Coefficient de Poisson : la contraction que personne ne vérifie, et où elle finit par compter

Tout étudiant apprend deux constantes élastiques dès le premier mois de résistance des matériaux : le module de Young E, qui dit combien l'acier résiste à l'allongement, et le coefficient de Poisson ν, qui dit combien il se pince latéralement pendant que vous l'étirez. E reçoit toute l'attention. Il figure dans chaque formule de flèche, chaque charge de flambement, chaque matrice de rigidité. Le coefficient de Poisson reçoit une définition, une valeur pour l'acier, puis il semble s'évanouir.

Il ne s'évanouit pas. Il se fait discret, replié dans d'autres constantes où vous cessez de le voir. Cet article suit ν depuis la définition que les étudiants mémorisent jusqu'aux trois endroits où il gagne réellement sa place dans le calcul de l'acier : le module de cisaillement, le facteur de rigidité de plaque et le comportement volumétrique d'une pièce confinée. Chemin faisant, nous faisons tourner le vrai moteur CalcSteel pour montrer deux choses : que la contraction que personne ne vérifie est exactement aussi petite que vous le pensez, et que ν vit déjà à l'intérieur de chaque analyse que vous lancez, que vous l'ayez saisi ou non.

Chargez une barre prismatique en traction simple. Elle s'allonge d'une déformation axiale εₐₓ, et en même temps elle se contracte selon les deux directions transversales d'une déformation latérale εₗₐₜ. Le coefficient de Poisson est l'opposé de leur rapport :

ν = − εₗₐₜ / εₐₓ.

Le signe moins est là pour que ν soit positif pour les matériaux ordinaires, car l'allongement (déformation axiale positive) produit une contraction (déformation latérale négative). Pour l'acier de construction, ν = 0,30. Cette valeur unique est remarquablement stable : acier doux, acier faiblement allié à haute résistance, trempé et revenu, inox austénitique ou ferritique, tous se situent à 0,30 à une erreur d'arrondi près. Le coefficient de Poisson est une propriété du réseau atomique et de sa réponse élastique, non de la limite d'élasticité, si bien que passer de la nuance S235 à S690 laisse ν intact même si cela triple la résistance.

Deux conséquences en découlent immédiatement, et toutes deux compteront plus loin. D'abord, la déformation latérale n'est pas optionnelle : si la déformation axiale vaut 500 microdéformations, la déformation transversale vaut −150 microdéformations, toujours, tant que l'acier reste élastique. Ensuite, ν est sans dimension. C'est un pur rapport, ce qui est exactement pourquoi il peut se cacher dans d'autres constantes sans laisser d'unité derrière lui pour le trahir.

La thermodynamique borne le coefficient de Poisson d'un matériau isotrope entre −1 et +0,5. En pratique, la fenêtre utile va de 0 à 0,5, et l'endroit où tombe un matériau dit quelque chose de physique sur sa manière de se déformer.

• ν proche de 0 (liège) : comprimez-le et il ne gonfle presque pas sur les côtés. C'est pourquoi un bouchon rentre dans une bouteille : le comprimer dans sa longueur ne l'épaissit pas.
• ν = 0,20 (béton) : rigide, fragile, faible réponse latérale.
• ν = 0,30 (acier) : le juste milieu structurel, et la valeur que vous utiliserez presque tous les jours.
• ν = 0,33 (aluminium) : un soupçon de souplesse latérale de plus que l'acier, une différence qui se manifeste dans le module de cisaillement.
• ν approchant 0,5 (caoutchouc) : la limite incompressible. À exactement 0,5 le matériau conserve parfaitement son volume, il ne peut donc que changer de forme, jamais de taille. Le caoutchouc et les sols saturés d'eau vivent ici.

En dessous de zéro se trouve la classe exotique des auxétiques, mousses et treillis conçus pour s'épaissir quand on les étire. Ils existent, mais vous n'en croiserez pas dans une ossature en acier. La leçon pour le concepteur est rassurante : les métaux se regroupent étroitement près d'un tiers, donc pour l'acier vous pouvez traiter ν = 0,30 comme une constante et avoir raison jusqu'à la troisième décimale.

Prenez un simple tirant rond, Ø25 mm, 3 m de long, reprenant une tension de service de 50 kN. C'est une contrainte de 101,9 MPa, confortable pour un tirant en acier doux. Construisez la même pièce dans CalcSteel et le moteur renvoie un allongement axial de +1,53 mm, qui correspond à la décimale près au N·L/EA des manuels. Ce nombre, chaque concepteur le vérifie, parce que c'est l'allongement qui apparaît dans la reprise d'un tendeur ou dans la précontrainte d'un contreventement.

Voici maintenant le nombre que personne ne vérifie. La déformation axiale vaut 509 microdéformations, donc la déformation latérale vaut −ν·εₐₓ = −153 microdéformations, et le diamètre se réduit de :

Δd = − ν · εₐₓ · d = −0,30 · 0,000509 · 25 mm = −3,82 µm.

Trois microns huit. C'est plus fin qu'un cheveu humain, bien en deçà de ce qu'un pied à coulisse sur chantier saurait résoudre, et cela ne change aucune vérification de capacité. Il est donc légitime de l'ignorer, et tout le monde le fait. Mais gardez deux choses à l'esprit. D'abord, cette contraction n'est pas un artefact d'arrondi, c'est exactement la déformation transversale négative que lirait une jauge de déformation collée en travers de la barre, ce qui explique qu'une rosette de déformation sur une pièce en traction affiche une lecture négative sur sa grille transversale même si l'acier est tiré. Ensuite, ce même ν qui rend cette contraction négligeable va rendre une plaque plus rigide et la flèche d'un tube plus grande. Même nombre, conséquence très différente.

Voici le retournement qui rend le coefficient de Poisson important sans qu'il soit jamais visible. Pour un matériau isotrope, le module de cisaillement n'est pas indépendant de E et ν. Il leur est verrouillé :

G = E / [ 2 (1 + ν) ].

Pour l'acier, G = 200 / (2 × 1,30) = 76,9 GPa. Chaque constante de torsion, chaque terme de déformation d'effort tranchant, chaque charge de flambement par torsion que vous calculerez un jour passe par G, et G n'est rien d'autre que E et ν combinés. Ainsi, dès l'instant où vous utilisez G, vous utilisez le coefficient de Poisson, que vous le sachiez ou non.

CalcSteel rend cela littéral. Ouvrez le catalogue de matériaux et vous n'y trouverez jamais un champ intitulé coefficient de Poisson. Ce que vous trouvez, c'est un couple, E et G, stocké pour chaque nuance d'acier, d'inox et d'aluminium. Mais ce couple n'est pas libre : ressortez ν avec ν = E/2G − 1 et chaque acier et inox du catalogue livré renvoie 0,30, et chaque aluminium renvoie 0,33. Le moteur encode le coefficient de Poisson au seul endroit où il en a besoin, et le cache en pleine vue. Le tableau ci-dessous est récupéré directement du catalogue en fonctionnement, non saisi à la main.

Si ν ne produisait que des contractions de 3,82 µm, ce serait une curiosité. Ce n'en est pas une, parce qu'il chevauche G, et G gouverne la torsion. Pour rendre cela concret, prenez une pièce qui tord réellement : une console coudée faite d'un tube fermé, un CHS 168.3 × 6, avec une branche de 2 m et une branche de 1,5 m se rejoignant à angle droit, chargée de 8 kN hors de son plan à l'extrémité libre. C'est la forme d'une aiguille de marquise, d'une poutre de rive de balcon, d'une console de pipe-rack.

La charge hors plan fléchit les deux branches et, surtout, tord la première branche avec un couple de 12 kNm. Faites-la tourner dans CalcSteel et l'extrémité libre descend de 38,2 mm. Supprimez la torsion et la même ossature ne descend que de 15,0 mm, donc 60,7 % de la flèche de service est de la torsion, et chaque parcelle de cette torsion passe par G, donc par ν. Un tube fermé est délibérément rigide en torsion, ce qui est exactement pourquoi la rotation reste faible, 0,886 degré, tout en portant l'essentiel de la flèche.

Voici maintenant la récompense. Relancez l'ossature identique avec ν supposé à 0,25 au lieu de 0,30. Rien d'autre ne change, seulement le coefficient de Poisson, qui fait passer G de 76,9 à 80,0 GPa. La flèche en tête tombe de 38,2 à 37,3 mm, un écart de 2,33 % sur un nombre que vous rapportez face à une limite de service L/250. C'est le coefficient de Poisson qui change un résultat réel, mesuré par le même moteur qui renvoie l'allongement à la décimale près. Trompez-vous de cinq centièmes sur ν et votre flèche est fausse de plus de deux pour cent, sur la quantité exacte que voit un client.

La torsion d'un tube coudé en est la démonstration la plus nette, mais ce n'est pas le seul endroit où G, et donc ν, contrôle le résultat. Deux autres apparaissent dans le travail courant.

Flèche d'effort tranchant des pièces trapues. La flèche familière 5wL⁴/384EI est une formule de flexion pure. Pour les pièces courtes et hautes, un linteau au-dessus d'une large ouverture, une poutre de transfert, une poutre de couplage, le terme de déformation d'effort tranchant, proportionnel à 1/GA, n'est plus négligeable. Comme G porte ν, la part d'effort tranchant de la flèche le porte aussi. Elle domine rarement dans une poutre longue, mais dans une pièce dont le rapport portée sur hauteur avoisine 5 elle peut ajouter plusieurs pour cent, et c'est le coefficient de Poisson qui fixe l'ampleur de cet ajout.

Flambement par torsion et par flexion-torsion. Les sections à symétrie simple ou à symétrie ponctuelle, cornières, tés, profilés en U, croix, peuvent flamber en se tordant plutôt qu'en simple flexion. La contrainte élastique de flambement par torsion dépend de G·J et de la rigidité de gauchissement, si bien que la capacité gouvernante d'une membrure élancée en cornière passe directement par le module de cisaillement. Si vous dimensionnez vers un état limite où le flambement par flexion-torsion gouverne, ν est discrètement dans le résultat. C'est le schéma de tout le sujet : vous ne voyez jamais le coefficient de Poisson dans la vérification, mais il est à l'intérieur de chaque G que la vérification emploie.

Le coefficient de Poisson a une seconde cachette, et celle-ci apparaît chaque fois que l'acier agit comme une plaque plutôt que comme une poutre : plaques d'assise, dalles, voiles, âmes non raidies. La rigidité de flexion d'une plaque n'est pas E·t³/12, la valeur d'une simple bande. Elle vaut :

D = E · t³ / [ 12 (1 − ν²) ].

Le (1 − ν²) au dénominateur vient du fait qu'une plaque large ne peut pas se contracter librement sur les côtés en fléchissant, le matériau de part et d'autre la retient, et cette retenue la rigidifie. Pour l'acier, 1 − ν² = 1 − 0,09 = 0,91, donc le facteur de plaque 1/(1 − ν²) = 1,099. Une plaque est 9,9 % plus rigide en flexion qu'une bande de même épaisseur, uniquement à cause de la retenue de Poisson. Ce n'est pas une erreur d'arrondi, c'est la différence entre une plaque d'assise qui passe une vérification de contact et de flexion et une qui ne passe pas, et c'est pourquoi les formules de plaque et les formules de poutre ne s'accordent jamais tout à fait.

Le même 1/(1 − ν²) apparaît comme module effectif, E' = E/(1 − ν²) = 219,8 GPa, chaque fois qu'une pièce est en déformation plane, empêchée de se contracter selon un axe. Une région épaisse et confinée latéralement se comporte comme si elle était faite d'un acier plus rigide, là encore d'environ 10 %, et là encore tout l'effet est le coefficient de Poisson.

Le facteur de plaque n'est en réalité qu'un cas particulier d'une idée plus large qui piège beaucoup d'ingénieurs : la différence entre contrainte plane et déformation plane. En contrainte plane, pièces minces libres de se contracter dans leur épaisseur, la loi de Hooke s'écrit σ = E·ε pour un état uniaxial et le matériau montre son module ordinaire. En déformation plane, pièces épaisses ou confinées latéralement qui ne peuvent pas se contracter sur les côtés, le même acier répond avec le module effectif plus rigide E/(1 − ν²), parce que la retenue de Poisson fait un travail structurel.

Ce n'est pas académique. Une gorge de soudure profondément enfouie dans un assemblage épais, le cœur d'une éclisse de poteau lourde, la matière en avant d'un fond de fissure, tous se situent plus près de la déformation plane que de la contrainte plane. Le confinement élève la rigidité apparente et, plus important pour la sécurité, il élève la tension hydrostatique. Cette retenue triaxiale est exactement pourquoi les sections épaisses et les soudures fortement bridées sont plus sujettes à la rupture fragile : le coefficient de Poisson, en refusant de laisser l'acier se strictionner et plastifier librement, maintient l'état de contrainte triaxial et supprime la détente ductile dont jouirait une plaque mince. Le nombre est bénin dans une vérification de flèche et dangereux dans une vérification de rupture, et c'est le même nombre.

Encore un endroit où le coefficient de Poisson fixe la physique : de combien un acier sous contrainte change réellement de volume. La déformation volumétrique, la variation relative de volume, sous un état de contrainte général vaut :

e = (1 − 2ν) / E × (σₓ + σ_y + σ_z).

Le facteur (1 − 2ν) est le signe révélateur. Pour l'acier, 1 − 2ν = 0,40, donc sous un uniaxial de 150 MPa le volume d'une pièce augmente d'environ 300 microdéformations. À mesure que ν monte vers 0,5, ce facteur tombe vers zéro, et le matériau cesse tout à fait de changer de volume, ce qui est le sens précis d'incompressible. La constante compagne est le module de compressibilité, la résistance à la compression uniforme :

K = E / [ 3 (1 − 2ν) ] = 166,7 GPa pour l'acier.

K, comme G, est fixé par E et ν seuls. Un matériau élastique isotrope a exactement deux constantes élastiques indépendantes, et chacune des autres, G, K, le module de déformation plane, le facteur de plaque, est une combinaison des deux que vous connaissez déjà. Choisissez E et ν et vous les avez toutes choisies. C'est pourquoi ν mérite d'être compris même si vous le saisissez rarement : c'est l'un des deux seuls nombres qui définissent comment l'acier se déforme.

Pour l'acier de construction, le conseil honnête est simple : faites confiance à 0,30 et passez à autre chose. Il ne varie pas assez d'une nuance, d'une norme ou d'une température de la plage de service à l'autre pour justifier une seconde pensée, et chaque code majeur, NBR 8800, AISC 360, Eurocode 3, IS 800, adopte 0,30 pour l'analyse structurale. Le seul métal courant qui diffère est l'aluminium à 0,33, et CalcSteel porte déjà cette valeur pour vous dans les nuances d'aluminium, si bien qu'une console 6061-T6 est analysée avec le bon G automatiquement.

Là où ν cesse véritablement d'être une constante, c'est en dehors du monde de l'acier que vous pouvez tout de même toucher. Le béton se situe près de 0,20, et sa valeur dérive sous charge soutenue. Le bois est fortement anisotrope, avec plusieurs coefficients de Poisson différents selon la direction du fil. Les sols vont d'environ 0,2 à l'état drainé à 0,5 à l'état saturé et non drainé, ce qui explique pourquoi l'analyse géotechnique des tassements prend ν au sérieux d'une manière que le calcul de l'acier ne fait pas. Les appuis élastomères sont effectivement incompressibles à 0,5, et se tromper là-dessus rend un calcul de rigidité d'appui dénué de sens. La règle empirique : pour l'acier lui-même, ν = 0,30 est un fait sur lequel vous pouvez vous appuyer ; pour tout ce sur quoi il porte ou à quoi il se relie, vérifiez le nombre avant de le supposer.

• Utiliser 0,5 pour l'acier. Un glissement étonnamment courant, souvent copié d'un contexte de fluide ou de caoutchouc. Il gonfle G de 15 % et rend K infini. L'acier vaut 0,30, il n'est pas incompressible.
• Oublier que G dépend de ν. Traiter G comme une donnée libre que l'on peut arrondir à 80 GPa remet discrètement ν à 0,25. Si votre résultat de torsion ou de flambement par torsion doit être cohérent, laissez G = E/2(1+ν) plutôt que de saisir un G arrondi.
• Compter deux fois le facteur de plaque. Utiliser une formule de plaque qui contient déjà 1/(1 − ν²) puis le multiplier encore, ou l'inverse, l'omettre d'une plaque et la traiter comme une bande. Sachez quelle formule vous tenez.
• Mélanger contrainte plane et déformation plane. Appliquer E d'une pièce mince libre à une pièce épaisse confinée, ou l'inverse, c'est une erreur de rigidité de 10 % et, près d'une fissure, une erreur qui touche à la sécurité.
• Supposer que ν suit la nuance. Ce n'est pas le cas. S235 et S690 partagent ν = 0,30. Le coefficient de Poisson est une propriété du réseau, non une propriété de résistance, donc une limite d'élasticité plus élevée ne signifie pas une contraction différente.

Le coefficient de Poisson est la constante qui relie la déformation que vous pouvez mesurer à la contrainte que vous devez vérifier. Le calculateur ci-dessous est l'outil de cercle de Mohr de CalcSteel, gratuit et sans connexion pour le calcul. Entrez un état de contrainte et il renvoie les contraintes principales, le cisaillement maximal et la valeur de von Mises. Pour voir ν à l'œuvre, reprenez le tirant ci-dessus : une contrainte axiale de 101,9 MPa avec une contrainte transversale nulle produit la déformation axiale de 509 microdéformations et, à travers ν, la déformation latérale de −153 microdéformations. L'outil travaille le côté contrainte de ce même cercle.

À partir d'ici, les voisins à lire sont le guide sur la rosette de déformation, où la déformation transversale négative que vous avez rencontrée plus haut est ce qu'enregistre une vraie jauge, et l'article sur les limites de flèche, où les nombres de service que ν décale de quelques pour cent sont vérifiés face au code. Le coefficient de Poisson est la discrète seconde constante derrière eux tous : vous le saisissez rarement, mais il est déjà dans chaque résultat.