Symétrie et antisymétrie : diviser le modèle par deux sans changer la réponse

Ouvrez n'importe quel premier cours d'analyse des structures et la symétrie apparaît tôt, en général sous forme d'image : un portique avec un trait pointillé au milieu, un arc qui se reflète de gauche à droite, une poutre en treillis de pont qui se lit à l'identique depuis l'une ou l'autre rive. L'image est la partie facile. La partie utile est l'affirmation qui se cache derrière : si la structure est symétrique, vous n'avez pas à la résoudre en entier. Vous pouvez la couper sur l'axe, en garder une moitié, et retrouver les efforts internes exacts de l'ensemble.

Cette affirmation mérite la méfiance, car elle a l'air d'un cadeau gratuit. Aussi cet article ne l'assène pas, il l'exécute. Nous prenons une poutre continue à deux travées et un portique, nous résolvons chacun deux fois, une fois en modèle complet et une fois en demi-modèle avec le bon appui sur la coupe, et nous plaçons les deux réponses côte à côte. Elles concordent à la troisième décimale, et sur la poutre elles concordent aussi avec le résultat classique en forme fermée. Chemin faisant, nous cernons la seule chose qui fait ou défait l'astuce : quel appui revient sur l'axe, et pourquoi il diffère pour une charge qui pousse symétriquement de celle qui pousse la structure de côté.

La symétrie est plus stricte qu'elle n'en a l'air. Pour que l'astuce du demi-modèle soit exacte, trois choses doivent se refléter autour du même axe, pas une seule.

• La géométrie. Chaque noeud et chaque barre à gauche a un jumeau en miroir à droite, à la même distance de l'axe.
• La rigidité. Les barres en miroir partagent la même section et le même matériau, donc EA et EI correspondent jumeau pour jumeau. Un poteau de gauche en IPE 360 et un poteau de droite en IPE 300 rompent la symétrie, même si le dessin paraît équilibré.
• Les appuis. Une articulation à gauche exige une articulation à droite, un encastrement exige un encastrement. C'est celle que l'on oublie : un portique géométriquement symétrique mais articulé d'un côté et encastré de l'autre n'est pas une structure symétrique, et le diviser par deux donne une réponse fausse.

Remarquez ce qui ne figure pas sur la liste : la charge. La structure peut être symétrique alors que la charge est absolument quelconque. Cette séparation est tout l'enjeu. La symétrie est une propriété de la structure, et une fois que la structure y satisfait, nous traitons n'importe quelle charge en la décomposant, ce qui fait l'objet de la section suivante. Une subtilité de plus mérite d'être dite clairement : ce qui doit être symétrique, c'est la réponse, pas seulement le dessin. Une structure symétrique sous une charge symétrique se déforme en une image en miroir, et c'est cette déformation reflétée qui nous permet de remplacer la moitié manquante par un appui.

Voici l'identité qui transforme un problème difficile en deux problèmes faciles. Prenez n'importe quelle charge sur une structure symétrique. Ajoutez son image en miroir, et vous obtenez une charge parfaitement symétrique. Retranchez son image en miroir, et vous en obtenez une parfaitement antisymétrique. La moitié de la somme plus la moitié de la différence redonne exactement la charge d'origine :

charge = ½(charge + miroir) + ½(charge − miroir) = part symétrique + part antisymétrique.

Une force unique P placée d'un côté devient P/2 reflétée des deux côtés (la part symétrique) plus P/2 d'un côté et −P/2 de l'autre (la part antisymétrique). Une charge symétrique se reflète sur elle-même : la gravité sur une poutre horizontale, une pression identique à gauche et à droite, le poids propre du portique. Une charge antisymétrique se reflète sur son propre opposé : une poussée latérale, une force d'inertie sismique, un vent qui aspire un versant tandis qu'il presse l'autre.

Pourquoi se donner la peine de décomposer ? Parce qu'une structure symétrique répond à chaque part par une déformée nette et prévisible. Sous la part symétrique elle se déforme symétriquement. Sous la part antisymétrique elle se déforme antisymétriquement. Chacune de ces déformées a un comportement connu sur l'axe, et ce comportement connu est précisément ce par quoi nous remplaçons la moitié manquante. Résolvez les deux moitiés, additionnez les réponses, et vous retrouvez la charge d'origine sur la structure complète, sans jamais avoir modélisé plus d'un côté.

Tout repose sur une seule section, celle que l'axe traverse. Quand la déformée est symétrique, cette section ne peut pas faire certaines choses, et quand elle est antisymétrique elle ne peut pas faire les choses opposées. Ces mouvements interdits sont exactement les blocages de l'appui que nous y plaçons.

Sous une charge symétrique, le point sur l'axe ne peut pas tourner (la pente reflétée devrait être égale à son propre opposé, donc elle est nulle) et ne peut pas glisser latéralement à travers l'axe (même argument). Il peut se déplacer librement le long de l'axe. L'appui qui fait précisément cela, bloquer la rotation et le glissement perpendiculaire, autoriser le déplacement selon l'axe, est un appui-glissière. Comme une déformée symétrique a une pente nulle sur l'axe, l'effort tranchant interne à la coupe est nul ; l'effort normal et le moment fléchissant subsistent et l'appui-glissière les reprend.

Sous une charge antisymétrique, c'est l'image en miroir de ce cas. Le point sur l'axe ne peut pas se déplacer le long de l'axe (un déplacement symétrique en ce point violerait l'antisymétrie) mais il est libre de tourner et de glisser en travers. L'appui est un simple appui à rouleau qui ne bloque que la translation selon l'axe. Maintenant le moment fléchissant et l'effort normal à la coupe sont nuls, et seul l'effort tranchant subsiste, que l'appui à rouleau reprend. Une barre qui traverse un axe antisymétrique présente un point d'inflexion exactement sur l'axe, ce qui est souvent le moyen le plus rapide de voir tout le résultat.

Voilà tout l'aide-mémoire. Charge symétrique : appui-glissière, effort tranchant nul. Charge antisymétrique : appui à rouleau, moment et effort normal nuls. Intervertissez les deux et le modèle tourne quand même, paraît toujours raisonnable, et se trompe en silence, et c'est pourquoi c'est la seule chose à ne pas rater.

Commençons par le cas le plus propre, parce qu'il possède une réponse en forme fermée à laquelle se comparer. Une poutre continue de deux travées égales, L = 6 m chacune, repose sur trois appuis et porte une charge uniforme symétrique de w = 20 kN/m sur toute sa longueur. La charge se reflète autour de l'appui central, donc la réponse est symétrique, et l'appui central se trouve pile sur l'axe.

Modélisez la poutre entière dans CalcSteel et le moteur renvoie des réactions d'extrémité R_A = R_C = 45 kN, une réaction centrale R_B = 150 kN, et un moment négatif au-dessus du centre M_B = 90 kN·m. Ce sont les valeurs classiques d'une poutre à deux travées : R = 3wL/8 = 45 kN aux extrémités, 5wL/4 = 150 kN au milieu, et M = wL²/8 = 90 kN·m au-dessus de l'appui, le moment positif maximal de 50,6 kN·m tombant à 2,25 m dans chaque travée. Comme la poutre est prismatique, aucune de ces valeurs ne dépend de la section.

Divisons maintenant par deux. Gardons une travée, de A à B. L'appui A reste une articulation. En B l'axe fait deux choses à la fois : l'appui à rouleau réel bloque déjà le déplacement vertical, et la symétrie bloque la rotation et le glissement latéral. Les trois degrés de liberté dans le plan sont bloqués, donc B devient un encastrement et le demi-modèle est une seule poutre encastrée et appuyée, articulée en A et encastrée en B. Résolvez cette unique travée et le moteur donne R_A = 45 kN et M_B = 90 kN·m, les mêmes valeurs, à partir d'un modèle à 6 degrés de liberté au lieu de 9. La réaction verticale que rapporte l'encastrement, 75 kN, vaut exactement la moitié de la réaction centrale de 150 kN, parce que l'appui central complet puise dans les deux travées tandis que le demi-modèle n'en voit qu'une. Le diagramme complet est dans le guide effort tranchant et moment fléchissant ; ici, tout l'enjeu est qu'une seule travée a porté toute la réponse.

Les poutres sont clémentes parce que l'axe tombe sur un appui. Un portique est le vrai test, parce que l'axe coupe le milieu d'une poutre qui porte une charge. Prenons un portique à bases encastrées, 8 m de portée et 4 m de poteaux, avec une charge de gravité symétrique de w = 15 kN/m le long de la traverse. Le portique se reflète autour de son centre, la charge aussi, donc la réponse est symétrique et la coupe revient à la mi-travée de la traverse.

D'après l'aide-mémoire, l'appui y est un appui-glissière : il bloque le glissement horizontal et la rotation, et laisse la mi-travée descendre verticalement. Modélisez la moitié gauche, un poteau et une demi-traverse, avec cet appui-glissière sur la coupe. Le moteur rapporte pour la base gauche une poussée horizontale de 6,28 kN, une réaction verticale de 60 kN, et un moment de base de 8,37 kN·m. Lancez le portique complet et la base gauche affiche 6,28 kN, 60 kN et 8,37 kN·m, à l'identique, tandis que le moment de la traverse au noeud supérieur ressort à 16,7 kN·m dans les deux cas. Les 60 kN forment à eux seuls une bonne vérification : la charge de gravité totale est de 15 kN/m sur 8 m, soit 120 kN, répartie également en 60 kN par base.

Et le signe révélateur d'une réponse symétrique : le moteur rapporte l'effort tranchant de la traverse à la coupe comme exactement nul. Ce n'est pas de la chance, c'est la définition même du cas symétrique, et c'est pourquoi l'appui-glissière, qui ne reprend aucun effort tranchant, est le bon appui. Le demi-modèle est passé de 15 degrés de liberté à 9 sans rien perdre.

Gardez le portique, changez la charge. Poussez les deux noeuds supérieurs latéralement de 30 kN chacun, dans le même sens. C'est une charge de déplacement latéral, et une charge de déplacement latéral est antisymétrique : son image en miroir est la même poussée dirigée dans l'autre sens, ce qui est son propre opposé. La réponse est donc antisymétrique, et l'aide-mémoire remplace l'appui à la mi-travée, l'appui-glissière devenant un simple appui à rouleau, qui ne bloque que le déplacement vertical.

Modélisez la moitié gauche avec cet appui à rouleau et l'unique poussée de 30 kN sur son propre noeud supérieur. Le moteur donne une base gauche avec une réaction horizontale de 30 kN, une réaction verticale de 14,68 kN, et un moment de base de 61,3 kN·m. Le portique complet renvoie les trois mêmes valeurs. Ce qui frappe, c'est la coupe elle-même : le moment fléchissant de la traverse y est nul, tout comme l'effort normal de la traverse, tandis que l'effort tranchant vaut un solide 14,68 kN. C'est la signature antisymétrique, un point d'inflexion posé pile sur l'axe, et c'est pourquoi l'appui à rouleau, qui reprend l'effort tranchant mais ni moment ni effort normal, est l'appui qu'exige la physique.

Les réactions verticales sont l'autre moitié de l'histoire. Sous un déplacement latéral pur, les deux bases des poteaux poussent et tirent, l'une vers le bas et l'autre vers le haut, un couple qui résiste au renversement. Le demi-modèle ne voit que son propre côté de ce couple, 14,68 kN, et c'est exactement ce que le modèle complet rapporte sur la base gauche. Mêmes 9 degrés de liberté, même réponse, type de charge opposé.

Les deux essais de portique ci-dessus étaient des cas purs. Les charges réelles sont rarement pures, alors voici le gain qui relie le tout. Poussez une force unique de 40 kN au noeud supérieur gauche seulement, rien à droite. Cette charge n'est ni symétrique ni antisymétrique, donc telle quelle elle ne correspond à aucun des deux demi-modèles. Décomposez-la. La moitié, reflétée, est un couple symétrique de 20 kN dirigé vers le centre. L'autre moitié est un couple antisymétrique de 20 kN poussant tous deux dans le même sens, un déplacement latéral.

Résolvez la moitié symétrique avec l'appui-glissière et la part symétrique de 20 kN, et le noeud supérieur gauche se déplace d'à peine 0,055 mm. Résolvez la moitié antisymétrique avec l'appui à rouleau et la part de déplacement latéral de 20 kN, et le même noeud se déplace de 54,53 mm. Additionnez-les : 0,055 + 54,53 = 54,58 mm. Modélisez la poussée d'origine de 40 kN d'un seul côté sur le portique complet, sans aucune astuce de symétrie, et le moteur rapporte un déplacement latéral de 54,58 mm. Les moments de base s'additionnent de la même façon : 0,04 pour la part symétrique plus 40,87 pour la part antisymétrique donne 40,9 kN·m, exactement la valeur du modèle complet.

Lisez la décomposition et vous apprenez ce que le modèle complet cache : une poussée d'un seul côté est presque entièrement un problème de déplacement latéral. La part symétrique contribue à une erreur d'arrondi sur le déplacement, et la part antisymétrique en porte 99,9%. C'est pourquoi le dimensionnement latéral se joue tout entier sur le cas de déplacement latéral, et c'est le genre d'éclairage que la décomposition vous offre gratuitement là où la réponse en boîte noire du modèle complet le garde caché. Pour le volet d'aptitude au service d'un déplacement comme celui-ci, le guide limites de flèche fixe les valeurs qu'un client vérifie réellement.

Jusqu'ici l'axe a coupé en travers des barres : une poutre à mi-travée, un appui au milieu. Parfois il descend au contraire tout droit le long d'une barre, un poteau central sous le faîte d'un portique symétrique, un poinçon dans un treillis, un tirant central. Cette barre appartient aux deux moitiés à la fois, et le demi-modèle doit la partager équitablement.

La règle est simple : donnez au demi-modèle la moitié de cette barre. Divisez par deux son aire et divisez par deux son moment d'inertie, parce que la barre complète est fendue par le milieu entre les deux côtés. Sous une charge symétrique, la barre partagée reste sur l'axe, reprend l'effort normal et, si elle fléchit, fléchit symétriquement. Sous une charge antisymétrique, la même barre ne peut reprendre aucun effort normal, car un effort normal sur l'axe devrait être symétrique alors que la réponse autour de lui est antisymétrique ; elle travaille uniquement en flexion et en effort tranchant tandis que les deux côtés se déplacent latéralement l'un devant l'autre. Oublier de diviser par deux une barre partagée est une façon fréquente d'obtenir un demi-modèle proche mais pas exact, plus rigide que la structure réelle de tout ce que cette barre centrale apporte.

Une objection honnête : un solveur moderne avale le portique complet en bien moins d'une milliseconde, alors qui se soucie de neuf degrés de liberté contre quinze ? La vitesse était la raison il y a un siècle, quand Hardy Cross et une règle à calcul rendaient chaque degré de liberté coûteux. Ce n'est plus la raison aujourd'hui. Les raisons d'aujourd'hui tiennent à l'humain qui tient le modèle.

• C'est un piège à erreurs gratuit. Une structure symétrique sous une charge symétrique doit donner une réponse symétrique. Si votre modèle complet rapporte des réactions différentes à gauche et à droite sous la gravité, vous avez une erreur de modélisation, une section qui ne concorde pas, un appui mal saisi, un noeud décalé d'un millimètre. La symétrie que vous attendiez est le contrôle qui l'attrape.
• C'est une vérification à la main à laquelle vous pouvez vous fier. Diviser par deux transforme un portique hyperstatique en quelque chose que vous pouvez vérifier à la main ou face à une forme fermée, exactement comme la poutre à deux travées s'est ramenée à une poutre encastrée et appuyée à la réponse connue. Un nombre que vous pouvez reproduire de deux façons est un nombre que vous pouvez défendre.
• Elle vous montre le cheminement des efforts. La décomposition nous a appris qu'une poussée d'un seul côté est à 99,9% du déplacement latéral. Cette compréhension, et non le déplacement brut, est ce qui vous dit où placer un contreventement ou comment le portique porte réellement la charge. La réponse d'aptitude au service n'est utile qu'une fois que vous savez quelle part de la charge l'a produite.
• Elle passe à l'échelle des cas qui font encore mal. La même idée traite un quart d'un bâtiment doublement symétrique, ou une tranche d'un réservoir, silo ou dôme à symétrie cyclique, là où le modèle complet est réellement coûteux. Apprenez-la sur un portique et elle paie sur la structure qui ne tient pas en mémoire.

• La charge n'est pas symétrique. Une charge d'exploitation en damier, un vent qui presse un versant et aspire l'autre, un pont roulant sur un seul chemin de roulement : aucune de ces charges ne se reflète sur elle-même. Ne leur imposez pas un unique demi-modèle, décomposez-les d'abord en un cas symétrique et un cas antisymétrique.
• Glissière et rouleau intervertis. Placer un appui à rouleau là où la charge est symétrique, ou un appui-glissière là où elle est antisymétrique, donne un modèle qui tourne, paraît plausible et se trompe. Le type de charge choisit l'appui, à chaque fois.
• Les appuis brisent la symétrie. Un portique géométriquement en miroir mais encastré d'un côté et articulé de l'autre n'est pas symétrique. Pas plus qu'un portique avec un tassement, un ressort, ou une base relâchée d'un seul côté. La symétrie doit tenir dans les appuis aussi.
• Une barre partagée laissée entière. Une barre posée sur l'axe doit entrer dans le demi-modèle avec la moitié de son aire et la moitié de son inertie. Laissez-la entière et le demi-modèle est plus rigide que la structure réelle.
• Croire qu'il faut décomposer le poids propre. Il ne le faut pas. La gravité sur un portique symétrique est déjà une charge symétrique, elle va donc droit dans la moitié symétrique. Reconnaître quelles charges sont déjà pures épargne la moitié du travail.

Le moyen le plus rapide de le ressentir est de construire le portique symétrique et de le regarder répondre différemment aux deux types de charge. Le calculateur ci-dessous est l'outil de portique de CalcSteel, gratuit et sans connexion pour les calculs. Donnez-lui deux poteaux égaux, une traverse en haut, et des bases identiques, puis chargez-le de deux façons. Posez une charge de gravité uniforme sur la traverse et lisez un résultat symétrique : des réactions de base égales, un diagramme de flexion qui se reflète, un effort tranchant nul à la mi-travée. Puis poussez-le latéralement et regardez la réponse basculer en antisymétrique : les moments de base grandissent, les bases forment un couple de traction-poussée, et le moment de la traverse passe par zéro au centre.

Une fois que vous voyez les deux déformées, le demi-modèle cesse d'être une astuce et devient une évidence : l'appui-glissière revient là où l'effort tranchant est déjà nul, l'appui à rouleau là où le moment l'est déjà. À partir d'ici, les voisins naturels sont le guide effort tranchant et moment fléchissant, dont les diagrammes sont précisément ce que vous divisez par deux, et l'arc à trois articulations, une autre structure qu'un unique relâchement bien placé fait passer de difficile à simple.