Flexão Oblíqua: O Que Acontece Quando a Carga Erra o Eixo Principal

Aqui está um resultado que pega quase todo estudante da primeira vez. Tome uma viga de aço comum, um perfil de mesa larga em pé, do jeito que as vigas são desenhadas. Carregue-a diretamente para baixo e ela se comporta: ela flecha, e a flecha é pequena. Agora incline a mesma carga por um ângulo modesto, o tipo de inclinação que vem de um telhado em rampa ou de uma carga pendurada ligeiramente para um dos lados, e a viga faz algo que não deveria ter o direito de fazer. Ela desloca principalmente para o lado, e a tensão nela sobe muito mais rápido do que a inclinação sugeriria.

Vamos colocar números nisso em um instante, vindos do solver real do CalcSteel, e eles são contundentes: uma W360 que está a 49% do escoamento sob carga vertical atinge 217% do escoamento sob a mesmíssima carga inclinada em 30 graus. Nada na carga ficou mais pesado. Ela apenas deixou de apontar ao longo de um eixo principal da seção. Esse é todo o assunto deste artigo, e ele tem um nome: flexão oblíqua, ou flexão biaxial, a flexão que você obtém quando a carga erra o eixo em que a seção quer ser carregada.

Nada disso é exótico. É a mecânica cotidiana das terças em um telhado inclinado, das cantoneiras que não têm eixo vertical algum, dos trilhos de ponte rolante empurrados para o lado, de qualquer viga que um projetista orienta a olho. A boa notícia é que tudo isso é completamente previsível, e assim que você enxerga os dois eixos principais e como uma carga se decompõe entre eles, dimensionar para isso fica fácil.

Toda seção transversal tem um par especial de eixos perpendiculares passando pelo seu centroide, chamados de eixos principais. São as direções para as quais o produto de inércia é nulo, e esse zero é o que importa. Flexione uma viga em torno de um eixo principal e a resposta é limpa: a viga desloca no mesmo plano da carga, a linha neutra fica ao longo do outro eixo principal, e sigma = M·c / I é exato. Flexione-a em torno de qualquer outro eixo e os dois planos se acoplam, e é desse acoplamento que trata todo este artigo.

Para as seções amigáveis, você já sabe onde estão os eixos principais. Uma forma duplamente simétrica, um perfil I, um caixão retangular, um tubo circular, entrega-os de graça: qualquer eixo de simetria é automaticamente um eixo principal, então as linhas de centro vertical e horizontal são os dois que você quer. É exatamente por isso que desenhamos as vigas em pé. Carregado verticalmente, um perfil I em pé está sendo carregado sobre um eixo principal, e tudo fica simples.

A armadilha é que os eixos principais pertencem à seção, não à gravidade. Se a seção estiver girada (uma terça inclinada com o telhado) ou se ela simplesmente não tiver eixo vertical de simetria (uma cantoneira, um Z), então os eixos principais também estão inclinados, e uma carga puramente vertical deixa de cair sobre um deles. Encontrar esses eixos para uma seção genérica é tarefa para um cálculo de momento de inércia, e para formas simétricas a simetria da seção os entrega sem trabalho algum.

Ao longo de seus dois eixos principais, uma seção tem dois momentos de inércia de área, e para um perfil de mesa larga eles são absurdamente diferentes. Tome a W360 que usamos adiante. Em torno do eixo forte ela oferece Ix = 15 728 cm⁴; em torno do eixo fraco, apenas Iy = 1 042 cm⁴. Isso é uma razão de rigidez de cerca de 15 para um. Todo o propósito de um perfil I alto é acumular material longe do eixo forte, que é exatamente o que torna o eixo fraco tão frágil em comparação.

A rigidez governa o deslocamento, mas a tensão é governada pelo módulo de resistência, e aí a diferença é igualmente brutal. O módulo no eixo forte é Sx = 874 cm³; o módulo no eixo fraco é apenas Sy = 123 cm³, cerca de 7,1 vezes menor. Esse único número é o vilão desta história. Um dado momento levado pelo eixo fraco produz várias vezes a tensão que produziria no eixo forte, de modo que até uma pequena fatia da carga que escapa para o eixo fraco desfere um golpe pesado. O módulo de resistência que você nunca cita é justamente o que te pega.

Então uma seção não é uma viga, são duas, compartilhando o mesmo aço: uma rígida e forte e uma frágil e fraca, em ângulo reto. Carregue ao longo de qualquer um dos eixos principais e apenas aquela viga responde. Carregue em uma direção intermediária e ambas respondem ao mesmo tempo, cada uma na proporção de quanto da carga aponta em sua direção, e a frágil produz muito mais dano do que a sua parcela faria supor.

Na flexão uniaxial, a linha neutra é fácil: é o outro eixo principal, a linha de tensão nula em torno da qual a seção gira. Sob uma carga oblíqua, a linha neutra se inclina, e aqui está a surpresa, ela não se inclina junto com a carga. Ela se inclina além dela, e o amplificador é a razão de rigidez:

tan(beta) = (Ix / Iy)·tan(theta),

onde theta é o quanto a carga se afasta da vertical (da direção de carregamento do eixo forte) e beta é o quanto a linha neutra gira em relação ao eixo forte. A seção é rígida em torno do eixo forte e flexível em torno do fraco, então cede muito mais na direção fraca, e o plano em que ela de fato flete gira fortemente na direção do eixo fraco.

Faça as contas para a W360. Sua razão é cerca de 15, então uma carga inclinada em apenas 30 graus em relação à vertical leva a linha neutra a tan(beta) = 15·tan(30 graus), o que dá beta = 83,5 graus. A carga mal se inclinou, e mesmo assim a linha neutra girou quase um quarto de volta completo, indo da horizontal para quase a vertical. Como a viga sempre desloca perpendicularmente à sua linha neutra, o deslocamento gira a mesma quantidade para o outro lado, saindo da vertical e ficando quase totalmente para o lado. Obtenha o ângulo da linha neutra e você já terá previsto tanto o padrão de tensões quanto a direção em que a viga vai se mover.

Vale a pena ver a amplificação ao longo de uma faixa de ângulos de carga, porque ela se concentra logo no início. Rodamos a W360 no motor em quatro inclinações de carga e medimos a rotação da linha neutra a partir da direção de deslocamento que ela produziu, e depois comparamos com a fórmula. Elas concordam em todos os ângulos:

• Incline a carga 10 graus em relação à vertical e a linha neutra gira 69,4 graus em relação ao eixo forte.
• Incline-a 20 graus e a linha neutra já está em 79,7 graus.
• Incline-a 30 graus e ela chega a 83,5 graus.
• Incline-a 45 graus e ela fica em 86,2 graus, quase vertical.

Os primeiros dez graus de inclinação fazem a maior parte do trabalho. Esse é o aviso prático: com uma razão forte para fraco alta, não há um início suave. Uma carga que você julgava quase vertical já está fletindo a seção quase inteiramente em torno do seu eixo fraco. Essa é a mesma assimetria de rigidez que governa a flambagem lateral com torção e a flambagem de coluna no eixo fraco, onde o eixo frágil é, mais uma vez, o que decide o resultado.

Agora o caso resolvido completo no motor do CalcSteel, para que os números não sejam conversa fiada. Uma W360 biapoiada, vão L = 6 m, carrega uma única carga P = 100 kN no meio do vão. Primeiro apontamos a carga reto para baixo, depois a inclinamos 30 graus e não mudamos mais nada.

Carga vertical. A viga cumpre seu papel. O momento no meio do vão é Mz = 150 kN·m no eixo forte, a tensão de flexão é 172 MPa, e a barra fica a 49% de um escoamento de 350 MPa. Confortável. Esta é a viga trabalhando sobre seu eixo principal, o caso limpo em que sigma = M·c / I é toda a história.

Mesma carga, inclinada 30 graus. A carga agora se decompõe em Mz = 129,9 kN·m no eixo forte e My = 75,0 kN·m no eixo fraco. Note que o momento no eixo fraco não é pequeno: está bem acima da metade do momento no eixo forte, porque tan(30 graus) não é pequeno. O motor retorna um deslocamento no meio do vão de 12,4 mm na vertical, mas 108 mm para o lado, uma flecha lateral cerca de 8,7 vezes a vertical. A viga mal está descendo e principalmente balançando para fora do plano, exatamente a inclinação de 83,5 graus da linha neutra tornada visível.

Esses são os dois diagramas que um projetista deve aprender a esperar juntos. A flexão em torno do eixo forte você lê em um diagrama normal de esforço cortante e momento fletor, mas sob uma carga oblíqua há um segundo diagrama, o do eixo fraco, rodando ao mesmo tempo, e é ele que decide a tensão no canto na próxima seção.

Na flexão uniaxial, a tensão máxima mora na fibra superior ou inferior. Sob uma carga oblíqua, ela se desloca para um canto, o ponto mais distante da linha neutra girada, e é a soma das duas contribuições de flexão:

sigma = Mz·(h/2) / Ix + My·(b/2) / Iy = Mz / Sx + My / Sy.

Coloque a viga resolvida nisso. O termo do eixo forte é Mz / Sx = 149 MPa, o custo honesto da parte vertical da carga. O termo do eixo fraco é My / Sy = 612 MPa. Veja o que aconteceu: o momento no eixo fraco (75,0 kN·m) é menor que o do eixo forte (129,9 kN·m), e ainda assim sua tensão é cerca de quatro vezes maior, porque é dividido pelo minúsculo Sy = 123 cm³ em vez do generoso Sx = 874 cm³.

Some os dois e o canto mais afastado chega a 761 MPa. Contra um escoamento de 350 MPa, isso é 217% de utilização: a seção escoou. A mesma viga, sob a mesma carga apontada reto para baixo, estava a 49%. A diferença inteira, de confortável a reprovada, são os 612 MPa que o eixo fraco contribuiu assim que a carga deixou de apontar ao longo do forte. É por isso que a flexão oblíqua é perigosa em vez de meramente acadêmica: o termo que você é tentado a ignorar é o termo que governa.

A versão de livro-texto é uma carga inclinada à mão. A versão real é uma terça. Uma terça se apoia em um telhado inclinado com seu eixo forte acompanhando a rampa, de modo que a gravidade puramente vertical já chega fora do eixo, inclinada pela inclinação do telhado. Aqui não há projetista descuidado a quem culpar; a geometria faz isso por você.

Rodamos uma terça de perfil U C250 no motor, vão de 6 m, carregando w = 8 kN/m de gravidade, em um telhado modesto de 1:3 (uma inclinação de 18,4 graus). A carga de gravidade se decompõe em uma componente normal ao telhado, carregada pelo eixo forte do perfil U, e uma componente menor descendo a rampa, carregada pelo seu eixo fraco. O eixo forte recebe Mz = 34,2 kN·m e flecha 13,2 mm na direção normal ao telhado. O eixo fraco recebe apenas My = 11,4 kN·m, e ainda assim flecha 53,6 mm rampa abaixo, cerca de 4,1 vezes a flecha normal ao telhado. Neste perfil U, a razão Ix / Iy é de aproximadamente 12, e (Ix / Iy)·tan(inclinação) cai exatamente sobre esse 4,1.

Essa flecha rampa abaixo é exatamente por que as terças recebem tirantes de terça (também chamados de correntes ou travamento) passados entre elas no meio do vão ou nos terços. Os tirantes não estão ali para a gravidade que você está pensando; estão ali para carregar a sorrateira componente no eixo fraco dela, a que trata este artigo, antes que ela desalinhe visivelmente a linha do telhado. Deixe-os de fora e as terças se arqueiam para o lado ao longo da rampa, empoçando água e puxando a telha.

O método sai direto da teoria. Como as duas direções principais não interferem entre si, uma carga oblíqua é apenas uma carga no eixo forte mais uma carga no eixo fraco, e as respostas se superpõem. Assim, você nunca resolve um problema acoplado. Você resolve dois problemas desacoplados e familiares e soma as respostas, momento a momento, tensão a tensão, deslocamento a deslocamento.

Verificamos a decomposição no motor para a viga resolvida. Resolvida como uma única carga oblíqua de 30 graus, ela dá Mz = 129,9 kN·m, My = 75,0 kN·m, um deslocamento vertical de 12,4 mm e um lateral de 108 mm. Resolvida, em vez disso, como duas rodadas separadas, uma carga só no eixo forte e uma carga só no eixo fraco, a rodada forte entrega todos os 129,9 kN·m e a queda de 12,4 mm com movimento lateral nulo, a rodada fraca entrega todos os 75,0 kN·m e a flecha lateral de 108 mm com queda nula, e somá-las reproduz o caso oblíquo até a terceira casa decimal.

Essa é a receita para levar consigo. Decomponha a carga nos dois eixos principais. Resolva cada uma como um problema comum de flexão, do tipo que qualquer ferramenta de viga ou método manual já faz. Depois combine: sigma = Mz / Sx + My / Sy no canto crítico, e some as componentes de deslocamento como vetores. As propriedades da seção para os dois eixos são tudo o que você precisa fornecer.

Até aqui a seção tinha um eixo vertical de simetria, então uma carga vertical só ficava fora do eixo quando a inclinávamos. Algumas seções muito comuns são piores: elas não têm eixo vertical de simetria, de modo que até uma carga puramente vertical passando pelo centroide é oblíqua desde o começo. A cantoneira simples de abas iguais é a infratora clássica. Seus eixos de simetria correm ao longo das diagonais, então seus eixos principais ficam a 45 graus das abas. Carregue uma cantoneira verticalmente e ela já está fletindo em torno dos dois eixos principais e tentando escapar em direção à sua diagonal de menor inércia, e é por isso que uma cantoneira de verga deixada sem travamento flecha para o lado.

O perfil Z, outra terça predileta, é ainda mais sutil: ele é simétrico em relação a um ponto, então seus eixos principais estão inclinados por um ângulo que você precisa calcular a partir do produto de inércia. Essa inclinação muitas vezes é escolhida para quase cancelar a inclinação do telhado, o que é uma das razões pelas quais as terças Z podem superar os perfis U em uma rampa. Para qualquer uma dessas, o caminho honesto é encontrar primeiro os verdadeiros eixos principais e seus Imax e Imin, e depois aplicar o mesmíssimo método de decompor e somar da seção anterior. Nada na mecânica muda; apenas os eixos estão girados.

Um cuidado para as formas com simetria simples, o perfil U incluído: carregá-las fora do centro de cisalhamento também as torce, de modo que uma verificação completa acopla a flexão oblíqua com a torção. Esse é um tópico maior, mas a parte da flexão é exatamente o que calculamos aqui, e costuma ser a parte que governa primeiro.

Um breve guia de campo para os lugares em que a flexão oblíqua aparece, geralmente sem ser convidada:

• Terças e longarinas sem travamento. A componente rampa abaixo desalinha discretamente a linha do telhado e sobrecarrega o eixo fraco. Os tirantes de terça a carregam; deixá-los de fora é o erro clássico.
• Cantoneiras simples como vigas. Uma verga ou uma terça leve em cantoneira flete em torno de seus eixos principais a 45 graus desde o primeiro quilonewton. Verifique-a nos eixos verdadeiros, não nas abas.
• Vigas orientadas a olho. Uma barra girada alguns graus durante a montagem, ou um monotrilho em um caminho de rolamento com contraflecha, escoa discretamente carga para o eixo fraco. Alguns graus bastam, como mostrou a varredura acima.
• Citar apenas Sx. O módulo do eixo fraco Sy é várias vezes menor e causa a maior parte do dano sob carga oblíqua. Se uma carga pode chegar fora do eixo, Sy pertence à folha de cálculo.
• Confiar em um único diagrama. Uma carga oblíqua tem dois diagramas de flexão. Leia apenas o do eixo forte e você perde o termo que governa o canto.

O fio condutor é o mesmo em todos os casos: uma pequena quantidade de carga no eixo fraco compra uma grande quantidade de tensão, porque o módulo do eixo fraco é pequeno. Respeite esse único fato e a flexão oblíqua deixa de ser uma surpresa.

A maneira mais rápida de construir intuição é olhar para os dois números que decidem tudo para a sua seção: seus momentos de inércia no eixo forte e no eixo fraco, e os módulos de resistência que os acompanham. A calculadora abaixo é a ferramenta de momento de inércia do CalcSteel, gratuita e sem login para as contas. Escolha uma forma ou monte uma personalizada, e leia Ix, Iy, Sx e Sy direto. Quanto maior a diferença entre os dois, mais violentamente a linha neutra vai girar no instante em que uma carga deixa o eixo forte, e mais um pequeno momento no eixo fraco vai custar a você.

Com esses quatro números você consegue rodar o método inteiro à mão: decomponha sua carga nos dois eixos, tome Mz / Sx e My / Sy, e some-os no canto. Daqui, as leituras naturais seguintes são o guia de momento de inércia por trás dessas propriedades, o módulo de resistência que as transforma em tensão, e a flambagem lateral com torção, onde o mesmo eixo fraco decide como uma viga falha muito antes de o material falhar.