Flux de Cisaillement dans les Poutres Composées : Dimensionner la Soudure qui Tient la Poutre Reconstituée

Une poutre reconstituée n'est pas laminée. Elle est fabriquée : deux tôles de semelle et une tôle d'âme, soudées en un seul profil en I de grande hauteur, pour porter plus loin et plus lourd que n'importe quel profilé laminé du catalogue. Toute l'idée ne tient que si les trois tôles agissent comme un seul élément, et ce qui les force à agir ensemble, c'est la paire de soudures qui courent le long de chaque jonction semelle-âme. Dimensionnez mal ces soudures et la poutre soit se délamine en trois tôles indépendantes, soit, plus souvent, gaspille du métal d'apport à la tonne.

La grandeur qui les dimensionne est le flux de cisaillement, q = VQ/I. Tout cours de résistance des matériaux l'enseigne, en général avec l'image de planches qui glissent l'une sur l'autre, puis pose un exercice qui se termine par une taille de soudure ou un espacement de clous. Cet article fait le même calcul, mais sur une vraie poutre reconstituée soudée passée dans le moteur CalcSteel, et rapporte ce que le moteur renvoie réellement. La chute vaut la peine d'être annoncée d'emblée : le cordon d'angle exigé par le flux de cisaillement ressort à moins d'un millimètre, bien en dessous de toute soudure physiquement réalisable. Ce sont la règle du cordon minimal, une charge de roue ou la fatigue qui gouvernent vraiment. Savoir lequel, et pourquoi, fait la différence entre un détail de poutre juste et un détail simplement gorgé de soudure.

Quand une poutre fléchit, la contrainte de flexion varie sur sa hauteur : plus grande près des semelles, nulle sur l'axe neutre. Comme cette contrainte change d'une section à la suivante le long de la portée, la partie supérieure de la poutre est poussée plus fort sur une face que sur l'autre, et elle glisserait par rapport à la partie inférieure si rien ne les retenait. Dans une poutre laminée pleine, l'acier lui-même résiste à ce glissement. Dans un élément composé, ce sont les organes d'assemblage qui le font, et l'intensité de la force de glissement qu'ils doivent reprendre est le flux de cisaillement :

q = V Q / I.

Ici V est l'effort tranchant à la section, I est le moment d'inertie de toute la section composée par rapport à son axe neutre, et Q est le moment statique de la partie assemblée, pris par rapport à ce même axe neutre. Le résultat q a pour unité une force par unité de longueur, des newtons par millimètre ou des kilonewtons par mètre, qui se trouvent être numériquement identiques. Cette unité est l'indice. La contrainte de cisaillement est une force par unité de surface ; le flux de cisaillement est une force par unité de longueur, car c'est une contrainte déjà multipliée sur l'épaisseur du joint. Quand une formule vous rend des N/mm, elle demande combien de soudure ou combien de boulons il faut par mètre d'élément, pas quelle contrainte voit l'acier.

Il vaut la peine d'être précis sur la physique, car la même idée servira plus loin pour les boulons, les couvre-joints et les fers en U de coiffe. Prenez deux sections voisines séparées d'une petite distance. La semelle entre elles reprend une force de flexion un peu plus grande à une section qu'à l'autre, et la différence doit bien aller quelque part. Elle s'écoule vers l'âme à travers la coupure horizontale où la semelle rencontre l'âme. Cette force horizontale, divisée par la longueur sur laquelle elle agit, est le flux de cisaillement.

Deux conséquences en découlent. D'abord, le flux de cisaillement n'existe que là où il y a une variation de flexion, et le taux de variation du moment fléchissant est précisément l'effort tranchant V. Pas de cisaillement, pas de flux : au point de moment maximal, où V passe par zéro, le flux de cisaillement à la semelle est nul alors même que la contrainte de flexion est à son maximum. Ensuite, le cisaillement horizontal sur cette coupure est équilibré par un cisaillement vertical égal sur la face perpendiculaire, le cisaillement complémentaire qui apparaît sous la forme de la contrainte de cisaillement VQ/It bien connue dans l'âme. Le flux de cisaillement et la contrainte de cisaillement sont le même phénomène lu de deux façons : q est ce que ressent l'organe d'assemblage, VQ/It est ce que ressent le matériau. Pour l'image complète de la variation de V et du moment le long d'une portée, le guide compagnon sur les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant est le point de départ.

Tout dans q = VQ/I est sans ambiguïté sauf Q, et c'est dans Q que vivent la plupart des erreurs. Q est le moment statique de la matière située d'un côté de la coupure que vous vérifiez, pris par rapport à l'axe neutre de toute la section. La coupure est le joint que vous concevez. Pour une soudure de poutre reconstituée, vous coupez à la ligne semelle-âme, donc Q est le moment statique de la seule semelle :

Q = A' y-barre = (aire de la semelle) x (distance du centre de gravité de la semelle à l'axe neutre).

Ce n'est pas le Q qui donne la contrainte de cisaillement maximale. La plus grande contrainte de cisaillement dans l'âme utilise le Q pris à l'axe neutre, qui inclut la semelle plus la moitié de l'âme et qui est plus grand. Introduisez ce Q plus grand dans un calcul de soudure et vous surdimensionnez la soudure : il appartient à la vérification de contrainte de l'âme, pas à l'organe d'assemblage de la semelle. La règle est simple et sans pardon : Q est toujours le moment statique de la pièce située du côté opposé du joint que vous assemblez. Vous assemblez un couvre-joint, prenez le Q du couvre-joint. Vous assemblez un fer en U de coiffe, prenez le Q du profil. Vous assemblez une semelle, prenez le Q de la semelle. Faites la bonne coupure et le reste n'est que de l'arithmétique.

Les nombres rendent tout cela concret. Prenez une poutre reconstituée soudée bâtie à partir d'une tôle d'âme 1000 x 10 mm et de deux tôles de semelle 300 x 20 mm, ce qui donne une hauteur totale de 1040 mm. Assemblée, c'est une section que le moteur CalcSteel rapporte comme A = 220 cm2, moment d'inertie I = 395 493 cm4 et module de flexion Sx = 7606 cm3. Le moment statique d'une semelle par rapport à l'axe neutre vaut Q = A' y-barre = (300 x 20) x 510 = 3060 cm3, le centre de gravité de la semelle se trouvant à 510 mm de l'axe neutre.

Faites-la porter sur 12 m, sur deux appuis, sous une charge uniforme de service de 60 kN/m, le genre de charge que verrait une poutre de transfert sous une file de poteaux. Le moteur résout la poutre et renvoie un effort tranchant d'appui V = 360 kN, un moment à mi-portée M = 1080 kN.m et une flèche à mi-portée de 20,5 mm, soit la portée divisée par 586, confortablement à l'intérieur d'une limite de service. La contrainte de flexion de pointe vaut M/Sx = 142 MPa. Chacun de ces nombres coïncide à trois décimales avec la vérification manuelle en forme fermée : wL/2 pour l'effort tranchant, wL au carré sur 8 pour le moment, et 5wL puissance quatre sur 384EI pour la flèche. Cet accord compte, car l'effort tranchant qui pilote la soudure est le même V que le moteur vient de confirmer.

La section et l'effort tranchant en main, le flux de cisaillement à la jonction semelle-âme tient en une ligne :

q = V Q / I = (360 000 N)(3 060 000 mm3) / (3 954 930 000 mm4) = 278,5 N/mm.

Gardez les unités honnêtes et cela tombe proprement : des newtons fois des millimètres cubes sur des millimètres puissance quatre font des newtons par millimètre. Ainsi à chaque appui, les deux semelles déversent chacune 278,5 N/mm, soit 278,5 kN/m, dans l'âme. C'est toute la sollicitation sur la soudure de semelle. Notez de quoi elle est faite : l'effort tranchant du moteur, 360 kN, et la géométrie propre de la section, Q et I. Changez la charge et V change ; changez les tôles et Q et I changent ; la sollicitation de la soudure suit les deux. C'est le nombre auquel toute soudure de poutre reconstituée est dimensionnée, et la section suivante dimensionne la soudure pour le reprendre.

La semelle est réunie à l'âme par deux cordons d'angle, un de chaque côté de l'âme. Ils se partagent le flux, chaque soudure reprenant donc 278,5 / 2 = 139,3 N/mm. La résistance par unité de longueur d'un cordon d'angle est sa gorge fois la résistance au cisaillement du métal d'apport ; la gorge vaut 0,707 fois le côté. Avec l'AISC et une électrode E70, la résistance de calcul par millimètre de côté est 0,75 x 0,60 x 483 x 0,707 = 154 N/mm par mm de côté. En égalant cela à la sollicitation :

côté = 139,3 / 154 = 0,91 mm.

Refaites la même vérification selon l'Eurocode 3 et le côté requis est de 0,78 mm. Les deux réponses sont sous le millimètre. Vous ne pouvez pas déposer un cordon d'angle aussi petit, et aucune norme ne l'autoriserait. Le cordon d'angle minimal pour une âme de 10 mm, la partie la plus mince assemblée, est de 5 mm selon le tableau J2.4 de l'AISC. Une paire de cordons d'angle de 5 mm reprend environ 1535 N/mm, si bien que le flux de cisaillement de 278,5 N/mm n'utilise que 18% de la plus petite soudure que vous ayez le droit de spécifier. Voilà la révélation, et ce n'est pas une bizarrerie de cet exemple : pour presque toute poutre reconstituée, le flux de cisaillement statique laisse la soudure de semelle inoccupée. La soudure existe, et elle est continue, mais ce n'est pas le flux de cisaillement qui l'a dimensionnée.

Le flux de cisaillement n'est pas constant le long de la portée, car V ne l'est pas. Pour la poutre sur deux appuis, V est maximal aux appuis et décroît linéairement jusqu'à zéro à mi-portée, donc le flux de cisaillement de la semelle fait de même : 278,5 N/mm à chaque appui, 139,3 N/mm aux quarts de portée où V = 180 kN, et zéro à mi-portée où V = 0. La soudure travaille le plus dur aux extrémités et ne fait presque rien dans le tiers central.

Cela a deux conséquences pratiques. D'abord, c'est pourquoi les cordons d'angle intermittents, de courts tronçons de soudure espacés, et les cadences de soudure dégressives sont légitimes et économiques : vous pouvez mettre une soudure continue près des appuis et une soudure par points dans la zone centrale à faible cisaillement, pourvu que l'espacement des points satisfasse au flux local et aux règles de longueur minimale. Ensuite, cela déjoue une intuition. Le milieu de la portée est là où la contrainte de flexion et la flèche sont maximales, si bien qu'il paraît être la partie active de la poutre. Pour la soudure de semelle, c'est la partie la plus tranquille. La soudure culmine au-dessus des appuis, là où le moment est nul. Le flux de cisaillement répond à V, et V est la pente du moment, pas le moment lui-même.

Si le flux de cisaillement utilise 18% de la soudure minimale, qu'est-ce qui fait le dimensionnement ? Trois choses, à peu près dans cet ordre.

Le cordon d'angle minimal. Pour la plupart des poutres reconstituées sous charge répartie, la réponse est simplement le cordon d'angle continu minimal normatif, dicté par les épaisseurs des tôles via le tableau J2.4 de l'AISC ou les règles de disposition de l'Eurocode, et non par un calcul de force. Un cordon d'angle continu de 5 mm ou 6 mm est spécifié parce que c'est la plus petite soudure saine pour ces tôles, et il est largement résistant.

Une charge transversale locale sur la semelle. L'histoire change dès que quelque chose porte directement sur la semelle au droit de l'âme. Une poutre de roulement de pont roulant est le cas classique : une roue roule le long de la semelle supérieure, et la charge de roue doit s'écouler à travers la soudure semelle-âme jusque dans l'âme. Ce flux vertical s'ajoute au flux de cisaillement horizontal comme un vecteur. Prenez une roue de 150 kN dispersée sur environ 50 mm d'âme, une vérification locale de type Design Guide 7, et le flux vertical vaut environ 3000 N/mm. Combiné aux 139,3 N/mm de flux horizontal, la résultante par soudure vaut environ 1506 N/mm, ce qui exige un côté de 9,8 mm. Maintenant la soudure est réellement dimensionnée, par la roue, et non par q seul. Voilà pourquoi les soudures de semelle des poutres de roulement sont lourdes et continues tandis que celles des poutres ordinaires sont des minimums.

La fatigue. Tout ce qui subit des cycles, poutres de roulement, poutres de pont, supports de machines, est en général gouverné non par la résistance statique du tout mais par la catégorie de fatigue du détail semelle-âme. Un cordon d'angle continu automatique est un meilleur détail de fatigue qu'une soudure par points, ce qui est une raison de plus pour qu'une poutre de roulement peu chargée reçoive tout de même une soudure continue. Pour la question connexe de ce dont l'âme a besoin là où une charge se pose sur elle, voyez les raidisseurs d'âme sous charge concentrée.

Le flux de cisaillement justifie son statut de critère de dimensionnement dans l'autre famille d'éléments composés : ceux tenus par des organes d'assemblage discrets plutôt que par une soudure continue. Là, le même q, mais désormais réparti entre organes individuels, fixe directement l'espacement. Si chaque ligne d'organes offre une capacité R et qu'il y a n plans de cisaillement par position, le pas des organes d'assemblage vaut :

s = n R / q.

Prenez la même poutre, mais imaginez les semelles boulonnées à l'âme au travers de cornières plutôt que soudées, comme on bâtissait les poutres reconstituées rivetées pendant un siècle. Avec des boulons M20 classe 8.8 en simple cisaillement, environ 94 kN chacun, et deux plans à la jonction, le pas que le flux de cisaillement autorise vaut s = 2 x 94,1 / 0,279 = 676 mm. Dans cette poutre, même cela est généreux : l'espacement maximal normatif pour empêcher les tôles de flamber entre organes d'assemblage tourne autour de 140 mm, si bien que c'est encore la règle de disposition qui l'emporte. Mais réduisez la section, éloignez la pièce assemblée de l'axe neutre pour que son Q augmente, ou descendez à un organe de faible capacité comme un rivet ou un clou, et s = nR/q tombe sur un espacement réel et serré. C'est le régime de la poutre composée en bois, du caisson cloué et de la poutre rivetée historique, où les organes d'assemblage se succèdent le long de la semelle à 75 ou 150 mm précisément parce que le flux de cisaillement l'a exigé. Pour la résistance des boulons eux-mêmes dans la tôle assemblée, les guides sur la pression diamétrale et l'arrachement des boulons et sur l'effet de levier vont plus loin.

• Utiliser le Q de l'axe neutre pour une soudure de semelle. Le Q qui maximise la contrainte de cisaillement de l'âme inclut la moitié de l'âme et est plus grand. Il appartient à la vérification de contrainte VQ/It, pas à l'organe d'assemblage. Pour la soudure, utilisez le moment statique de la seule semelle.
• Oublier que les organes d'assemblage se partagent le flux. Deux soudures de semelle reprennent q ensemble, chacune voit donc q/2. Dimensionnez chacune pour le q complet et vous doublez la soudure. Avec quatre lignes de boulons, chacune voit q/4.
• Dimensionner sur l'effort tranchant de mi-portée. Le flux de cisaillement est maximal aux appuis, là où V est maximal, et nul à mi-portée. Vérifiez la soudure là où V culmine, pas là où le moment culmine.
• Mélanger force par longueur et force par surface. q est en N/mm, une intensité linéique ; VQ/It est en N/mm au carré, une contrainte. Ils proviennent du même VQ mais répondent à des questions différentes. Si votre calcul de soudure charrie une contrainte, quelque chose cloche.
• Supposer que q gouverne toujours. Pour une poutre reconstituée soudée, ce n'est en général pas le cas : c'est le cordon d'angle minimal, une charge concentrée ou la fatigue qui gouverne. Calculez q, puis confrontez-le au minimum et à toute charge transversale locale avant de croire qu'il a dimensionné quoi que ce soit.

La même séquence fonctionne que l'organe d'assemblage soit une soudure, un groupe de boulons, une ligne de rivets ou une rangée de clous.

1. Trouvez V à la section. Lisez l'effort tranchant depuis l'analyse, et confrontez-le à wL/2 ou à la réaction. C'est la seule donnée qui dépend de la charge.
2. Prenez le bon Q. Le moment statique de la pièce située du côté opposé du joint, par rapport à l'axe neutre de toute la section. La semelle pour une soudure de semelle, le couvre-joint pour un couvre-joint.
3. Utilisez le I assemblé. Le moment d'inertie de la section composée complète, pas d'une seule tôle.
4. Calculez q = VQ/I et répartissez entre les organes d'assemblage. Deux soudures, n plans de boulons : chacun reprend sa part.
5. Dimensionnez, puis confrontez à la réalité. Obtenez le côté de la soudure ou le pas des boulons, puis comparez-le au cordon d'angle minimal ou à l'espacement maximal normatif, et à toute sollicitation transversale locale ou de fatigue. Spécifiez celui qui gouverne, et dites lequel c'est.

Le flux de cisaillement n'est jamais qu'à un pas du diagramme d'effort tranchant : une fois que vous connaissez V à une section, q = VQ/I n'est que de l'arithmétique. Le calculateur ci-dessous est l'outil de diagramme d'effort tranchant et de moment fléchissant de CalcSteel, gratuit et sans connexion pour le calcul. Saisissez votre portée et vos charges, lisez V là où l'organe d'assemblage vous intéresse, puis multipliez par le Q de votre section et divisez par I pour obtenir le flux en N/mm, et de là le côté de la soudure ou le pas des boulons.

À partir d'ici, les voisins à lire sont le guide des diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant pour l'origine de V, le module de flexion pour la vérification de cette même poutre en flexion, et les raidisseurs d'âme pour ce qui se passe là où une charge se pose sur l'âme. Le flux de cisaillement est le fil discret qui les traverse tous : la force par unité de longueur qui transforme un empilement de tôles en un seul élément.