Arriostramiento en diagonal de acero: el criterio de esbeltez a longitud completa detrás de la norma

El arriostramiento en diagonal de acero es el caballo de batalla de la estabilidad lateral: una sola diagonal colocada dentro de un vano rectangular, que convierte un rectángulo propenso a articularse en un triángulo rígido. Empuja lateralmente el borde superior del vano y la diagonal recoge la carga como fuerza axial pura, para luego bajarla a la cimentación. Sin flexión, sin acción de pórtico, solo un puntal y un tirante haciendo el trabajo más simple del acero estructural.

La trampa se esconde en la palabra inversión. El viento y el sismo empujan en ambos sentidos, así que la misma diagonal es un tirante en una dirección y un puntal en la otra. Como tirante es casi indestructible; el acero es soberbio en tracción. Como puntal puede pandear, y una sola diagonal no tiene nada que arriostre su punto medio, así que pandea en toda su longitud completa. Ese es el número del que depende todo el diseño.

Este artículo deriva ese criterio desde los primeros principios, para luego correr una verificación resuelta completa sobre una diagonal real SHS 150 x 150 x 6. Es el compañero de diagonal sencilla de nuestro artículo sobre arriostramiento en cruz de acero: allí, dos diagonales comparten el vano y la que está en tracción arriostra el punto de cruce, de modo que la diagonal en compresión solo pandea sobre la mitad de su longitud. Aquí no hay punto de cruce, y pagar la longitud completa es toda la historia.

Aquí va una definición de 40 palabras que puedes citar: el arriostramiento en diagonal de acero es un sistema arriostrado concéntricamente en el que una o más diagonales llevan la carga lateral como fuerza axial a la cimentación; la diagonal sencilla es el caso base, donde una sola barra resiste el cortante de piso tanto en tracción como en compresión.

Hay cinco maneras comunes de arriostrar un vano, y difieren sobre todo en lo que le ocurre a la diagonal en compresión:

• Diagonal sencilla: una barra, sin arriostrar en toda su longitud, K = 1.0. La más simple y la más esbelta. Este artículo.
• Cruz (X): dos diagonales; la que está en tracción arriostra el punto de cruce, así que la diagonal en compresión usa aproximadamente la mitad de su longitud, K ~ 0.5. El criterio de longitud efectiva es toda su historia.
• Chevron (V invertida): dos diagonales que encuentran la viga a medio vano; la viga debe llevar la fuerza vertical desequilibrada cuando la diagonal en compresión pandea y suelta carga.
• Arriostramiento en K: diagonales que encuentran un pilar a media altura; desaconsejado en diseño sísmico porque una barra que pandea empuja lateralmente contra el pilar.
• Par solo en tracción: dos diagonales esbeltas, cada una diseñada para trabajar solo en tracción mientras la otra queda floja. Barato, pero sin camino de compresión, así que queda excluido de los sistemas sísmicos dúctiles.

La diagonal sencilla es la referencia frente a la cual las demás son atajos. El pandeo que sufre sobre la longitud completa es exactamente el pandeo de Euler de un puntal esbelto, escalado por el factor de longitud efectiva K. Consigue esos dos y el criterio se sigue.

Los principiantes dimensionan una barra para la fuerza de tracción y siguen adelante. Eso está al revés. Bajo inversión la diagonal ve la misma magnitud axial en tracción y en compresión, pero las dos capacidades son enormemente distintas, y la menor gana.

En tracción, la barra fluye a lo largo de su área bruta: Pn = Fy Ag, sin casi nada perdido. Para nuestro tubo eso son 1192 kN de carga de fluencia, y la resistencia de diseño a tracción es 1073 kN.

En compresión, la barra no alcanza la fluencia; pandea antes, en la tensión crítica Fcr, que cae por la curva de Euler a medida que crece la esbeltez. Para el mismo tubo con K = 1.0 la capacidad a compresión se desploma a Pn = 429 kN, solo el 36 % de la carga de fluencia. El pandeo tira por la borda casi dos tercios de la resistencia del acero.

Así que el diseño es un problema de compresión vestido con la ropa de una barra en tracción. Dimensiona la diagonal para que sobreviva al pandeo y la verificación a tracción pasa automáticamente con enorme margen. Por eso cada línea de abajo trata de Fcr, KL/r y la curva de columnas, y por eso la verificación a tracción es una ocurrencia de una línea al final. Es la imagen especular de un arriostramiento restringido al pandeo, que gasta dinero real para borrar exactamente esta penalización.

Empieza con la barra en compresión. Su resistencia utilizable es la tensión crítica por el área, y la tensión crítica sale de la curva de columnas. Por debajo de la transición elástica la falla es inelástica (la sección fluye parcialmente mientras pandea); por encima la falla es pandeo de Euler elástico. En forma de AISC 360:

F_e = π²E / (KL/r)²,  la tensión de pandeo elástico (Euler)

F_cr = 0.658^(Fy/Fe) F_y si KL/r ≤ 4.71√(E/F_y),  en caso contrario  F_cr = 0.877 F_e

La resistencia de diseño a compresión es φ_cP_n = φ_cF_crA_g con φ_c = 0.90. Todo pende de la esbeltez KL/r, y la longitud efectiva KL es donde la diagonal sencilla difiere de cualquier otra configuración.

Para una diagonal sencilla articulada en ambos extremos no hay punto de arriostramiento intermedio, así que la longitud efectiva es la longitud completa de punto de trabajo: K = 1.0, KL = L_wp. Para el mismo tubo físico usado como arriostramiento en X, la diagonal en tracción mantiene quieto el punto de cruce, reduciendo a la mitad la longitud de pandeo a cerca de K = 0.5. En la curva de columnas esa reducción a la mitad es enorme, porque Fe escala con 1/(KL/r)². La figura muestra los dos puntos sobre el mismo tubo: la diagonal sencilla se ubica abajo en la rama de Euler, el arriostramiento en X se ubica arriba en la rama inelástica, una diferencia de 2.15x en tensión utilizable solo por la longitud efectiva.

Ese es el criterio detrás de la norma para una diagonal sencilla: φ_cF_crA_g ≥ P_u, evaluado a longitud completa K = 1.0, respaldado por un tope estricto de cuán esbelta se permite que sea la barra, KL/r ≤ 200. Donde un arriostramiento en X te deja hacer trampa con la longitud, la diagonal sencilla te obliga a pagarla completa.

Cuatro números axiales deciden una diagonal sencilla, y se alinean de una manera que vale la pena ver antes de la aritmética. Del margen de capacidad menor al mayor:

• La demanda, P_u = 347 kN, la misma en tracción y en compresión bajo inversión.
• Compresión, diagonal sencilla (K = 1.0): φP_n = 386 kN. Esta es la capacidad limitante, apenas por encima de la demanda. Es todo el diseño.
• Compresión, el mismo tubo como arriostramiento en X (K = 0.5): φP_n = 832 kN. La sección idéntica, arriostrada a media longitud, tiene más del doble de capacidad. Esta barra es por lo que la gente recurre a una X.
• Fluencia a tracción: φP_n = 1073 kN. Muy por encima de la demanda. La tracción nunca se acerca a gobernar una diagonal esbelta.

Pon esos cuatro en un eje y el mensaje es inmediato: la barra de compresión para la diagonal sencilla es la corta, ubicada justo encima de la línea de demanda, mientras que la tracción se eleva sobre todo lo demás. El diseño vive y muere en esa única barra corta, y la barra corta es corta a causa de la longitud. Esto es también lo que separa el diseño de la barra del arriostramiento de estabilidad: una diagonal aquí es un camino de carga dimensionado por su propio pandeo, no un pequeño arriostramiento nodal dimensionado por la regla del 2 % en rigidez y resistencia de arriostramiento.

El vano y la demanda

Toma un vano de diagonal sencilla de L = 6.0 m de ancho y h = 3.5 m de alto, de modo que la diagonal corre a α = 30.3° sobre una longitud de punto de trabajo L_wp = 6.95 m (cos α = 0.864). Una sola diagonal en un vano articulado es isostática para la carga lateral, así que toma todo el cortante de piso. Para un cortante de piso de diseño V_u = 300 kN:

P_u = V_u / cos α = 300 / 0.864 = 347 kN  (tracción en un sentido, compresión en el otro)

Elige una sección de prueba

Prueba una sección hueca cuadrada, SHS 150 x 150 x 6, en ASTM A500 Gr. C, F_y = 345 MPa (el 50 ksi de las tablas de AISC). Sus propiedades: área bruta A_g = 3456 mm², momento de inercia I = 1196 cm&sup4;, radio de giro r = 58.8 mm. Un tubo cerrado es la elección natural para una barra de arriostramiento: el mismo r respecto a ambos ejes, alta rigidez torsional y conexiones limpias.

Verifica primero la pared. La relación ancho-espesor plano es b/t = (150 - 3·6)/6 = 22.0, por debajo del límite no esbelto 1.40√(E/F_y) = 33.7, así que la pared es plenamente efectiva y no aplica reducción por pandeo local. Ahora la barra.

Este es el criterio en números. La diagonal sencilla está articulada en ambos extremos sin arriostramiento intermedio, así que K = 1.0 y la longitud efectiva es la longitud completa de punto de trabajo, KL = 6.95 m. La esbeltez es:

KL/r = 1.0 · 6950 / 58.8 = 118

Compárala con la transición 4.71√(E/F_y) = 113. Como 118 > 113, la diagonal está en el rango elástico (Euler): pandea antes de fluir. La tensión de pandeo elástico y la tensión crítica son:

F_e = π²E / (KL/r)² = π²·200000 / 118² = 141.6 MPa

F_cr = 0.877 F_e = 124.2 MPa

Así que la capacidad a compresión es P_n = F_crA_g = 124.2 · 3456 = 429 kN, y la resistencia de diseño es

φ_cP_n = 0.90 · 429 = 386 kN ≥ 347 kN  (utilización 90 %)

El tubo pasa, al 90 %. Fíjate en lo poco del acero que pudiste usar: la carga de fluencia F_yA_g es 1192 kN, y el pandeo sobre la longitud completa deja solo 429 kN, cerca del 36 %. Ahora la recompensa de la comparación: el tubo idéntico usado como diagonal de arriostramiento en X, arriostrado en su cruce de modo que KL = 3.47 m y KL/r = 59, se ubica en la rama inelástica con F_cr = 267 MPa y φ_cP_n = 832 kN, una utilización de apenas 42 %. Mismo acero, mismo peso, 2.15 veces la capacidad, únicamente porque algo arriostró su punto medio.

Todo el diseño de la diagonal sencilla es el desplome de φ_cF_cr con la esbeltez, y puedes verlo ocurrir. En la calculadora de abajo, toma una barra en compresión y sube su longitud: la carga crítica cae por la curva de Euler, exactamente la caída que convierte 832 kN en 386 kN cuando desaparece un punto de arriostramiento y K pasa de 0.5 a 1.0.

Prueba primero nuestros números, r = 58.8 mm y KL = 6.95 m, y observa cómo la capacidad aterriza cerca de 429 kN. Luego reduce la longitud a la mitad y observa cómo se más que duplica. Ese único deslizador es la diferencia entre una diagonal sencilla y un arriostramiento en X. Lee la teoría en el pandeo de Euler explicado, y luego vuelve y dimensiona tu propia diagonal.

La resistencia sale bien, pero de dónde viene la demanda P_u? Aquí la diagonal sencilla es lo más fácil que hay. Un vano de diagonal sencilla con extremos articulados es isostático para la carga lateral: la diagonal es el único camino lateral, así que lleva todo el cortante de piso y la fuerza axial se sigue solo del equilibrio, sin necesidad de análisis de pórtico.

• Axial de la barra: P_u = V_u / cos α = 300 / 0.864 = 347 kN.
• Axial en el pilar debido a la barra: la componente vertical P_u · sin α = 347 · 0.504 = 175 kN se entrega al pilar, parte del par de vuelco.
• Equilibrio global: las reacciones en la base equilibran el cortante aplicado (ΣF_x = 300 kN) y el momento de vuelco V_u·h = 1050 kN·m, una comprobación rápida de coherencia.

Esa isostaticidad es una ventaja genuina de la diagonal sencilla. Un pórtico arriostrado excéntricamente es hiperestático y necesita un análisis para hallar la fuerza en su enlace; una diagonal sencilla la puedes verificar al dorso de un plano. El compromiso es que una diagonal aislada es unilateral: es más rígida en la dirección que la pone en tracción. Los edificios reales aparean diagonales en vanos opuestos, o usan una X, para que ambas direcciones tengan una barra capaz de trabajar en compresión.

Dos límites se sientan encima de la verificación de resistencia, y ambos atrapan diseños reales.

El tope de esbeltez. AISC 360 recomienda KL/r ≤ 200 para barras en compresión, y es prácticamente obligatorio para una barra de arriostramiento: pasado ese punto la barra está tan floja que pandea bajo su propia manipulación y la capacidad a compresión es despreciable. Nuestra diagonal está en 118, cómodamente dentro. Si hubiera salido en, digamos, 240, ninguna verificación de tensión la salvaría; acortarías la barra, agregarías un punto de arriostramiento intermedio, o irías a una sección más robusta. Este tope es por lo que las diagonales sencillas muy largas se convierten silenciosamente en arriostramientos en X o reciben un puntal a media longitud.

La trampa del solo en tracción. Es tentador argumentar que la diagonal solo necesita trabajar en tracción, dejarla pandear inofensivamente en compresión, y dimensionarla como una varilla esbelta. Eso es legal para viento en edificios ordinarios con un par de diagonales, una para cada dirección, y es genuinamente barato. Pero una diagonal aislada solo en tracción arriostra el pórtico en una sola dirección, y los sistemas solo en tracción quedan excluidos de los pórticos arriostrados sísmicos dúctiles precisamente porque una barra que pandea y nunca se recupera no puede disipar energía. En diseño sísmico, AISC 341 va más allá: un pórtico arriostrado concéntricamente especial (SCBF) exige una sección de alta ductilidad, b/t ≤ 0.55√(E/F_y) = 13.2, que nuestra pared de 22.0 no cumple. Nuestro tubo es una buena barra para viento o pórtico ordinario; un SCBF de alta ductilidad necesitaría una pared más gruesa.

Los errores que con más frecuencia convierten una diagonal correcta de manual en una verificación fallida:

• Dimensionar para tracción. La capacidad a compresión es la pequeña; una diagonal esbelta diseñada por su fuerza de tracción queda gravemente subdimensionada. Verifica siempre primero la compresión a longitud completa.
• Pedir prestada la longitud efectiva del arriostramiento en X. Una diagonal sencilla no tiene punto de cruce, así que K = 1.0, no 0.5. Usar 0.5 por costumbre prácticamente duplica la capacidad aparente y la barra puede fallar a la mitad de la carga que creías.
• Olvidar la inversión. El viento y el sismo actúan en ambos sentidos. Una diagonal que en tu modelo es solo un tirante es un puntal en el evento real; diséñala para ambos.
• Ignorar el tope de esbeltez. KL/r debe ser ≤ 200. Es un límite aparte de la verificación de tensión y gobierna las barras largas.
• Usar el r equivocado. Para un ángulo o una te el radio de giro que gobierna es el menor (a menudo r_z para un ángulo simple), no r_x. Un tubo cuadrado esquiva esto porque r es igual respecto a ambos ejes.
• Diseñar la conexión para la demanda de la barra. En un pórtico arriostrado sísmico la cartela y las soldaduras se dimensionan para la resistencia esperada de la barra (R_yF_yA_g en tracción, la fuerza posterior al pandeo en compresión), no para el valor de 347 kN del caso de carga.

Preguntas frecuentes

Diagonal sencilla o arriostramiento en X? Una X es más eficiente porque reduce a la mitad la longitud de pandeo en compresión y arriostra ambas direcciones a la vez, pero necesita el espacio para dos diagonales y un detalle de cruce que funcione. Una diagonal sencilla es más simple y más barata por vano, a costa de una sección más pesada y una rigidez unilateral. Aparea diagonales sencillas en vanos opuestos para obtener ambas direcciones.

Por qué K = 1.0 y no 0.5 aquí? K = 0.5 en una X viene de que la diagonal en tracción mantiene quieto el punto de cruce, lo que acorta la longitud de pandeo de la diagonal en compresión. Una diagonal sencilla no tiene ese punto, así que pandea en toda su longitud y K = 1.0. Ve el factor de longitud efectiva K.

Puedo usar solo una varilla en tracción? Para viento en un edificio ordinario, con un par de varillas para las dos direcciones, sí, y es barato. Para un pórtico arriostrado sísmico dúctil, no: la norma exige una barra capaz de trabajar en compresión y adecuadamente dúctil.

El arriostramiento en diagonal de acero es el sistema lateral más simple, y su diseño es una idea honesta: la diagonal debe sobrevivir a la compresión, sin arriostrar en toda su longitud.

• El criterio es la verificación a compresión a longitud completa, φ_cF_crA_g ≥ P_u con K = 1.0, más el tope KL/r ≤ 200. La compresión gobierna porque el pandeo deja solo el 36 % de la carga de fluencia.
• La demanda es estática pura: una diagonal sencilla es isostática, P_u = V_u/cos α = 347 kN, en tracción en un sentido y compresión en el otro.
• SHS 150 x 150 x 6 resuelto, F_y = 345: KL/r = 118 (rango de Euler), φP_n = 386 kN frente a 347 kN, una verificación al 90 %, todo verificado a mano y coincidente con la Tabla 4-22 del Manual de AISC.
• El mismo tubo como arriostramiento en X resiste 832 kN, 2.15 veces más, porque el cruce arriostra su punto medio. Ese contraste es la razón para saber cuál de los dos estás diseñando.

Quieres probar los números en tu propia diagonal? La calculadora de pandeo de columnas y el editor completo de CalcSteel son de uso gratuito, y CalcSteel es gratis para estudiantes. Dimensiona la diagonal a su longitud completa, verifica KL/r contra 200, y deja que la barra de compresión te diga la sección.