Maxima et minima : localiser la section où le moment gouverne le dimensionnement

Quelque part au premier semestre d'un cursus d'ingénieur, un enseignant d'analyse trace une courbe au tableau, marque le point le plus haut et dit : trouvez où la dérivée s'annule. Cela ressemble à une énigme sans destinataire. Deux ans plus tard, ce même étudiant dimensionne une poutre en acier et retombe exactement sur la même question, casque de chantier sur la tête : en quel point de cette poutre le moment fléchissant est-il le plus grand, et combien vaut-il ? Ce seul nombre, et la section où il se produit, décide de la taille que la poutre doit avoir. Voyez juste et la barre est sûre et économe. Trompez-vous et vous gaspillez de l'acier ou, pire, vous sous-dimensionnez la seule section qui gouverne réellement.

Voici l'article qui relie ces deux moments. Localiser la section où le moment fléchissant gouverne le dimensionnement est un problème de maxima et minima, le même que celui du Calcul I, appliqué à une poutre réelle. Le moment fléchissant est une fonction M(x) le long de la barre. Le dimensionnement ne se soucie que d'une chose avant tout : la plus grande valeur absolue que cette fonction atteint, et l'abscisse x où cela se produit. La trouver ne relève ni de l'intuition ni de la chance. C'est la méthode de l'intervalle fermé qu'enseigne tout cours d'analyse, et elle recèle trois pièges qui prennent au dépourvu étudiants et ingénieurs chevronnés.

Nous l'avons écrit pour trois lecteurs à la fois. Si vous êtes étudiant, c'est ici que le chapitre sur les maxima et minima prouve enfin son utilité. Si vous êtes calculiste ou projeteur indépendant, c'est une redémonstration nette de la seule habitude qui empêche M_max de se cacher. Chaque valeur calculée ci-dessous a été produite par le moteur d'éléments finis de CalcSteel et vérifiée par rapport à la forme fermée du manuel, jusqu'à la quatrième décimale.

Vous pouvez manipuler les calculs vous-même en lisant : le calculateur de diagrammes d'effort tranchant et de moment gratuit trace M(x) et V(x) pour n'importe quelle poutre, et il tourne dans votre navigateur, sans connexion pour la partie calcul.

Le long de toute poutre, le moment fléchissant est une fonction de la position, notée M(x), où x est la distance depuis une extrémité. Dimensionner la poutre revient à trouver la plus grande valeur absolue que prend M(x) sur toute la longueur, car la contrainte dans la fibre extrême y est proportionnelle au moment. La section qui supporte ce maximum est la section qui gouverne le dimensionnement.

Voilà tout le lien en un paragraphe. Dans un cours d'analyse, on vous donne une fonction abstraite et on vous demande son maximum sur un intervalle fermé. Dans un bureau d'études, on vous donne une poutre, et l'intervalle est sa propre longueur, de x = 0 à x = L. La fonction M(x) n'a rien d'abstrait : c'est le couple interne que le matériau doit reprendre pour maintenir en équilibre chaque tranche imaginaire de la poutre. Le maximum de cette fonction n'est pas une note sur une feuille d'exercices. Il fixe la taille requise d'une barre réelle.

Une fois le moment maximal M_max connu, le reste du calcul de la poutre découle presque mécaniquement. Le module de flexion requis vaut W ≥ M_max / f_yd, où f_yd est la résistance de calcul de l'acier. Un M_max plus grand exige une section plus haute ou plus lourde. Toute l'économie de la barre repose donc sur une abscisse et une valeur, et les deux sortent directement d'une analyse de maxima et minima.

Le hic, c'est que M(x) est rarement une parabole lisse de manuel. Les poutres réelles portent des charges ponctuelles, reposent sur des appuis en cours de travée et se prolongent en porte-à-faux au-delà de leur dernier appui. Chacune de ces particularités change la manière dont le maximum se présente, et la règle naïve, poser la dérivée à zéro, en manque deux des trois. Les sections suivantes les prennent une à une.

Si l'analyse localise le maximum aussi nettement, c'est grâce à une seule relation que toute poutre respecte. Faites une coupe imaginaire, équilibrez le tronçon, et vous constatez que la pente de la courbe de moment en tout point égale l'effort tranchant en ce point :

dM/dx = V(x)

C'est la dérivée du Calcul I rendue physique. L'effort tranchant V est le taux de variation du moment. Nous détaillons pourquoi dans un article dédié à la dérivée comme taux de variation, mais c'est la conséquence qui compte ici. Un maximum intérieur régulier de M se produit exactement là où sa dérivée s'annule et, puisque cette dérivée est V, le moment atteint son maximum là où l'effort tranchant traverse zéro. C'est le premier des trois types de candidats, et celui dont la plupart des gens se souviennent.

Une deuxième relation se superpose à la première. La pente du diagramme d'effort tranchant est l'opposé de la charge répartie, dV/dx = −w. Dérivez M deux fois et vous obtenez la dérivée seconde :

d²M/dx² = dV/dx = −w(x)

C'est le test de concavité de l'analyse, et il fait ici un vrai travail : sous une charge descendante w > 0, la dérivée seconde est négative, donc M est concave vers le bas et tout point critique intérieur est un maximum local. Sous une traction ascendante, la courbure s'inverse et vous obtenez un minimum. Le signe de la charge vous dit, avant tout calcul, dans quel sens pointe le maximum. Nous suivons ce fil jusqu'à la flèche dans la dérivée seconde et la courbure.

Commençons par le cas le plus propre, celui qui se comporte exactement comme le manuel d'analyse. Prenons une poutre sur deux appuis, portée L = 6 m, portant une charge uniformément répartie w = 12 kN/m sur toute sa longueur. Articulation à une extrémité, appui à rouleau à l'autre. C'est la parabole lisse que tout cours dessine en premier.

Réactions et effort tranchant

Par symétrie, chaque appui reprend la moitié de la charge totale : R = wL / 2 = 12 × 6 / 2 = 36 kN. L'effort tranchant part de +36 kN à l'appui gauche et décroît à raison de 12 kN par mètre, car dV/dx = −w. Il s'annule au milieu, x = 3 m, et continue de baisser jusqu'à −36 kN à l'appui droit.

Poser la dérivée à zéro

Le moment est maximal là où dM/dx = V = 0. L'effort tranchant est nul à x = 3 m : c'est donc le point critique, et il s'agit ici d'un véritable point stationnaire intérieur, la pente de M y est exactement nulle et la courbe le traverse en restant lisse. Le moment y vaut la forme fermée du manuel M_max = wL² / 8 = 12 × 6² / 8 = 54 kN·m.

Confirmer que c'est un maximum, pas un minimum

La dérivée seconde vaut d²M/dx² = −w = −12, négative : la courbe est donc concave vers le bas et x = 3 m est un maximum. Aucune ambiguïté de signe, aucune hésitation. En passant cette poutre dans le moteur d'éléments finis de CalcSteel, il a renvoyé R = 36 kN, V = 0 à x = 3 m et M_max = 54,000 kN·m à mi-portée, en accord exact avec la théorie. C'est le cas où la règle naïve fonctionne parfaitement, ce qui est précisément pourquoi elle incite à lui faire confiance partout.

Brisons maintenant la régularité. Même poutre sur deux appuis, L = 6 m, mais remplaçons la charge répartie par une unique charge ponctuelle P = 30 kN à a = 2 m de l'appui gauche, soit b = 4 m à droite. Une force concentrée fait ce qu'une charge répartie ne fait jamais : elle fait sauter l'effort tranchant.

Réactions et saut de l'effort tranchant

Les moments autour de l'appui gauche donnent R_B = P·a / L = 30 × 2 / 6 = 10 kN, et l'équilibre vertical laisse R_A = P − R_B = 20 kN. À gauche de la charge, l'effort tranchant est constant à +20 kN. À x = 2 m, la force de 30 kN le fait chuter instantanément à −10 kN. L'effort tranchant ne passe jamais par zéro en douceur : il l'enjambe d'un saut. Vous pouvez vérifier la répartition avec le calculateur de réactions d'appui gratuit.

Pourquoi poser la dérivée à zéro échoue ici

Si vous vous obstinez à résoudre dM/dx = V = 0, vous ne trouvez aucune solution, car V vaut +20 d'un côté et −10 de l'autre et ne s'annule jamais nulle part. Un étudiant qui se fie à la règle naïve conclut qu'il n'y a pas de maximum, ce qui est absurde : la poutre fléchit à l'évidence. La solution tient à la partie du théorème d'analyse que l'on oublie. Un extremum peut aussi se produire là où la dérivée n'existe pas. À x = 2 m, la courbe de moment présente un point anguleux, une cassure, et la dérivée y est indéfinie précisément parce qu'elle saute de +20 à −10. Ce point anguleux est un point critique tout aussi valable qu'un point stationnaire régulier.

La valeur au point anguleux

Le moment monte sous l'effort tranchant constant de +20 kN jusqu'à un maximum situé juste sous la charge, puis redescend, ce qui donne un diagramme triangulaire. Le maximum vaut la forme fermée du manuel M_max = P·a·b / L = 30 × 2 × 4 / 6 = 40 kN·m à x = 2 m. Le moteur CalcSteel a renvoyé exactement 40,000 kN·m à x = 2 m. La section dimensionnante se trouve sous la charge, en un point où la dérivée n'existe même pas. Manquez ce deuxième type de candidat et vous pouvez manquer le maximum tout entier.

Le troisième piège est celui qui vide complètement l'intérieur de tout candidat. Prenons une poutre en porte-à-faux, longueur L = 3 m, encastrée dans un mur à l'extrémité gauche et libre à droite, sous une charge uniformément répartie w = 10 kN/m. Où le moment est-il le plus grand ?

L'effort tranchant n'est jamais nul dans la travée

En mesurant x depuis l'encastrement, l'effort tranchant à toute section égale la charge encore suspendue au-delà, V(x) = w(L − x). À l'extrémité libre, c'est zéro, et à l'encastrement, c'est la totalité wL = 10 × 3 = 30 kN. Entre les deux, il est strictement positif partout. Il n'existe aucun point intérieur où V = 0, donc le candidat de type 1 ne donne rien, et il n'y a aucune charge ponctuelle, donc le candidat de type 2 ne donne rien non plus. Si c'étaient les seuls endroits où vous regardiez, vous ne trouveriez aucun maximum.

Examiner les extrémités

Ici, le théorème des bornes atteintes sauve la mise. Une fonction continue sur un intervalle fermé atteint son maximum quelque part, et si ce n'est pas à l'intérieur, alors c'est à une extrémité. Le moment vaut M(x) = −w(L − x)² / 2, nul à l'extrémité libre et de plus grande valeur absolue à l'encastrement : M = −wL² / 2 = −10 × 3² / 2 = −45 kN·m à x = 0. Le signe moins traduit un moment négatif : la charge fléchit le porte-à-faux de sorte que la fibre supérieure s'allonge. Le moteur CalcSteel a reproduit −45,000 kN·m à l'encastrement et un effort tranchant d'appui de 30 kN. La section dimensionnante est l'extrémité, le seul endroit où la règle du cas lisse ne vous enverrait jamais.

C'est la raison classique pour laquelle une poutre en porte-à-faux se vérifie à son encastrement et pour laquelle une réaction d'appui n'est jamais une réflexion après coup. Les extrémités figurent toujours sur la liste des candidats.

Les trois cas résolus ne sont pas trois astuces. Ce sont les trois façons exhaustives dont une fonction continue atteint sa valeur extrême sur un intervalle fermé, ce qui est un théorème, pas une coïncidence. L'analyse appelle ce procédé la méthode de l'intervalle fermé, et énoncée pour une poutre, elle se lit ainsi :

1. Points stationnaires intérieurs. Trouvez tout x à l'intérieur de la travée où dM/dx = V = 0. Ce sont les maximums et minimums réguliers.
2. Points intérieurs non dérivables. Ajoutez tout x où la pente de M est indéfinie : sous chaque charge concentrée, là où l'effort tranchant saute, et au droit de tout moment concentré appliqué, là où M lui-même saute.
3. Extrémités. Ajoutez x = 0 et x = L, ainsi que chaque appui, car un encastrement ou une réaction peut porter la valeur extrême.
4. Évaluer et comparer. Calculez M en chaque candidat de la liste et retenez celui de plus grande valeur absolue. Moment positif ou négatif, fibre inférieure ou supérieure tendue, le dimensionnement ne se soucie que de la plus grande valeur absolue.

Toute poutre isostatique au monde se plie à ces quatre étapes, et le calculateur aussi, en plus rapide. La liste est courte précisément parce que le théorème garantit que le maximum ne peut se cacher nulle part ailleurs. Ce qui change d'une poutre à l'autre, c'est seulement la présence de tel ou tel candidat : la poutre uniformément chargée avait un point stationnaire intérieur, la poutre à charge ponctuelle un point anguleux, le porte-à-faux seulement des extrémités. Dressez la liste, évaluez-la, comparez. Cette habitude est tout le savoir-faire.

La quatrième étape, comparer les valeurs absolues, n'est pas une corvée inutile. Bien des poutres produisent deux maximums sérieux à des endroits différents, et le plus grand n'est pas toujours là où un contrôle pressé irait regarder. La poutre avec porte-à-faux en est l'exemple quotidien. Prenons une poutre de 7 m de long portant une charge uniformément répartie w = 10 kN/m, appuyée en x = 0 puis à nouveau en x = 5 m, si bien que les 2 derniers mètres débordent au-delà du second appui en porte-à-faux.

Deux candidats, deux courbures

Les réactions s'établissent à R_A = 21 kN et R_B = 49 kN, l'appui le plus éloigné en reprenant davantage parce que le porte-à-faux prend appui sur lui. En parcourant l'effort tranchant depuis la gauche, il part de +21 kN et décroît de 10 kN par mètre, traversant zéro à x = 2,1 m. C'est le candidat de type 1, un point stationnaire intérieur, et le moment y est un maximum positif de +22,05 kN·m. Au droit du second appui, le diagramme plonge dans le négatif, atteignant −20 kN·m à x = 5 m, là où la réaction crée un point anguleux dans l'effort tranchant. Deux maximums, de signes opposés, à cinq mètres l'un de l'autre.

La comparaison décide de la poutre

Un projeteur qui saisit par habitude le moment sur appui dimensionnerait la poutre pour 20 kN·m et se tromperait. La valeur dimensionnante est la plus grande en valeur absolue, le maximum positif de 22,05 kN·m à x = 2,1 m, et non les −20 kN·m sur l'appui. Le moteur CalcSteel a tout confirmé : R_A = 21 kN, R_B = 49 kN, un moment positif de 22,05 kN·m à x = 2,1 m et un moment négatif de −20 kN·m sur l'appui. Les deux maximums comptent pour le dimensionnement, le positif dimensionne la fibre inférieure à mi-portée et le négatif gouverne la fibre supérieure et son maintien latéral sur l'appui, mais seule la comparaison vous dit quelle section est la section critique. Sautez la quatrième étape et la méthode peut malgré tout vous livrer la mauvaise réponse.

Localiser M_max n'est pas la fin de l'histoire, c'est le début du dimensionnement de la poutre. Le moment maximal est ce qui se convertit en une taille requise. La contrainte dans la fibre extrême vaut σ = M / W, où W est le module de flexion de la section, si bien que maintenir la contrainte sous la résistance de calcul f_yd exige W ≥ M_max / f_yd. Chaque kN·m trouvé à la section dimensionnante alimente directement cette inégalité et fixe la plus petite poutre qui tienne.

Voilà pourquoi l'emplacement compte autant que la valeur. Le module de flexion qu'offre un profilé laminé dépend de la distance à laquelle sa matière se situe de l'axe neutre, une histoire que raconte le moment d'inertie. Une poutre de grande hauteur obtient un grand W à bon compte, et c'est pourquoi la hauteur l'emporte sur le poids brut. La section dimensionnante est là où cette capacité est dépensée : c'est donc là que l'ingénieur regarde en premier, ajoute un raidisseur si l'âme est mince, et vérifie le maintien latéral si le moment est négatif et que la semelle supérieure est comprimée.

La même habitude de maxima et minima dépasse le cadre d'une seule poutre. Dans une poutre continue, l'appui intermédiaire est en général la section dimensionnante en moment négatif, et dans un portique rigide, le maximum migre vers le nœud d'angle. L'outil change, la statique à la main pour la poutre simple et un solveur d'éléments finis pour le portique, mais la question, jamais : dressez la liste des candidats, évaluez M en chacun, retenez la plus grande valeur absolue, dimensionnez la section à cet endroit.

Le moyen le plus rapide d'ancrer la méthode de l'intervalle fermé est de déplacer une charge et de regarder le maximum se déplacer avec elle. Le calculateur ci-dessous est celui-là même sur lequel les exemples résolus ont été vérifiés. Fixez une portée, ajoutez une charge répartie ou une charge ponctuelle, et lisez les deux diagrammes en direct : l'effort tranchant V(x) en haut, le moment M(x) en dessous.

Trois choses à repérer, une par type de candidat. Faites glisser une charge ponctuelle hors du centre et remarquez que l'effort tranchant enjambe le zéro tandis que le moment culmine au point anguleux situé en dessous. Passez à une charge répartie et regardez l'effort tranchant traverser zéro en douceur à mi-portée, là où le moment est une parabole nette. Placez l'appui en retrait de l'extrémité pour créer un porte-à-faux et comparez les deux maximums qui apparaissent. L'image que prédit l'analyse est l'image que trace le moteur.

Il est gratuit, tourne dans le navigateur et ne demande aucune connexion pour la partie calcul. Quand vous serez prêt pour le tableau complet, de la poutre au portique, le guide des diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant vous mène jusqu'au bout.

Presque toute réponse fausse remonte à l'une de quatre habitudes, et chacune correspond à un type de candidat oublié sur la liste.

• Supposer que le maximum est toujours à mi-portée. Vrai seulement pour une charge symétrique sur une travée symétrique. Décentrez la charge et le maximum se déplace sous elle. La mi-portée est un candidat, pas une règle.
• Résoudre uniquement dM/dx = 0. Cela trouve les maximums intérieurs réguliers et rien d'autre. Sous une charge ponctuelle, l'effort tranchant saute et la dérivée ne s'annule jamais, pourtant le moment est maximal en ce point anguleux même. Les points non dérivables ont leur place sur la liste.
• Oublier les extrémités. Une poutre en porte-à-faux a son moment le plus défavorable à l'encastrement, là où l'intérieur n'offre aucun point stationnaire. Les extrémités et les appuis sont toujours des candidats, par le théorème des bornes atteintes.
• Sauter la comparaison des valeurs absolues. Une poutre avec porte-à-faux ou une poutre continue donne un maximum positif et un maximum négatif à des endroits différents. Saisir le premier que vous calculez, ou celui sur l'appui, peut sous-estimer le moment dimensionnant. Évaluez chaque candidat, puis retenez la plus grande valeur absolue.

Un cinquième piège, plus rare : un moment concentré appliqué fait sauter M lui-même, et pas seulement sa pente, de sorte que la valeur extrême peut se situer immédiatement d'un côté de ce moment. Même remède. Portez le saut sur la liste des candidats et évaluez les deux côtés.

Les maxima et minima cessent d'être un chapitre abstrait dès l'instant où vous les voyez dimensionner de l'acier. Le moment fléchissant est une fonction sur un intervalle fermé, la section dimensionnante est son extremum absolu, et la méthode de l'intervalle fermé le trouve sans faute : points stationnaires intérieurs où l'effort tranchant est nul, points anguleux non dérivables sous les charges ponctuelles, extrémités et appuis, puis la plus grande valeur absolue parmi eux. Trois types de candidats, une comparaison, aucune approximation au jugé.

Si cela a relié deux moitiés de votre cursus, la suite de la série poursuit le fil. La dérivée comme taux de variation explique pourquoi dM/dx = V. La dérivée seconde et la courbure emmène le test de concavité jusqu'à la flèche. L'intégrale définie montre pourquoi l'aire sous l'effort tranchant est le moment, et où les intégrales apparaissent à travers l'ingénierie des structures cartographie le reste. Quand la poutre devient une ossature, le guide des diagrammes d'effort tranchant et de moment porte la même habitude jusqu'au portique.

La prochaine fois qu'un problème d'analyse demandera un maximum sur un intervalle fermé, vous le reconnaîtrez. C'est une poutre qui attend d'être dimensionnée.