Tensión en un tirante: por qué una barra que solo tracciona tiene un único número, con una verificación completa

Aquí tienes un pórtico que podrías modelar en cinco minutos. Seis metros de ancho, cuatro metros de alto, pilares HEA 200, una viga IPE 300, uniones articuladas en todas partes y un par de barras redondas cruzadas de 25 mm que reciben 120 kN de cortante de planta. Es la estructura metálica más corriente del mundo.

Dibuja las dos barras, lanza el análisis, lee las respuestas. La diagonal traccionada carga 70,293 kN. Frente a una barra de 25 mm en S355, cuya resistencia plástica a tracción es 174,26 kN, eso es un aprovechamiento de 0,403. El desplazamiento horizontal es 6,628 mm frente a un límite H/400 de 10,0 mm. Todo pasa con margen de sobra.

Cada uno de esos números está mal, y lo está por una única decisión de modelado que nadie tomó conscientemente. La otra diagonal salió con -73,930 kN. Está comprimida. Una barra de 25 mm que salva la diagonal de 7,2111 m tiene una carga de Euler de 0,728 kN. El modelo le pidió cargar cien veces lo que puede, y ella lo hizo sin protestar, porque una matriz de rigidez lineal no tiene forma de saber que una barra redonda es un tirante.

Quita esa barra, que es lo que ocurre físicamente, y la diagonal superviviente carga 144,222 kN. Aprovechamiento en la sección bruta 0,828. Desplazamiento 13,599 mm, por encima del límite. Y entonces verifica la rosca, porque la barra va roscada M24 en la horquilla, y allí la resistencia es 124,54 kN. Aprovechamiento 1,158. El arriostramiento falla.

De una sola pieza salieron tres respuestas: 0,403, 0,828, 1,158. Este artículo trata de por qué apareció la primera, de por qué la tensión en un tirante es el estado tensional más simple de toda la mecánica y aun así produce el error de modelado más caro de un pórtico de acero, y de qué está verificando realmente la norma cuando verifica un solo número.

En física un hilo es una idealización con dos propiedades, y conviene enunciarlas como prohibiciones y no como virtudes, porque son las prohibiciones lo que el análisis tiene que respetar.

No tiene rigidez a flexión. EI se toma nulo, así que no puede cargar un momento, no resiste la curvatura y adopta la forma que le den las cargas. Una cuerda colgada de un gancho está recta; cuelga un peso a mitad de camino y se convierte en dos tramos rectos; reparte el peso y se convierte en una catenaria. La geometría es un resultado, no un dato.

No puede empujar. Solo tracción. Intenta acortar la distancia entre sus extremos y no se resiste, se afloja. Su curva fuerza-desplazamiento no tiene rama negativa, solo una rama plana en cero.

Un tirante real de acero no es un hilo. Tiene un EI de verdad, cargará un momento pequeño y, si lo comprimes lo suficiente, resistirá hasta su carga de pandeo. La pregunta no es si la idealización es exacta, sino si los errores que comete son pequeños. Para la barra del pórtico del ejemplo la esbeltez L/r es 1153,8. Las normas topan las piezas comprimidas en 200 y las traccionadas en 300. Con 1153,8 la rigidez a flexión no es pequeña, es irrelevante: la barra es un hilo dentro de la precisión de cualquier cosa que pudieras medir.

Ese es el criterio a aplicar. Una pieza es un hilo cuando su esbeltez es lo bastante alta como para que EI deje de importar, y en estructura metálica eso cubre arriostramientos de barra redonda, arriostramientos de cable, tirantes de correa, colgadores, anclajes de sujeción y casi todo lo que sostiene una marquesina.

La tensión en un punto de un sólido es un tensor de segundo orden: nueve componentes, seis de ellas independientes en cuanto el equilibrio de momentos impone la simetría. Pedir “la tensión” sin nombrar un plano es normalmente una pregunta incompleta, porque la respuesta cambia con la orientación del corte.

En un tirante no es incompleta, y vale la pena ver exactamente por qué muere cada componente.

• σx = T/A. La única superviviente. El axil dividido por el área, uniforme en toda la sección porque no hay momento que la haga variar.
• Nada de σ por flexión. EI es cero, luego M es cero, luego el término My/I que llena la sección de una viga con un gradiente lineal de tensiones sencillamente no está.
• τxy = τxz = 0. El cortante en una pieza viene del gradiente del momento. Sin momento, sin gradiente, sin VQ/It.
• σy = σz = τyz = 0. La superficie lateral de la barra está libre. Nada la aprieta, así que las tensiones normales transversales se anulan en la superficie y, en una pieza esbelta sin carga transversal, en todo el resto también.

Lo que queda es un tensor con una única entrada no nula. En la barra del ejemplo, con T = 144,222 kN y A = 490,87 mm², esa entrada es σ = 293,81 MPa y las otras ocho son cero con precisión de máquina.

La consecuencia es el asunto de todo este artículo. Un criterio de plastificación es una regla para convertir seis números en uno, y la razón de que haya más de un criterio es que reglas razonables discrepan. Sobre este tensor no pueden. Las tensiones principales son (293,81, 0, 0). Von Mises devuelve 293,81 MPa. Tresca devuelve 293,81 MPa. La máxima tensión principal devuelve 293,81 MPa. La simulación calcula las tres y verifica que la dispersión entre ellas está por debajo de 10⁻⁹ MPa; sale exactamente 0,0.

Así que cuando la norma escribe σ ≤ fy para un tirante, no está aplicando un sustituto calibrado de algo más complicado, como sí hace cuando verifica la fibra extrema de una viga e ignora en silencio el cortante que actúa allí. Para un tirante, σ ≤ fy es el criterio. Esta es la única familia de piezas donde eso es literalmente cierto.

Dentro de la buena noticia hay una trampa. Un tensor de una sola componente no es un estado en el que no ocurra nada en los demás planos. Es un estado en el que las componentes en los demás planos quedan todas determinadas por un solo número, que es una afirmación distinta.

Barre el plano de corte a lo largo de la barra. En la sección transversal, normal al eje, lees σn = 293,81 MPa y τn = 0: tracción pura, sin cortante, que es la razón por la que todo el mundo dibuja ese plano. Gira el corte 45 grados y el mismo estado da σn = 146,90 MPa y τn = 146,90 MPa. Gíralo hasta 90 grados, cortando a lo largo del eje, y ambas son cero.

El plano a 45 grados soporta el cortante máximo que existe en el material, y su valor es exactamente σ/2. Eso no es una casualidad de esta barra, es la geometría de un estado uniaxial: con tensiones principales (σ, 0, 0), el radio del círculo de Mohr es σ/2 y el círculo pasa por el origen.

De ahí salen dos cosas que conviene llevar puestas. Primera, una probeta de acero dúctil llevada a rotura estricciona y desgarra en planos próximos a los 45 grados, y la superficie de fractura en copa y cono que sale de una máquina de tracción es una fotografía de este barrido, no de la tensión axial. Segunda, la resistencia a cortante del acero sale del mismo álgebra. Iguala von Mises a fy en cortante puro y obtienes τ = fy/√3 = 0,577 fy, que es el número detrás del 0,6 Fy de AISC y detrás del Vpl,Rd de EN 1993-1-1. El tirante es donde esa relación se ve con más facilidad, porque en un tirante el cortante máximo es visiblemente la mitad de lo que ya habías calculado.

El modelo es deliberadamente sencillo. Cuatro nudos, ambas bases articuladas, un pórtico de 6,0 m por 4,0 m, pilares HEA 200, una viga IPE 300 con extremos articulados y dos barras redondas cruzadas de 25 mm con extremos articulados, de modo que el pórtico es una celosía genuina y cada pieza carga solo axil. Se aplica una única carga horizontal de 120 kN en el nudo superior izquierdo.

Antes de fiarse de nada que el motor diga sobre este pórtico, el mismo script corre una calibración: una IPE 400 biapoyada bajo carga uniforme, contrastada con wL²/8, wL/2 y 5wL⁴/384EI. Las tres coinciden con seis decimales. Esa es la puerta; nada de lo que sigue se cita si no la pasa.

El pórtico se resuelve entonces dos veces. Una con las dos diagonales en el modelo, que es lo que hace por defecto un análisis lineal. Otra con el bucle de desactivación que la API de CalcSteel ejecuta de verdad sobre las piezas tipo tirante: resolver, buscar cualquier tirante comprimido, sacarlo del modelo, resolver otra vez, y parar cuando no quede nada comprimido. En este pórtico el bucle convergió en dos iteraciones. La primera resolución encontró d2 con -73,930 kN, lo sacó, y la segunda no encontró nada más comprimido.

Fíjate en lo que significa desactivar: la pieza se elimina, no se ablanda. No hay módulo reducido, ni rigidez residual pequeña, ni muelle que solo comprima. Un tirante flojo no aporta absolutamente nada, y la forma honesta de modelar nada es quitarlo.

Con una sola diagonal el pórtico pasa a ser isostático, que es lo que hace que este ejemplo merezca publicarse: la respuesta es comprobable a mano, y de forma exacta. Suma momentos y obtienes T = H · Ld / W = 120 · 7,2111 / 6,0 = 144,222 kN, con la viga a -120 kN y el pilar de sotavento a -80,0 kN. El motor devuelve los tres, y la simulación verifica cada uno contra la forma cerrada con un error mejor que 0,001 %.

La corrida lineal no está rota de forma evidente. Satisface el equilibrio: las dos diagonales juntas entregan (70,293 + 73,930) · 6,0/7,2111 = 120,0 kN de cortante horizontal, que es exactamente la carga aplicada. Satisface la compatibilidad. Nada en la salida aparece marcado. Lo lees y firmarías el pórtico.

Lo que viola es un hecho constitutivo: una de esas piezas no puede cargar la fuerza que le han asignado. La barra de 25 mm sobre la diagonal de 7,2111 m tiene I = 19 174,8 mm⁴ y r = 6,25 mm, así que su carga de Euler es π²EI/L² = 0,728 kN. El modelo le dio 73,930 kN de compresión. Eso es 101,6 veces su capacidad a pandeo, y el 0,5 % de la tracción que la otra barra tiene que cargar de verdad.

Una vez eliminada la ficción, los números se mueven a la vez:

• La tracción pasa de 70,293 kN a 144,222 kN, un factor de 2,0517.
• El desplazamiento pasa de 6,628 mm a 13,599 mm, un factor de 2,0517 con cuatro decimales, porque quitar uno de dos muelles idénticos reduce a la mitad la rigidez lateral del pórtico.
• La verificación de servicio se da la vuelta. H/400 en una planta de 4,0 m son 10,0 mm. El modelo lineal pasa con 6,628 mm. El pórtico real no pasa, con 13,599 mm.

Invierte la carga y la imagen es simétrica: d1 se afloja, d2 recoge 144,222 kN, y la simulación verifica que la magnitud es idéntica. Esa es la razón de que estén las dos barras. No se reparten la carga, se turnan, y cada una tiene que dimensionarse para la carga entera. Una cruz de San Andrés son dos piezas haciendo el trabajo de una en dos direcciones, y un análisis lineal la lee como dos piezas repartiéndose un trabajo, que es el mismo dibujo y la ingeniería contraria.

Con la fuerza resuelta, la tensión es aritmética. Una barra redonda de 25 mm tiene A = πd²/4 = 490,87 mm², y la simulación contrasta el área del registro contra esa forma cerrada en lugar de fiarse de la tabla. Así que:

σ = T/A = 144 222 N / 490,87 mm² = 293,81 MPa

Frente a fy = 355 MPa eso es un aprovechamiento de 0,828, y por el argumento de las secciones anteriores ese único número es el estado tensional completo de la pieza. Compáralo con lo que habría dado el modelo lineal: 143,20 MPa, aprovechamiento 0,403. La misma barra, el mismo artículo de norma, el mismo acero.

Pero 490,87 mm² no es el área en todas partes. Un tirante tiene que sujetarse a algo, y el detalle habitual es una rosca en cada extremo contra una horquilla o un tensor. Rosca una M24 sobre un vástago de 25 mm y la sección que resiste no es el vástago, es el área resistente a tracción de la rosca: As = 353 mm² según ISO 898-1. Eso es un 28,1 % del metal que desaparece, en la única sección donde la carga es máxima y la geometría es un concentrador de tensiones.

Por eso las normas verifican las piezas traccionadas dos veces, y por eso las dos verificaciones usan propiedades del material distintas y coeficientes de seguridad distintos. No es cinturón y tirantes, son dos modos de fallo genuinamente diferentes.

EN 1993-1-1 §6.2.3 pide la menor de dos resistencias.

Plastificación de la sección bruta. Npl,Rd = A fy / γM0 = 490,87 · 355 / 1,0 = 174,26 kN. Es un estado límite de ductilidad: la pieza entera plastifica, se alarga de forma visible y redistribuye. Se verifica contra fy con γM0 = 1,0.

Rotura de la sección neta. Nu,Rd = 0,9 Anet fu / γM2 = 0,9 · 353 · 490 / 1,25 = 124,54 kN. Es un estado límite de fractura en una sección, sin aviso y sin redistribución, y por eso usa fu, el γM2 = 1,25 más severo y el 0,9 adicional. El 0,9 no es un redondeo: es la calibración que mantiene la verificación de rotura menos probable que la de plastificación, de modo que una pieza sobrecargada plastifique primero y te avise.

Para la barra del ejemplo la resistencia es mín(174,26, 124,54) = 124,54 kN frente a una demanda de 144,222 kN. Aprovechamiento 1,158. Falla.

AISC 360 llega al mismo sitio por otro camino. El capítulo D2 da φPn = 0,90 Fy Ag para plastificación y 0,75 Fu Ae para rotura, que para una barra Grado 50 con Fu = 450 MPa da 152,42 kN y 119,14 kN, gobernando con 119,14 kN y un aprovechamiento de 1,211. Para barras roscadas en concreto, la tabla J3.2 te permite saltarte el área neta y usar Fnt = 0,75 Fu sobre el área bruta del perno, lo que aquí da 124,25 kN, dentro de un 0,3 % de la respuesta europea de sección neta.

Ese 0,75 plano merece una segunda mirada, porque suele leerse como un coeficiente arbitrario. No lo es. Calcula As/Ab a lo largo de toda la serie métrica de paso grueso y obtienes 0,745 en M12, 0,780 en mitad del rango y 0,803 en M36. El 0,75 de AISC es esa relación geométrica redondeada hacia su extremo conservador. La especificación te está diciendo lo mismo que ISO 898-1, con un número en vez de con una tabla.

La corrección de este pórtico es aritmética en cuanto sabes qué verificación gobierna. El área resistente necesaria es 144 222 · 1,25 / (0,9 · 490) = 408,8 mm², así que M27 con As = 459 mm² es la rosca más pequeña que funciona, con un aprovechamiento de 0,891. El vástago crece a 30 mm para poder llevarla. La barra engordó un 44 % por culpa de unos centímetros en cada extremo.

Todo lo anterior depende de una afirmación: que la diagonal comprimida no aporta nada. Conviene ponerle un número en vez de afirmarlo, porque “el tirante se afloja” es de esa clase de frases que se creen sin comprobarse.

La barra tiene 25 mm de diámetro sobre una diagonal de 7,2111 m, articulada en ambos extremos. Su radio de giro es d/4 = 6,25 mm, así que la esbeltez es 1153,8. Como referencia, EN 1993-1-1 y la mayoría de los anejos nacionales recomiendan mantener las piezas comprimidas por debajo de 200 y las traccionadas por debajo de 300; esto es casi cuatro veces el más laxo de los dos límites. En términos adimensionales λ̄ = 15,47, donde ya no se dibujan las curvas de pandeo.

La carga de Euler sale de ahí: Ncr = π²EI/L² = π² · 200 000 · 19 174,8 / 7 211,1² = 0,728 kN. Ponla al lado de la resistencia a tracción de la misma barra, 174,26 kN, y la relación es 239,4. Ponla al lado de la fuerza que la pieza tiene que cargar de verdad, 144,222 kN, y la capacidad a compresión es el 0,5 % de ella.

Dicho de otro modo, la barra no es simplemente más débil a compresión, es que no está. Cero es mejor modelo de 0,728 kN, en un pórtico donde la fuerza de trabajo es 144 kN, que los propios 0,728 kN. Modelarla como pieza que solo tracciona no es una simplificación conservadora; es la exacta.

Puedes ver el desplome tú mismo. Mete la misma sección circular de 25 mm en la calculadora de pandeo de abajo con una longitud de 7,2111 m y extremos articulados, y mira cómo la capacidad se cae por el fondo del gráfico. Luego acórtala a 1 m y mira cómo vuelve. Nada cambió en el material; solo cambió L².

Queda una hipótesis más escondida en el análisis, y es la inversa de la primera. El modelo lineal dejó erróneamente que la barra empujara. También supuso que la barra entrega toda su rigidez axial EA desde el primer newton de tracción, y eso tampoco es cierto.

Una barra colgada a lo largo de una diagonal carga su propio peso. La barra de 25 mm pesa 3,85 kg/m, así que w = 37,79 N/m sobre 7,2111 m. Bajo una tracción T cuelga en catenaria con una flecha aproximada de wL²/8T. Estira un milímetro más de los extremos y parte de eso se va en enderezar la curva en lugar de alargar el acero, de modo que la rigidez que obtienes de verdad es menor que EA. La forma estándar de escribirlo es el módulo efectivo de Ernst, Eeff = E / (1 + w²L²AE/12T³), y su comportamiento es dramático porque T aparece al cubo.

• Con 1 kN la barra tiene una flecha de 245,6 mm y entrega Eeff/E = 0,0016. Es una curva colgante con un perno en cada punta, y con viento va a golpetear.
• Con 10 kN la flecha es 24,6 mm y Eeff/E = 0,6221. Mejor, y todavía un 38 % por debajo de la rigidez que supuso el modelo.
• Con 50 kN la flecha es 4,9 mm y Eeff/E = 0,9952. Es la primera fila del barrido por encima de 0,99, y es el 34,7 % de la tracción de cálculo.
• Con la tracción de cálculo de 144,222 kN la flecha es 1,7 mm y Eeff/E = 0,9998. Aquí el tirante sí es una barra.

Así que la hipótesis elástica lineal se gana, no es gratis. Se gana por encima de aproximadamente un tercio de la carga de cálculo, que es exactamente el argumento de ingeniería para pretensar un arriostramiento de barra redonda con un tensor en lugar de limitarse a atornillarlo y confiar en que el viento recoja la holgura. El pretensado no está ahí para hacer la barra más resistente. Está ahí para hacer verdadero el modelo.

La respuesta limpia vale para la longitud libre de un tirante recto, tenso y cargado axialmente. Conviene nombrar los sitios donde no vale, porque ahí es donde los tirantes fallan de verdad.

En los extremos. Una horquilla, un terminal de dos orejas o una cartela soldada aprisionan la barra y la obligan a flectar cuando la geometría se mueve. Vuelve la flexión, luego vuelve la σ de M, y se superpone a la σ = T/A completa de la longitud libre. Es un efecto local sobre una longitud de unos pocos diámetros, y es una de las razones por las que los tirantes se detallan con pasadores y no con pernos rígidos.

En la rosca. El cambio de sección es un concentrador de tensiones, y el pico local queda muy por encima de los 408,6 MPa que salen de dividir la fuerza por As. Para el cálculo estático la norma lo resuelve usando fu y γM2, como arriba. Para un arriostramiento que ve miles de inversiones de carga, la fatiga en el primer filete en contacto es una verificación aparte con su propia categoría de detalle, y es donde los arriostramientos de barra redonda se rompen de verdad.

Bajo carga transversal. En el momento en que una barra carga cualquier cosa a lo largo de su longitud, incluido su propio peso con tracción baja, la forma pasa a ser parte del problema. Ese es el régimen de catenaria de la sección anterior, y es un problema geométricamente no lineal, no un problema de tensiones.

En la estructura de alrededor. Eliminar una pieza cambia el camino de cargas en todas partes, no solo en el arriostramiento. En el pórtico del ejemplo la viga pasó de -58,487 kN a -120,0 kN y el pilar de sotavento de -38,991 kN a -80,0 kN cuando salió d2. Si corriges el arriostramiento y dejas la viga y los pilares con los números viejos, has movido el error en lugar de arreglarlo.

Seis cosas, en el orden en que importan.

1. Declara la pieza como tirante, no como barra. En CalcSteel eso es el tipo de clase; en cualquier otro programa es la marca de solo tracción o de sin compresión. Si el software no tiene esa marca, modela una diagonal por dirección de carga y corre las dos.
2. Comprueba el signo de todas las diagonales en la salida. Un tirante que reporta compresión no es un error pequeño que anotar; es el análisis diciéndote que resolvió otra estructura.
3. Hazlo por caso de carga, no una vez de forma global. Una barra que está floja con viento por la izquierda trabaja con viento por la derecha. Desactivarla para todo el modelo sería tan erróneo como dejarla dentro.
4. Dimensiona ambas barras para la fuerza completa. Se turnan; no se reparten.
5. Verifica la rosca, no la barra. Nu,Rd sobre el área resistente a tracción es la resistencia que gobierna en casi todo tirante roscado, y es la que la gente se salta.
6. Vuelve a verificar el desplazamiento tras la corrección. Reducir a la mitad la rigidez del arriostramiento mueve el servicio, y el desplazamiento horizontal es a menudo lo que acaba gobernando un pórtico arriostrado.

Y una cosa que no hay que hacer: no modeles el tirante como una barra muy blanda para “ayudar a que converja”. Una pequeña rigidez residual a compresión mete una fuerza en una pieza que está físicamente floja, y eso aparece como un error igual y de signo contrario en otro punto del pórtico. Quítala o déjala; entre medias no hay nada sensato.

Hay una simetría bonita en la forma en que esto sale mal. El hilo es el objeto más fácil de la resistencia de materiales. Su tensor de tensiones tiene una entrada, todos los criterios de plastificación coinciden en él, y la verificación que escribe la norma es el criterio mismo y no una aproximación calibrada de él. Si la parte difícil fuera el análisis tensional, los tirantes serían las piezas más seguras de un edificio.

La dificultad no está en la tensión, está en la fuerza. Obtener T exige que el análisis sepa algo que una matriz de rigidez no tiene forma de expresar: que esta pieza no tiene rama negativa. Deja eso fuera y todos los números aguas abajo están equivocados por un factor de dos, y cada uno de ellos es individualmente plausible.

El pórtico de este artículo pasó tres verificaciones que debería haber suspendido. Leyó 0,403 en el arriostramiento cuando la respuesta era 0,828 en la sección bruta y 1,158 en la rosca. Leyó 6,628 mm de desplazamiento frente a un límite de 10,0 mm cuando la cifra real era 13,599 mm. Y lo hizo todo satisfaciendo el equilibrio de forma exacta, que es la razón por la que nada en la salida parecía estar mal.

Así que la versión práctica de todo lo anterior cabe en una línea. En un tirante la tensión es un solo número, y todo el trabajo consiste en asegurarse de que sea el correcto.