Rosetas Extensométricas: Lendo um Extensômetro Real num Elemento de Aço Carregado

Cole um extensômetro de lâmina na mesa de uma viga de aço carregada, leia a ponte, e você obtém um número: microdeformação ao longo da direção que a grade por acaso aponta. Esse número parece uma resposta, mas por si só é quase inútil para tensão. O aço naquele ponto está num estado bidimensional, e uma leitura não consegue separar quanto da deformação é estiramento ao longo do elemento, quanto é o aperto de Poisson transversal a ele, e quanto é cisalhamento deslizando a superfície. Três grandezas, uma medição.

A solução é antiga, barata e onipresente num laboratório de ensaios: coloque três extensômetros em três ângulos conhecidos no mesmo ponto e leia os três. Esse agrupamento é uma roseta extensométrica. Com três leituras você pode resolver as três incógnitas do estado de deformação da superfície, girar para as direções principais, e só então converter para tensão. Essa é a ponte entre o que um instrumento consegue medir, deformação, e o que uma norma confere, tensão.

Este guia foi escrito para três leitores ao mesmo tempo. Se você é um estudante conhecendo rosetas num curso de resistência dos materiais, este é o capítulo que normalmente colapsa num único slide denso de trigonometria. Se você é um engenheiro atuante ou um calculista autônomo validando um modelo contra um ensaio físico, é assim que você transforma o registrador de dados numa tensão que você pode comparar com sua análise. E se você só quer o desfecho: num elemento carregado você raramente conhece as direções principais de antemão, então um extensômetro pode ler zero onde a tensão é máxima.

Cada número dos exemplos trabalhados veio do motor de elementos finitos do CalcSteel rodando uma viga IPE 300 real, e depois as tensões da teoria de vigas foram alimentadas pela matemática da roseta e invertidas de volta. O laço fechou até a terceira casa decimal, que é o ponto do exercício inteiro: o extensômetro lê o que a análise prevê, uma vez que você faça a transformação corretamente.

A superfície de um elemento carregado é um problema de estado plano de tensão: a face livre não carrega tensão através da sua espessura, então o estado num ponto é totalmente descrito por três números no plano da superfície. Em termos de deformação, esses são a deformação normal ao longo do eixo do elemento εx, a deformação normal transversal a ele εy, e a distorção de engenharia γxy, a variação do ângulo reto entre essas duas direções.

Um extensômetro não mede nenhuma dessas diretamente a menos que você por acaso o alinhe perfeitamente. Ele mede a deformação normal ao longo da sua própria grade, em qualquer ângulo θ em que essa grade estiver. A lei de transformação conecta os dois:

ε(θ) = εx cos²θ + εy sin²θ + γxy sinθ cosθ

Um extensômetro dá uma equação com três incógnitas. Dois extensômetros dão duas equações, ainda insuficiente. Três extensômetros em três ângulos distintos dão três equações independentes, e agora o sistema é resolvível para εx, εy e γxy. Essa é a razão inteira pela qual uma roseta tem três grades e não duas ou quatro. Um quarto extensômetro às vezes é acrescentado apenas como verificação redundante, nunca porque a matemática precisa dele.

Perceba o que isso significa fisicamente. Se você supõe que o elemento está em tração simples e cola um extensômetro ao longo do eixo, você está apostando que εy e γxy não importam para você. Numa mesa em flexão pura essa aposta por acaso dá certo. Numa alma em cisalhamento ela falha completamente, como o exemplo trabalhado abaixo mostra, e não há aviso na leitura única que lhe diga que a aposta estava errada.

Quaisquer três ângulos distintos funcionam em princípio, mas os fabricantes padronizam dois arranjos porque suas fórmulas de inversão são limpas e seus erros são bem comportados.

A roseta retangular, 0 / 45 / 90

Três grades a 0, 45 e 90 graus. É a mais usada. Como o extensômetro a fica no eixo x e o extensômetro c no eixo y, duas das três incógnitas saem sem álgebra nenhuma: εx = εa e εy = εc. Só o cisalhamento precisa da leitura a 45 graus. Use-a quando você tem um palpite sensato sobre as direções principais, por exemplo um extensômetro alinhado com o eixo de uma viga ou de um pilar, porque então o extensômetro a e o extensômetro c caem perto dos valores principais.

A roseta delta, 0 / 60 / 120

Três grades a 0, 60 e 120 graus, distribuídas uniformemente ao redor do círculo. Ela não tem direção preferencial, então é a escolha honesta quando as direções principais são genuinamente desconhecidas, perto de uma solda, um furo, uma cantoneira, ou uma região de carga combinada. A inversão precisa de um pouco mais de aritmética, mas é simétrica e numericamente bem condicionada.

Ambas vêm como padrões empilhados e compactos de poucos milímetros de largura, de modo que as três grades amostram essencialmente o mesmo ponto. A escolha entre elas é sobre o que você sabe antes de colar o extensômetro, não sobre precisão. Registre a ordem da fiação e a direção de referência do extensômetro a na folha de ensaio, porque toda fórmula que segue depende de qual grade física você chama de a, b e c.

Tudo neste artigo é uma equação aplicada três vezes. Ela merece uma leitura cuidadosa, porque o erro de roseta mais comum de todos se esconde dentro dela.

ε(θ) = εx cos²θ + εy sin²θ + γxy sinθ cosθ

• εx cos²θ projeta a deformação normal axial na direção do extensômetro. Em θ = 0 é todo o εx; em θ = 90 desaparece.
• εy sin²θ faz o mesmo para a deformação normal transversal. Em θ = 90 é todo o εy.
• γxy sinθ cosθ é a contribuição do cisalhamento. É zero em θ = 0 e θ = 90, e máxima em θ = 45. É por isso que o extensômetro a 45 graus é o que sente o cisalhamento.

A armadilha é a definição de γxy. Esta fórmula usa a distorção de engenharia, a variação completa do ângulo reto. A deformação tensorial de cisalhamento usada no círculo de Mohr é metade dela, εxy = γxy / 2. Misture as duas e todo resultado de cisalhamento sai errado por um fator de dois, silenciosamente, porque ambos os números parecem plausíveis. Ao longo deste guia γ é distorção de engenharia, e o fator de um meio aparece explicitamente onde quer que o círculo precise dele.

Mais um hábito que vale manter: as deformações aqui são cotadas em microdeformação, µε, ou seja partes por milhão, 10⁻⁶. Uma leitura de 750 µε é uma deformação de 0,000750. O aço escoa em cerca de 1250 a 1750 µε dependendo do grau, então uma roseta num elemento em serviço vive na faixa de poucas centenas de µε, que é exatamente o que os exemplos mostram.

Escreva a lei de transformação nos três ângulos da roseta 0/45/90 e a álgebra quase desaparece.

Em θ = 0: εa = εx.
Em θ = 90: εc = εy.
Em θ = 45: εb = εx (½) + εy (½) + γxy (½) = (εx + εy)/2 + γxy/2.

As duas primeiras dão εx e εy de graça. Rearranje a terceira para o cisalhamento:

γxy = 2εb − εa − εc

Essa é a inversão inteira. Três leituras entram, três componentes de deformação saem, com uma subtração. A razão pela qual o extensômetro a 45 graus não pode ser descartado agora é óbvia: sem εb não há como chegar a γxy, e γxy é o que carrega toda a informação de cisalhamento.

Uma verificação rápida de sanidade que você pode rodar em qualquer conjunto de dados: se 2εb é igual a εa + εc, o cisalhamento é zero e seus eixos de extensômetro já são os eixos principais. Se não for, a diferença é o cisalhamento, e as direções principais estão giradas para longe das suas linhas de extensômetro.

A roseta delta distribui suas grades a 0, 60 e 120 graus. O extensômetro a ainda cai no eixo x, então εx = εa como antes. Os outros dois precisam da lei de transformação com cos²60 = ¼, sin²60 = ¾, e sinθ cosθ = ±√3/4:

εb = ¼ εx + ¾ εy + (√3/4) γxy
εc = ¼ εx + ¾ εy − (√3/4) γxy

Some as duas para cancelar o cisalhamento, depois resolva para εy; subtraia uma da outra para isolar γxy:

εy = (2εb + 2εc − εa) / 3
γxy = 2(εb − εc) / √3

A simetria é todo o atrativo. A deformação transversal vem da soma dos dois extensômetros fora do eixo, o cisalhamento da diferença entre eles, e nenhuma das fórmulas favorece qualquer direção. Essa imparcialidade é por que o arranjo delta é a ferramenta certa perto de um pé de solda ou de uma cantoneira, onde você não tem palpite honesto sobre onde apontam os eixos principais.

Com εx, εy e γxy em mãos, o estado de deformação da superfície é totalmente conhecido, e encontrar seus valores principais é o mesmo círculo de Mohr que você já usa para tensão, com a deformação tensorial de cisalhamento εxy = γxy/2 no eixo vertical. As deformações principais são:

ε1,2 = (εx + εy)/2 ± √[ ((εx − εy)/2)² + (γxy/2)² ]

e o ângulo do eixo x até a direção de ε1 é:

tan 2θp = γxy / (εx − εy)

O centro do círculo é a deformação normal média, e seu raio é a maior deformação de cisalhamento que o ponto vê, γmax/2. As duas deformações principais são as deformações normais extremas, e elas atuam em planos livres de cisalhamento. Para o aço, onde a superfície está não escoada e elástica, essas deformações principais se mapeiam diretamente em tensões principais no próximo passo.

Você pode sentir a construção inteira movendo o controle de cisalhamento na ferramenta do círculo de Mohr abaixo e observando o ângulo principal girar. Quando γxy é zero o círculo fica no eixo horizontal e as direções principais são suas linhas de extensômetro. Conforme o cisalhamento cresce o círculo sobe e os eixos principais giram em direção a 45 graus, que é exatamente o caso de cisalhamento puro que o extensômetro da alma vai mostrar.

Uma roseta mede deformação, mas o projeto é escrito em tensão. A superfície elástica está em estado plano de tensão, então as duas tensões principais vêm das duas deformações principais pela lei de Hooke:

σ1 = E/(1 − ν²) · (ε1 + ν ε2)
σ2 = E/(1 − ν²) · (ε2 + ν ε1)

com o aço E = 200 GPa e ν = 0,30. O termo de acoplamento ν ε2 importa: você não pode converter cada deformação principal numa tensão por conta própria, porque uma deformação numa direção produz tensão em ambas através do efeito de Poisson. Ignore o acoplamento e uma mesa uniaxial com ε2 = −225 µε reportaria uns falsos 45 MPa no segundo eixo em vez de zero.

Uma vez que você tem as tensões principais, o número que uma norma de aço realmente confere é a tensão equivalente de von Mises, que para um estado plano de tensão é:

σvm = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²)

Compare σvm com a tensão de escoamento, 275 MPa para o aço S275 do exemplo, e você tem uma utilização. Esse é o mesmo critério por trás das verificações de norma no guia círculo de Mohr e tensão principal, alcançado aqui a partir de uma medição física em vez de uma tensão calculada. Os três pontos trabalhados abaixo rodam esse pipeline de ponta a ponta.

Tome a IPE 300 num vão de 6 m sob uma carga uniforme de 18 kN/m. O motor do CalcSteel retorna um momento no meio do vão de 81,0 kNm com cortante zero ali, batendo com wL²/8 exatamente. Cole uma roseta retangular na mesa inferior no meio do vão, extensômetro a ao longo do eixo do elemento. O módulo de resistência que o motor usa para esta seção é Sx = 540 cm³, então a tensão na fibra é:

σx = M / Sx = 81,0 kNm / 540 cm³ = 150,0 MPa de tração, com σy = 0 e τ = 0.

Este é um estado uniaxial, então as deformações são εx = σx/E = 750 µε e εy = −ν εx = −225 µε. Alimente-as pela lei de transformação e os três extensômetros leem:

• Extensômetro a, 0 graus: +750,3 µε, o estiramento axial completo.
• Extensômetro b, 45 graus: +262,6 µε, a média das duas deformações normais, (750,3 − 225,1)/2.
• Extensômetro c, 90 graus: −225,1 µε, a contração de Poisson transversal à mesa, e é negativa.

Inverta: γxy = 2(262,6) − 750,3 − (−225,1) = 0, então os eixos de extensômetro são principais, θp = 0. As deformações principais são apenas εa e εc, e a lei de Hooke dá σ1 = 150,0 MPa, σ2 = 0, von Mises 150,0 MPa, uma utilização de 0,55 contra o S275.

Duas lições vivem neste ponto simples. Primeira, o extensômetro a 90 graus lê negativo mesmo que a mesa esteja em tração, puramente por Poisson, e um leitor que esquece disso vai achar que a mesa está em compressão transversal à sua largura. Segunda, a armadilha: se você tivesse colado um único extensômetro e ele por acaso ficasse a 45 graus, você leria 262,6 µε e, multiplicando por E, reportaria 53 MPa. A tensão verdadeira é 150 MPa. O extensômetro não está errado. Lê-lo como se estivesse alinhado é que está errado.

Agora mova o extensômetro para a alma na linha neutra, diretamente sobre o apoio. Aqui o motor retorna o cortante máximo, V = 54 kN, igual a wL/2, e o momento fletor é zero. Na linha neutra a tensão de flexão é zero por definição, então o estado é de cisalhamento puro. A tensão de cisalhamento da viga é τ = VQ/(I t), com o momento estático do motor Q = 301 × 10³ mm³, momento de inércia I = 8097 cm⁴ e espessura da alma t = 7,1 mm:

τ = (54 kN)(301 × 10³ mm³) / (8097 cm⁴ × 7,1 mm) = 28,3 MPa, com σx = σy = 0.

Cisalhamento puro significa εx = 0 e εy = 0, e apenas γxy = τ/G = 368 µε é não nulo. Ponha uma roseta retangular aqui, extensômetro a ao longo do eixo, e as leituras são gritantes:

• Extensômetro a, 0 graus: 0 µε.
• Extensômetro b, 45 graus: +183,8 µε, que é γxy/2.
• Extensômetro c, 90 graus: 0 µε.

Inverta: γxy = 2(183,8) − 0 − 0 = 367,6 µε. As deformações principais são ±183,8 µε em θp = 45 graus, e a lei de Hooke dá tensões principais de +28,3 e −28,3 MPa, um von Mises de 49,0 MPa.

Este é o exemplo que justifica o instrumento inteiro. Um único extensômetro colado ao longo do eixo do elemento neste ponto lê exatamente zero e lhe diz que o aço está descarregado. Não está: as tensões principais são ±28 MPa e o material está trabalhando. A tensão se esconde a 45 graus, onde nenhum extensômetro axial está olhando, e só a roseta a encontra. Sempre que você não puder garantir onde ficam as direções principais, um extensômetro pode ler zero no pior ponto.

O ponto mais geral carrega flexão e cisalhamento juntos, e suas direções principais caem em nenhum dos dois, nem 0 nem 45 graus. Tome a junção da alma com a mesa no quarto do vão, x = 1,5 m, no lado comprimido. O motor retorna M = 60,75 kNm e V = 27 kN ali. Na junção, y = 139,3 mm da linha neutra, a tensão de flexão é σx = −M y / I = −104,5 MPa (compressão), e o cisalhamento a partir do momento estático da mesa Q = 232 × 10³ mm³ é τ = 10,9 MPa.

Como as direções principais são desconhecidas aqui, use uma roseta delta, extensômetro a ao longo do eixo. As deformações do estado plano de tensão são εx = (σx − ν σy)/E = −522,6 µε, εy = −ν σx/E = +156,8 µε, e γxy = τ/G = 141,7 µε. Os três extensômetros delta leem:

• Extensômetro a, 0 graus: −522,6 µε.
• Extensômetro b, 60 graus: +48,3 µε.
• Extensômetro c, 120 graus: −74,4 µε.

Inverta com as fórmulas delta: εx = −522,6, εy = (2·48,3 + 2·(−74,4) − (−522,6))/3 = +156,8 µε, e γxy = 2(48,3 − (−74,4))/√3 = +141,7 µε. As deformações principais são +164,1 e −529,9 µε em θp = 84,1 graus, uma direção que você nunca teria adivinhado. A lei de Hooke dá tensões principais σ1 = +1,1 MPa e σ2 = −105,6 MPa, e um von Mises de 106,2 MPa, uma utilização de 0,39 contra o S275.

A lição é o eixo principal girado. A ação dominante é a compressão axial, então a compressão principal fica perto do eixo do elemento e a tração principal perto da vertical, a 84 graus. Nenhum aglomerado de dois extensômetros e nenhuma leitura única teriam encontrado esse ângulo. Só três leituras, passadas pela transformação, recuperam tanto a magnitude quanto a direção.

Cada um destes transforma dados limpos de extensômetro numa tensão errada, e nenhum deles lança um erro no registrador de dados.

1. Distorção de engenharia versus tensorial. A lei de transformação usa a distorção de engenharia γxy, o círculo de Mohr usa γxy/2. Alimente γxy no círculo como se fosse o valor tensorial e todo resultado de cisalhamento dobra.
2. Perder a ordem dos extensômetros. Toda fórmula depende de qual grade física é a, b e c e para onde o extensômetro a aponta. Troque b e c numa roseta delta e o sinal do cisalhamento inverte, girando o eixo principal para o lado errado. Registre a direção de referência na folha de ensaio.
3. Multiplicar uma leitura única por E. E vezes uma leitura de extensômetro é uma tensão só se aquele extensômetro estiver alinhado com um eixo principal e o estado for uniaxial. No extensômetro a 45 graus ou numa alma cisalhada isso dá um número errado com confiança.
4. Ignorar o acoplamento de Poisson. σ1 depende tanto de ε1 quanto de ε2 através de E/(1−ν²)(ε1 + ν ε2). Converter cada deformação principal sozinha superestima um eixo e inventa tensão no outro.
5. Ignorar a temperatura. Um extensômetro colado responde à dilatação térmica além da carga. Sem um extensômetro compensador ou uma lâmina autocompensada em temperatura, alguns graus de deriva se leem como dezenas de microdeformação de carga fantasma.
6. Esquecer que é uma medição de superfície. Uma roseta lê a superfície livre, onde a tensão através da espessura é zero. Isso é estado plano de tensão, que é o que a forma da lei de Hooke acima assume. Não é o interior da seção, e não é estado plano de deformação.

A maneira mais rápida de internalizar o círculo de deformação é movê-lo. A calculadora abaixo é a ferramenta do círculo de Mohr do CalcSteel, gratuita e sem login para a matemática. Insira os εx, εy e γxy recuperados de qualquer um dos pontos trabalhados, ou digite um estado de tensão diretamente, e observe os valores principais e o ângulo de rotação se atualizarem. Coloque a alma em cisalhamento puro, εx = εy = 0 com γxy = 368 µε, e veja o círculo se centrar na origem com direções principais a 45 graus.

Na prática o fluxo de trabalho corre nos dois sentidos. Antes de um ensaio, você monta o elemento no CalcSteel, lê o momento e o cortante no local do extensômetro a partir do motor de elementos finitos, e calcula a deformação que a roseta deveria ler, de modo que um valor discrepante no dia sinaliza um descolamento ou um erro de fiação em vez de uma surpresa no aço. Depois de um ensaio, você inverte as leituras reais pelas fórmulas daqui e compara a tensão de von Mises com a análise. Os três pontos acima foram gerados exatamente assim, esforços do motor saindo, matemática da roseta entrando, e o laço fechou até a terceira casa decimal.

Daqui, os dois vizinhos que valem a leitura são a construção do círculo de Mohr que sustenta o passo principal, e a deformação de escoamento, que define o nível de microdeformação em que a lei de Hooke elástica que você usou aqui deixa de ser válida.