Integração numérica: propriedades geométricas de um polígono qualquer, do jeito que o software faz

Antes de qualquer viga ser verificada à flexão, à flecha ou à flambagem, sua seção transversal tem que ser reduzida a um punhado de números. Esses números são as propriedades geométricas:

• Área A, que carrega o esforço axial e o peso próprio.
• Centroide (C_x, C_y), o ponto a partir do qual todas as outras propriedades são medidas.
• Segundo momento de área I_x, I_y (o momento de inércia), que define a rigidez à flexão e, por meio da carga de Euler, a capacidade à flambagem.
• Produto de inércia I_xy, que diz se x e y são os eixos principais ou se a seção vai fletir de lado sob uma carga vertical.
• Módulo de resistência (módulo elástico) S = I / c e raio de giração r = √(I/A), os números derivados que as verificações da norma usam diretamente.

Para um retângulo ou uma barra redonda você consulta uma fórmula. Mas uma seção transversal real, uma viga soldada de alma cheia, um lábio de perfil formado a frio, uma chapa de nó com um canto recortado, uma célula de ponte, não tem fórmula. É apenas um contorno. A pergunta que este artigo responde é a mesma que todo programa estrutural tem que responder internamente: dado nada além das coordenadas dos cantos de uma forma qualquer, como você obtém A, o centroide e a inércia, de forma exata e rápida?

A resposta honesta é integração numérica, mas não do tipo que a maioria imagina. O software não pica o interior em uma grade e soma quadradinhos. Ele faz algo muito mais elegante, e isso vem direto do Cálculo I e II.

Abra a ementa de Cálculo II no capítulo de integrais duplas e você já tem as definições. Sobre a região R que a seção transversal ocupa:

A = ∫∫_R dA

Q_x = ∫∫_R y dA, Q_y = ∫∫_R x dA (os primeiros momentos; o centroide é C_y = Q_x/A, C_x = Q_y/A)

I_x = ∫∫_R y² dA, I_y = ∫∫_R x² dA, I_xy = ∫∫_R xy dA

Essas expressões são exatas e completamente gerais, e se a ligação entre uma integral e uma grandeza física parece abstrata, o caso do cortante e do momento a torna concreta: o momento é literalmente a integral definida do diagrama de cortante. A dificuldade aqui é puramente prática: R é uma região arbitrária, então não há antiderivada onde inserir os limites. Um aluno de primeiro ano montaria os limites à mão para uma forma específica. Um programa não consegue, porque não conhece a forma até a execução.

Há três saídas, e vale nomeá-las porque as pessoas as confundem:

1. Malhagem / Monte Carlo: preencher o interior com células ou pontos aleatórios e somar. Simples, sempre funciona, mas aproximado e lento, e precisa do interior, não só do contorno. É o que o software de elementos finitos faz para tensão, não o que faz para propriedades geométricas.
2. Quadratura de Gauss: amostrar o integrando em alguns poucos pontos espertos com pesos espertos. Exata para polinômios até certo grau, e como y² é um polinômio de baixo grau, um punhado de pontos acerta em cheio uma forma de arestas retas. É o cavalo de batalha dentro das integrais de rigidez do elemento em um motor de elementos finitos.
3. Teorema de Green: converter a integral de área em uma integral de contorno e, para um polígono, avaliá-la de forma exata como uma soma finita. Sem malha, sem amostragem, sem erro. É o que um motor de propriedades geométricas usa.

A opção 3 é a que transforma um problema ilimitado em um laço de uma linha, então é a que seguimos.

O teorema de Green é o resultado de Cálculo II que relaciona uma integral dupla sobre uma região a uma integral de linha ao redor do seu contorno ∂R:

∫∫_R (∂M/∂x − ∂L/∂y) dA = ∮_∂R (L dx + M dy)

O truque é escolher L e M de modo que o lado esquerdo se torne a propriedade que queremos. Para a área, tome L = 0, M = x, e o teorema dá A = ∮ x dy. Para o segundo momento em torno do eixo x, escolha o par que faz ∂M/∂x − ∂L/∂y = y², e I_x vira uma integral de linha de termos em y² ao redor da borda. O mesmo movimento funciona para toda propriedade da lista.

Por que isso é uma vitória tão grande? Porque o contorno de um polígono é uma sequência de segmentos retos, e uma integral de linha sobre um segmento reto é algo que você integra em forma fechada uma vez, simbolicamente, para sempre. Você faz o cálculo uma única vez sobre uma aresta genérica de (xᵢ, yᵢ) a (xᵢ₊₁, yᵢ₊₁), e daí em diante o computador só soma a álgebra resultante. A integral bidimensional sobre uma região desconhecida colapsou em uma soma unidimensional sobre n arestas.

Geometricamente, cada aresta varre um triângulo com sinal de volta até a origem. Arestas do lado oposto da origem varrem área positiva, arestas do lado próximo varrem área negativa, e as sobreposições se cancelam exatamente, deixando a verdadeira região envolvida. Essa imagem de varredura com sinal é a ideia inteira por trás da fórmula da próxima seção.

Efetue a integral de contorno para um polígono com vértices (xᵢ, yᵢ), listados em ordem e fechado (o último vértice se conecta de volta ao primeiro), e toda propriedade se reduz a uma soma de uma quantidade por aresta, o termo cruzado:

crossᵢ = xᵢ · yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ · yᵢ

Esse é exatamente o numerador de um determinante 2×2, a área com sinal do triângulo formado pela origem e a aresta i. A área é então:

A = ½ Σ crossᵢ

Esta é a fórmula do cadarço (shoelace) (fórmula da área de Gauss), assim chamada porque o padrão de multiplicação cruzada lembra o laçar de um cadarço. Ela tem sinal: liste os vértices no sentido anti-horário e A sai positivo, no horário e sai negativo. O software usa esse sinal deliberadamente, positivo para um contorno cheio, negativo para um furo, de modo que uma seção com cavidade é tratada listando os vértices do furo no sentido oposto e somando.

Exemplo resolvido: um retângulo de 200 × 300 mm

Coloque os cantos em (0,0), (200,0), (200,300), (0,300), no sentido anti-horário. Os quatro termos cruzados:

• aresta (0,0)→(200,0): 0·0 − 200·0 = 0
• aresta (200,0)→(200,300): 200·300 − 200·0 = 60 000
• aresta (200,300)→(0,300): 200·300 − 0·300 = 60 000
• aresta (0,300)→(0,0): 0·0 − 0·300 = 0

A = ½ (0 + 60 000 + 60 000 + 0) = 60 000 mm², que é 200 × 300 no dígito. Duas das quatro arestas não contribuíram com nada, porque uma aresta que repousa sobre uma reta passando pela origem varre um triângulo nulo. A fórmula não se importa; ela simplesmente soma.

> Nota CalcSteel: o motor de seções que alimenta as páginas de perfis roda exatamente este laço. O termo cruzado com sinal é a linha um da função; todo o resto é mais da mesma álgebra.

O centroide usa o mesmo termo cruzado, ponderado pela coordenada que está se movendo:

C_x = 1/(6A) Σ (xᵢ + xᵢ₊₁) · crossᵢ

C_y = 1/(6A) Σ (yᵢ + yᵢ₊₁) · crossᵢ

O centroide importa porque o momento de inércia que a norma quer é medido em torno do centroide, não em torno da origem do seu desenho. Erre o centroide e toda inércia depois dele fica errada pelo termo do teorema dos eixos paralelos.

Exemplo resolvido: um triângulo retângulo, base 120 × altura 180

Vértices (0,0), (120,0), (0,180). A área pela fórmula do cadarço é ½ · 120 · 180 = 10 800 mm². Passando os mesmos vértices pelas somas do centroide obtém-se:

• C_x = 40 mm = base / 3
• C_y = 60 mm = altura / 3

que é o centroide de livro-texto de um triângulo retângulo, um terço de cada cateto a partir do canto do ângulo reto. Note que a origem ficou em um canto, não no centroide: a fórmula encontrou o centroide para nós, que é justamente o ponto. Você nunca precisa saber de antemão onde está o centroide.

Os segundos momentos saem da mesma integral de contorno, um passo algébrico mais pesado. Em torno da origem do desenho:

I_x0 = 1/12 Σ (yᵢ² + yᵢ·yᵢ₊₁ + yᵢ₊₁²) · crossᵢ

I_y0 = 1/12 Σ (xᵢ² + xᵢ·xᵢ₊₁ + xᵢ₊₁²) · crossᵢ

I_xy0 = 1/24 Σ (xᵢ·yᵢ₊₁ + 2xᵢ·yᵢ + 2xᵢ₊₁·yᵢ₊₁ + xᵢ₊₁·yᵢ) · crossᵢ

Esses valores são em torno da origem, que quase nunca é onde você os quer. O último passo é o teorema dos eixos paralelos (a transferência de Steiner), usado ao contrário para deslizar o eixo da origem até o centroide:

I_x = I_x0 − A · C_y², I_y = I_y0 − A · C_x², I_xy = I_xy0 − A · C_x · C_y

Como subtraímos a contribuição do centroide uma vez, no final, o cálculo inteiro ainda é uma única passada pelas arestas seguida de três subtrações. Nada é malhado, nada é amostrado.

De volta ao retângulo

Para o retângulo de 200 × 300, as somas na origem dão I_x0, e após a transferência por C_y = 150 mm o resultado é I_x = 450 × 10⁶ mm⁴, exatamente b·h³/12 = 200·300³/12. Da mesma forma I_y = 200 × 10⁶ mm⁴. A partir daí caem os números derivados que a norma usa: S_x = I_x/c = 450×10⁶/150 = 3,0 × 10⁶ mm³, e r_x = √(I_x/A) = 86,6 mm. A rota do polígono reproduz a forma fechada até o último dígito, que é o ponto: não é uma aproximação da fórmula, ela é a fórmula, deduzida uma vez para uma aresta genérica.

O produto de inércia I_xy é a propriedade que ninguém lembra da tabela de fórmulas, porque para qualquer seção com um eixo de simetria ele é zero. Mas uma cantoneira, um Z, um U monossimétrico carregado fora do eixo, ou qualquer forma recortada ou assimétrica tem um I_xy não nulo, e isso muda a física: uma carga vertical produz flexão lateral, porque os eixos forte e fraco estão girados para longe da horizontal e da vertical.

O motor obtém I_xy da mesma soma de uma passada mostrada acima, depois encontra os eixos principais com as relações do círculo de Mohr da inércia, que são pura trigonometria de nível de Cálculo, a rotação de uma forma quadrática:

R = √( ((I_x − I_y)/2)² + I_xy² ), I₁ = (I_x+I_y)/2 + R, I₂ = (I_x+I_y)/2 − R

θ = ½ · atan2(2 I_xy, I_y − I_x) localiza o eixo.

Exemplo resolvido: uma cantoneira de abas iguais L100 × 100 × 10

Trace o L como seis vértices, canto na origem, ambas as abas com 10 mm de espessura. Uma passada retorna:

• A = 1 900 mm², centroide em (28,68, 28,68), sobre a linha de 45° como a simetria exige.
• I_x = I_y = 1,80 × 10⁶ mm⁴ (iguais, porque as abas são iguais).
• I_xy = −1,066 × 10⁶ mm⁴, e o fato de não ser zero é a história inteira.

Os valores principais são I₁ = 2,87 × 10⁶ mm⁴ e I₂ = 0,734 × 10⁶ mm⁴, a θ = 45°. Ou seja, o verdadeiro eixo fraco de uma cantoneira de abas iguais carrega apenas cerca de um quarto da rigidez do seu eixo forte, e ambos estão inclinados 45° em relação às abas. Um engenheiro que verificasse a flexão em torno do eixo da aba horizontal, usando I_x = 1,80 × 10⁶, estaria errado tanto em magnitude quanto em direção. O motor de polígonos entrega I₂ e θ sem que nada disso seja óbvio a partir do contorno.

Aqui está o exemplo que mostra por que vale a pena confiar neste método para perfis reais. Tome uma seção I, h = 300, b = 150, mesa t_f = 12, alma t_w = 8 mm, e descreva-a do único jeito que um programa consegue: como os 12 pontos de canto do seu contorno, traçando as mesas e as pontas da alma em ordem. Sem fórmula, sem decomposição, só o polígono.

Uma passada da família do cadarço sobre esses 12 vértices retorna:

• A = 5 808 mm²
• I_x = 88 709 184 mm⁴ ≈ 88,71 × 10⁶
• I_y = 6 761 776 mm⁴ ≈ 6,76 × 10⁶
• S_x = 591 395 mm³, r_x = 123,59 mm, r_y = 34,12 mm

Agora confira do jeito de livro-texto, o composto de três retângulos com o teorema dos eixos paralelos, I_x = [b·h³ − (b−t_w)·h_w³] / 12 com h_w = 276: [150·300³ − 142·276³] / 12 = 88 709 184 mm⁴. Os dois concordam em cada dígito, não em três casas decimais, em cada dígito, porque a integral do polígono e a integral do composto são a mesma integral avaliada de dois jeitos.

Essa exatidão é a razão pela qual uma única função de polígono pode conduzir um banco de dados inteiro de perfis. Ela também compõe: uma viga soldada de alma cheia, uma viga alveolar com furos hexagonais na alma (veja vigas alveolares e celulares), uma caixa com um vazio interno, todas são apenas mais vértices, ou um laço externo mais um laço de furo. A viga I de 12 vértices não é um caso especial no código; é o caso geral com 12 cantos.

Tudo até aqui foi exato porque as arestas eram retas. Um círculo, um adoçamento, uma parede de tubo tem um contorno curvo, e esse é o único lugar em que a integração numérica de verdade, no sentido aproximado, realmente entra. O movimento universal é substituir a curva por um polígono de muitos lados e rodar a fórmula exata de polígono sobre ele. A única questão é de quantos lados você precisa, e a resposta é um resultado de convergência limpo.

Aproxime um círculo de raio 100 mm (A exata = πr² = 31 415,9 mm², I exata = πr⁴/4 = 78,54 × 10⁶ mm⁴) por um polígono regular de n lados inscrito:

• n = 6: A com erro de −17,3 %, I com erro de −31,1 % (um hexágono é um círculo ruim)
• n = 12: A com erro de −4,51 %, I com erro de −8,77 %
• n = 24: A com erro de −1,14 %, I com erro de −2,26 %
• n = 48: A com erro de −0,285 %, I com erro de −0,570 %
• n = 96: A com erro de −0,071 %, I com erro de −0,143 %
• n = 360: A com erro de −0,005 %, I com erro de −0,010 %

O padrão é exato e vale internalizar: o erro cai como 1/n². Ir de 12 lados a 24 cortou o erro da área de 4,51 % para 1,14 %, um fator de 3,96, essencialmente os 4 teóricos. Cada duplicação dos lados divide o erro por quatro. Isso é convergência de segunda ordem, a mesma ordem que você encontra na família do trapézio e de Simpson no Cálculo II, e é por isso que um motor de seções consegue acertar cinco algarismos significativos em uma barra redonda com algumas centenas de lados e nunca mais pensar nisso.

A alternativa, e o que um solver de tensão usa no interior do elemento em vez de no contorno da seção, é a quadratura de Gauss: em vez de muitos lados iguais, amostrar o integrando em alguns poucos pontos otimamente posicionados. Como y² é apenas uma quadrática, uma regra de Gauss de 2 pontos a integra de forma exata sobre um elemento de lados retos. Mesma ideia de Cálculo II, amostrar para substituir uma integral, ajustada para um trabalho diferente.

Duas extensões cobrem quase toda seção real, e ambas saem direto da área com sinal.

Furos por subtração

Uma seção oca, um tubo, uma viga caixão, uma chapa com furo de parafuso, é um contorno externo menos um interno. Como a área do cadarço é com sinal, você lista o laço externo no anti-horário (positivo) e o laço do furo no horário (negativo), soma toda propriedade dos dois, e o furo simplesmente se subtrai. Não há código especial de furo: A = A_externo − A_furo, e o mesmo cancelamento acontece para os primeiros e segundos momentos antes da única transferência de centroide no final. Um tubo retangular é um laço externo de quatro vértices e um laço interno de quatro vértices, oito números, e o I exato de um RHS cai fora.

Compostos por somatório

O outro fluxo comum é o membro soldado composto: uma viga soldada é uma chapa de mesa superior, uma chapa de mesa inferior e uma chapa de alma. Aqui você nem precisa da rota do polígono; o teorema dos eixos paralelos sobre retângulos basta. Para cada chapa, some seu próprio b·h³/12 mais A·d² ao total acumulado, onde d é a distância do centroide da chapa ao centroide da seção. Some a área, some os primeiros momentos para achar o centroide, depois some as inércias transferidas. É o mesmo termo de Steiner de antes, agora usado adiante, um retângulo de cada vez.

A única coisa a observar: chapas sobrepostas contam em dobro. Se dois retângulos em um composto compartilham área interna, o somatório soma essa região duas vezes e infla A e I em silêncio. Arestas que se tocam, o caso soldado normal, estão ok; sobreposição genuína é um erro de modelagem que o motor sinaliza em vez de engolir.

A matemática é curta, então os erros estão sempre na contabilidade. Os que mordem, em ordem de frequência:

• Sentido de percurso. Liste o polígono externo no horário e a área com sinal sai negativa. Um motor robusto força o laço externo a ser positivo e o furo a ser negativo independentemente de como você os inseriu, mas uma implementação manual que confia no sinal cru vai reportar uma área negativa e, pior, uma inércia plausível na aparência mas errada.
• Esquecer a transferência de centroide. As somas de uma passada dão a inércia em torno da origem. Se você para por aí e reporta I_x0 como I_x, você superestimou a rigidez em A·C_y², que para uma seção fora da origem pode ser maior que a resposta real. A subtração não é opcional.
• Um polígono aberto. O laço pressupõe que o último vértice se conecta de volta ao primeiro. Alimente-o com uma lista não fechada, ou repita por acidente o vértice de fechamento sem o código esperar por isso, e uma aresta fantasma corrompe toda soma. Bons motores removem um ponto de fechamento repetido explicitamente e fecham o resto de forma implícita.
• Contornos que se autointerceptam. Um oito ou um contorno que cruza a si mesmo viola a hipótese de polígono simples; os triângulos com sinal já não particionam a região e o resultado não tem sentido. Trace o contorno uma vez, sem cruzamentos.
• Unidades. A inércia escala com o comprimento à quarta potência. Insira o contorno em centímetros quando o resto do modelo está em milímetros e I fica errado por 10⁴. Mantenha uma única unidade de comprimento de ponta a ponta; um motor de seções que trabalha internamente em mm⁴ espera mm na entrada.

Nenhum desses é sutil depois de nomeado, e cada um deles já produziu uma seção que parecia certa e verificou errado. O valor de usar o motor entregue é que os cinco são tratados para você.

Tudo acima está ao vivo na calculadora de Momento de Inércia do CalcSteel. O construtor de seção personalizada aceita tanto uma lista de chapas soldadas (a rota do composto) quanto os vértices crus de qualquer polígono, opcionalmente com um furo, e retorna A, o centroide, I_x, I_y, I_xy, os eixos principais, S e r, desenhados em escala, e conferidos ao vivo contra o banco de dados real de 1 309 perfis. É o laço exato do teorema de Green deste artigo, a mesma função que calcula as propriedades por trás de toda página de perfil, então o número que você recebe no navegador é o número que o motor de análise usa.

Digite o retângulo de 200 × 300 e veja voltarem 60 000 mm² e 450 × 10⁶ mm⁴. Cole os 12 vértices da viga I e leia 88,71 × 10⁶. Trace a cantoneira de abas iguais e veja os eixos principais girarem para 45°. Não há malhagem, não há espera, porque não há aproximação a convergir, só uma passada pelas arestas.

Depois que você tem a seção, o próximo passo é o que a estrutura faz com ela: alimente I em uma verificação de flecha de viga ou na carga de flambagem de Euler, ou leia como o mesmo I conduz os limites de flecha de serviço. As propriedades geométricas são a ponte do Cálculo II até um membro que passa.