Fator de Concentração de Tensão: o Furo na Mesa e o Número que o Livro Te Dá

Um estudante faz um furo de parafuso na mesa tracionada de uma barra de aço, abre o livro de resistência dos materiais e encontra a regra da descontinuidade: σ_max = K · σ_nom. O gráfico devolve um fator perto de 2,5, a conta dá um pico em torno de 300 MPa, e a conclusão parece inevitável: a mesa está sobrecarregada.

O calculista da mesa ao lado roda a mesma ligação em uma norma de aço e ela passa com cerca de metade da capacidade. Mesma geometria, mesma carga, dois veredictos que discordam por um fator de dois. A diferença não é um erro de conta. É uma diferença no que cada número serve para responder.

Este artigo acompanha o furo até o fim: o que o fator de concentração de tensão mede, de onde vem o famoso valor 3, por que uma barra de aço dúctil sob carga estática não é dimensionada em torno do pico, e as situações em que esse mesmo pico é justamente o que rompe a peça.

Um fator de concentração de tensão é a razão entre a tensão de pico local real e uma tensão nominal escolhida:

K_t = σ_max / σ_nom

Três propriedades definem como lê-lo. Primeira, ele é elástico. A teoria por trás de K_t supõe material linear elástico até o topo, sem escoamento em lugar nenhum. Segunda, ele é geométrico. K_t é fixado pela forma da descontinuidade e por razões como o diâmetro do furo sobre a largura, não pelo tipo de aço nem por quanto você puxa. Terceira, ele está preso a uma área de referência. σ_max é um único valor físico, mas σ_nom é uma convenção, e um K_t só significa algo quando você sabe se a tensão nominal foi tomada na seção bruta ou na seção líquida.

O índice t vem de teórico. É uma propriedade do desenho. Mais adiante aparece K_f, o fator de entalhe de fadiga, que é menor e depende do material.

O valor que todo mundo lembra, K_t = 3, é a solução de Kirsch de 1898. Para uma chapa infinita com um furo circular pequeno tracionada em uma direção, a tensão tangencial na borda do furo, no eixo perpendicular à carga, é exatamente três vezes a tensão do campo distante. É daí que vem o 3, e ele é referido à tensão bruta (do campo distante).

Mesas reais não são infinitas. Para uma faixa de largura finita, o gráfico de Peterson ou Roark dá K_t em função da razão d/w. Referido à seção líquida, ele cai a partir de 3,0 conforme o furo cresce:

K_t,liq = 3,00 − 3,14(d/w) + 3,667(d/w)² − 1,527(d/w)³

As duas convenções se ligam por K_t,bruta = K_t,liq / (1 − d/w). Misturá-las é o erro mais comum na leitura do gráfico, e voltamos a ele na lista de erros. Para a mesa resolvida abaixo, d/w = 0,22 e K_t,liq = 2,47.

Tome uma chapa de mesa de 100 mm de largura e 10 mm de espessura, com um furo padrão de 22 mm para um parafuso M20, sob tração axial de P = 100 kN.

Agora a tensão do enredo. Esse pico de 317 MPa está acima da tensão de escoamento do aço estrutural comum: F_y = 250 MPa para o ASTM A36, 275 MPa para o EN S275. Lido ao pé da letra, a borda do furo está sobrecarregada em um quarto. E, no entanto, a tensão média na seção líquida é só 128 MPa, cerca de metade do escoamento. A barra está longe de romper, e uma fibra da borda está nominalmente além do escoamento. As duas afirmações são verdadeiras. As duas próximas seções explicam como.

A primeira tentação é descartar o pico como um artefato teórico. Não descarte. Ensaios de fotoelasticidade e modelos de elementos finitos mostram a concentração com clareza, e uma trinca de fadiga realmente começa na borda do furo. O pico elástico é uma característica genuína do campo de tensões.

Dois fatos o colocam em proporção. Ele é local: a tensão elevada decai de volta à nominal em cerca de um diâmetro de furo, então só uma casca fina de material chega perto de σ_max. E ele é teoria elástica: K_t supõe que o material fica linear até o pico, o que deixa de valer no instante em que essa casca escoa. O que acontece depois que a casca escoa é a história inteira, e depende de o material ser dúctil.

Aumente a carga na mesa resolvida. A borda do furo atinge F_y primeiro e escoa. Um aço dúctil não fratura ali. Ele flui a tensão aproximadamente constante, o patamar de escoamento, e transfere a força extra para o material ainda elástico ao lado. O perfil de tensões ao longo da seção achata: o pico trava em F_y enquanto o resto da seção líquida sobe para alcançá-lo.

Quando a barra chega perto do limite, a seção líquida está quase toda plastificada e é a tensão média, não o pico que desapareceu, que define a capacidade. A grandeza que governa passa a ser a seção líquida contra F_u (ruptura) ou a seção bruta contra F_y (escoamento). Essa redistribuição é a razão física de a norma de aço dobrar o furo em uma área, e não em um K_t. A ductilidade faz o trabalho que o fator parecia exigir.

A AISC 360, e igualmente a NBR 8800 e o Eurocode 3, dimensionam uma barra tracionada com dois estados limites, e nenhum contém fator de concentração de tensão:

• Escoamento da seção bruta: φR_n = φ F_y A_g, com φ = 0,90.
• Ruptura da seção líquida: φR_n = φ F_u A_e, com φ = 0,75 e A_e = U·A_n, onde U representa o shear lag.

Para a mesa A36 resolvida, com U = 1: o escoamento da seção bruta dá 0,90 × 250 × 1000 = 225 kN, e a ruptura da seção líquida dá 0,75 × 400 × 780 = 234 kN. A capacidade é 225 kN, governada pelo escoamento da seção bruta, contra uma solicitação de 100 kN, então a mesa opera com utilização de 0,44. O pico de 317 MPa não aparece em nenhuma das equações. Os coeficientes φ e o uso de F_u na área reduzida já carregam a reserva que o pico parecia exigir.

O argumento da redistribuição se apoia em duas condições: o material precisa poder escoar, e a carga precisa ser estática. Tire uma das duas e o fator volta na hora.

• Fadiga. Uma carga cíclica nunca deixa o pico redistribuir de vez, e a trinca nucleia exatamente na borda do furo. A fadiga usa o fator de entalhe K_f = 1 + q(K_t − 1), onde q é a sensibilidade ao entalhe, cerca de 0,8 a 0,9 para aço estrutural e um furo deste tamanho, dando K_f ≈ 2,25 aqui. As normas de aço entregam isso por categorias de detalhe em vez de K_f direto, mas a física é o pico.
• Material frágil ou fundido. Sem patamar de escoamento, nada redistribui e o pico é simplesmente a tensão de fratura.
• Baixa temperatura ou aço de baixa tenacidade. Serviço a frio ou um aço de alta resistência e baixa ductilidade enfraquecem a hipótese segura de redistribuição.
• Roscas, rasgos de chaveta, cantos reentrantes vivos. K_t local alto em detalhes que costumam também ver carga cíclica.

Em cada caso a concentração não é curiosidade. É o que comanda o dimensionamento.

O número que a história inteira multiplica é σ_nom, e ele vem direto da análise: a força axial ou o momento fletor dividido pela seção que os carrega. Modele a barra, leia a tensão que a mesa realmente vê, e deixe o relatório de dimensionamento rodar as verificações de seção líquida do jeito que a norma faz, sem nenhum multiplicador K_t por cima.

1. Multiplicar por K_t uma tensão de dimensionamento estático em aço dúctil. Contagem dupla. A norma já verifica a seção líquida, e o pico já redistribuiu.
2. Misturar as áreas de referência. Usar a área bruta para σ_nom lendo um K_t referido à seção líquida, ou o contrário. As duas diferem por (1 − d/w), e misturá-las corrompe o pico.
3. Ignorar K_t na fadiga porque o aço é dúctil. A fadiga é justamente o caso em que ele não redistribui.
4. Confundir K_t com K_f. K_t é teórico, elástico, geométrico. K_f é o valor de fadiga, menor, e depende do material pela sensibilidade ao entalhe. Sempre K_f ≤ K_t.
5. Ler o gráfico errado. Usar o diâmetro do parafuso em vez do diâmetro do furo, ou um gráfico de furo para um adoçamento, cai em um fator que pertence a outra peça.

Para uma barra de aço dúctil sob carga estática: use as verificações de seção bruta e seção líquida com F_y e F_u, e nenhum fator de concentração de tensão. Para fadiga, material frágil ou serviço a frio: o pico governa, e você passa para K_f e as categorias de detalhe.

O número do livro não está errado. Ele responde a outra pergunta. K_t diz quão alto a tensão elástica sobe, não quanta carga a barra suporta. Saber qual dessas duas perguntas você está de fato fazendo é a habilidade inteira.