Rosettes de jauges : lire une vraie jauge sur un élément en acier chargé

Collez une jauge de déformation à film sur la semelle d'une poutre en acier chargée, lisez le pont, et vous obtenez un seul nombre : la microdéformation selon la direction où pointe la grille. Ce nombre a l'air d'une réponse, mais pris isolément il est presque inutile pour la contrainte. L'acier en ce point est dans un état bidimensionnel, et une seule lecture ne peut pas séparer la part de la déformation qui étire le long de l'élément, la part de la compression de Poisson qui l'écrase en travers, et la part de cisaillement qui fait glisser la surface. Trois grandeurs, une mesure.

La solution est ancienne, économique et présente partout dans un laboratoire d'essai : placer trois jauges à trois angles connus au même point et lire les trois. Cet amas est une rosette de jauges. Avec trois lectures, vous pouvez résoudre les trois inconnues de l'état de déformation de surface, tourner vers les directions principales, et seulement alors convertir en contrainte. C'est le pont entre ce qu'un instrument peut mesurer, la déformation, et ce qu'une norme vérifie, la contrainte.

Ce guide est écrit pour trois lecteurs à la fois. Si vous êtes étudiant et découvrez les rosettes dans un cours de résistance des matériaux, c'est le chapitre qui se réduit souvent à une seule diapositive dense de trigonométrie. Si vous êtes ingénieur en exercice ou calculista indépendant validant un modèle face à un essai physique, voici comment transformer l'enregistreur de données en une contrainte comparable à votre analyse. Et si vous voulez juste la conclusion : sur un élément chargé, vous connaissez rarement les directions principales à l'avance, si bien qu'une jauge peut lire zéro là où la contrainte est la plus élevée.

Chaque nombre des exemples traités provient du moteur EF de CalcSteel exécutant une vraie poutre IPE 300, puis les contraintes de la théorie des poutres ont été passées dans les mathématiques de la rosette et inversées à rebours. La boucle s'est refermée à la troisième décimale, ce qui est tout l'intérêt de l'exercice : la jauge lit ce que l'analyse prédit, une fois la transformation faite correctement.

La surface d'un élément chargé est un problème d'état plan de contrainte : la face libre ne porte aucune contrainte à travers son épaisseur, si bien que l'état en un point est entièrement décrit par trois nombres dans le plan de surface. En termes de déformation, ce sont la déformation normale le long de l'axe de l'élément εx, la déformation normale en travers εy, et la distorsion de l'ingénieur γxy, la variation de l'angle droit entre ces deux directions.

Une jauge de déformation ne mesure directement aucune de ces grandeurs, sauf si vous parvenez à l'aligner parfaitement. Elle mesure la déformation normale le long de sa propre grille, quel que soit l'angle θ où cette grille se trouve. La loi de transformation relie les deux :

ε(θ) = εx cos²θ + εy sin²θ + γxy sinθ cosθ

Une jauge donne une équation à trois inconnues. Deux jauges donnent deux équations, toujours insuffisant. Trois jauges à trois angles distincts donnent trois équations indépendantes, et le système est alors résoluble pour εx, εy et γxy. C'est toute la raison pour laquelle une rosette a trois grilles et non deux ni quatre. Une quatrième jauge n'est parfois ajoutée que comme contrôle redondant, jamais parce que les mathématiques l'exigent.

Voyez ce que cela signifie physiquement. Si vous supposez que l'élément est en traction simple et collez une jauge le long de l'axe, vous pariez que εy et γxy ne comptent pas pour vous. Sur une semelle en flexion pure, ce pari se trouve payant. Sur une âme en cisaillement, il échoue complètement, comme le montre l'exemple ci-dessous, et rien dans la lecture unique ne vous avertit que le pari était mauvais.

Trois angles distincts quelconques fonctionnent en principe, mais les fabricants normalisent deux dispositions parce que leurs formules d'inversion sont propres et que leurs erreurs se comportent bien.

La rosette rectangulaire, 0 / 45 / 90

Trois grilles à 0, 45 et 90 degrés. C'est la bête de somme. Comme la jauge a se trouve sur l'axe x et la jauge c sur l'axe y, deux des trois inconnues tombent sans aucune algèbre : εx = εa et εy = εc. Seul le cisaillement a besoin de la lecture à 45 degrés. Utilisez-la lorsque vous avez une hypothèse raisonnable sur les directions principales, par exemple une jauge alignée avec l'axe d'une poutre ou d'un poteau, car la jauge a et la jauge c tombent alors près des valeurs principales.

La rosette delta, 0 / 60 / 120

Trois grilles à 0, 60 et 120 degrés, réparties uniformément autour du cercle. Elle n'a pas de direction privilégiée, c'est donc le choix honnête lorsque les directions principales sont réellement inconnues, près d'une soudure, d'un trou, d'un gousset, ou dans une zone de charge combinée. L'inversion demande un peu plus d'arithmétique, mais elle est symétrique et numériquement bien conditionnée.

Les deux se présentent comme des motifs empilés et serrés de quelques millimètres, de sorte que les trois grilles échantillonnent essentiellement le même point. Le choix entre elles porte sur ce que vous savez avant de coller la jauge, pas sur la précision. Notez l'ordre du câblage et la direction de référence de la jauge a sur la feuille d'essai, car chaque formule qui suit dépend de la grille physique que vous appelez a, b et c.

Tout dans cet article est une seule équation appliquée trois fois. Elle mérite une lecture attentive, car l'erreur de rosette la plus fréquente se cache à l'intérieur.

ε(θ) = εx cos²θ + εy sin²θ + γxy sinθ cosθ

• εx cos²θ projette la déformation normale axiale sur la direction de la jauge. À θ = 0 c'est tout εx ; à θ = 90 elle s'annule.
• εy sin²θ fait de même pour la déformation normale transversale. À θ = 90 c'est tout εy.
• γxy sinθ cosθ est la contribution du cisaillement. Elle est nulle à θ = 0 et θ = 90, et maximale à θ = 45. C'est pourquoi la jauge à 45 degrés est celle qui capte le cisaillement.

Le piège est la définition de γxy. Cette formule utilise la distorsion de l'ingénieur, la variation totale de l'angle droit. La déformation tensorielle de cisaillement utilisée dans le cercle de Mohr en est la moitié, εxy = γxy / 2. Confondez les deux et tout résultat de cisaillement est faux d'un facteur deux, silencieusement, car les deux nombres paraissent plausibles. Dans tout ce guide, γ est la distorsion de l'ingénieur, et le facteur un demi apparaît explicitement partout où le cercle en a besoin.

Une autre habitude à garder : ici les déformations sont exprimées en microdéformation, µε, c'est-à-dire en parties par million, 10⁻⁶. Une lecture de 750 µε est une déformation de 0,000750. L'acier plastifie à environ 1250 à 1750 µε selon la nuance, si bien qu'une rosette sur un élément en service reste dans la plage de quelques centaines de µε, ce qui correspond exactement à ce que montrent les exemples.

Écrivez la loi de transformation aux trois angles de la rosette 0/45/90 et l'algèbre disparaît presque.

À θ = 0 : εa = εx.
À θ = 90 : εc = εy.
À θ = 45 : εb = εx (½) + εy (½) + γxy (½) = (εx + εy)/2 + γxy/2.

Les deux premières donnent εx et εy gratuitement. Réarrangez la troisième pour le cisaillement :

γxy = 2εb − εa − εc

C'est toute l'inversion. Trois lectures en entrée, trois composantes de déformation en sortie, avec une soustraction. La raison pour laquelle la jauge à 45 degrés ne peut pas être supprimée est maintenant évidente : sans εb il n'y a aucun moyen d'atteindre γxy, et γxy est ce qui porte toute l'information de cisaillement.

Un contrôle rapide que vous pouvez faire sur n'importe quel jeu de données : si 2εb égale εa + εc, le cisaillement est nul et vos axes de jauge sont déjà les axes principaux. Sinon, la différence est le cisaillement, et les directions principales sont tournées par rapport à vos lignes de jauge.

La rosette delta répartit ses grilles à 0, 60 et 120 degrés. La jauge a se trouve toujours sur l'axe x, donc εx = εa comme avant. Les deux autres ont besoin de la loi de transformation avec cos²60 = ¼, sin²60 = ¾, et sinθ cosθ = ±√3/4 :

εb = ¼ εx + ¾ εy + (√3/4) γxy
εc = ¼ εx + ¾ εy − (√3/4) γxy

Additionnez les deux pour annuler le cisaillement, puis résolvez pour εy ; soustrayez-les pour isoler γxy :

εy = (2εb + 2εc − εa) / 3
γxy = 2(εb − εc) / √3

La symétrie fait tout l'attrait. La déformation transversale vient de la somme des deux jauges hors axe, le cisaillement de leur différence, et aucune des deux formules ne privilégie une direction. Cette impartialité explique pourquoi la disposition delta est le bon outil près d'un pied de soudure ou d'un gousset, où vous n'avez aucune hypothèse honnête sur l'orientation des axes principaux.

Avec εx, εy et γxy en main, l'état de déformation de surface est entièrement connu, et trouver ses valeurs principales est le même cercle de Mohr que vous utilisez déjà pour la contrainte, avec la déformation tensorielle de cisaillement εxy = γxy/2 sur l'axe vertical. Les déformations principales sont :

ε1,2 = (εx + εy)/2 ± √[ ((εx − εy)/2)² + (γxy/2)² ]

et l'angle depuis l'axe x jusqu'à la direction ε1 est :

tan 2θp = γxy / (εx − εy)

Le centre du cercle est la déformation normale moyenne, et son rayon est la plus grande déformation de cisaillement que voit le point, γmax/2. Les deux déformations principales sont les déformations normales extrêmes, et elles agissent sur des plans exempts de cisaillement. Pour l'acier, dont la surface n'a pas plastifié et reste élastique, ces déformations principales se traduisent directement en contraintes principales à l'étape suivante.

Vous pouvez ressentir toute la construction en déplaçant le curseur de cisaillement dans l'outil de cercle de Mohr ci-dessous et en regardant l'angle principal osciller. Quand γxy est nul, le cercle repose sur l'axe horizontal et les directions principales sont vos lignes de jauge. À mesure que le cisaillement augmente, le cercle se soulève et les axes principaux tournent vers 45 degrés, ce qui est exactement le cas de cisaillement pur que la jauge d'âme montrera.

Une rosette mesure la déformation, mais le dimensionnement s'écrit en contrainte. La surface élastique est en état plan de contrainte, si bien que les deux contraintes principales viennent des deux déformations principales par la loi de Hooke :

σ1 = E/(1 − ν²) · (ε1 + ν ε2)
σ2 = E/(1 − ν²) · (ε2 + ν ε1)

avec pour l'acier E = 200 GPa et ν = 0,30. Le terme de couplage ν ε2 compte : vous ne pouvez pas convertir chaque déformation principale en contrainte isolément, car une déformation dans une direction produit une contrainte dans les deux par l'effet de Poisson. Négligez le couplage et une semelle uniaxiale avec ε2 = −225 µε annoncerait un faux 45 MPa sur le second axe au lieu de zéro.

Une fois les contraintes principales connues, le nombre que vérifie réellement une norme acier est la contrainte équivalente de von Mises, qui pour un état plan de contrainte vaut :

σvm = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²)

Comparez σvm à la limite d'élasticité, 275 MPa pour l'acier S275 de l'exemple, et vous avez un taux de travail. C'est le même critère derrière les vérifications de norme dans le guide Cercle de Mohr et contrainte principale, atteint ici à partir d'une mesure physique plutôt que d'une contrainte calculée. Les trois points traités ci-dessous parcourent ce pipeline de bout en bout.

Prenez l'IPE 300 sur une travée de 6 m sous une charge uniforme de 18 kN/m. Le moteur CalcSteel renvoie un moment à mi-travée de 81.0 kNm avec un cisaillement nul en ce point, correspondant exactement à wL²/8. Collez une rosette rectangulaire sur la semelle inférieure à mi-travée, jauge a le long de l'axe de l'élément. Le module de section que le moteur utilise pour cette forme est Sx = 540 cm³, donc la contrainte de fibre est :

σx = M / Sx = 81.0 kNm / 540 cm³ = 150,0 MPa en traction, avec σy = 0 et τ = 0.

C'est un état uniaxial, donc les déformations sont εx = σx/E = 750 µε et εy = −ν εx = −225 µε. Passez-les dans la loi de transformation et les trois jauges lisent :

• Jauge a, 0 degrés : +750,3 µε, l'étirement axial complet.
• Jauge b, 45 degrés : +262,6 µε, la moyenne des deux déformations normales, (750,3 − 225,1)/2.
• Jauge c, 90 degrés : −225,1 µε, la contraction de Poisson en travers de la semelle, et elle est négative.

Inversez : γxy = 2(262,6) − 750,3 − (−225,1) = 0, donc les axes de jauge sont principaux, θp = 0. Les déformations principales sont simplement εa et εc, et la loi de Hooke donne σ1 = 150,0 MPa, σ2 = 0, von Mises 150,0 MPa, un taux de travail de 0,55 face au S275.

Deux leçons vivent dans ce point simple. D'abord, la jauge à 90 degrés lit une valeur négative alors même que la semelle est en traction, purement à cause de Poisson, et un lecteur qui l'oublie croira que la semelle est en compression sur sa largeur. Ensuite, le piège : si vous aviez collé une seule jauge et qu'elle s'était trouvée à 45 degrés, vous liriez 262,6 µε et, en multipliant par E, annonceriez 53 MPa. La contrainte réelle est 150 MPa. La jauge n'a pas tort. La lire comme si elle était alignée, voilà l'erreur.

Déplacez maintenant la jauge sur l'âme au niveau de l'axe neutre, directement au-dessus de l'appui. Ici le moteur renvoie l'effort tranchant maximal, V = 54 kN, égal à wL/2, et le moment fléchissant est nul. Au niveau de l'axe neutre, la contrainte de flexion est nulle par définition, donc l'état est un cisaillement pur. La contrainte de cisaillement de la poutre est τ = VQ/(I t), avec le moment statique du moteur Q = 301 × 10³ mm³, le moment d'inertie I = 8097 cm⁴ et l'épaisseur d'âme t = 7.1 mm :

τ = (54 kN)(301 × 10³ mm³) / (8097 cm⁴ × 7.1 mm) = 28,3 MPa, avec σx = σy = 0.

Un cisaillement pur signifie εx = 0 et εy = 0, et seul γxy = τ/G = 368 µε est non nul. Placez une rosette rectangulaire ici, jauge a le long de l'axe, et les lectures sont éloquentes :

• Jauge a, 0 degrés : 0 µε.
• Jauge b, 45 degrés : +183,8 µε, qui vaut γxy/2.
• Jauge c, 90 degrés : 0 µε.

Inversez : γxy = 2(183,8) − 0 − 0 = 367,6 µε. Les déformations principales sont ±183,8 µε à θp = 45 degrés, et la loi de Hooke donne des contraintes principales de +28,3 et −28,3 MPa, un von Mises de 49,0 MPa.

C'est l'exemple qui justifie tout l'instrument. Une seule jauge collée le long de l'axe de l'élément en ce point lit exactement zéro et vous dit que l'acier n'est pas chargé. Il l'est pourtant : les contraintes principales valent ±28 MPa et le matériau travaille. La contrainte se cache à 45 degrés, là où aucune jauge axiale ne regarde, et seule la rosette la trouve. Chaque fois que vous ne pouvez pas garantir où se situent les directions principales, une jauge peut lire zéro au pire point.

Le point le plus général porte flexion et cisaillement ensemble, et ses directions principales ne tombent ni à 0 ni à 45 degrés. Prenez la jonction de l'âme et de la semelle au quart de la travée, x = 1.5 m, du côté comprimé. Le moteur y renvoie M = 60.75 kNm et V = 27 kN. À la jonction, y = 139.3 mm depuis l'axe neutre, la contrainte de flexion est σx = −M y / I = −104,5 MPa (compression), et le cisaillement issu du moment statique de la semelle Q = 232 × 10³ mm³ est τ = 10,9 MPa.

Parce que les directions principales sont ici inconnues, utilisez une rosette delta, jauge a le long de l'axe. Les déformations en état plan de contrainte sont εx = (σx − ν σy)/E = −522,6 µε, εy = −ν σx/E = +156,8 µε, et γxy = τ/G = 141,7 µε. Les trois jauges delta lisent :

• Jauge a, 0 degrés : −522,6 µε.
• Jauge b, 60 degrés : +48,3 µε.
• Jauge c, 120 degrés : −74,4 µε.

Inversez avec les formules delta : εx = −522,6, εy = (2·48,3 + 2·(−74,4) − (−522,6))/3 = +156,8 µε, et γxy = 2(48,3 − (−74,4))/√3 = +141,7 µε. Les déformations principales sont +164,1 et −529,9 µε à θp = 84,1 degrés, une direction que vous n'auriez jamais devinée. La loi de Hooke donne des contraintes principales σ1 = +1,1 MPa et σ2 = −105,6 MPa, et un von Mises de 106,2 MPa, un taux de travail de 0,39 face au S275.

Ce qu'il faut retenir, c'est l'axe principal tourné. L'action dominante est la compression axiale, donc la compression principale se situe près de l'axe de l'élément et la traction principale près de la verticale, à 84 degrés. Aucun amas de deux jauges ni aucune lecture unique n'aurait trouvé cet angle. Seules trois lectures, passées dans la transformation, reconstituent à la fois l'amplitude et la direction.

Chacune de ces erreurs transforme des données de jauge propres en une contrainte fausse, et aucune ne déclenche d'erreur à l'enregistreur de données.

1. Distorsion de l'ingénieur contre déformation tensorielle. La loi de transformation utilise la distorsion de l'ingénieur γxy, le cercle de Mohr utilise γxy/2. Introduisez γxy dans le cercle comme s'il était la valeur tensorielle et tout résultat de cisaillement double.
2. Perdre l'ordre des jauges. Chaque formule dépend de la grille physique qui est a, b et c et de la direction vers laquelle pointe la jauge a. Inversez b et c sur une rosette delta et le signe du cisaillement s'inverse, tournant l'axe principal dans le mauvais sens. Notez la direction de référence sur la feuille d'essai.
3. Multiplier une lecture unique par E. E fois une lecture de jauge n'est une contrainte que si cette jauge est alignée avec un axe principal et que l'état est uniaxial. Sur la jauge à 45 degrés ou sur une âme cisaillée, cela donne un nombre faux mais assuré.
4. Négliger le couplage de Poisson. σ1 dépend à la fois de ε1 et de ε2 par E/(1−ν²)(ε1 + ν ε2). Convertir chaque déformation principale seule surestime un axe et invente une contrainte sur l'autre.
5. Ignorer la température. Une jauge collée réagit à la dilatation thermique comme à la charge. Sans jauge témoin ni film autocompensé en température, quelques degrés de dérive se lisent comme des dizaines de microdéformation de charge fantôme.
6. Oublier que c'est une mesure de surface. Une rosette lit la surface libre, où la contrainte à travers l'épaisseur est nulle. C'est l'état plan de contrainte, c'est ce que suppose la forme de la loi de Hooke ci-dessus. Ce n'est pas l'intérieur de la section, et ce n'est pas l'état plan de déformation.

Le moyen le plus rapide d'intérioriser le cercle des déformations est de le déplacer. Le calculateur ci-dessous est l'outil de cercle de Mohr de CalcSteel, gratuit et sans connexion pour les mathématiques. Entrez les εx, εy et γxy reconstitués de l'un des points traités, ou tapez directement un état de contrainte, et regardez les valeurs principales et l'angle de rotation se mettre à jour. Mettez l'âme en cisaillement pur, εx = εy = 0 avec γxy = 368 µε, et voyez le cercle se centrer sur l'origine avec des directions principales à 45 degrés.

En pratique, le flux de travail fonctionne dans les deux sens. Avant un essai, vous construisez l'élément dans CalcSteel, lisez le moment et le cisaillement à l'emplacement de la jauge depuis le moteur EF, et calculez la déformation que la rosette devrait lire, de sorte qu'une valeur aberrante le jour J signale un décollement ou une erreur de câblage plutôt qu'une surprise dans l'acier. Après un essai, vous inversez les lectures réelles par les formules d'ici et comparez la contrainte de von Mises à l'analyse. Les trois points ci-dessus ont été générés exactement de cette manière, efforts du moteur en sortie, mathématiques de la rosette en entrée, et la boucle s'est refermée à la troisième décimale.

À partir d'ici, les deux voisins à lire sont la construction du cercle de Mohr qui sous-tend l'étape principale, et la déformation à la limite d'élasticité, qui fixe le niveau de microdéformation où la loi de Hooke élastique utilisée ici cesse d'être valable.