Cables y la catenaria: flecha, tracción y la geometría que soporta la carga

La mayoría de las barras estructurales son un compromiso. Una viga toma un poco de todo: flexión, cortante, a veces axil. Una columna comprime sobre todo, pero también hay que verificarla frente a la flexión que trae el pandeo. Un cable no hace ningún compromiso, porque es físicamente incapaz de hacerlo. No puede empujar, así que no toma compresión. No tiene altura de la que hablar, así que no toma flexión ni cortante. Un cable puede hacer exactamente una cosa: tirar. Cada partícula de él está en tracción axil pura, y nada más.

Eso suena como una limitación paralizante, y en cierto sentido lo es. Pero es también lo que hace del cable la estructura más honesta y más tratable de todo Análisis Estructural y Estructuras I. Como un cable no puede resistir flexión, no puede pelear con la carga para darle una forma a su gusto, como sí hace una viga rígida. No tiene más opción que colgar en la única forma que soporta la carga solo por tracción. Esa forma tiene un nombre, la funicular, del latín para cuerda, y todo el tema de este artículo es que la geometría del cable y sus fuerzas internas son el mismo hecho visto dos veces.

Este artículo desarrolla todo de principio a fin. Una fórmula, H = M_c / d, hace el trabajo pesado, y es exactamente la fórmula que el arco usa para su empuje, lo que no es casualidad. Tres ejemplos resueltos le ponen números reales, cada uno verificado contra el motor de elementos finitos de CalcSteel: una carga puntual que forma una V, una carga uniforme que forma una parábola, y el peso propio que forma una catenaria. Geometría de referencia en todo el artículo: una luz de L = 20 m entre dos anclajes al mismo nivel.

Un cable es una barra tan esbelta que su rigidez a flexión es despreciable: un cable de acero, un cordón de puente, una cadena, un tendón de pretensado, un tensor. Modélalo como perfectamente flexible y las consecuencias son absolutas. No toma ningún momento flector en ninguna parte, porque no tiene rigidez para resistir el giro. No toma ninguna compresión, porque en cuanto intentas empujar una cuerda simplemente se afloja y se pandea a un lado. Lo que queda es la única fuerza interna que una línea flexible puede transmitir a lo largo de sí misma: la tracción axil. En cada punto la tracción actúa según la tangente al cable, y por eso el cable se curva para seguir la carga en vez de resistirla en su lugar.

Un arco paga su compresión en los apoyos: presiona hacia afuera, y los arranques deben resistir ser separados. Un cable paga el precio inverso, como en un espejo. Como su tracción tira según una línea inclinada en cada extremo, un cable cargado no cuelga en vertical desde sus apoyos. Tira de sus anclajes hacia adentro y hacia abajo. La parte vertical de esa tracción es V, familiar de cualquier reacción de viga. La parte horizontal es la tracción horizontal H, y es el rasgo que define el comportamiento del cable: los anclajes deben resistir físicamente ser arrastrados uno hacia el otro.

Nombremos la geometría, porque el resto del artículo la usa. La distancia horizontal entre apoyos es la luz L. La caída vertical desde la cuerda (la recta entre los anclajes) hasta el punto más bajo es la flecha d. Los apoyos son los anclajes; el fondo de la curva es el punto más bajo. La relación d/L es lo que fija la tracción, y funciona justo al revés de la intuición: un cable más rebajado (flecha menor) necesita un H mayor para tomar la misma carga. Tensa un tendedero y aun así se comba, porque un cable perfectamente recto no puede tomar ninguna carga transversal.

Aquí está la idea que abre todo lo demás. Como un cable solo puede tirar a lo largo de su propio desarrollo, está en equilibrio únicamente cuando su forma se alinea con exactitud con el camino de la carga. Si cualquier tramo del cable tuviera la forma equivocada, habría una componente de la carga que no podría equilibrar con tracción pura, y se movería hasta que la forma fuera la correcta. Así que el cable encuentra, por sí solo, la forma funicular: la única curva a lo largo de la cual la carga dada se toma solo por tracción. Tú no le impones la forma al cable. La carga lo hace.

Cambia la carga y cambias la forma, y hay tres casos que cubre todo curso. Cuelga unas pocas cargas concentradas del cable y se forma un polígono funicular: tramos rectos entre las cargas, con un quiebre en cada punto de carga, porque un tramo recto de cable entre dos cargas puntuales no tiene nada que lo curve. Aplica una carga uniforme por unidad de longitud horizontal, como cuelga el tablero de un puente colgante de su cable principal a través de péndolas muy juntas, y el cable toma una parábola. Deja que el cable soporte solo su propio peso, que es uniforme por unidad de longitud medida a lo largo del cable, y toma una catenaria, la curva de la cadena colgante.

No son aproximaciones de una única forma verdadera. Son tres respuestas exactas a tres preguntas distintas, y distinguirlas es la mitad de lo que enseña este tema. La parábola y la catenaria, en particular, se ven casi idénticas cuando el cable es rebajado y se separan cuando cuelga profundo, y saber cuándo importa la diferencia es un juicio de ingeniería real que zanjamos con números más adelante en el artículo.

La solución se reduce a dos pasos y una fórmula, y es la gemela a tracción del arco. Paso 1: las reacciones verticales. Aplica el equilibrio global a todo el cable. Como ambos anclajes están al mismo nivel, las dos tracciones horizontales actúan según esa misma línea y tienen brazo de momento nulo respecto de cualquiera de los apoyos. Tomar momentos respecto de un anclaje involucra entonces solo las reacciones verticales y las cargas aplicadas, exactamente como en una viga recta simplemente apoyada de luz L. Así que V_A y V_B resultan idénticas a las reacciones de la viga simplemente apoyada. Las verticales del cable son simplemente las verticales de la viga.

Paso 2: la tracción. Corta el cable en su punto más bajo y toma una mitad como cuerpo libre. En el punto más bajo la tangente es horizontal, así que la tracción interna allí es puramente horizontal e igual a H, sin componente vertical y sin momento. Toma momentos respecto de ese punto de corte y todo se simplifica. Lo que queda es V_A·(distancia al punto más bajo) menos el momento de las cargas de esa mitad, todo equilibrado por H·d. Ahora observa que el primer grupo es precisamente el momento flector de la viga simplemente apoyada en la posición del punto más bajo, M_c. Así que la ecuación es M_c menos H·d = 0, que se reordena como H = M_c / d.

Esa es la misma H = M_c / h que el arco triarticulado usa para su empuje, con la flecha d en lugar de la flecha h del arco. El arco convierte M_c en compresión que empuja hacia afuera; el cable convierte el idéntico M_c en tracción que tira hacia adentro. Resuelve una viga recta imaginaria, lee de ella un momento, divide por la flecha, y ya tienes la tracción. Todo lo que sigue es aritmética e interpretación.

Toma un cable anclado en dos puntos separados L = 20 m al mismo nivel, que soporta una única carga puntual vertical P = 40 kN en el centro de la luz, y colgado de modo que la flecha bajo la carga sea d = 5 m. Con una sola carga concentrada la funicular es el polígono más simple de todos, una V simétrica de dos tramos rectos. Aplica la receta. La carga está en el centro de la luz, así que por simetría las reacciones verticales la reparten por igual: V_A = V_B = P/2 = 20 kN.

Ahora la tracción. El momento de la viga simplemente apoyada en el centro de la luz bajo una carga puntual central es el clásico M_c = PL/4 = 40 × 20 / 4 = 200 kN·m. Divide por la flecha: H = M_c / d = 200 / 5 = 40 kN. Esa es toda la solución a mano. Cada anclaje toma H = 40 kN tirando hacia adentro y V = 20 kN tirando hacia abajo. Como cada pierna recta va de un anclaje a la carga sin nada que actúe entre medio, cada pierna es una barra de dos fuerzas en tracción pura de magnitud √(40² + 20²) = 44,7 kN, constante a lo largo de su longitud.

El motor de CalcSteel, con el cable modelado como una cadena de dos tramos y una liberación de momento en el punto más bajo para imponer la condición de cable flexible, devuelve A (H = 40 kN, V = 20 kN) y B (H = 40 kN, V = 20 kN), una tracción en el apoyo de 44,7 kN, y flexión nula en todas partes, coincidiendo con la solución a mano hasta la precisión de la máquina. Compara esto con el arco: una carga puntual central sobre un arco triarticulado triangular de la misma luz y flecha da los idénticos 40 kN, 20 kN y 44,7 kN, pero a compresión. El cable es el arco reflejado en un espejo.

Ahora el caso que soporta la mayoría de los cables del mundo. Un cable que salva L = 20 m soporta una carga w = 10 kN/m que es uniforme por unidad de longitud horizontal, la idealización del tablero de un puente colgante que cuelga del cable principal mediante muchas péndolas verticales muy juntas. Cuélgalo a una flecha realista d = 2 m, un décimo de la luz. Las reacciones verticales son las de la viga simplemente apoyada para una carga uniforme completa: V_A = V_B = wL/2 = 100 kN. El momento de la viga simplemente apoyada en el centro de la luz es el clásico M_c = wL²/8 = 10 × 20² / 8 = 500 kN·m, así que la tracción es H = M_c / d = 500 / 2 = 250 kN.

Bajo una carga uniforme por longitud horizontal la funicular es una parábola exacta, y el motor lo confirma: modelado como dieciséis tramos sobre la parábola con la liberación en el punto más bajo, reporta flexión prácticamente nula en todos los puntos y tracción pura en todo su desarrollo, con reacciones de 100 kN vertical y 250 kN horizontal en cada anclaje. Este es el espejo a tracción del arco funicular: ajusta la forma a la carga y la flexión desaparece, dejando solo la fuerza axil para la que el material está hecho.

Pero la tracción no es constante a lo largo del cable, y esto confunde a más estudiantes que cualquier otro punto. La componente horizontal H = 250 kN es constante, la misma en cada tramo, porque nada aplica una fuerza horizontal entre los anclajes. La tracción total es la resultante de esa H constante y el cortante vertical que toma el cable, que crece desde cero en el punto más bajo hasta la reacción completa en los anclajes. Así que la tracción es mínima en el punto más bajo, donde vale H = 250 kN, y máxima en los anclajes, donde alcanza √(250² + 100²) = 269 kN. El cable también es más largo que la luz: con esta flecha mide alrededor de 20,52 m de cable para cruzar 20 m de vano. Un cable siempre está más solicitado donde se encuentra con su apoyo.

La fórmula H = wL²/(8d) esconde una decisión de diseño que tiene consecuencias en toda estructura de cable real. La tracción es inversamente proporcional a la flecha. Mantén fijas la luz y la carga, y la única variable libre es cuán profundo dejas colgar el cable, y esa sola elección fija la fuerza en el cable y la fuerza sobre los anclajes.

Ponle números con el cable parabólico de arriba, w = 10 kN/m sobre L = 20 m. Con una flecha profunda de d = 4 m, la tracción es H = 10 × 20² / (8 × 4) = 125 kN. Reduce la flecha a la mitad, a d = 2 m, y la tracción se duplica a 250 kN. Redúcela otra vez a la mitad, a d = 1 m, y se duplica de nuevo a 500 kN. La regla es exactamente así de contundente: reduce la flecha a la mitad, duplicas la tracción. Lleva la lógica al límite y deja que la flecha tienda a cero, y H tiende a infinito: un cable perfectamente recto no puede tomar ninguna carga transversal, y por eso ninguna tracción, por grande que sea, dejará un tendedero plano.

Así que la flecha no es una ocurrencia estética de último momento, es la perilla estructural principal. Un cable rebajado y elegante se ve liviano pero castiga sus anclajes y solicita sus propios cordones. Una flecha profunda es benévola con todo pero se come la altura libre, necesita torres más altas y alarga el cable. Todo puente colgante, toda cubierta de cables, todo tensor es un punto elegido sobre este compromiso, y el ingeniero que escoge la flecha en realidad está escogiendo la tracción.

La parábola responde la pregunta del puente colgante, donde el peso del tablero empequeñece al cable y cuelga por metro horizontal. Pero un cable desnudo, una cadena, una línea de transmisión, un tensor poco cargado, soporta sobre todo su propio peso, y el peso propio es uniforme por unidad de longitud a lo largo del cable, no por metro horizontal. El cable de más en las partes empinadas cerca de los anclajes suma peso allí, así que la forma verdadera no es una parábola sino la catenaria, del latín catena, cadena.

La catenaria es la curva y = a·cosh(x/a), donde a = H/w es el único parámetro que fija toda su geometría, medida desde el punto más bajo. Su ley de tracción es de una simpleza hermosa: la tracción en cualquier punto es T = w·y, proporcional a la altura de ese punto sobre el nivel donde la tracción sería puramente horizontal. Así que la tracción es mínima en el fondo y crece con la altura hacia los anclajes, y nunca involucra una raíz cuadrada ni un cálculo de cortante.

Resolvamos un ejemplo. Toma L = 20 m, un cable de peso propio w = 1 kN/m, y elige el parámetro a = 10 m. Entonces la tracción horizontal es H = w·a = 10 kN de inmediato. La flecha se sigue de la forma, d = a·(cosh(L/2a) − 1) = 10 × (cosh(1) − 1) = 5,43 m, un colgado profundo. La tracción es 10 kN en el punto más bajo (igual a H) y sube a T = w·y en los extremos superiores, √(10² + 11,75²) = 15,43 kN, la mitad más que en el fondo. La longitud propia del cable es S = 2a·sinh(L/2a) = 23,50 m para cruzar un vano de 20 m. El motor de CalcSteel, con los nodos ubicados sobre la catenaria exacta y el peso propio concentrado por longitud de arco, devuelve H = 10 kN, una tracción en el apoyo de 15,43 kN, y flexión despreciable, confirmando cada número.

Los estudiantes suelen preguntar cuál curva es la correcta, como si una fuera la verdad y la otra un error. Ambas son exactas, para cargas distintas. La parábola es exacta cuando la carga es uniforme por longitud horizontal. La catenaria es exacta cuando la carga es uniforme por longitud de arco, que es lo que es el peso propio. Un cable que a la vez está cargado por un tablero y es pesado en sí mismo queda en algún lugar entre las dos. Así que la pregunta honesta no es cuál es la correcta sino cuán separadas están, y eso depende casi por completo de la flecha.

Compara las dos con igual luz e igual flecha bajo el mismo peso propio, y los números son decisivos. Con una relación flecha/luz de 1/20, rebajada, la tracción de la catenaria y la de la parábola difieren en apenas 0,3%. En 1/10, la flecha de trabajo de la mayoría de los cables estructurales, la brecha es de alrededor de 1,3%. En 1/8 es de 2%. Solo cuando el cable cuelga profundo la diferencia se vuelve real: 4,7% en 1/5, y 6,9% en 1/4, el colgado profundo de nuestro ejemplo de catenaria.

Eso da una regla práctica limpia. Para un cable rebajado, con flecha no mayor a un décimo de la luz, la parábola y la catenaria coinciden dentro de aproximadamente un por ciento, y el álgebra simple de la parábola es del todo suficiente para el diseño. Para un colgado profundo, una cadena tendida libremente, una línea floja, un festón decorativo, usa la catenaria, porque el peso de más en los flancos empinados cambia de verdad tanto la forma como la tracción. Los cables estructurales rebajados son parábolas a todos los efectos prácticos; las cadenas colgantes profundas son catenarias de verdad.

Todo el método se reduce a una consulta: halla el momento flector de la viga simplemente apoyada en la posición del punto más bajo, luego divide por la flecha. Todo lo demás es aritmética. La calculadora gratuita de cortante y momento de CalcSteel que está abajo te da ese momento directamente. Fija la luz, coloca las mismas cargas verticales que soporta el cable, y lee M_c directamente del diagrama de momento flector en la posición horizontal del punto más bajo. Entonces H = M_c / d.

Reproduce el ejemplo 1 para tomarle la mano: una luz de 20 m simplemente apoyada con una carga de 40 kN en el centro da M_c = 200 kN·m, y 200 / 5 = 40 kN de tracción. O reproduce el ejemplo 2: una luz de 20 m bajo 10 kN/m da M_c = 500 kN·m, así que H = 500 / 2 = 250 kN a 2 m de flecha. Una vez que tienes H, la tracción máxima en el anclaje es simplemente la resultante de H y la reacción de extremo V, y la tracción mínima en el punto más bajo es la propia H. La calculadora es el solucionador real, no una vista previa, y corre en tu navegador sin necesidad de iniciar sesión para el cálculo.

Todo lo anterior ha venido siguiendo la sombra del arco a propósito, y ahora la razón es explícita. En 1675 Robert Hooke publicó el principio como un anagrama cuya solución dice: así como cuelga la línea flexible, así, pero invertido, se yergue el arco rígido. Cuelga una cadena entre dos puntos y encuentra, gratis, la funicular de su carga a tracción pura. Invierte esa curva exacta, congélala rígida, y tienes el arco ideal que toma la misma carga a compresión pura. La tracción se vuelve compresión, la tracción horizontal H se vuelve el empuje H, y la fórmula H = M_c / d es literalmente la misma fórmula, con la flecha del cable en el lugar de la flecha del arco.

Esto no es una metáfora, es una herramienta de diseño. Antoni Gaudi colgó cuerdas con pesos al revés para hallar las formas de compresión de la Sagrada Familia y de la cripta de la Colonia Guell, leyendo el arco ideal directamente del modelo colgante. La funicular de cualquier carga es a la vez la forma perfecta del cable e, invertida, la forma perfecta del arco, y por eso la parábola aparece como el cable de suspensión ideal e, invertida, como el arco ideal bajo un tablero uniforme.

La dualidad también trae la advertencia. El empuje de un arco debe descargar en una fundación que resista ser separada, o en un tirante entre los arranques. La tracción de un cable debe descargar en un anclaje que resista ser arrastrado hacia adentro, o en un puntal. La fuerza horizontal nunca desaparece en ninguno de los dos, porque es el mismísimo mecanismo que permite a una línea curva tomar carga transversal sin flexionar. Respeta la tracción y el cable es la estructura más liviana que puedes construir. Ignórala y los anclajes se mueven, la flecha se profundiza, y todo el conjunto pierde su forma.

Los cables ganan dondequiera que la tracción sea la forma eficiente de salvar una luz, porque una barra que solo tira no necesita material para resistir el pandeo y puede trenzarse con el acero de mayor resistencia que se fabrica. Los encuentras como los cables principales y las péndolas de los puentes colgantes y como los tirantes de los puentes atirantados; como los cables tendidos o radiales de las cubiertas de cables sobre estadios y arenas; como los vientos que estabilizan mástiles, torres y estructuras temporales; como líneas de transmisión tendidas entre torres, donde la flecha de la catenaria hay que verificarla frente al gálibo y frente a la tracción de más de una carga de hielo o una noche fría; y como los tendones que precomprimen el hormigón, un cable enterrado dentro de una viga.

Las ventajas se siguen de la tracción pura. Un cable es extremadamente liviano para la carga que soporta, usa el acero a plena resistencia sin penalización por pandeo, y es fácil de montar tirando de él en vez de izar una barra rígida hasta su sitio. Las desventajas son la otra cara de la flexibilidad. Un cable casi no tiene rigidez propia, así que se mueve: cambia de forma bajo carga móvil o asimétrica, se estira elásticamente, y puede galopar o flamear con el viento, y por eso las estructuras de cable reales se pretensan, se amortiguan o se rigidizan con un tablero. Y toda estructura de cable vive o muere por su anclaje, el detalle que tiene que atrapar la tracción incesante.

Una advertencia supera a todas las demás, y es la misma que el arco enseñó desde el otro lado: la tracción tiene que ir a algún lado. Debe entregarse a un anclaje lo bastante macizo para resistir ser arrastrado hacia adentro, o ser tomada por un tirante o un puntal que cierre la fuerza horizontal dentro de la estructura, igual que la cuerda de un arco cierra el empuje de su arco. Ignorar H es la falla clásica del cable: los anclajes se acercan poco a poco, la flecha crece, la tracción cambia, y la geometría de la que dependía todo el diseño se marcha sin hacer ruido.

Los cables son simples de resolver y fáciles de malinterpretar. Estas son las trampas que atrapan a estudiantes e ingenieros en ejercicio con más frecuencia.

• Creer que la tracción es constante. Solo la componente horizontal H es constante a lo largo del cable. La tracción total es mínima en el punto más bajo (igual a H) y máxima en los anclajes. Dimensiona el cable y el anclaje para la tracción en el apoyo, no en el centro de la luz.
• Usar la medida de carga equivocada. Una parábola es funicular para una carga por unidad de longitud horizontal; una catenaria para una carga por unidad de longitud de arco (el peso propio). Confundirlas pone el peso de los flancos empinados en el lugar equivocado. A los cables rebajados casi no les importa, a los profundos sí.
• Olvidar la tracción, o el anclaje. La tracción horizontal H nunca desaparece y a menudo es la fuerza más grande del problema. Debe ser resistida por un anclaje o un tirante. Este es el error más caro de todos con los cables.
• Creer que un cable más tenso es más seguro. Al revés. H = wL²/(8d), así que reducir la flecha aumenta la tracción. Un cable tenso como un tambor es un cable de alta tracción, y un cable con flecha nula necesita fuerza infinita.
• Esperar que un cable tome compresión o flexión. No puede. Si tu análisis pone un cable en compresión, el cable real se ha aflojado y ha salido de la estructura allí, lo que es un problema de geometría que tu modelo lineal no te mostrará.
• ¿Cómo lo modelo? Coloca los nodos sobre la forma funicular, articula ambos anclajes, y libera el momento en el punto más bajo para que la cadena sea un cable flexible y no un pórtico rígido. Un modelo isostático, con la liberación, da la tracción con exactitud e independiente de la sección, tal como es un cable real.

• Un cable soporta la carga a tracción pura, no puede tomar flexión ni compresión, y por lo tanto toma la forma funicular de su carga: un polígono para cargas puntuales, una parábola para carga uniforme por longitud horizontal, una catenaria para el peso propio.
• La tracción horizontal es H = M_c / d, la fórmula del empuje del arco en tracción, donde M_c es el momento de la viga simplemente apoyada en el punto más bajo y d es la flecha. Una carga de 40 kN en el centro de la luz de un cable de 20 m con 5 m de flecha da H = 40 kN, coincidiendo exactamente con el motor.
• La flecha fija la tracción: H = wL²/(8d), así que reducir la flecha a la mitad duplica la tracción. Una carga de 10 kN/m sobre 20 m tira con 250 kN a 2 m de flecha, 500 kN a 1 m, y necesitaría tracción infinita con flecha nula.
• La tracción no es constante: mínima en el punto más bajo (igual a H), máxima en los anclajes. El cable parabólico va de 250 kN en el centro de la luz a 269 kN en las torres, así que el anclaje es donde está más solicitado.
• La catenaria y la parábola coinciden dentro de aproximadamente 1% para cables rebajados (flecha menor a un décimo de la luz) y se separan en los colgados profundos (alrededor de 7% con flecha de un cuarto de la luz). Los cables estructurales rebajados son parábolas; las cadenas profundas son catenarias de verdad.
• Un cable es un arco puesto al revés (Hooke, y los modelos colgantes de Gaudi). La tracción nunca desaparece y debe descargar en un anclaje capaz o en un tirante, o los anclajes se acercan poco a poco y el cable pierde su forma.