Simetria e antissimetria: reduza o modelo à metade sem mudar a resposta

Abra qualquer primeiro curso de análise estrutural e a simetria aparece cedo, quase sempre como uma figura: um pórtico com uma linha tracejada no meio, um arco que se espelha da esquerda para a direita, uma treliça de ponte que se lê igual dos dois lados do rio. A figura é a parte fácil. A parte útil é a afirmação escondida atrás dela: se a estrutura é simétrica, você não precisa resolver ela toda. Você pode cortá-la no eixo, guardar uma metade e recuperar os esforços internos exatos do conjunto inteiro.

Essa afirmação merece desconfiança, porque soa como algo de graça. Então este artigo não a afirma, ele a executa. Pegamos uma viga contínua de dois vãos e um pórtico, resolvemos cada um duas vezes, uma como modelo inteiro e outra como metade com o apoio certo no corte, e colocamos as duas respostas lado a lado. Elas batem até a terceira casa decimal, e na viga ainda batem com o resultado fechado do livro-texto. No caminho fixamos a única coisa que faz ou desfaz o truque: qual apoio pertence ao eixo, e por que ele é diferente para um carregamento que empurra de forma simétrica e para um que empurra a estrutura para o lado.

A simetria é mais rígida do que parece. Para o truque do meio-modelo ser exato, três coisas têm que se espelhar em torno do mesmo eixo, não só uma.

• Geometria. Todo nó e toda barra da esquerda tem um gêmeo espelhado na direita, à mesma distância do eixo.
• Rigidez. Barras espelhadas compartilham a mesma seção e o mesmo material, de modo que EA e EI batem gêmeo a gêmeo. Um pilar esquerdo em IPE 360 e um pilar direito em IPE 300 quebra tudo, ainda que o desenho pareça equilibrado.
• Apoios. Uma rótula à esquerda pede uma rótula à direita, um engaste na base pede um engaste na base. Esse é o que as pessoas esquecem: um pórtico geometricamente simétrico mas rotulado de um lado e engastado do outro não é uma estrutura simétrica, e reduzi-lo à metade dá a resposta errada.

Repare no que não está na lista: o carregamento. A estrutura pode ser simétrica enquanto o carregamento é qualquer coisa. Essa separação é o jogo inteiro. A simetria é uma propriedade da estrutura, e uma vez que a estrutura se qualifica, tratamos qualquer carregamento separando-o, que é a próxima seção. Mais uma sutileza que vale dizer com clareza: o que tem que ser simétrico é a resposta, não só o desenho. Uma estrutura simétrica sob um carregamento simétrico se deforma numa configuração espelhada, e é essa deformação espelhada que nos deixa substituir a metade que falta por um apoio.

Aqui está a identidade que transforma um problema difícil em dois fáceis. Pegue qualquer carregamento numa estrutura simétrica. Some a sua imagem espelhada, e você obtém um carregamento perfeitamente simétrico. Subtraia a sua imagem espelhada, e você obtém um perfeitamente antissimétrico. Metade da soma mais metade da diferença é o carregamento original, exatamente:

carregamento = ½(carregamento + espelho) + ½(carregamento − espelho) = parte simétrica + parte antissimétrica.

Uma única força P sentada de um lado vira P/2 espelhada para os dois lados (a parte simétrica) mais P/2 de um lado e −P/2 do outro (a parte antissimétrica). Um carregamento simétrico se reflete em si mesmo: a gravidade numa viga nivelada, uma pressão que é igual à esquerda e à direita, o peso próprio do pórtico. Um carregamento antissimétrico se reflete no seu próprio negativo: um empurrão lateral, uma força de inércia sísmica, o vento que suga uma vertente enquanto pressiona a outra.

Por que se dar ao trabalho de separar? Porque uma estrutura simétrica responde a cada parte com uma configuração limpa e previsível. Sob a parte simétrica ela se deforma de forma simétrica. Sob a parte antissimétrica ela se deforma de forma antissimétrica. Cada uma dessas configurações tem um comportamento conhecido no eixo, e esse comportamento conhecido é exatamente aquilo pelo qual substituímos a metade que falta. Resolva as duas metades, some as respostas, e você está de volta ao carregamento original na estrutura inteira, sem nunca ter modelado mais que um lado.

Tudo depende de uma seção, aquela por onde o eixo passa. Quando a configuração deformada é simétrica, essa seção não pode fazer certas coisas, e quando é antissimétrica ela não pode fazer as coisas opostas. Esses movimentos proibidos são exatamente as restrições do apoio que colocamos ali.

Sob um carregamento simétrico, o ponto no eixo não pode girar (a inclinação espelhada teria que ser igual ao seu próprio negativo, logo é zero) e não pode deslizar de lado atravessando o eixo (mesmo argumento). Ele pode se mover livremente na direção do eixo. O apoio que faz precisamente isso, impede a rotação e o deslizamento perpendicular, permite o movimento na direção do eixo, é um apoio de guia. Como uma configuração simétrica tem inclinação nula no eixo, o esforço cortante no corte é zero; o esforço normal e o momento fletor sobrevivem e o apoio de guia os carrega.

Sob um carregamento antissimétrico, é a imagem espelhada disso. O ponto no eixo não pode se mover na direção do eixo (um deslocamento simétrico ali violaria a antissimetria) mas é livre para girar e para deslizar de lado. O apoio é um simples apoio de rolete que impede só a translação na direção do eixo. Agora o momento fletor e o esforço normal no corte são zero, e só o cortante sobrevive, que o rolete carrega. Uma barra que cruza um eixo antissimétrico tem um ponto de inflexão exatamente no eixo, que muitas vezes é o jeito mais rápido de enxergar o resultado inteiro.

Essa é a cola inteira. Carregamento simétrico: apoio de guia, o cortante é zero. Carregamento antissimétrico: apoio de rolete, o momento e o normal são zero. Troque os dois e o modelo ainda roda, ainda parece razoável, e está silenciosamente errado, e é por isso que essa é a única coisa que se tem que acertar.

Comece pelo caso mais limpo, porque ele tem uma resposta fechada para conferir. Uma viga contínua de dois vãos iguais, L = 6 m cada, apoia-se sobre três apoios e carrega uma carga uniforme simétrica de w = 20 kN/m em todo o seu comprimento. A carga se espelha em torno do apoio central, então a resposta é simétrica, e o apoio central fica bem sobre o eixo.

Modele a viga inteira no CalcSteel e o motor devolve reações de extremidade de R_A = R_C = 45 kN, uma reação central de R_B = 150 kN, e um momento negativo sobre o centro de M_B = 90 kN·m. Esses são os números do livro-texto para uma viga de dois vãos: R = 3wL/8 = 45 kN nas extremidades, 5wL/4 = 150 kN no meio, e M = wL²/8 = 90 kN·m sobre o apoio, com o pico de momento positivo de 50,6 kN·m caindo a 2,25 m dentro de cada vão. Como a viga é prismática, nenhum desses valores depende da seção.

Agora reduza à metade. Guarde um vão, de A a B. O apoio A continua rótula. Em B o eixo faz dois trabalhos ao mesmo tempo: o rolete real já impede o deslocamento vertical, e a simetria impede a rotação e o deslizamento lateral. Todos os três graus de liberdade no plano ficam impedidos, então B vira um engaste e o meio-modelo é uma única viga engastada e apoiada, rotulada em A e engastada em B. Resolva esse único vão e o motor dá R_A = 45 kN e M_B = 90 kN·m, os mesmos números, a partir de um modelo com 6 graus de liberdade em vez de 9. A reação vertical que o engaste reporta, 75 kN, é exatamente metade da reação central de 150 kN, porque o apoio central inteiro recebe dos dois vãos e o meio-modelo só enxerga um. O diagrama completo está no guia de esforço cortante e momento fletor; aqui o ponto é só que um único vão carregou a resposta inteira.

As vigas são mansas porque o eixo cai sobre um apoio. Um pórtico é o teste de verdade, porque o eixo corta pelo meio de uma viga que está carregando carga. Pegue um pórtico de base engastada, 8 m de vão e pilares de 4 m, com uma carga de gravidade simétrica de w = 15 kN/m ao longo da viga. O pórtico se espelha em torno do centro e a carga também, então a resposta é simétrica e o corte pertence ao meio do vão da viga.

Seguindo a cola, o apoio ali é um apoio de guia: ele impede o deslizamento horizontal e a rotação, e deixa o meio do vão descer na vertical. Modele a metade esquerda, um pilar e meia viga, com esse apoio de guia no corte. O motor reporta a base esquerda como um empuxo horizontal de 6,28 kN, uma reação vertical de 60 kN, e um momento de base de 8,37 kN·m. Rode o pórtico inteiro e a base esquerda dá 6,28 kN, 60 kN e 8,37 kN·m, idêntico, enquanto o momento na viga no nó superior sai em 16,7 kN·m nos dois. Os 60 kN são uma boa conferência de sanidade por si só: a carga de gravidade total é 15 kN/m sobre 8 m, o que dá 120 kN, dividida por igual em 60 kN por base.

E o sinal revelador de uma resposta simétrica: o motor reporta o esforço cortante na viga no corte como exatamente zero. Isso não é sorte, é a definição do caso simétrico, e é por isso que o apoio de guia, que não carrega cortante, é o apoio correto. O meio-modelo foi de 15 graus de liberdade para 9 e não perdeu nada.

Mantenha o pórtico, mude a carga. Empurre os dois nós superiores de lado com 30 kN cada, na mesma direção. Isso é um carregamento de deslocamento lateral, e um carregamento de deslocamento lateral é antissimétrico: a sua imagem espelhada é o mesmo empurrão apontando para o outro lado, que é o seu próprio negativo. Então a resposta é antissimétrica, e a cola troca o apoio no meio do vão de um apoio de guia para um simples apoio de rolete, impedindo só o movimento vertical.

Modele a metade esquerda com esse apoio de rolete e o único empurrão de 30 kN no seu próprio nó superior. O motor dá uma base esquerda com uma reação horizontal de 30 kN, uma reação vertical de 14,68 kN, e um momento de base de 61,3 kN·m. O pórtico inteiro devolve os mesmos três números. O que chama a atenção é o próprio corte: o momento fletor na viga ali é zero e o esforço normal na viga também, enquanto o cortante é um saudável 14,68 kN. Essa é a assinatura antissimétrica, um ponto de inflexão sentado bem sobre o eixo, e é por isso que o apoio de rolete, que carrega cortante mas não momento e não normal, é o apoio que a física exige.

As reações verticais são a outra metade da história. Sob deslocamento lateral puro as duas bases dos pilares empurram e puxam, uma para baixo e outra para cima, um binário que resiste ao tombamento. O meio-modelo enxerga só o seu próprio lado desse binário, 14,68 kN, e é exatamente o que o modelo inteiro reporta na base esquerda. Os mesmos 9 graus de liberdade, a mesma resposta, tipo de carga oposto.

As duas rodadas de pórtico acima foram casos puros. Cargas reais raramente são puras, então aqui está a recompensa que amarra tudo. Empurre uma única força de 40 kN só no nó superior esquerdo, nada na direita. Essa carga não é nem simétrica nem antissimétrica, então sozinha ela não cabe em nenhum dos dois meios-modelos. Separe-a. Metade dela, espelhada, é um par simétrico de 20 kN apontando para o centro. Metade dela é um par antissimétrico de 20 kN empurrando os dois na mesma direção, um deslocamento lateral.

Resolva a metade simétrica com o apoio de guia e a parcela simétrica de 20 kN, e o nó superior esquerdo desloca lateralmente meros 0,055 mm. Resolva a metade antissimétrica com o apoio de rolete e a parcela de deslocamento lateral de 20 kN, e o mesmo nó superior desloca 54,53 mm. Some-as: 0,055 + 54,53 = 54,58 mm. Modele o empurrão original de 40 kN de um lado só no pórtico inteiro, sem nenhum truque de simetria, e o motor reporta um deslocamento lateral de 54,58 mm. Os momentos de base somam da mesma maneira, 0,04 da parte simétrica mais 40,87 da parte antissimétrica dá 40,9 kN·m, exatamente o valor do modelo inteiro.

Leia a separação e você aprende algo que o modelo inteiro esconde: um empurrão de um lado só é quase inteiramente um problema de deslocamento lateral. A parte simétrica contribui com um erro de arredondamento para o deslocamento, e a parte antissimétrica carrega 99,9% dele. É por isso que o dimensionamento lateral vive ou morre no caso de deslocamento lateral, e é o tipo de percepção que a decomposição te entrega de graça enquanto a resposta caixa-preta do modelo inteiro a mantém escondida. Para o lado de serviço de um deslocamento como este, o guia de limites de deslocamento fixa os números que um cliente de fato confere.

Até aqui o eixo cortou atravessando barras: uma viga no meio do vão, um apoio no meio. Às vezes ele desce reto ao longo de uma barra, um pilar central sob a cumeeira de um pórtico simétrico, um pendural numa treliça, um tirante central. Essa barra pertence às duas metades ao mesmo tempo, e o meio-modelo tem que dividi-la de forma justa.

A regra é simples: dê ao meio-modelo metade dessa barra. Reduza à metade a sua área e à metade o seu momento de inércia, porque a barra inteira é dividida ao meio entre os dois lados. Sob um carregamento simétrico a barra compartilhada fica sobre o eixo, recebe esforço normal e, se chega a fletir, flete de forma simétrica. Sob um carregamento antissimétrico a mesma barra não pode receber esforço normal algum, porque um esforço normal sobre o eixo teria que ser simétrico enquanto a resposta ao redor dele é antissimétrica; ela trabalha puramente à flexão e ao cortante enquanto os dois lados deslocam um passando pelo outro. Esquecer de reduzir à metade uma barra compartilhada é um jeito comum de acabar com um meio-modelo que é próximo mas não exato, mais rígido que a estrutura real por tudo aquilo com que essa barra central contribui.

Uma objeção honesta: um solver moderno devora o pórtico inteiro em bem menos de um milissegundo, então quem se importa com nove graus de liberdade contra quinze? A velocidade era o motivo um século atrás, quando Hardy Cross e uma régua de cálculo faziam cada grau de liberdade custar caro. Não é o motivo agora. Os motivos agora são sobre o humano segurando o modelo.

• É uma armadilha de erro gratuita. Uma estrutura simétrica sob um carregamento simétrico tem que dar uma resposta simétrica. Se o seu modelo inteiro reporta reações diferentes à esquerda e à direita sob gravidade, você tem um erro de modelagem, uma seção trocada, um apoio digitado errado, um nó fora do lugar por um milímetro. A simetria que você esperava é a conferência que o pega.
• É uma verificação manual em que você pode confiar. Reduzir à metade transforma um pórtico hiperestático em algo que você pode verificar à mão ou contra uma forma fechada, exatamente como a viga de dois vãos colapsou numa viga engastada e apoiada com resposta conhecida. Um número que você consegue reproduzir de dois jeitos é um número que você consegue defender.
• Ela te mostra o caminho da carga. A decomposição nos disse que um empurrão de um lado só é 99,9% deslocamento lateral. Esse entendimento, não o deslocamento cru, é o que te diz onde pôr um contraventamento ou como o pórtico de fato carrega a carga. A resposta de serviço só é útil depois que você sabe qual parte da carga a produziu.
• Ela escala para os casos que ainda doem. A mesma ideia resolve um quarto de um edifício duplamente simétrico, ou uma fatia de um tanque, silo ou domo ciclicamente simétrico, onde o modelo inteiro de fato é caro. Aprenda no pórtico e ela compensa na estrutura que não cabe na memória.

• A carga não é simétrica. Sobrecarga acidental em padrão alternado, vento que pressiona uma vertente e suga a outra, uma ponte rolante em um caminho de rolamento só: nenhuma dessas se reflete em si mesma. Não force um único meio-modelo sobre elas, separe-as num caso simétrico e num antissimétrico primeiro.
• Apoio de guia e apoio de rolete trocados. Pôr um apoio de rolete onde a carga é simétrica, ou um apoio de guia onde ela é antissimétrica, dá um modelo que roda e parece plausível e está errado. O tipo de carga escolhe o apoio, toda vez.
• Os apoios quebram a simetria. Um pórtico geometricamente espelhado que é engastado de um lado e rotulado do outro não é simétrico. Nem um com um recalque, uma mola, ou uma base liberada de um lado só. A simetria tem que valer também nos apoios.
• Uma barra compartilhada deixada inteira. Uma barra sentada sobre o eixo tem que entrar no meio-modelo com metade da sua área e metade da sua inércia. Deixe-a inteira e o meio-modelo fica mais rígido que a estrutura real.
• Supor que o peso próprio precisa ser separado. Não precisa. A gravidade num pórtico simétrico já é um carregamento simétrico, então ela vai direto para a metade simétrica. Reconhecer quais cargas já são puras poupa metade do trabalho.

O jeito mais rápido de sentir isso é montar o pórtico simétrico e vê-lo responder aos dois tipos de carga de formas diferentes. A calculadora abaixo é a ferramenta de pórtico do CalcSteel, grátis e sem login para a conta. Dê a ela dois pilares iguais, uma viga no topo, e bases iguais, e depois carregue-a de dois jeitos. Ponha uma carga de gravidade uniforme na viga e leia um resultado simétrico: reações de base iguais, um diagrama de momento que se espelha, cortante nulo no meio do vão. Depois empurre-a de lado e veja a resposta virar antissimétrica: os momentos de base crescem, as bases formam um binário de empurra e puxa, e o momento na viga passa por zero no centro.

Uma vez que você consegue enxergar as duas configurações, o meio-modelo deixa de ser um truque e fica óbvio: o apoio de guia pertence onde o cortante já é zero, o apoio de rolete onde o momento já é. Daqui os vizinhos naturais são o guia de esforço cortante e momento fletor, cujos diagramas são o que você está reduzindo à metade, e o arco triarticulado, outra estrutura que uma única liberação bem posicionada transforma de difícil em simples.