NBR 8800 — Solicitacoes Combinadas (Flexo-compressao)

Verificacao de barras sob esforcos axiais e momentos fletores simultaneos — secao 5.6

A verificacao de barras submetidas a solicitacoes combinadas de forca axial e momentos fletores e uma das etapas mais criticas do dimensionamento em aco. A NBR 8800:2008, no item 5.6, adota as mesmas equacoes de interacao do AISC 360 (capitulo H), com amplificacao de momentos pelo metodo B1-B2 para considerar efeitos de segunda ordem.

1. Equacoes de Interacao (H1-1)

A norma define duas equacoes de interacao, selecionadas pelo nivel de solicitacao axial em relacao a resistencia de compressao:

Equacao 1 — quando $N_{Sd}/N_{c,Rd} \geq 0{,}2$

\frac{N_{Sd}}{N_{c,Rd}} + \frac{8}{9}\left(\frac{M_{x,Sd}}{M_{x,Rd}} + \frac{M_{y,Sd}}{M_{y,Rd}}\right) \leq 1{,}0

Equacao 2 — quando $N_{Sd}/N_{c,Rd} < 0{,}2$

\frac{N_{Sd}}{2\,N_{c,Rd}} + \frac{M_{x,Sd}}{M_{x,Rd}} + \frac{M_{y,Sd}}{M_{y,Rd}} \leq 1{,}0

Na equacao 1, o termo axial pesa mais (fator 8/9 nos momentos). Na equacao 2, com baixo esforco axial, os momentos pesam integralmente. A transicao em 0,2 evita descontinuidade na curva de resistencia.

Essas equacoes sao identicas as H1-1a e H1-1b do AISC 360. O Eurocode 3 usa fatores de interacao k_yy, k_yz, k_zy, k_zz — mais precisos, mas significativamente mais complexos.

2. Efeitos de Segunda Ordem

Os momentos fletores de projeto devem incluir os efeitos de segunda ordem: P-delta (efeito local, curvatura da barra) e P-Delta (efeito global, deslocamento lateral do andar). A NBR 8800 adota o metodo da amplificacao B1-B2:

M_{Sd} = B_1 \cdot M_{nt} + B_2 \cdot M_{lt}

Onde $M_{nt}$ e o momento de analise sem deslocamento lateral (no-translation) e $M_{lt}$ e o momento de analise com deslocamento lateral (lateral-translation).

3. Fator B1 — Amplificacao Local (P-delta)

B_1 = \frac{C_m}{1 - N_{Sd}/N_e} \geq 1{,}0

A carga critica de Euler $N_e$ para o plano de flexao considerado:

N_e = \frac{\pi^2 E I}{(K_1 L)^2}

Onde $K_1 \leq 1{,}0$ e o fator de comprimento efetivo para estrutura contraventada.

Coeficiente $C_m$

Para barras sem cargas transversais entre apoios:

C_m = 0{,}6 - 0{,}4\left(\frac{M_1}{M_2}\right)

Onde $M_1/M_2$ e a razao dos menores e maiores momentos nas extremidades, positiva para curvatura reversa e negativa para curvatura simples.

Condicao	$C_m$	Observacao
Sem carga transversal, $M_1/M_2 = -1$	1,0	Curvatura simples uniforme
Sem carga transversal, $M_1/M_2 = 0$	0,6	Momento em uma extremidade
Sem carga transversal, $M_1/M_2 = +1$	0,2	Curvatura reversa simetrica
Com carga transversal	1,0	Conservador (pode refinar)

4. Fator B2 — Amplificacao Global (P-Delta)

B_2 = \frac{1}{1 - \displaystyle\frac{\sum N_{Sd}}{\sum N_e}}

Onde $\sum N_{Sd}$ e a soma de todas as forcas axiais do andar e $\sum N_e$ a soma das cargas criticas de Euler de todos os pilares do andar.

Tipo de Estrutura	$B_2$	Observacao
Contraventada	1,0	Sem deslocamento lateral
Nao-contraventada	Calculado	Sempre > 1,0
Metodo aproximado	$\leq 1{,}4$	Limite para usar B1-B2

Se B2 > 1,4 pelo metodo aproximado, deve-se utilizar analise de segunda ordem rigorosa (P-Delta computacional).

5. Exemplo Resolvido

Pilar W 310x97, aco A572 Gr 50 ( $f_y = 345\;\text{MPa}$ ), comprimento $L = 7{,}0\;\text{m}$ . Estrutura contraventada no eixo forte ( $K_x = 0{,}80$ ), nao-contraventada no eixo fraco ( $K_y = 1{,}0$ ).

Solicitacoes: $N_{Sd} = 1200\;\text{kN}$ , $M_{x} = 220\;\text{kN{\cdot}m}$ (momento na base, zero no topo), $M_{y} = 35\;\text{kN{\cdot}m}$ . Estrutura contraventada: $B_2 = 1{,}0$ .

Parte A — Compressao

Indice de esbeltez governante: $KL/r_y = 1{,}0 \times 7000/76{,}7 = 91{,}3$ .

\lambda_0 = \frac{KL/r}{\pi}\sqrt{\frac{f_y}{E}} = \frac{91{,}3}{\pi}\sqrt{\frac{345}{200000}} = 1{,}208

Fator de reducao: $\chi = 0{,}543$ . Resistencia de compressao:

N_{c,Rd} = \frac{\chi \, A_g \, f_y}{\gamma_{a1}} = \frac{0{,}543 \times 12300 \times 345}{1{,}10 \times 10^3} = 2094\;\text{kN}

Parte B — Flexao eixo forte

Comprimento nao-travado: $L_b = 7{,}0\;\text{m}$ . Comprimentos de referencia: $L_p = 3{,}25\;\text{m}$ , $L_r \approx 11{,}3\;\text{m}$ . Como $L_p < L_b < L_r$ , ocorre FLT inelastica.

Fator de modificacao do diagrama: $C_b = 1{,}667$ (momento linear, zero em uma extremidade). Resistencia limitada por $M_{pl}/\gamma_{a1}$ :

M_{x,Rd} = \min\left(M_{FLT},\; \frac{M_{pl}}{\gamma_{a1}}\right) = \frac{1591 \times 10^3 \times 345}{1{,}10 \times 10^6} = 498{,}7\;\text{kN{\cdot}m}

Parte C — Flexao eixo fraco

M_{y,Rd} = \frac{Z_y \, f_y}{\gamma_{a1}} = \frac{743 \times 10^3 \times 345}{1{,}10 \times 10^6} = 233{,}0\;\text{kN{\cdot}m}

Parte D — Amplificacao dos Momentos

Eixo forte: $C_m = 0{,}6$ (momento zero no topo, $M_1/M_2 = 0$ ). $N_{Sd}/N_{e,x} = 1200/13950 = 0{,}086$ .

B_{1,x} = \frac{0{,}6}{1 - 0{,}086} = 0{,}656 \Rightarrow B_{1,x} = 1{,}0 \;(\geq 1{,}0)

Eixo fraco: $N_{Sd}/N_{e,y} = 1200/2920 = 0{,}411$ .

B_{1,y} = \frac{1{,}0}{1 - 0{,}411} = 1{,}70

Momentos amplificados: $M_{x,Sd} = 1{,}0 \times 220 = 220\;\text{kN{\cdot}m}$ , $M_{y,Sd} = 1{,}70 \times 35 = 59{,}5\;\text{kN{\cdot}m}$ .

Parte E — Verificacao de Interacao

Razao axial: $N_{Sd}/N_{c,Rd} = 1200/2094 = 0{,}573 \geq 0{,}2$ — usa Equacao 1:

0{,}573 + \frac{8}{9}\left(\frac{220}{498{,}7} + \frac{59{,}5}{233{,}0}\right) = 0{,}573 + 0{,}889 \times (0{,}441 + 0{,}255)

= 0{,}573 + 0{,}619 = \mathbf{1{,}192 > 1{,}0 \;\;\Rightarrow\;\; FALHA!}

O pilar nao atende a verificacao. O eixo fraco e critico: esbeltez alta e amplificacao B1,y = 1,70.

Solucao — Travamento Lateral a Meia Altura

Adicionando contraventamento a meia altura: $L_y = 3{,}5\;\text{m}$ , $KL/r_y = 45{,}6$ , $\chi = 0{,}857$ .

N_{c,Rd} = \frac{0{,}857 \times 12300 \times 345}{1{,}10 \times 10^3} = 3306\;\text{kN}

Novo B1,y: $N_{e,y} = 4 \times 2920 = 11680\;\text{kN}$ , $B_{1,y} = 1{,}0/(1 - 1200/11680) = 1{,}115$ . $M_{y,Sd} = 1{,}115 \times 35 = 39{,}0\;\text{kN{\cdot}m}$ .

\frac{1200}{3306} + \frac{8}{9}\left(\frac{220}{498{,}7} + \frac{39{,}0}{233{,}0}\right) = 0{,}363 + 0{,}889 \times (0{,}441 + 0{,}167)

= 0{,}363 + 0{,}541 = \mathbf{0{,}904 \leq 1{,}0 \;\;\checkmark}

6. Flexo-tracao

Para barras sob forca de tracao combinada com momentos fletores, utilizam-se as mesmas equacoes de interacao, substituindo $N_{c,Rd}$ por $N_{t,Rd}$ (resistencia a tracao). O fator $B_1 = 1{,}0$ sempre, pois a tracao reduz os efeitos de segunda ordem (a barra tende a se retificar em vez de flambar).

7. Comparacao Internacional

Aspecto	NBR 8800 / AISC	Eurocode 3
Equacoes de interacao	2 (H1-1a, H1-1b)	2 (6.61, 6.62) com fatores k
Fatores de interacao	Nenhum (equacao direta)	$k_{yy}, k_{yz}, k_{zy}, k_{zz}$
Segunda ordem	B1-B2 (amplificacao)	Incluido nos fatores k
Complexidade	Simples, conservador	Preciso, trabalhoso
Curvas de flambagem	1 curva unica	5 curvas (a0, a, b, c, d)

8. Checklist de Verificacao

Verificar compressao isolada: $N_{c,Rd}$ com $\chi$ e esbeltez governante
Verificar flexao isolada em ambos os eixos: $M_{x,Rd}$ e $M_{y,Rd}$
Calcular fatores de amplificacao $B_1$ (e $B_2$ se nao-contraventada)
Amplificar momentos: $M_{Sd} = B_1 M_{nt} + B_2 M_{lt}$
Aplicar equacao de interacao (1 ou 2 conforme $N_{Sd}/N_{c,Rd}$ )

Erros Comuns

Erro	Consequencia
Esquecer amplificacao B1	Momentos subestimados, verificacao insegura
Usar K > 1 no B1	B1 calculado incorretamente (K1 sempre ≤ 1,0)
Confundir Mnt e Mlt	Amplificacao aplicada ao momento errado
Ignorar eixo fraco	Esbeltez alta no eixo fraco frequentemente governa
Usar Eq. 1 quando deveria usar Eq. 2	Resultado errado (conservador ou inseguro)

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