Les unités en génie des structures : kN, kgf, MPa et la conversion qui ruine les calculs

Demandez à n'importe quel vérificateur où les calculs de structure dérapent et très peu diront l'algèbre. L'équilibre est en général correct, la formule de section est correcte, le cheminement des charges est correct. Ce qui échoue, ce sont les unités. Une conversion fausse ne déclenche jamais d'erreur. Elle vous remet un nombre propre et plausible, faux d'un facteur que vous n'avez pas remarqué, et ce nombre file directement vers une taille d'élément, une platine, une fondation.

Si les unités sont si dangereuses dans ce domaine, c'est que le génie des structures ne s'est jamais fixé sur un seul système. Dans une même semaine vous pouvez ouvrir une table de sections européenne en kN et MPa, un ancien tableur brésilien ou latino-américain en kgf et kgf/cm2, et un guide de dimensionnement AISC en kip et ksi. Chacun est cohérent en interne. Les dégâts se produisent aux jointures, quand une valeur passe d'un système à un autre et que le facteur est oublié, arrondi ou appliqué deux fois.

Ce guide couvre les unités qu'un ingénieur des structures rencontre réellement, les facteurs exacts qui les relient, et la seule famille de conversions qui ruine les calculs plus que toutes les autres. Chaque conversion ci-dessous est calculée avec les mêmes facteurs que le convertisseur d'unités acier de CalcSteel, et les deux exemples résolus passent par le vrai moteur d'analyse, de sorte que les nombres correspondent à l'outil au chiffre près.

Il existe trois familles d'unités dans le travail de structure au quotidien. Savoir laquelle un document parle est la première défense contre une mauvaise conversion.

SI (le standard moderne)

• Force en newtons (N) et kilonewtons (kN)
• Contrainte en pascals (Pa) et mégapascals (MPa)
• Moment en kN·m, charge répartie en kN/m
• Employé par l'Eurocode, la plus grande partie du monde hors des États-Unis, et tout logiciel d'analyse moderne en interne

Ancien système métrique (le système technique ou MKS)

• Force en kilogramme-force (kgf) et tonne-force (tf)
• Contrainte en kgf/cm2
• Encore vivant dans les bureaux brésiliens et latino-américains plus anciens, les certificats matière, les abaques de grues, et tout tableur antérieur à environ 2000
• C'est le système où le mot derrière un nombre se perd le plus souvent, parce que le kgf ressemble au kilogramme de tous les jours

US customary (système impérial d'ingénierie)

• Force en livres-force (lbf) et kips (1 kip = 1000 lbf)
• Contrainte en psi et ksi (kips par pouce carré)
• Moment en kip·ft pour les éléments et kip·in pour les assemblages
• Employé par l'AISC, l'ASCE 7, et la pratique des États-Unis et du Canada

À l'intérieur d'un système, rien ne dérape. Les ennuis commencent quand une poutre dimensionnée d'après un guide AISC en kip·ft est vérifiée dans un modèle qui attend des kN·m, ou quand un certificat matière en kgf/cm2 est saisi dans un champ étiqueté MPa. Le reste de ce guide porte sur ces passages.

La force est l'endroit où vit l'erreur la plus discrètement dangereuse, parce que l'unité de force de l'ancien système métrique, le kilogramme-force, partage son nom et son nombre avec le kilogramme de masse.

Les facteurs exacts

• 1 kgf = 9.80665 N (le poids d'un kilogramme sous la gravité standard g)
• 1 tf = 1000 kgf = 9.80665 kN (tonne-force métrique)
• 1 kN = 101.97 kgf ≈ 102 kgf
• 1 kN = 0.10197 tf
• 1 kip = 1000 lbf = 4.448 kN

Le piège kg contre kgf

Une masse de 2000 kg n'est pas une force de 2000 de quoi que ce soit. Sous la gravité elle pèse 2000 kgf, soit 2000 × 9.80665 = 19.6 kN. Les ingénieurs qui reportent la masse directement dans un champ de force, ou qui lisent 2000 kgf et saisissent 2000 kN, se trompent d'exactement g. C'est l'erreur de charge la plus fréquente en pratique, et parce que g est proche de 10 le résultat a l'air d'être juste.

Le nombre à graver dans la mémoire

Une tonne-force vaut environ dix kilonewtons (9.81, pour être exact). Une charge de roue de camion de 8 tf fait à peu près 80 kN. Un poteau reprenant 150 tf reprend environ 1470 kN. Si vous ne retenez qu'une seule conversion de force, retenez 1 tf ≈ 9.81 kN, et retenez que ce n'est pas exactement 10.

La contrainte porte la limite d'élasticité fy, la contrainte de flexion et la pression de contact. C'est aussi là que vit la seule conversion vraiment gratuite, et un piège de facteur dix qui a ruiné de vrais éléments.

La seule paire que l'on peut échanger sans réfléchir

1 N/mm2 = 1 MPa, exactement. Un mégapascal est un newton par millimètre carré par définition, donc les tables européennes en N/mm2 et les tables SI en MPa donnent le même nombre. C'est la seule paire de contraintes avec un facteur de 1.

Les facteurs qui ne sont pas gratuits

• 1 MPa = 10.197 kgf/cm2 ≈ 10.2
• 1 kgf/cm2 = 0.09807 MPa
• 1 ksi = 6.895 MPa
• 1 MPa = 0.14504 ksi

Le même acier dans trois systèmes

La limite d'élasticité est l'endroit où ces unités se rencontrent de front. La même nuance se lit de façon totalement différente selon le document :

• ASTM A36 : fy = 36 ksi = 248 MPa ≈ 2531 kgf/cm2
• MR250 (et S250) : fy = 250 MPa = 36.3 ksi = 2549 kgf/cm2
• S275 : fy = 275 MPa = 39.9 ksi = 2804 kgf/cm2
• ASTM A572 Gr.50 : fy = 50 ksi = 345 MPa = 3517 kgf/cm2
• S355 : fy = 355 MPa = 51.5 ksi = 3620 kgf/cm2

Le module d'Young voyage de la même manière : E = 200 GPa = 200000 MPa = 2.04 millions de kgf/cm2 = 29000 ksi. Si vous voulez voir ce qui se passe quand vous changez la nuance plutôt que les unités, notre article sur MR250 ou A572 le parcourt, et la courbe contrainte-déformation de l'acier explique ce que fy signifie physiquement.

Les grandeurs restantes héritent des mêmes facteurs que la force, parce qu'un moment est une force multipliée par une longueur et une charge linéique une force par unité de longueur.

Moment et couple

• 1 kN·m = 101.97 kgf·m
• 1 kN·m = 0.10197 tf·m
• 1 kN·m = 0.7376 kip·ft
• 1 kip·ft = 1.356 kN·m

L'AISC exprime la flexion des éléments en kip·ft et la sollicitation d'assemblage en kip·in, donc un seul problème AISC peut porter deux unités de moment à la fois. Gardez l'élément et l'assemblage dans la même unité jusqu'à la toute dernière étape.

Charge répartie (linéique)

• 1 kN/m = 101.97 kgf/m
• 1 kN/m = 0.10197 tf/m
• 1 kN/m = 68.52 plf (livres par pied linéaire)
• 1 kN/m = 0.06852 klf (kips par pied linéaire)

La charge linéique est l'entrée qui se saisit le plus souvent de travers, parce que les charges de plancher se calculent fréquemment en kgf/m2 puis se multiplient par une largeur de reprise. Une charge de service de 1500 kgf/m fait 14.71 kN/m, pas 1500 et pas 15.

Moment quadratique de section

• 1 in4 = 41.62 cm4
• IPE 300 : Ix = 8356 cm4 = 200.75 in4

L'inertie et le module de flexion se confondent rarement d'un système à l'autre parce que les nombres sont d'une magnitude si différente qu'une mauvaise unité saute aux yeux. Les conversions dangereuses sont celles proches d'un facteur dix, ce qui est l'objet de la prochaine section.

Reprenez les facteurs ci-dessus et remarquez un motif. Les conversions qui relient l'ancien système métrique au SI gravitent toutes autour du même nombre :

• 1 tf = 9.81 kN (un facteur g)
• 1 kgf = 9.81 N (un facteur g)
• 1 MPa = 10.2 kgf/cm2 (un facteur g multiplié par un changement d'échelle d'aire)
• 1 kN = 102 kgf (un facteur 100/g)

Chacun d'eux tombe à un cheveu de 10, ou 100. C'est exactement ce qui les rend mortels. Une conversion de 1 à 1000, comme les mètres vers les millimètres, produit un nombre si manifestement différent qu'un mauvais vous crie dessus. Une conversion de 1 à 9.81 produit un nombre qui a l'air d'être à sa place. Si vous oubliez le facteur entièrement, ou appliquez le raccourci paresseux de 10 au lieu de 9.81, ou l'appliquez dans le mauvais sens, le résultat passe encore un test de flair mental. Il se situe dans la plage plausible et poursuit vers la ligne de calcul suivante.

Il y a deux façons dont cette unique famille d'erreurs atteint un élément, et les deux sont montrées ci-dessous avec le vrai moteur. La première sous-estime une charge. La seconde surestime une résistance. Ce sont des images en miroir, et elles poussent le taux de travail dans le même sens : un élément qui est réellement en surcontrainte ressort en paraissant sûr.

Une poutre de palan (monorail) est un IPE 300 en nuance MR250 (fy = 250 MPa), sur deux appuis avec une portée libre de 6 m. Un lever suspendra une charge de 12 tf à mi-travée.

La conversion correcte

Douze tonnes-force valent 12 × 9.80665 = 117.68 kN. En donnant cette charge ponctuelle au moteur d'analyse CalcSteel, on obtient un moment maximal à mi-travée de :

M = PL/4 = 117.68 × 6 / 4 = 176.5 kN·m (moteur : 176.52 kN·m)

La contrainte de flexion élastique sur l'IPE 300 (Wel,x = 557 cm3) vaut σ = M / Wel = 176.5 / 557, ce qui donne 316.9 MPa. Face à fy = 250 MPa cela fait un taux de travail de 1.27. La poutre ruine. Il lui faut une section plus lourde.

Le dérapage

Supposons maintenant que la charge arrive de l'équipe mécanique sous la forme « 12 t » et que quelqu'un saisisse 12 dans un champ étiqueté kN, traitant la tonne-force comme si c'était des kilonewtons. Le moteur voit désormais une charge de 12 kN et renvoie :

M = 12 × 6 / 4 = 18.0 kN·m, σ = 32.3 MPa, taux de travail = 0.13

La poutre semble confortablement sûre, avec 87 % de sa capacité en réserve. Un concepteur travaillant à partir de ce nombre pourrait même la sous-dimensionner. La charge réelle est 9.81 fois plus grande que ce que le modèle croit, le facteur g exact, et le vrai taux de travail est 1.27, pas 0.13. Il y a ici une coïncidence révélatrice : le moment correct écrit en tonne-force vaut 18.0 tf·m, les mêmes chiffres que le faux 18.0 kN·m. La physique n'a pas changé, seulement l'étiquette, et c'est l'étiquette qui a failli.

Reprenez le même IPE 300 et la même charge de 117.68 kN, correctement saisie. Le moment est de 176.5 kN·m et la contrainte de flexion de 316.9 MPa, toutes deux issues du moteur. Cette fois la charge est juste et la résistance est fausse.

Le certificat matière est en kgf/cm2

L'acier est un MR250. Sa limite d'élasticité vaut fy = 250 MPa, ce qui, sur un ancien certificat matière, se lit 2549 kgf/cm2. Un concepteur recopiant le nombre du certificat saisit 2549 dans un champ qui attend des MPa. Le modèle croit maintenant que l'acier est plus de dix fois plus résistant qu'il ne l'est.

Réel : taux de travail = 316.9 / 250 = 1.27 (ruine). Dérapage : taux de travail = 316.9 / 2549 = 0.12 (semble sain).

La capacité a été surestimée d'un facteur 10.2, le facteur MPa vers kgf/cm2, et la poutre qui ruine réellement affiche désormais 88 % de marge. Notez que c'est le même faux résultat que le dérapage de charge de l'exemple 1 : un élément en surcontrainte rapporté comme sûr. Une erreur était du côté de la charge, l'autre du côté de la résistance, et les deux ont poussé le taux de travail dans le même sens dangereux.

Voilà pourquoi un dérapage d'unité est pire qu'un dérapage arithmétique. Une erreur arithmétique a autant de chances d'être conservative que non conservative. Un g oublié sur une charge ou une résistance mal lue est systématiquement non conservatif quand il rend la sollicitation plus petite ou la capacité plus grande, ce qui est précisément le sens que personne ne vérifie.

Si l'erreur est si dangereuse, pourquoi passe-t-elle ? Trois raisons, et chacune a sa parade.

1. Le résultat reste plausible

Une erreur de facteur 9.81 garde la réponse dans le bon ordre de grandeur. Un moment de 18 kN·m et un moment de 176 kN·m sont tous deux des valeurs qu'une poutre de 6 m pourrait plausiblement reprendre. La vérification d'ordre de grandeur qui attrape un facteur 1000 ne se déclenche pas pour un facteur 10. Parade : vérifiez face à un repère d'unité connu, pas seulement à une magnitude. Pour l'acier, fy vaut de 250 à 355 MPa, jamais 2500. Une charge de plancher de service fait de 3 à 10 kN/m2, jamais 30. Si une valeur est dix fois hors de sa plage habituelle, l'unité est le premier suspect.

2. L'étiquette d'unité voyage séparément du nombre

Les tableurs, les certificats matière et les notes manuscrites portent le nombre dans une cellule et l'unité dans un en-tête, une note de bas de page, ou nulle part. Quand le nombre est copié, l'unité reste en arrière. Parade : écrivez l'unité à côté de chaque valeur, dans chaque cellule, à chaque fois. Un nombre sans unité n'est pas un résultat, c'est une rumeur.

3. L'analyse dimensionnelle est sautée

La vérification classique de l'ingénieur, faire s'annuler les unités à travers une équation, est exactement ce qui attrape un kgf saisi en kN. On la saute sous la pression du délai parce qu'elle ressemble à du surplus. Parade : traînez les unités au moins à travers l'équation dominante. Si kN/m fois m2 ne s'annule pas en kN, arrêtez. Voyez notre article sur les combinaisons de charges pour savoir où une erreur d'unité se compose à travers les cas pondérés.

Une carte de référence pour les conversions ci-dessus. Chaque facteur est en pleine précision, issu du même modèle que celui du convertisseur d'unités acier, arrondi ici pour la lecture.

Force

• 1 kN = 101.97 kgf = 0.10197 tf = 0.2248 kip
• 1 tf = 9.807 kN ≈ 9.81 kN, 1 kgf = 9.807 N, 1 kip = 4.448 kN

Contrainte

• 1 MPa = 1 N/mm2 = 10.197 kgf/cm2 = 0.14504 ksi
• 1 kgf/cm2 = 0.09807 MPa, 1 ksi = 6.895 MPa

Moment

• 1 kN·m = 101.97 kgf·m = 0.10197 tf·m = 0.7376 kip·ft
• 1 kip·ft = 1.356 kN·m

Charge linéique

• 1 kN/m = 101.97 kgf/m = 68.52 plf = 0.06852 klf

Inertie et module

• 1 in4 = 41.62 cm4, 1 in3 = 16.39 cm3

Imprimez-la, collez-la sur l'écran, et prenez le convertisseur pour tout ce qui n'y figure pas. Mais une carte vous demande quand même de convertir à la main, et la prochaine section explique comment arrêter d'en faire tout court.

Le remède le plus fiable aux erreurs d'unité est de supprimer la conversion manuelle. Une courte discipline plus un seul outil y parviennent :

1. Choisissez un seul système d'unités par projet et indiquez-le sur la page de garde. Chaque entrée, chaque sortie, un seul système. Les systèmes mélangés dans un même modèle sont là où les dérapages se multiplient.
2. Étiquetez chaque nombre avec son unité, dans le modèle, le tableur et les notes. Pas de nombres nus.
3. Convertissez une fois, à la frontière. Quand une donnée passe d'un document fournisseur à votre modèle, convertissez-la là, notez les deux valeurs, et ne convertissez jamais deux fois le même nombre.
4. Laissez le logiciel porter les unités. Un outil qui stocke tout en SI et affiche dans le système que vous avez choisi vous laisse saisir des kgf/cm2 si c'est ce que dit le certificat, et cela devient des MPa en interne sans que vous touchiez à g.

Le convertisseur ci-dessous est le même que celui livré par CalcSteel. Choisissez une grandeur, saisissez une valeur dans n'importe quelle unité, et lisez-la dans toutes les autres d'un coup. Utilisez-le pour transformer ces 12 tf en kN, ou ces 2549 kgf/cm2 en les 250 MPa qu'ils sont vraiment, avant que cela n'atteigne un modèle.

CalcSteel est bâti autour de l'idée qu'on ne devrait jamais convertir une charge à la main. Le moteur d'analyse travaille entièrement dans une seule base SI cohérente en interne (kN, cm, et kN·cm pour les moments), de sorte que l'équilibre et la rigidité sont toujours résolus dans un seul système. L'interface vous laisse ensuite saisir et lire les valeurs dans les unités où vous travaillez vraiment.

• Saisissez dans vos unités. Tapez une charge en kN, kgf, tf ou kip et le modèle la convertit dans sa base SI pour vous, en appliquant g là où il le faut.
• Lisez dans vos unités. Réactions, moments et contraintes s'affichent dans le système que vous avez choisi, si bien qu'un bureau américain lit des kip·ft et un bureau brésilien des kN·m ou tf·m à partir du même modèle résolu.
• Une seule source de vérité. Parce que la conversion se produit à la frontière et que la résolution se fait en SI, les deux dérapages d'unité de cet article ne peuvent tout simplement pas se produire : il n'existe aucun champ où une valeur en kgf serait lue en silence comme des kN.

Vous pouvez le voir directement dans les calculateurs gratuits : lancez la poutre de palan exacte de l'exemple 1 dans le calculateur de poutre, changez les unités, et regardez les réactions et le moment se réénoncer tandis que la physique tient. Pour dimensionner face à une charge réelle, notre guide sur la capacité portante d'une poutre acier passe du moment aux cinq vérifications qui décident de la section.

1. Traiter les kgf comme des kN (ou les kg comme des kgf)

Faux de g = 9.81 à chaque fois. Une charge de 12 tf vaut 117.7 kN, pas 12. Une masse de 2000 kg pèse 19.6 kN, pas 2000.

2. Saisir une résistance en kgf/cm2 dans un champ MPa

Faux de 10.2. fy 250 MPa vaut 2549 kgf/cm2. Le nombre 2549 dans un champ MPa n'est pas de l'acier, c'est une fantaisie.

3. Arrondir g à 10

Utiliser 10 au lieu de 9.81 est une erreur de 2 %, en général non conservative côté charge. Bien pour une estimation au dos d'une enveloppe, jamais pour une vérification finale.

4. Mélanger kip·ft et kip·in dans le même problème AISC

Un facteur 12 se cache entre les moments d'élément et les moments d'assemblage. Gardez une seule unité jusqu'à la dernière étape.

5. Oublier que N/mm2 égale MPa

Celle-ci est inoffensive, mais les ingénieurs perdent du temps à convertir entre deux unités identiques. C'est le même nombre.

6. Ne pas écrire l'unité à côté du nombre

La cause racine des quatre premières. Une valeur sans son unité est le moyen le plus fiable de perdre un facteur dix.