El arco triarticulado: por qué la articulación lo hace resoluble solo con la estática

La mayoría de las estructuras curvas no se pueden resolver solo con la estática. Un arco empotrado, empotrado macizamente en ambos arranques, es hiperestático de tercer grado: el equilibrio te da tres ecuaciones y la estructura esconde seis reacciones incógnitas, de modo que no puedes hallar las fuerzas sin recurrir a la sección, al material y a un cálculo de compatibilidad. Incluso el más benévolo arco biarticulado, articulado en ambos apoyos, todavía esconde una incógnita hiperestática que el equilibrio no alcanza, y esa incógnita es precisamente el empuje horizontal que el arco empuja hacia afuera contra sus fundaciones.

El arco triarticulado es la excepción, y por eso mismo abre todo curso de Análisis Estructural y Estructuras I. Agrega una articulación más, en la clave, y la estructura curva se vuelve isostática. Cuatro ideas directas de equilibrio te dan entonces cada reacción a mano, sin referencia alguna a la sección, al material ni a la temperatura. Es el caso poco común en que una estructura curva que empuja resulta tan tratable como una viga simplemente apoyada.

Este artículo desarrolla todo de principio a fin. Una fórmula, H = M_c / h, hace el trabajo pesado; tres ejemplos resueltos le ponen números reales, cada uno verificado contra el motor de elementos finitos de CalcSteel; y un breve experimento demuestra la idea del título, que la tercera articulación convierte un problema de rigidez en un problema de estática y el empuje deja de importarle qué sección elijas. Geometría de referencia en todo el artículo: luz L = 20 m, flecha h = 5 m, de modo que h/L = 1/4.

Un arco es una barra curva que soporta la carga transversal principalmente por compresión axil a lo largo de su desarrollo, en vez de por flexión a través de su altura. Como trabaja a compresión, se puede construir en piedra, ladrillo u hormigón sin armar, materiales resistentes a compresión y casi inútiles a tracción. Esa es toda la razón por la que el arco sobrevivió a cualquier otra forma estructural antigua: convierte una carga hacia abajo en una compresión que el material sí puede tomar.

Una viga hace lo contrario. Salva la luz por flexión: la fibra superior se acorta, la fibra inferior se alarga, y el material tiene que ser bueno tanto a compresión como a tracción. El arco cambia esa flexión por compresión, y el precio del cambio se paga en los apoyos. Un arco cargado no presiona verticalmente sobre sus arranques; presiona hacia afuera y hacia abajo, según una línea inclinada. La parte vertical de esa reacción es V, familiar de cualquier viga. La parte horizontal es el empuje H, y es el rasgo que define el comportamiento del arco: los apoyos deben resistir físicamente ser separados.

Nombremos la geometría, porque el resto del artículo la usa. La distancia horizontal entre apoyos es la luz L. La altura de la clave sobre la línea de arranques es la flecha h. Los apoyos son los arranques; la parte superior del arco es la clave. La relación h/L es lo que fija el empuje. Como H = M_c / h, un arco más rebajado (h menor) necesita un H mayor para tomar la misma carga: reduce la flecha a la mitad y duplicas el empuje. Un arco alto es benévolo con sus fundaciones; uno rebajado y elegante las castiga.

Los arcos vienen en tres disposiciones de apoyo, y se ubican en tres puntos muy distintos de la escala de la determinación estática. La diferencia está por completo en cuántas componentes de reacción tiene cada uno frente a cuántas ecuaciones dispones para hallarlas.

El arco empotrado (sin articulaciones) está empotrado en ambos extremos. Cada empotramiento aporta una reacción horizontal, una reacción vertical y un momento: 6 componentes de reacción. Contra ellas dispones solo de las 3 ecuaciones del equilibrio global, así que el arco empotrado es hiperestático de 3er grado. El arco biarticulado está articulado en ambos apoyos. Una articulación aporta una reacción horizontal y una vertical pero ningún momento, de modo que hay 4 componentes de reacción contra 3 ecuaciones de equilibrio: hiperestático de 1er grado. La única incógnita hiperestática que esconde es justamente el empuje horizontal H, el único número que el equilibrio no puede darte. El arco triarticulado, de tres articulaciones, conserva las dos articulaciones de apoyo pero suma una articulación en la clave. Siguen siendo 4 reacciones, pero ahora tienes una cuarta ecuación, y resulta isostático.

Aquí está la idea clave, y es fácil de invertir. La articulación de la clave no agrega ninguna reacción: es una articulación interna, no un apoyo, así que no introduce ninguna fuerza nueva en el conteo. Lo que agrega es una ecuación de condición: el momento flector debe ser nulo en una articulación, porque una articulación no puede transmitir momento. Esa ecuación extra es exactamente la que le faltaba al arco biarticulado. Al arco biarticulado le faltaba una, y la articulación de la clave aporta precisamente una. Ese es todo el truco.

Hagamos el conteo completo para el arco triarticulado. Dos apoyos articulados dan 4 componentes de reacción incógnitas: una horizontal y una vertical en A, una horizontal y una vertical en B. Para resolver cuatro incógnitas necesitas cuatro ecuaciones independientes. El equilibrio global aporta tres de ellas: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 y ΣM = 0. La articulación de la clave aporta la cuarta: el momento flector en la clave es nulo. Cuatro incógnitas, cuatro ecuaciones, así que el grado de indeterminación estática es 0. La estructura es exactamente isostática.

La cuarta ecuación se llama ecuación de condición, y vale la pena entender el nombre. Las ecuaciones de equilibrio ordinarias describen la estructura como un todo. Una ecuación de condición describe una liberación interna: dice que, en un punto específico, alguna fuerza interna queda forzada a un valor conocido por la manera en que está construida la estructura. En una articulación, esa fuerza es el momento flector interno, y su valor conocido es cero, porque una articulación es libre de girar y no puede transmitir momento a través de sí misma. Escribe esa condición y habrás sumado una ecuación sin sumar ninguna incógnita.

Cada articulación interna de una estructura vale una ecuación de condición, y por lo tanto reduce en uno el grado de indeterminación. El arco biarticulado era hiperestático de primer grado, corto por exactamente una ecuación. Inserta una articulación, ganas exactamente una ecuación, y el déficit se cierra a cero. Esta es la regla general detrás de toda la familia de arcos, y es la razón por la que el número de articulaciones, no el número de apoyos, es lo que hace del arco triarticulado el miembro tratable del conjunto.

La solución se reduce a dos pasos y una fórmula: H = M_c / h. La cantidad M_c no es el momento propio del arco. Es el momento flector que tendría una viga simplemente apoyada de la misma luz, con las mismas cargas verticales, en la posición horizontal de la clave. Resuelves una viga recta imaginaria, lees de ella un número, lo divides por la flecha, y ya tienes el empuje. La fórmula supone que los dos arranques están al mismo nivel.

Paso 1: las reacciones verticales. Aplica el equilibrio global a todo el arco. Como ambos arranques están al mismo nivel, las dos reacciones horizontales actúan según esa misma línea y tienen brazo de momento nulo respecto de cualquiera de los apoyos. Tomar momentos respecto de A involucra entonces solo las reacciones verticales y las cargas aplicadas, exactamente como en una viga recta simplemente apoyada de luz L. El resultado es que V_A y V_B resultan idénticas a las reacciones de la viga simplemente apoyada. Las verticales del arco son simplemente las verticales de la viga.

Paso 2: el empuje. Corta el arco en la clave y toma la mitad izquierda (de A a la clave C) como cuerpo libre. La mitad derecha solo puede empujar a la mitad izquierda a través de la articulación en C, y una articulación transmite una fuerza pero ningún momento. Así que toma momentos respecto de C, y la fuerza incógnita en la articulación se elimina por completo. Lo que queda es V_A·(L/2) menos H_A·h menos el momento de las cargas de la mitad izquierda respecto de C, todo igual a cero. Ahora observa el grupo V_A·(L/2) menos los momentos de las cargas: eso es precisamente el momento flector de la viga simplemente apoyada en la posición de la clave, M_c. Así que la ecuación es M_c menos H·h = 0, que se reordena como H = M_c / h. Un cuerpo libre, una ecuación de momentos, y el empuje sale solo.

Toma un arco triarticulado apuntado (triangular), luz L = 20 m, flecha h = 5 m, que soporta una única carga puntual vertical P = 40 kN en la clave. Aplica la receta. La carga está en el centro de la luz, así que por simetría las reacciones verticales la reparten por igual: V_A = V_B = P/2 = 20 kN.

Ahora el empuje. El momento de la viga simplemente apoyada en el centro de la luz bajo una carga puntual central es el clásico M_c = PL/4 = 40 × 20 / 4 = 200 kN·m. Divide por la flecha: H = M_c / h = 200 / 5 = 40 kN. Esa es toda la solución a mano. Cada reacción: A toma H = 40 kN y V = 20 kN, y B toma H = 40 kN y V = 20 kN.

El motor de CalcSteel, con la clave modelada como una liberación de momento en el extremo de la barra y ambos apoyos articulados, devuelve A (H = 40 kN, V = 20 kN) y B (H = 40 kN, V = 20 kN), coincidiendo con los valores a mano hasta la precisión de la máquina, con momento nulo en ambas articulaciones de apoyo. Hay un bono en la geometría: como cada pierna recta de un arco apuntado va de un apoyo al vértice y la única carga está en el vértice, cada mitad es una barra de dos fuerzas. Toma compresión axil pura de magnitud √(20² + 40²) = 44,7 kN, con flexión nula en cualquier punto de la pierna. Una carga puntual en el vértice de un arco apuntado es funicular: la forma sigue la carga con exactitud, así que nada flexiona.

Todo el método se reduce a una consulta: halla el momento flector de la viga simplemente apoyada en la posición de la clave, luego divide por la flecha. Todo lo demás es aritmética. La calculadora gratuita de cortante y momento de CalcSteel que está abajo te da ese momento directamente. Fija la luz, coloca las mismas cargas verticales que soporta el arco, y lee M_c directamente del diagrama de momento flector en la posición horizontal de la clave. Entonces H = M_c / h.

Reproduce el ejemplo 1 para tomarle la mano: una luz de 20 m simplemente apoyada con una carga de 40 kN en el centro da M_c = 200 kN·m, y 200 / 5 = 40 kN de empuje. O reproduce el ejemplo 3 de más abajo: coloca una carga de 60 kN en el punto del cuarto de la luz de un tramo de 20 m, lee el momento bajo el centro de la luz, y obtendrás 150 kN·m, de modo que H = 30 kN. La calculadora es el solucionador real, no una vista previa, y corre en tu navegador sin necesidad de iniciar sesión para el cálculo.

Cuando quieras el arco en sí en vez de la viga equivalente, modélalo en el editor completo de CalcSteel: coloca una liberación de momento en el nodo de la clave, articula ambos apoyos, y lee las reacciones. El mismo motor de elementos finitos que produjo cada número de este artículo corre allí sobre toda la estructura.

Ahora un arco triarticulado parabólico, con los mismos L = 20 m y h = 5 m, que soporta una carga uniforme w = 10 kN/m sobre toda la luz, medida por unidad de longitud horizontal. Las reacciones verticales son las de la viga simplemente apoyada para una carga uniforme completa: V_A = V_B = wL/2 = 100 kN. El momento de la viga simplemente apoyada en el centro de la luz es el clásico M_c = wL²/8 = 10 × 20² / 8 = 500 kN·m, así que el empuje es H = M_c / h = 500 / 5 = 100 kN.

El motor confirma las reacciones, 100 kN vertical y H = 100 kN en cada arranque. Pero el resultado llamativo es la flexión. Modelado como 16 segmentos, el motor reporta un momento flector prácticamente nulo en todos los puntos del arco. Nada flexiona, en ningún lado. La parábola es la forma funicular para una carga uniforme horizontal: la línea de empujes, el camino que la compresión quiere seguir naturalmente, coincide exactamente con el eje del arco. Cuando el eje y la línea de empujes son la misma curva, no hay excentricidad que flexione la sección, y todo el arco trabaja a compresión pura.

La compresión no es constante a lo largo del arco. Es igual al empuje H = 100 kN en la clave, donde el eje es horizontal, y crece hacia los arranques donde el eje es empinado, alcanzando la resultante de las reacciones de apoyo, √(100² + 100²) = 141,4 kN. Esta es la razón por la que los arcos salvan luces tan grandes con tan poco material: ajusta la forma del arco a la carga y la flexión desaparece, dejando solo la compresión que el material soporta bien. Equivoca la forma, como muestra el próximo ejemplo, y la flexión regresa.

Esta es la sección que responde literalmente al título. Toma el arco apuntado del ejemplo 1 con su P = 40 kN central y resuélvelo dos veces en el motor, sin cambiar nada más que la sección. Primero con una barra liviana, del orden de un IPE 400. Luego con una barra mucho más pesada y rígida, del orden de un W 600. El empuje vuelve como H = 40,0 kN en ambos casos, idéntico a cuatro o más cifras significativas. Las reacciones de una estructura isostática no dependen en absoluto de la rigidez EI, porque el equilibrio por sí solo las fija, y el equilibrio nunca menciona la sección.

Ahora quita la articulación de la clave para convertirlo en un arco biarticulado, hiperestático de primer grado, y repite. El empuje es ahora H = 31,0 kN con la sección liviana y 30,9 kN con la pesada. Dos cosas cambiaron a la vez, y ambas importan. El valor ya no es el limpio 40 kN que dio la estática, porque el equilibrio por sí solo ya no puede hallarlo; y se mueve con la sección, porque las fuerzas en una estructura hiperestática siguen la rigidez relativa de las barras. No puedes resolver el arco biarticulado sin conocer EI, y la respuesta que obtienes queda atada a ella.

Ese contraste es todo el punto. La tercera articulación convierte un problema de rigidez en un problema de estática. Para un arco triarticulado nunca necesitas EI, una computadora ni una hipótesis sobre la sección para obtener las reacciones; bastan un lápiz y el equilibrio. Hay un corolario que va más allá de la comodidad. Una estructura isostática no desarrolla ninguna autotensión ante un movimiento impuesto: un apoyo que asienta, o un aumento uniforme de temperatura que quiere dilatar el arco, simplemente se acomoda con el giro libre en las articulaciones. Así, un arco triarticulado tolera un estribo que se hunde o un verano caluroso con fuerza inventada nula, donde un arco biarticulado o empotrado desarrollaría flexión real para pelear contra el movimiento. Esta es la misma lección que nuestra nota complementaria sobre asentamiento de apoyo extrae de una viga continua, vista desde el otro lado: la determinación estática es lo que compra la inmunidad.

La determinación estática del arco triarticulado hace que las reacciones sean resolubles a mano. No hace que el arco quede libre de flexión. Solo una carga acorde y funicular logra eso. Aquí está el contraejemplo. Toma el arco parabólico, con los mismos L = 20 m y h = 5 m, pero cárgalo con una única carga puntual P = 60 kN en x = 5 m desde el apoyo izquierdo, el punto del cuarto de la luz.

Las reacciones aún salen directamente de la viga simplemente apoyada equivalente. Tomando momentos, la reacción lejana es V_B = P·a/L = 60 × 5 / 20 = 15 kN, y la cercana es V_A = 60 − 15 = 45 kN. El momento de la viga simplemente apoyada en la clave, que está en el centro de la luz, es M_c = V_A × 10 − P × (10 − 5) = 450 − 300 = 150 kN·m. Verifícalo desde el lado derecho: V_B × 10 = 150 kN·m, lo mismo. Así que el empuje es H = M_c / h = 150 / 5 = 30 kN. El motor confirma V_A = 45 kN, V_B = 15 kN, H = 30 kN.

Pero ahora el arco flexiona. Una única carga puntual descentrada no es funicular para una parábola: la línea de empujes para esta carga no es la parábola con la que se construyó el arco, así que las dos curvas se separan, y la brecha entre ellas es excentricidad, y la excentricidad es momento. El motor reporta un momento flector real que se desarrolla a lo largo del arco, con un pico de alrededor de 112,5 kN·m. Vale la pena enunciar el punto didáctico con claridad: las tres articulaciones hacen que las reacciones sean resolubles con la estática, pero no hacen que el arco quede libre de flexión. Que el arco flexione o no depende de si la carga coincide con la forma, no de cuántas articulaciones tenga.

El arco triarticulado aparece dondequiera que sus dos virtudes, la determinación estática y el montaje fácil, valgan más que la rigidez pura. Lo encuentras en cubiertas de gran luz: gimnasios, hangares de aviones, salones de exposiciones y galpones, donde importan una luz libre y una estructura liviana. Es común en puentes de luz corta y peatonales, en pórticos de madera laminada encolada y de acero detallados con una articulación en la cumbrera, y en arcos de hormigón prefabricado que llegan a obra como dos mitades y se articulan entre sí en la clave.

Las ventajas se siguen directamente de todo lo anterior. Es isostático, así que el análisis es a mano y está fuera de discusión. Es robusto frente al asentamiento y la temperatura, sin inventar autotensiones cuando un estribo se hunde o el acero se calienta. Y es fácil de construir: se izan dos mitades, se juntan arriba y se articulan, sin ningún empalme pesado de momento que fabricar y alinear en la clave. Las desventajas son la otra cara de la misma moneda. La articulación de la clave es un detalle real que hay que construir, proteger y mantener. Y un arco triarticulado es más flexible que uno biarticulado o empotrado, así que deforma más, en especial bajo carga asimétrica, donde las dos mitades pueden balancearse en subibaja en torno a la clave. Para luces muy largas o muy cargadas, los proyectistas a menudo aceptan el análisis hiperestático de un arco biarticulado o empotrado justamente para comprar esa rigidez extra.

Una advertencia supera a todas las demás: el empuje tiene que ir a algún lado. Debe entregarse a una fundación lo bastante rígida y resistente para resistir ser empujada hacia afuera, o debe ser tomado por un tirante que corra entre los dos arranques, lo que convierte el conjunto en un arco atirantado y deja que el tirante, en vez del terreno, cierre la fuerza horizontal. Ignorar H es la falla clásica del arco: los apoyos se separan, la luz se abre, y el arco se desploma. Un arco no es una viga curva, y sus fundaciones no son las de una viga.

El arco triarticulado es simple de resolver y fácil de malinterpretar. Estas son las trampas que atrapan a estudiantes e ingenieros en ejercicio con más frecuencia.

• Olvidar el empuje. El error más caro de todos. Un arco no es una viga curva: empuja hacia afuera sobre sus apoyos, y ese empuje horizontal H es real, grande y permanente. Si tu modelo o tu fundación lo ignoran, los apoyos se separan y el arco falla.
• Usar el momento propio del arco en H = M_c / h. M_c es el momento flector de la viga simplemente apoyada en la posición de la clave, calculado sobre una viga recta imaginaria de la misma luz y carga. No es el momento en el arco mismo (que, en la articulación de la clave, es cero de todos modos). Resuelve la viga equivalente, no el arco, para obtener M_c.
• ¿La articulación de la clave tiene que estar exactamente al centro? No. La fórmula compacta H = M_c / h supone que la clave está sobre la referencia y que los arranques están al mismo nivel, pero el método es general: toma momentos respecto de la ubicación real de la articulación, en la mitad que la contiene, y el empuje sale dondequiera que esté la articulación.
• ¿Parábola, círculo o catenaria, qué forma? La forma funicular depende de la carga. Una parábola es funicular para una carga uniforme por longitud horizontal (como nuestro ejemplo 2). Una catenaria es funicular para una carga distribuida a lo largo del propio desarrollo del arco, como el peso propio. Un arco circular no es funicular para ninguna de las dos, así que siempre toma algo de flexión, incluso bajo su propio peso.
• ¿Un arco triarticulado es más débil? Es más flexible, y ve momentos pico mayores bajo carga asimétrica. Pero es mucho más fácil de analizar y es inmune a las autotensiones por asentamiento y por temperatura. Cambia rigidez por determinación estática, y para muchas estructuras ese es el cambio correcto.
• ¿Cómo lo modelo? Coloca una liberación de momento en el nodo de la clave, articula ambos apoyos, y lee las reacciones. Trae incorporada una buena verificación de sensatez: cambia la sección y las reacciones no deberían moverse. Si lo hacen, no has liberado realmente la clave.

• Dos apoyos articulados dan 4 reacciones; tres ecuaciones de equilibrio más una ecuación de condición (momento nulo en la articulación de la clave) dan 4 ecuaciones, así que el arco triarticulado es isostático, de grado 0. La articulación de la clave agrega una ecuación, no una reacción.
• El empuje es H = M_c / h, donde M_c es el momento de la viga simplemente apoyada en la posición de la clave, y un arco más rebajado (h menor) atrae un empuje mayor.
• Una parábola bajo carga uniforme es funicular: la línea de empujes cae sobre el eje del arco, la flexión es prácticamente nula, y el arco trabaja a compresión pura, que es la razón por la que salva grandes luces con poco material.
• El empuje del triarticulado es independiente de la rigidez (H = 40,0 kN tanto para una sección liviana como para una pesada), mientras que el empuje del biarticulado se desplaza (31,0 frente a 30,9 kN). La determinación estática también hace al arco inmune a las autotensiones por asentamiento y por temperatura.
• Resoluble no significa libre de flexión: una carga puntual descentrada sobre una parábola aún desarrolla flexión real (hasta alrededor de 112,5 kN·m), porque solo una carga acorde y funicular la cancela.
• El empuje nunca desaparece: debe descargar en una fundación capaz o un tirante entre los arranques. Ignorarlo separa los apoyos y desploma el arco.