Coeficiente de Poisson: a contração que ninguém confere, e onde ela finalmente importa

Todo estudante aprende duas constantes elásticas no primeiro mês de resistência dos materiais: o módulo de elasticidade E, que diz o quanto o aço custa a se alongar, e o coeficiente de Poisson ν, que diz o quanto ele se contrai lateralmente enquanto você o alonga. E recebe toda a atenção. Ele aparece em toda fórmula de flecha, toda carga de flambagem, toda matriz de rigidez. O coeficiente de Poisson ganha uma definição, um valor para o aço, e depois parece desaparecer.

Ele não desaparece. Ele fica quieto, dobrado dentro de outras constantes onde você deixa de vê-lo. Este artigo acompanha ν desde a definição que os estudantes decoram até os três lugares onde ele realmente ganha o pão no projeto em aço: o módulo de cisalhamento, o fator de rigidez de placa e o comportamento volumétrico de um membro confinado. No caminho, rodamos o motor real do CalcSteel para mostrar duas coisas: que a contração que ninguém confere é exatamente tão pequena quanto você imagina, e que ν já vive dentro de toda análise que você roda, tenha você o digitado ou não.

Carregue uma barra prismática em tração simples. Ela se alonga por uma deformação axial εₐₓ e, ao mesmo tempo, se contrai nas duas direções transversais por uma deformação lateral εₗₐₜ. O coeficiente de Poisson é o negativo dessa razão:

ν = − εₗₐₜ / εₐₓ.

O sinal de menos está ali para que ν saia positivo nos materiais comuns, porque o alongamento (deformação axial positiva) produz contração (deformação lateral negativa). Para o aço estrutural, ν = 0,30. Esse único valor é notavelmente estável: aço-carbono, aço de alta resistência e baixa liga, temperado e revenido, inoxidável austenítico ou ferrítico, todos ficam em 0,30 a menos de um erro de arredondamento. O coeficiente de Poisson é uma propriedade da rede cristalina atômica e de sua resposta elástica, não da tensão de escoamento, então trocar o grau de S235 para S690 deixa ν intacto, ainda que triplique a resistência.

Duas consequências surgem de imediato, e ambas importam mais adiante. Primeira, a deformação lateral não é opcional: se a deformação axial é 500 microdeformações, a transversal é −150 microdeformações, sempre, enquanto o aço estiver no regime elástico. Segunda, ν é adimensional. É uma razão pura, e é exatamente por isso que ele consegue se esconder dentro de outras constantes sem deixar uma unidade para trás que o entregue.

A termodinâmica limita o coeficiente de Poisson de um material isotrópico entre −1 e +0,5. Na prática, a janela útil vai de 0 a 0,5, e o lugar em que um material cai diz algo físico sobre como ele se deforma.

• ν perto de 0 (cortiça): aperte e ela quase não incha para os lados. É por isso que a rolha volta para a garrafa: comprimi-la no comprimento não a engorda.
• ν = 0,20 (concreto): rígido, frágil, baixa resposta lateral.
• ν = 0,30 (aço): o meio-termo estrutural, e o valor que você vai usar quase todo dia.
• ν = 0,33 (alumínio): um tiquinho mais de cedência lateral que o aço, uma diferença que aparece no módulo de cisalhamento.
• ν se aproximando de 0,5 (borracha): o limite incompressível. Em exatamente 0,5 o material conserva o volume perfeitamente, então só pode mudar de forma, nunca de tamanho. A borracha e os solos saturados de água vivem aqui.

Abaixo de zero está a exótica classe auxética, espumas e treliças projetadas para engordar quando você as estica. Elas existem, mas você não vai encontrar uma num pórtico de aço. A lição para o projetista é reconfortante: os metais se agrupam bem juntos perto de um terço, então para o aço você pode tratar ν = 0,30 como constante e acertar até a terceira casa decimal.

Pegue um tirante redondo simples, Ø25 mm, 3 m de comprimento, sustentando uma tração de serviço de 50 kN. Isso dá uma tensão de 101,9 MPa, tranquila para uma barra de aço-carbono. Monte o mesmo membro no CalcSteel e o motor devolve um alongamento axial de +1,53 mm, que bate com o N·L/EA do livro-texto até a casa decimal. Esse número todo projetista confere, porque é o alongamento que aparece no aperto de um esticador ou na pré-tração de um contraventamento.

Agora o número que ninguém confere. A deformação axial é 509 microdeformações, então a deformação lateral é −ν·εₐₓ = −153 microdeformações, e o diâmetro encolhe por:

Δd = − ν · εₐₓ · d = −0,30 · 0,000509 · 25 mm = −3,82 µm.

Três vírgula oito mícrons. Isso é mais fino que um fio de cabelo, muito abaixo do que um paquímetro em obra conseguiria resolver, e não muda nenhuma verificação de capacidade. Então é justo ignorá-lo, e todo mundo ignora. Mas guarde duas coisas. Primeira, essa contração não é um artefato de arredondamento, é exatamente a deformação transversal negativa que um extensômetro colado atravessado na barra leria, e é por isso que uma roseta extensométrica num membro tracionado mostra leitura negativa na sua grade transversal mesmo com o aço sendo puxado. Segunda, o mesmo ν que torna essa contração desprezível está prestes a deixar uma placa mais rígida e a flecha de um tubo maior. Mesmo número, consequência bem diferente.

Aqui está a virada que faz o coeficiente de Poisson importar sem nunca ficar visível. Para um material isotrópico, o módulo de cisalhamento não é independente de E e ν. Ele está preso a eles:

G = E / [ 2 (1 + ν) ].

Para o aço, G = 200 / (2 × 1,30) = 76,9 GPa. Toda constante de torção, todo termo de deformação por cisalhamento, toda carga de flambagem torsional que você algum dia calcular passa por G, e G nada mais é que E e ν combinados. Então, no instante em que você usa G, você está usando o coeficiente de Poisson, saiba você disso ou não.

O CalcSteel torna isso literal. Abra o catálogo de materiais e você nunca vai achar um campo rotulado como coeficiente de Poisson. O que você acha é um par, E e G, guardado para todo grau de aço, inoxidável e alumínio. Mas esse par não é livre: recupere ν com ν = E/2G − 1 e todo aço e inoxidável do catálogo entregue devolve 0,30, e todo alumínio devolve 0,33. O motor codifica o coeficiente de Poisson no único lugar onde precisa dele, e o esconde à vista de todos. A tabela abaixo é recuperada direto do catálogo em execução, não digitada.

Se ν só produzisse contrações de 3,82 µm, seria uma curiosidade. Não é, porque ele viaja dentro de G, e G governa a torção. Para tornar isso concreto, pegue um membro que de fato torce: um balanço dobrado feito de um tubo fechado, um CHS 168.3 × 6, com uma perna de 2 m e uma perna de 1,5 m se encontrando em ângulo reto, carregado com 8 kN para fora do seu plano na extremidade livre. Essa é a forma de um esporão de marquise, uma viga de borda de sacada, um braço em balanço de pipe-rack.

A carga fora do plano flexiona as duas pernas e, o que é crucial, torce a primeira perna com um torque de 12 kNm. Rode no CalcSteel e a extremidade livre baixa 38,2 mm. Suprima a torção e o mesmo pórtico baixa apenas 15,0 mm, ou seja, 60,7% da flecha de serviço é torção, e cada pedacinho dessa torção passa por G, logo por ν. Um tubo fechado é deliberadamente rígido à torção, e é exatamente por isso que o giro fica pequeno, 0,886 graus, enquanto ainda carrega a maior parte da flecha.

Agora o retorno. Rode de novo o pórtico idêntico com ν suposto em 0,25 em vez de 0,30. Nada mais muda, só o coeficiente de Poisson, que eleva G de 76,9 para 80,0 GPa. A flecha na ponta cai de 38,2 para 37,3 mm, um deslocamento de 2,33% num número que você reporta contra um limite de serviço L/250. Isso é o coeficiente de Poisson mudando uma resposta real, medido pelo mesmo motor que devolve o alongamento até a casa decimal. Erre ν em cinco centésimos e sua flecha sai errada em mais de dois por cento, na exata grandeza que um cliente vê.

A torção de um tubo dobrado é a demonstração mais limpa, mas não é o único lugar onde G, e portanto ν, controla o resultado. Outros dois aparecem no trabalho de rotina.

Flecha por cisalhamento em membros atarracados. A conhecida flecha 5wL⁴/384EI é uma fórmula só de flexão. Para membros curtos e altos, uma viga de peitoril sobre uma abertura larga, uma viga de transferência, uma viga de acoplamento, o termo de deformação por cisalhamento, proporcional a 1/GA, deixa de ser desprezível. Como G carrega ν, a parcela de cisalhamento da flecha também carrega. Raramente domina numa viga longa, mas num membro com relação vão sobre altura perto de 5 ela pode somar vários por cento, e é o coeficiente de Poisson que fixa o tamanho dessa adição.

Flambagem torsional e flexo-torsional. Formas com simetria simples e com simetria pontual, cantoneiras, tês, perfis U, cruciformes, podem flambar por torção em vez de por flexão simples. A tensão de flambagem torsional elástica depende de G·J e da rigidez ao empenamento, então a capacidade governante de uma cantoneira esbelta comprimida passa diretamente pelo módulo de cisalhamento. Se você está dimensionando para um estado limite onde a flambagem flexo-torsional governa, ν está discretamente na resposta. Esse é o padrão de todo o assunto: você nunca vê o coeficiente de Poisson na verificação, mas ele está dentro de todo G que a verificação usa.

O coeficiente de Poisson tem um segundo esconderijo, e este aparece sempre que o aço age como placa, e não como viga: placas de base, lajes, paredes de cisalhamento, almas não enrijecidas. A rigidez à flexão de uma placa não é E·t³/12, o valor de uma faixa nua. É:

D = E · t³ / [ 12 (1 − ν²) ].

O (1 − ν²) no denominador vem do fato de que uma placa larga não pode se contrair livremente para os lados enquanto flexiona, o material de cada lado a restringe, e essa restrição a enrijece. Para o aço, 1 − ν² = 1 − 0,09 = 0,91, então o fator de placa 1/(1 − ν²) = 1,099. Uma placa é 9,9% mais rígida à flexão que uma faixa de mesma espessura, puramente por causa da restrição de Poisson. Isso não é um erro de arredondamento, é a diferença entre uma placa de base que passa numa verificação de esmagamento e flexão e uma que não passa, e é por isso que as fórmulas de placa e as fórmulas de viga nunca concordam de verdade.

O mesmo 1/(1 − ν²) aparece como um módulo efetivo, E' = E/(1 − ν²) = 219,8 GPa, sempre que um membro está em estado plano de deformação, impedido de se contrair ao longo de um eixo. Uma região espessa e lateralmente confinada se comporta como se fosse feita de um aço mais rígido, de novo cerca de 10%, e de novo todo o efeito é o coeficiente de Poisson.

O fator de placa é, na verdade, um caso particular de uma ideia mais ampla que confunde muitos engenheiros: a diferença entre estado plano de tensão e estado plano de deformação. No estado plano de tensão, membros finos livres para se contrair na espessura, a lei de Hooke fica σ = E·ε para um estado uniaxial e o material mostra seu módulo simples. No estado plano de deformação, membros espessos ou lateralmente confinados que não podem se contrair para os lados, o mesmo aço responde com o módulo efetivo mais rígido E/(1 − ν²), porque a restrição de Poisson está fazendo trabalho estrutural.

Isso não é acadêmico. A garganta de uma solda no fundo de uma ligação espessa, o núcleo de uma emenda de pilar pesado, o material à frente da ponta de uma trinca, todos ficam mais perto do estado plano de deformação que do estado plano de tensão. O confinamento eleva a rigidez aparente e, mais importante para a segurança, eleva a tração hidrostática. Essa restrição triaxial é exatamente por que seções espessas e soldas muito restringidas são mais propensas à fratura frágil: o coeficiente de Poisson, ao se recusar a deixar o aço estricionar e escoar livremente, mantém o estado de tensão triaxial e suprime o alívio dúctil que uma placa fina teria. O número é benigno numa verificação de flecha e perigoso numa verificação de fratura, e é o mesmo número.

Mais um lugar onde o coeficiente de Poisson define a física: o quanto um aço tensionado de fato muda de volume. A deformação volumétrica, a variação fracionária de volume, sob um estado de tensão geral é:

e = (1 − 2ν) / E × (σₓ + σ_y + σ_z).

O fator (1 − 2ν) é o que entrega. Para o aço, 1 − 2ν = 0,40, então sob uma tensão uniaxial de 150 MPa o volume de um membro cresce cerca de 300 microdeformações. À medida que ν sobe em direção a 0,5, esse fator cai em direção a zero, e o material deixa de mudar de volume por completo, que é o sentido exato de incompressível. A constante companheira é o módulo de compressibilidade, a resistência à compressão uniforme:

K = E / [ 3 (1 − 2ν) ] = 166,7 GPa para o aço.

K, assim como G, é fixado só por E e ν. Um material elástico isotrópico tem exatamente duas constantes elásticas independentes, e toda outra, G, K, o módulo de deformação plana, o fator de placa, é uma combinação das duas que você já conhece. Escolha E e ν e você escolheu todas elas. É por isso que vale entender ν mesmo que você raramente o digite: ele é um de apenas dois números que definem como o aço se deforma.

Para o aço estrutural, o conselho honesto é simples: confie em 0,30 e siga em frente. Ele não varia o suficiente entre graus, normas ou temperaturas na faixa de serviço para justificar um segundo pensamento, e toda norma consagrada, NBR 8800, AISC 360, Eurocode 3, IS 800, adota 0,30 para análise estrutural. O único metal comum que difere é o alumínio, em 0,33, e o CalcSteel já carrega esse valor por você nos graus de alumínio, então um braço em balanço 6061-T6 é analisado com o G correto automaticamente.

Onde ν genuinamente deixa de ser constante é fora do mundo do aço que você ainda pode tocar. O concreto fica perto de 0,20, e seu valor desliza sob carga permanente. A madeira é fortemente anisotrópica, com vários coeficientes de Poisson diferentes conforme a direção das fibras. Os solos vão de cerca de 0,2 quando drenados a 0,5 quando saturados e não drenados, e é por isso que a análise geotécnica de recalque leva ν a sério de um jeito que o projeto em aço não leva. Os apoios elastoméricos são efetivamente incompressíveis em 0,5, e errar isso torna sem sentido um cálculo de rigidez de apoio. A regra prática: para o aço em si, ν = 0,30 é um fato em que você pode se apoiar; para qualquer coisa em que ele se apoia ou a que se conecta, confira o número antes de supô-lo.

• Usar 0,5 para o aço. Um deslize surpreendentemente comum, muitas vezes copiado de um contexto de fluidos ou borracha. Ele infla G em 15% e torna K infinito. O aço é 0,30, não incompressível.
• Esquecer que G depende de ν. Tratar G como uma entrada livre que se pode arredondar para 80 GPa reajusta ν para 0,25 sem que você perceba. Se sua resposta de torção ou de flambagem torsional precisa ser consistente, deixe G = E/2(1+ν) em vez de digitar um G arredondado.
• Contar o fator de placa duas vezes. Usar uma fórmula de placa que já contém 1/(1 − ν²) e depois multiplicar por ele de novo, ou o inverso, tirá-lo de uma placa e tratá-la como faixa. Saiba qual fórmula você tem em mãos.
• Misturar estado plano de tensão e estado plano de deformação. Aplicar o E de um membro fino e livre a um membro espesso e confinado, ou vice-versa, é um erro de rigidez de 10% e, perto de uma trinca, um erro relevante para a segurança.
• Supor que ν acompanha o grau. Não acompanha. S235 e S690 compartilham ν = 0,30. O coeficiente de Poisson é uma propriedade da rede cristalina, não uma propriedade de resistência, então maior escoamento não significa uma contração diferente.

O coeficiente de Poisson é a constante que conecta a deformação que você pode medir à tensão que você precisa verificar. A calculadora abaixo é a ferramenta de círculo de Mohr do CalcSteel, gratuita e sem login para a conta. Informe um estado de tensão e ela devolve as tensões principais, o cisalhamento máximo e o valor de von Mises. Para ver ν em ação, pegue o tirante acima: uma tensão axial de 101,9 MPa com tensão transversal nula produz a deformação axial de 509 microdeformações e, através de ν, a deformação lateral de −153 microdeformações. A ferramenta trabalha o lado da tensão desse mesmo círculo.

A partir daqui, os vizinhos que valem a leitura são o guia da roseta extensométrica, onde a deformação transversal negativa que você viu acima é o que um extensômetro real registra, e o artigo dos limites de flecha, onde os números de serviço que ν empurra em alguns por cento são verificados contra a norma. O coeficiente de Poisson é a quieta segunda constante por trás de todos eles: você raramente o digita, mas ele já está em toda resposta.