Máximos y mínimos: cómo ubicar la sección donde el momento gobierna el diseño

En algún momento del primer semestre de una carrera de ingeniería, un profesor de cálculo dibuja una curva en el pizarrón, marca el punto más alto y dice: encuentren dónde la derivada es cero. Parece un acertijo sin dueño. Dos años después, ese mismo estudiante está dimensionando una viga de acero y se topa con la misma pregunta, ahora con casco puesto: ¿en qué punto de esta viga el momento flector es mayor, y cuán grande es? Ese único número, y la sección donde ocurre, decide qué tan grande tiene que ser la viga. Si se acierta, el elemento queda seguro y esbelto. Si se yerra, se desperdicia acero o, peor aún, se subdimensiona la única sección transversal que realmente gobierna.

Este es el artículo que une esos dos momentos. Ubicar la sección donde el momento flector gobierna el diseño es un problema de máximos y mínimos, el mismo de Cálculo I, aplicado a una viga real. El momento flector es una función M(x) a lo largo del elemento. Al diseño le importa una cosa por encima de todo: la mayor magnitud que alcanza esa función, y la coordenada x donde ocurre. Hallarla no es intuición ni suerte. Es el método del intervalo cerrado que enseña todo curso de cálculo, y tiene tres trampas que atrapan por igual a estudiantes y a ingenieros en ejercicio.

Lo escribimos para tres lectores a la vez. Si eres estudiante, aquí es donde el capítulo de máximos y mínimos por fin demuestra su utilidad. Si eres calculista o proyectista independiente, es una rededucción limpia del único hábito que impide que M_max se esconda. Cada número resuelto que aparece abajo lo produjo el motor de elementos finitos de CalcSteel y se verificó contra la fórmula cerrada de los libros de texto hasta el cuarto decimal.

Puedes manejar tú mismo la matemática mientras lees: la calculadora de diagramas de cortante y momento gratuita dibuja M(x) y V(x) para cualquier viga, y corre en tu navegador sin necesidad de inicio de sesión para hacer los cálculos.

En cualquier viga, el momento flector es una función de la posición, escrita M(x), donde x es la distancia desde un extremo. Dimensionar la viga significa hallar el máximo absoluto de la magnitud de M(x) en toda su longitud, porque la tensión en la fibra extrema es proporcional al momento en ese punto. La sección que soporta ese máximo es la sección que gobierna el diseño.

Esa es toda la conexión en un solo párrafo. En un curso de cálculo te entregan una función abstracta y te piden su máximo en un intervalo cerrado. En una oficina de proyecto te entregan una viga, y el intervalo es su propia longitud, de x = 0 a x = L. La función M(x) no tiene nada de abstracta: es el par interno que el material debe resistir para mantener en equilibrio cada rebanada imaginaria de la viga. El máximo de esa función no es una nota en una lista de ejercicios. Fija el tamaño necesario de un elemento real.

Una vez conocido el momento máximo M_max, el resto del cálculo de la viga sigue casi mecánicamente. El módulo resistente necesario es W ≥ M_max / f_yd, donde f_yd es la resistencia de diseño del acero. Un M_max mayor exige una sección más alta o más pesada. Así, toda la economía del elemento depende de una coordenada y un valor, y ambos salen directamente de un análisis de máximos y mínimos.

El detalle es que M(x) rara vez es una parábola suave de libro de texto. Las vigas reales llevan cargas puntuales, descansan sobre apoyos intermedios a lo largo de su longitud y vuelan en voladizo más allá de su último apoyo. Cada una de esas características cambia cómo aparece el máximo, y la regla ingenua, igualar la derivada a cero, se pierde dos de las tres formas en que puede ocurrir. Las próximas secciones las abordan una por una.

La razón por la que el cálculo ubica el máximo con tanta limpieza es una sola relación que obedece toda viga. Haz un corte imaginario, equilibra el trozo y encontrarás que la pendiente de la curva de momento en cualquier punto es igual a la fuerza cortante en ese punto:

dM/dx = V(x)

Esta es la derivada de Cálculo I hecha física. El cortante V es la tasa de cambio del momento. Lo desglosamos en un artículo dedicado a la derivada como tasa de cambio, pero lo que importa aquí es la consecuencia. Un máximo interior suave de M ocurre exactamente donde su derivada es cero, y como esa derivada es V, el momento alcanza su máximo donde el cortante cruza el cero. Este es el primero de los tres tipos de candidato, y el que casi todos recuerdan.

Hay una segunda relación montada sobre la anterior. La pendiente del diagrama de cortante es el negativo de la carga distribuida, dV/dx = −w. Deriva M dos veces y obtienes la segunda derivada:

d²M/dx² = dV/dx = −w(x)

Ese es el criterio de concavidad del cálculo, y aquí hace un trabajo real: bajo una carga hacia abajo w > 0 la segunda derivada es negativa, así que M es cóncava hacia abajo y cualquier punto crítico interior es un máximo local. Bajo una tracción hacia arriba la curvatura se invierte y se obtiene un mínimo. El signo de la carga te dice, antes de calcular nada, hacia dónde apunta el máximo. Seguimos ese hilo hasta la deflexión en la segunda derivada y la curvatura.

Empieza con el caso más limpio, el que se comporta exactamente como en el libro de cálculo. Toma una viga simplemente apoyada, luz L = 6 m, que lleva una carga uniforme w = 12 kN/m en toda su longitud. Articulación en un extremo, apoyo móvil en el otro. Esta es la parábola suave que todo curso dibuja primero.

Reacciones y cortante

Por simetría, cada apoyo soporta la mitad de la carga total: R = wL / 2 = 12 × 6 / 2 = 36 kN. El cortante parte de +36 kN en el apoyo izquierdo y decrece a un ritmo constante de 12 kN por metro, porque dV/dx = −w. Llega a cero en el centro, x = 3 m, y sigue cayendo hasta −36 kN en el apoyo derecho.

Igualar la derivada a cero

El momento es máximo donde dM/dx = V = 0. El cortante es cero en x = 3 m, así que ese es el punto crítico, y aquí se trata de un punto estacionario interior genuino: la pendiente de M es exactamente cero y la curva pasa suave por él. El momento ahí es la fórmula cerrada de libro M_max = wL² / 8 = 12 × 6² / 8 = 54 kN·m.

Confirmar que es un máximo, no un mínimo

La segunda derivada es d²M/dx² = −w = −12, que es negativa, así que la curva es cóncava hacia abajo y x = 3 m es un máximo. Sin ambigüedad de signo, sin dudas. Cuando pasamos esta viga por el motor de elementos finitos de CalcSteel, devolvió R = 36 kN, V = 0 en x = 3 m y M_max = 54,000 kN·m en el centro de la luz, una coincidencia exacta con la teoría. Este es el caso en que la regla ingenua funciona a la perfección, que es justamente por lo que adormece a la gente y la hace confiar en ella en todas partes.

Ahora rompe la suavidad. La misma luz simplemente apoyada, L = 6 m, pero reemplaza la carga uniforme por una sola carga puntual P = 30 kN en a = 2 m desde el apoyo izquierdo, de modo que b = 4 m hacia la derecha. Una fuerza concentrada hace algo que una carga distribuida nunca hace: provoca un salto en el cortante.

Reacciones y el salto en el cortante

Tomando momentos respecto del apoyo izquierdo se obtiene R_B = P·a / L = 30 × 2 / 6 = 10 kN, y el equilibrio vertical deja R_A = P − R_B = 20 kN. A la izquierda de la carga el cortante es un constante +20 kN. En x = 2 m la fuerza de 30 kN lo baja de golpe a −10 kN. El cortante nunca pasa suavemente por cero: lo salta. Puedes confirmar el reparto con la calculadora de reacciones de viga gratuita.

Por qué aquí igualar la derivada a cero falla

Si te empeñas en resolver dM/dx = V = 0, no encuentras solución, porque V vale +20 de un lado y −10 del otro y no es cero en ninguna parte. Un estudiante que confía en la regla ingenua concluye que no hay máximo, lo cual es absurdo: es evidente que la viga se flexiona. La solución está en la parte del teorema del cálculo que la gente olvida. Un extremo también puede ocurrir donde la derivada no existe. En x = 2 m la curva de momento tiene una esquina aguda, un quiebre, y la derivada no está definida ahí precisamente porque salta de +20 a −10. Esa esquina es un punto crítico tan válido como un punto estacionario suave.

El valor en la esquina

El momento sube bajo el cortante constante de +20 kN hasta un máximo justo debajo de la carga y luego cae, formando un diagrama triangular. El máximo es la fórmula cerrada de libro M_max = P·a·b / L = 30 × 2 × 4 / 6 = 40 kN·m en x = 2 m. El motor de CalcSteel devolvió exactamente 40,000 kN·m en x = 2 m. La sección que gobierna está bajo la carga, en un punto donde la derivada ni siquiera existe. Si te pierdes ese segundo tipo de candidato, puedes perder por completo el máximo.

La tercera trampa es la que deja el interior por completo sin candidatos. Toma un voladizo, longitud L = 3 m, empotrado en un muro en el extremo izquierdo y libre en el derecho, bajo una carga uniforme w = 10 kN/m. ¿Dónde es mayor el momento?

El cortante nunca es cero dentro del tramo

Midiendo x desde el extremo empotrado, el cortante en cualquier sección es igual a la carga que aún cuelga más allá de ella, V(x) = w(L − x). En la punta libre eso es cero, y en el muro es el total wL = 10 × 3 = 30 kN. Entre ambos es estrictamente positivo en todas partes. No hay ningún punto interior donde V = 0, así que el candidato tipo 1 no te da nada, y no hay carga puntual, así que el candidato tipo 2 tampoco te da nada. Si esos fueran los únicos lugares donde miras, no encontrarías ningún máximo.

Revisar los extremos del intervalo

Aquí el Teorema del Valor Extremo hace el rescate. Una función continua en un intervalo cerrado alcanza su máximo en algún punto, y si no es en el interior, entonces en un extremo del intervalo. El momento es M(x) = −w(L − x)² / 2, cero en la punta libre y de mayor magnitud en el muro: M = −wL² / 2 = −10 × 3² / 2 = −45 kN·m en x = 0. El signo menos indica momento negativo: la carga flexiona el voladizo de modo que la fibra superior se estira. El motor de CalcSteel reprodujo −45,000 kN·m en el empotramiento y un cortante de apoyo de 30 kN. La sección que gobierna es el extremo del intervalo, el único lugar al que la regla suave nunca te enviaría.

Esta es la razón clásica por la que una viga en voladizo se verifica en su arranque y una reacción de apoyo nunca es una ocurrencia tardía. Los extremos del intervalo están siempre en la lista de candidatos.

Los tres casos resueltos no son tres trucos. Son las tres formas exhaustivas en que una función continua alcanza su valor extremo en un intervalo cerrado, lo cual es un teorema, no una coincidencia. El cálculo llama al procedimiento método del intervalo cerrado, y enunciado para una viga dice así:

1. Puntos estacionarios interiores. Encuentra cada x dentro del tramo donde dM/dx = V = 0. Son los máximos y valles suaves.
2. Puntos interiores no derivables. Agrega cada x donde la pendiente de M no está definida: bajo cada carga concentrada, donde el cortante salta, y en cualquier momento concentrado aplicado, donde M misma salta.
3. Extremos del intervalo. Agrega x = 0 y x = L, y cada apoyo, porque un extremo empotrado o una reacción pueden soportar el valor extremo.
4. Evaluar y comparar. Calcula M en cada candidato de la lista y toma el de mayor magnitud. Momento positivo o negativo, sea cual sea el signo, al diseño le importa el mayor valor absoluto.

Toda viga isostática del mundo se rinde ante esos cuatro pasos, y también lo hace la calculadora, solo que más rápido. La lista es corta precisamente porque el teorema garantiza que el máximo no puede esconderse en ningún otro lugar. Lo único que cambia de una viga a otra es qué candidatos existen: la viga uniforme tenía un punto estacionario interior, la viga con carga puntual tenía una esquina, el voladizo tenía solo extremos del intervalo. Arma la lista, evalúala, compara. Ese hábito es toda la destreza.

El cuarto paso, comparar las magnitudes, no es trabajo de relleno. Muchas vigas producen dos máximos serios en lugares distintos, y el mayor no siempre está donde miraría una revisión apurada. La viga con voladizo es el ejemplo de todos los días. Toma una viga de 7 m de largo que lleva una carga uniforme w = 10 kN/m, apoyada en x = 0 y de nuevo en x = 5 m, de modo que los últimos 2 m vuelan más allá del segundo apoyo como una cola en voladizo.

Dos candidatos, dos curvaturas

Las reacciones resultan R_A = 21 kN y R_B = 49 kN, y el apoyo más alejado toma más porque la cola se apoya en él. Recorriendo el cortante desde la izquierda, parte de +21 kN y decrece a 10 kN por metro, cruzando el cero en x = 2,1 m. Ese es el candidato tipo 1, un punto estacionario interior, y el momento ahí es un máximo positivo de +22,05 kN·m. Sobre el segundo apoyo el diagrama se sumerge en momento negativo, alcanzando −20 kN·m en x = 5 m, donde la reacción introduce una esquina en el cortante. Dos máximos, signos opuestos, separados cinco metros.

La comparación decide la viga

Un proyectista que toma por costumbre el momento sobre el apoyo dimensionaría la viga para 20 kN·m y se equivocaría. El valor que gobierna es el de mayor magnitud, el máximo positivo de 22,05 kN·m en x = 2,1 m, no los −20 kN·m sobre el apoyo. El motor de CalcSteel lo confirmó todo: R_A = 21 kN, R_B = 49 kN, un momento positivo de 22,05 kN·m en x = 2,1 m y un momento negativo de −20 kN·m sobre el apoyo. Ambos máximos siguen importando para el diseño: el positivo dimensiona la fibra inferior en el centro de la luz y el negativo gobierna la fibra superior y su arriostramiento sobre el apoyo, pero solo la comparación te dice cuál sección es la crítica. Sáltate el paso cuatro y el método entero puede igual entregarte la respuesta equivocada.

Ubicar M_max no es el final de la historia, es el comienzo del diseño de la viga. El momento máximo es lo que se convierte en un tamaño necesario. La tensión en la fibra extrema es σ = M / W, donde W es el módulo resistente de la sección transversal, así que mantener la tensión por debajo de la resistencia de diseño f_yd exige W ≥ M_max / f_yd. Cada kN·m que hallaste en la sección que gobierna fluye directamente hacia esa desigualdad y fija la viga más pequeña que sobrevive.

Por eso la ubicación importa tanto como el valor. El módulo resistente que ofrece un perfil laminado depende de cuán lejos se sitúa su material respecto del eje neutro, una historia que cuenta el momento de inercia. Una viga de gran altura gana un W grande de manera barata, y por eso la altura le gana al peso bruto. La sección que gobierna es donde se gasta esa capacidad, así que es donde el ingeniero mira primero, agrega un rigidizador si el alma es delgada, y verifica el arriostramiento lateral si el momento es negativo y el ala superior está en compresión.

El mismo hábito de máximos y mínimos escala más allá de una sola viga. En una viga continua, el apoyo interior suele ser la sección de momento negativo que gobierna, y en un pórtico rígido el máximo migra al nudo de la esquina. La herramienta cambia, estática a mano para la viga simple y un solucionador de elementos finitos para el pórtico, pero la pregunta nunca cambia: arma la lista de candidatos, evalúa M en cada uno, toma la mayor magnitud, dimensiona ahí la sección.

La forma más rápida de fijar el método del intervalo cerrado es mover una carga y ver cómo el máximo se mueve con ella. La calculadora de abajo es la misma contra la que se verificaron los ejemplos resueltos. Fija una luz, agrega una carga uniforme o una carga puntual, y lee los dos diagramas en vivo: el cortante V(x) arriba, el momento M(x) abajo.

Tres cosas para observar, una por cada tipo de candidato. Arrastra una carga puntual fuera del centro y nota cómo el cortante salta el cero mientras el momento alcanza su máximo en la esquina de abajo. Cambia a una carga uniforme y mira cómo el cortante cruza el cero suavemente en el centro de la luz, donde el momento es una parábola limpia. Apoya la viga antes de su extremo para formar un voladizo y compara los dos máximos que aparecen. La imagen que predice el cálculo es la imagen que dibuja el motor.

Es gratis, corre en el navegador y no necesita inicio de sesión para los cálculos. Cuando estés listo para el panorama completo, de la viga al pórtico, la guía de diagramas de fuerza cortante y momento flector lo lleva el resto del camino.

Casi toda respuesta equivocada se remonta a uno de cuatro hábitos, y cada uno es un tipo de candidato que quedó fuera de la lista.

• Suponer que el máximo está siempre en el centro de la luz. Cierto solo para una carga simétrica en una luz simétrica. Mueve la carga fuera del centro y el máximo se mueve debajo de ella. El centro de la luz es un candidato, no una regla.
• Resolver solo dM/dx = 0. Eso encuentra los máximos interiores suaves y nada más. Bajo una carga puntual el cortante salta y la derivada nunca es igual a cero, y sin embargo el momento es máximo en esa misma esquina. Los puntos no derivables pertenecen a la lista.
• Olvidar los extremos del intervalo. Un voladizo tiene su peor momento en el muro, donde el interior no ofrece ningún punto estacionario. Los extremos del intervalo y los apoyos son siempre candidatos, por el Teorema del Valor Extremo.
• Saltarse la comparación de magnitudes. Una viga con voladizo o una viga continua da un máximo positivo y un máximo negativo en lugares distintos. Tomar el primero que calculas, o el que está sobre el apoyo, puede subestimar el momento que gobierna. Evalúa cada candidato y luego toma el mayor valor absoluto.

Una quinta trampa, más rara: un momento concentrado aplicado hace saltar a M misma, no solo a su pendiente, así que el valor extremo puede quedar justo a un lado de él. Misma cura. Pon el salto en la lista de candidatos y evalúa ambos lados.

Los máximos y mínimos dejan de ser un capítulo abstracto en el momento en que los ves dimensionar acero. El momento flector es una función en un intervalo cerrado, la sección que gobierna es su extremo absoluto, y el método del intervalo cerrado lo encuentra sin falla: puntos estacionarios interiores donde el cortante es cero, esquinas no derivables bajo cargas puntuales, los extremos del intervalo y los apoyos, y luego la mayor magnitud entre ellos. Tres tipos de candidato, una comparación, sin adivinanzas.

Si esto conectó dos mitades de tu formación, el resto de la serie continúa el hilo. La derivada como tasa de cambio explica por qué dM/dx = V. La segunda derivada y la curvatura lleva el criterio de concavidad hasta la deflexión. La integral definida muestra por qué el área bajo el cortante es el momento, y dónde aparecen las integrales a lo largo de la ingeniería estructural mapea el resto. Cuando la viga pasa a ser un pórtico, la guía de diagramas de cortante y momento lleva el mismo hábito hasta un marco tipo portal.

La próxima vez que un problema de cálculo pida un máximo en un intervalo cerrado, lo reconocerás. Es una viga que espera ser dimensionada.