La regla práctica: para un perfil laminado, toma los valores de catálogo. Vienen de la geometría real del perfil y son contra los que se calibró la norma. Usa el modelo de tres rectángulos para intuición, para un primer tanteo, y para comprobar que el valor de catálogo tiene el orden de magnitud correcto, que lo tendrá dentro de un 5 % aproximadamente.

El teorema de Green necesita aristas. Un acuerdo es un arco, y un arco no es una arista, así que algo tiene que ceder. Lo que cede es el arco: el motor lo reemplaza por una cadena de cuerdas rectas e integra el polígono de forma exacta.

La pregunta es cuántas cuerdas. Traza el mismo IPE 400 como polígono y corta cada uno de los cuatro acuerdos en n cuerdas, luego mide contra la forma cerrada de arriba.

Con una cuerda por acuerdo, 18 vértices en total, el área se desvía 5,961 % e Ix 6,884 %. Con dos cuerdas, 1,635 % y 1,907 %. Cuatro cuerdas, 0,418 % y 0,489 %. Ocho, 0,105 % y 0,123 %. Dieciséis, 0,026 % y 0,031 %. Treinta y dos, 0,007 % y 0,008 %. Sesenta y cuatro cuerdas, 270 vértices, 0,002 % en las dos.

El error cae por un factor de cuatro cada vez que se duplica el número de cuerdas. Eso es convergencia de segundo orden, la firma de una aproximación por cuerdas a una curva suave, y se grafica como una recta en ejes logarítmicos.

También zanja una pregunta que vale zanjar: dieciséis cuerdas por acuerdo ya dejan Ix dentro de 0,031 %, que es mucho más fino que la tolerancia de laminación de la propia viga. La poligonización dejó de ser una fuente de error de ingeniería hace mucho tiempo, y no es donde hay que mirar cuando dos programas discrepan.

Todo lo anterior ha tratado el centroide como algo que se encuentra. También es algo que se mueve, y una platabanda es la palanca más barata que existe.

Suelda una chapa de 200 x 16 sobre el ala superior de la viga armada. Eso son 3 200 mm² de acero, un 25 % más de área, y la tabla compuesta ahora tiene cuatro filas en vez de tres. El polígono tiene dieciséis vértices en vez de doce. Los dos caminos vuelven a coincidir, exactamente.

El centroide sube de 188,0 mm a 258,4 mm, un desplazamiento de 70,4 mm, e Ix pasa de 58 743,47 cm⁴ a 90 469,72 cm⁴, un 54,01 % más. Un veinticinco por ciento más de acero compró un cincuenta y cuatro por ciento más de rigidez, que es el término de ejes paralelos haciendo lo que siempre hace.

Pero mira qué pasó con los módulos resistentes, porque ese es el número que dimensiona la viga. El módulo inferior pasó de 3 124,7 cm³ a 3 501,2 cm³, un 12,05 % más. El módulo superior pasó de 1 707,7 cm³ a 3 124,0 cm³, un 82,94 % más. La chapa está arriba, y la fibra superior es la que ayudó, casi siete veces más.

Esa es la idea de diseño. En una sección con alas desiguales las dos fibras no reparten la carga: antes de la platabanda, la relación entre las dos distancias al centroide era 1,830, así que la fibra superior llegaba a su límite mientras la inferior seguía holgazaneando. Después de la platabanda la relación es 1,121, y las dos fibras están casi equilibradas. Una platabanda no es una forma de añadir área. Es una forma de mover el centroide hacia la fibra que no estabas usando.

La interfaz tiene que llevar el cambio. El momento estático de la chapa sola, respecto del nuevo centroide, es 901,12 cm³, así que el flujo de cortante en la línea de soldadura es q = V Q / I = 224,1 N por mm, o 112,1 N por mm en cada una de las dos soldaduras de filete. Contra EN 1993-1-8, con fu = 490 MPa, βw = 0,9 y γM2 = 1,25, la resistencia de cálculo a cortante en la garganta es 251,5 MPa, así que la garganta necesaria es 0,446 mm y el cateto 0,63 mm. AISC 360 J2 con electrodo E70 pide un cateto de 0,734 mm. Los dos quedan muy por debajo de cualquier soldadura que se pueda depositar de verdad, así que gobierna la regla de tamaño mínimo y un filete de 4 mm es la respuesta. Calcúlalo igual: el día que el cortante sea cuatro veces mayor, la aritmética ya está montada.

La calculadora de abajo ejecuta la misma rutina de polígonos descrita arriba. Dale un perfil laminado y devuelve la geometría de catálogo; dale una sección personalizada y recorre tus vértices y devuelve A, el centroide, Ix, Iy y el producto de inercia en un solo recorrido por el contorno.

El ejercicio útil es el que acaba de hacer este artículo. Introduce la viga armada del ejemplo: un ala superior de 200 x 12, un alma de 500 x 8, un ala inferior de 320 x 20. Comprueba que el centroide vuelve a 188,0 mm desde la fibra inferior e Ix a 58 743,47 cm⁴. Después añade la platabanda de 200 x 16 y mira cómo el centroide sube a 258,4 mm.

Haz primero la tabla a mano, en papel, antes de mirar. La conciliación vale más que cualquiera de los dos números por separado.

1. Medir ȳ' desde el origen en vez de desde el centroide. Este es el grande. En la viga armada del ejemplo el área por encima del eje neutro es 5 056 mm² y su propio centro está a 435,646 mm de la fibra inferior, pero solo a 247,646 mm del centroide. Usa el primero y Q pasa a 2 202 624 mm³ en vez de 1 252 096 mm³, un factor de 1,759, y la tensión cortante lee 105,46 MPa en vez de 59,95 MPa. Nada en esos 105,46 MPa parece equivocado, que es precisamente el peligro.

2. Preocuparse por qué lado del corte tomar. Este es inocuo y la gente pierde tiempo con él. El momento estático del área por encima del corte es +1 252 096 mm³ y el del área por debajo es -1 252 096 mm³. Suman cero, porque es otra vez la prueba del cero, así que sus magnitudes son idénticas y a τ = VQ/(It) le da igual. Toma el lado que tenga menos partes.

3. Usar un modelo de tres rectángulos contra un valor de catálogo. La brecha de 4,482 % en el área de un IPE 400 son los acuerdos de raíz, y es real. Dos formas distintas, dos respuestas correctas. Decide qué forma querías decir antes de comparar.

4. Citar un centroide sin su origen. El mismo punto de la misma viga armada es 188,0 mm, -344,0 mm o -78,0 mm según desde dónde midas, y los tres son correctos. La mitad de las contradicciones aparentes entre un cálculo manual y un modelo son esto.

5. Leer τ en una unión con el ala como si fuera una tensión real. El salto de 25 veces en y = 520 mm es la teoría elemental fallando en el único sitio donde su hipótesis no vale, no una concentración de tensiones contra la que puedas dimensionar. Si una tensión de unión gobierna algo, necesitas un modelo más fino, no un coeficiente de seguridad mayor.

1. Pónganse de acuerdo en el contorno primero. Acuerdos dentro o fuera. Radios de esquina dentro o fuera. Galvanizado y pintura fuera. La mayoría de los desacuerdos muere aquí, antes de cualquier aritmética.

2. Escribe la tabla con un origen explícito, y deja el origen por escrito junto a ȳ. Un centroide sin origen no es una respuesta.

3. Corre la prueba del cero. Σ Aᵢ (yᵢ − ȳ) tiene que ser cero. Una línea, sin datos extra, y detecta un centroide equivocado sin importar cómo llegaste a él.

4. Revisa el reparto de Ix. En la viga armada del ejemplo los términos de transporte son el 86 % del total. Si en tu tabla dominan los términos propios, tus partes son probablemente demasiado grandes o tu ȳ está mal.

5. Calcula Q en el corte que de verdad te importa, no en el eje neutro por reflejo. El eje neutro da la tensión pico del alma; una unión con el ala da el flujo de cortante hacia una soldadura o un grupo de tornillos; y esos son números distintos sobre la misma sección.

6. Contrasta τ contra V/Aw. En una viga armada el pico exacto debería quedar unos pocos por ciento por encima, 1,0657 aquí. Si tu valor exacto queda muy lejos de eso, usaste el Q equivocado, el t equivocado, o los dos.

Dos integrales, una división, una resta. El centroide y el momento estático de área son las cantidades menos glamorosas del análisis estructural, y todo número que venga después hereda lo que les hiciste.