Contraventamento em diagonal de aço: o critério de esbeltez em todo o comprimento por trás da norma

O contraventamento em diagonal de aço é o cavalo de batalha da estabilidade lateral: uma única diagonal instalada em um vão retangular, transformando um retângulo propenso a rotular em um triângulo rígido. Empurre o topo do vão para o lado e a diagonal recebe a carga como força axial pura, depois a entrega à fundação. Sem flexão, sem efeito de pórtico, apenas uma escora e um tirante fazendo o trabalho mais simples da estrutura de aço.

A pegadinha está escondida na palavra reversão. Vento e sismo empurram nos dois sentidos, então a mesma diagonal é um tirante em um sentido e uma escora no outro. Como tirante ela é quase indestrutível: o aço é excelente em tração. Como escora ela pode flambar, e uma diagonal única não tem nada travando o seu ponto médio, então ela flamba ao longo de todo o seu comprimento. É esse o número em torno do qual gira todo o dimensionamento.

Este artigo deriva esse critério dos primeiros princípios e depois faz uma verificação resolvida completa em uma diagonal real SHS 150 x 150 x 6. É o complemento de diagonal única do nosso artigo sobre contraventamento em X de aço: lá, duas diagonais dividem o vão e a tracionada trava o ponto de cruzamento, então a diagonal comprimida flamba só ao longo de metade do comprimento. Aqui não há ponto de cruzamento, e pagar pelo comprimento inteiro é a história toda.

Aqui vai uma definição de 40 palavras para citar: o contraventamento em diagonal de aço é um sistema concentricamente contraventado no qual uma ou mais diagonais levam a carga lateral como força axial até a fundação; a diagonal única é o caso base, em que uma só barra resiste ao cortante do pavimento tanto em tração quanto em compressão.

Há cinco maneiras comuns de contraventar um vão, e elas diferem sobretudo no que acontece com a diagonal comprimida:

• Diagonal única: uma barra, sem travamento ao longo de todo o comprimento, K = 1.0. A mais simples e a mais esbelta. Este artigo.
• Cruz (X): duas diagonais; a tracionada trava o ponto de cruzamento, então a diagonal comprimida usa cerca de metade do comprimento, K ~ 0.5. O critério de comprimento efetivo é a história toda dela.
• Chevron (V invertido): duas diagonais encontrando a viga no meio do vão; a viga precisa resistir à força vertical desequilibrada quando a diagonal comprimida flamba e alivia a carga.
• Contraventamento em K: diagonais encontrando um pilar a meia altura; desaconselhado no dimensionamento sísmico porque uma diagonal que flamba empurra lateralmente o pilar.
• Par só-tração: duas diagonais esbeltas, cada uma dimensionada para trabalhar só em tração enquanto a outra afrouxa. Barato, mas sem caminho de compressão, então é vetado em sistemas sísmicos dúcteis.

A diagonal única é a referência da qual as outras são atalhos. A flambagem que ela sofre ao longo de todo o comprimento é exatamente a flambagem de Euler de uma escora esbelta, escalonada pelo fator de comprimento efetivo K. Entenda esses dois e o critério segue.

Iniciantes dimensionam uma diagonal pela força de tração e seguem em frente. Isso está invertido. Sob reversão, a diagonal vê a mesma magnitude axial em tração e em compressão, mas as duas capacidades são radicalmente diferentes, e a menor vence.

Em tração, a barra escoa em toda a sua área bruta: Pn = Fy Ag, sem quase nada perdido. Para o nosso tubo isso dá 1192 kN de carga de escoamento, e a resistência de projeto à tração é 1073 kN.

Em compressão, a barra não chega ao escoamento; ela flamba antes, na tensão crítica Fcr, que despenca pela curva de Euler à medida que a esbeltez cresce. Para o mesmo tubo com K = 1.0 a capacidade à compressão desaba para Pn = 429 kN, apenas 36 % da carga de escoamento. A flambagem joga fora quase dois terços da resistência do aço.

Então o dimensionamento é um problema de compressão vestido com a roupa de uma barra tracionada. Dimensione a diagonal para que ela sobreviva à flambagem e a verificação à tração passa automaticamente com margem enorme. É por isso que cada linha abaixo trata de Fcr, KL/r e da curva de flambagem, e por isso a verificação à tração é um detalhe de uma linha no fim. É a imagem espelhada de uma diagonal com flambagem restringida, que gasta dinheiro de verdade para apagar exatamente essa penalidade.

Comece pela barra comprimida. Sua resistência utilizável é a tensão crítica vezes a área, e a tensão crítica vem da curva de flambagem. Abaixo da transição elástica a ruína é inelástica (a seção escoa parcialmente enquanto flamba); acima dela a ruína é a flambagem de Euler elástica. Na forma da AISC 360:

F_e = π²E / (KL/r)²,  a tensão de flambagem elástica (de Euler)

F_cr = 0.658^(Fy/Fe) F_y se KL/r ≤ 4.71√(E/F_y),  senão  F_cr = 0.877 F_e

A resistência de projeto à compressão é φ_cP_n = φ_cF_crA_g com φ_c = 0.90. Tudo depende da esbeltez KL/r, e o comprimento efetivo KL é onde a diagonal única difere de toda outra configuração.

Para uma diagonal única rotulada nas duas extremidades não há ponto de travamento intermediário, então o comprimento efetivo é todo o comprimento de trabalho: K = 1.0, KL = L_wp. Para o mesmo tubo físico usado como contraventamento em X, a diagonal tracionada mantém o ponto de cruzamento imóvel, reduzindo à metade o comprimento de flambagem para cerca de K = 0.5. Na curva de flambagem essa redução à metade é enorme, porque Fe varia com 1/(KL/r)². A figura mostra os dois pontos no mesmo tubo: a diagonal única fica embaixo no ramo de Euler, o contraventamento em X fica no alto do ramo inelástico, uma diferença de 2.15x na tensão utilizável só pelo comprimento efetivo.

Esse é o critério por trás da norma para uma diagonal única: φ_cF_crA_g ≥ P_u, avaliado no comprimento inteiro K = 1.0, apoiado por um teto rígido de quão esbelta a barra pode ser, KL/r ≤ 200. Onde um contraventamento em X deixa você trapacear o comprimento, a diagonal única faz você pagá-lo por inteiro.

Quatro números axiais decidem uma diagonal única, e eles se alinham de um jeito que vale ver antes da aritmética. Da menor margem de capacidade para a maior:

• A solicitação, P_u = 347 kN, a mesma em tração e compressão sob reversão.
• Compressão, diagonal única (K = 1.0): φP_n = 386 kN. Esta é a capacidade que amarra, só um pouco acima da solicitação. É todo o dimensionamento.
• Compressão, mesmo tubo como contraventamento em X (K = 0.5): φP_n = 832 kN. A seção idêntica, travada a meio comprimento, tem mais que o dobro da capacidade. É por causa dessa barra que as pessoas recorrem a um X.
• Escoamento à tração: φP_n = 1073 kN. Muito acima da solicitação. A tração nunca chega perto de governar uma diagonal esbelta.

Coloque essas quatro em um eixo e a mensagem é imediata: a barra de compressão da diagonal única é a curta, bem em cima da linha da solicitação, enquanto a tração se ergue sobre tudo. O dimensionamento vive e morre nessa única barra curta, e a barra curta é curta por causa do comprimento. É isso também que separa o dimensionamento de barra do travamento de estabilidade: uma diagonal aqui é um caminho de carga dimensionado pela sua própria flambagem, não um pequeno travamento nodal dimensionado pela regra dos 2 % em rigidez e resistência de travamento.

O vão e a solicitação

Tome um vão de diagonal única com L = 6.0 m de largura e h = 3.5 m de altura, então a diagonal corre a α = 30.3° ao longo de um comprimento de trabalho L_wp = 6.95 m (cos α = 0.864). Uma diagonal única em um vão rotulado é isostática para carga lateral, então ela absorve todo o cortante do pavimento. Para um cortante do pavimento de projeto V_u = 300 kN:

P_u = V_u / cos α = 300 / 0.864 = 347 kN  (tração em um sentido, compressão no outro)

Escolha uma seção de tentativa

Experimente um perfil tubular quadrado, SHS 150 x 150 x 6, em ASTM A500 Gr. C, F_y = 345 MPa (os 50 ksi das tabelas da AISC). Suas propriedades: área bruta A_g = 3456 mm², momento de inércia I = 1196 cm&sup4;, raio de giração r = 58.8 mm. Um tubo fechado é a escolha natural para uma diagonal: o mesmo r nos dois eixos, alta rigidez à torção e ligações limpas.

Verifique a parede primeiro. A relação largura-espessura plana é b/t = (150 - 3·6)/6 = 22.0, abaixo do limite não esbelto 1.40√(E/F_y) = 33.7, então a parede é totalmente efetiva e nenhuma redução por flambagem local se aplica. Agora a barra.

Este é o critério em números. A diagonal única é rotulada nas duas extremidades sem travamento intermediário, então K = 1.0 e o comprimento efetivo é todo o comprimento de trabalho, KL = 6.95 m. A esbeltez é:

KL/r = 1.0 · 6950 / 58.8 = 118

Compare com a transição 4.71√(E/F_y) = 113. Como 118 > 113, a diagonal está na faixa elástica (de Euler): ela flamba antes de escoar. A tensão de flambagem elástica e a tensão crítica são:

F_e = π²E / (KL/r)² = π²·200000 / 118² = 141.6 MPa

F_cr = 0.877 F_e = 124.2 MPa

Então a capacidade à compressão é P_n = F_crA_g = 124.2 · 3456 = 429 kN, e a resistência de projeto é

φ_cP_n = 0.90 · 429 = 386 kN ≥ 347 kN  (utilização 90 %)

O tubo passa, a 90 %. Repare quão pouco do aço você conseguiu usar: a carga de escoamento F_yA_g é 1192 kN, e a flambagem ao longo de todo o comprimento deixa só 429 kN, cerca de 36 %. Agora a recompensa da comparação: o tubo idêntico usado como diagonal de um contraventamento em X, travado no seu cruzamento de modo que KL = 3.47 m e KL/r = 59, fica no ramo inelástico com F_cr = 267 MPa e φ_cP_n = 832 kN, uma utilização de apenas 42 %. Mesmo aço, mesmo peso, 2.15 vezes a capacidade, apenas porque algo travou o seu ponto médio.

Todo o dimensionamento da diagonal única é o desabamento de φ_cF_cr com a esbeltez, e você pode ver acontecer. Na calculadora abaixo, tome uma barra comprimida e aumente o comprimento: a carga crítica cai pela curva de Euler, exatamente a queda que transforma 832 kN em 386 kN quando um ponto de travamento desaparece e K vai de 0.5 para 1.0.

Experimente nossos números primeiro, r = 58.8 mm e KL = 6.95 m, e veja a capacidade pousar perto de 429 kN. Depois reduza o comprimento à metade e veja-a mais que dobrar. Esse único controle deslizante é a diferença entre uma diagonal única e um contraventamento em X. Leia a teoria em flambagem de Euler explicada, depois volte e dimensione a sua própria diagonal.

A resistência confere, mas de onde vem a solicitação P_u? Aqui a diagonal única é o mais fácil que existe. Um vão de diagonal única com extremidades rotuladas é isostático para carga lateral: a diagonal é o único caminho lateral, então ela leva o cortante do pavimento inteiro e a força axial decorre só do equilíbrio, sem precisar de análise de pórtico.

• Axial na diagonal: P_u = V_u / cos α = 300 / 0.864 = 347 kN.
• Axial no pilar vindo da diagonal: a componente vertical P_u · sin α = 347 · 0.504 = 175 kN é entregue ao pilar, parte do binário de tombamento.
• Equilíbrio global: as reações de apoio equilibram o cortante aplicado (ΣF_x = 300 kN) e o momento de tombamento V_u·h = 1050 kN·m, uma conferência rápida.

Essa isostaticidade é uma vantagem genuína da diagonal única. Um pórtico contraventado excêntrico é hiperestático e precisa de uma análise para achar a força do seu elo; uma diagonal única você confere no verso de um desenho. A contrapartida é que uma diagonal solitária é assimétrica: ela é mais rígida no sentido que a põe em tração. Edifícios reais emparelham diagonais em vãos opostos, ou usam um X, para que os dois sentidos tenham uma diagonal capaz de resistir à compressão.

Dois limites ficam por cima da verificação de resistência, e ambos pegam projetos reais.

O teto de esbeltez. A AISC 360 recomenda KL/r ≤ 200 para barras comprimidas, e ele é praticamente obrigatório para uma diagonal: acima dele a barra é tão frouxa que flamba com o próprio manuseio e a capacidade à compressão é desprezível. Nossa diagonal está em 118, confortavelmente dentro. Se tivesse dado, digamos, 240, nenhuma verificação de tensão a salvaria; você encurtaria a diagonal, acrescentaria um ponto de travamento intermediário ou iria para uma seção mais robusta. É por causa desse teto que diagonais únicas muito longas viram, sem alarde, contraventamentos em X ou ganham uma escora no ponto médio.

A armadilha do só-tração. É tentador argumentar que a diagonal só precisa trabalhar em tração, deixá-la flambar inofensivamente em compressão e dimensioná-la como uma barra esbelta. Isso é permitido para vento em edifícios comuns com um par de diagonais, uma para cada sentido, e é genuinamente barato. Mas uma diagonal só-tração solitária contraventa o pórtico em um único sentido, e os sistemas só-tração são vetados em pórticos contraventados sísmicos dúcteis justamente porque uma diagonal que flamba e nunca se recupera não consegue dissipar energia. No dimensionamento sísmico, a AISC 341 vai além: um pórtico especial concentricamente contraventado (SCBF) exige uma seção de alta ductilidade, b/t ≤ 0.55√(E/F_y) = 13.2, que a nossa parede de 22.0 não atende. Nosso tubo é uma boa diagonal para vento ou pórtico comum; um SCBF de alta ductilidade precisaria de uma parede mais espessa.

Os erros que mais transformam uma diagonal correta no livro-texto em uma verificação reprovada:

• Dimensionar pela tração. A capacidade à compressão é a pequena; uma diagonal esbelta dimensionada pela força de tração fica muito subdimensionada. Verifique sempre a compressão no comprimento inteiro primeiro.
• Pegar emprestado o comprimento efetivo do contraventamento em X. Uma diagonal única não tem ponto de cruzamento, então K = 1.0, não 0.5. Usar 0.5 por hábito praticamente dobra a capacidade aparente e a diagonal pode romper com metade da carga que você imaginava.
• Esquecer a reversão. Vento e sismo agem nos dois sentidos. Uma diagonal que no seu modelo é sempre só um tirante é uma escora no evento real; dimensione-a para os dois.
• Ignorar o teto de esbeltez. KL/r precisa ser ≤ 200. É um limite separado da verificação de tensão e governa diagonais longas.
• Usar o r errado. Para uma cantoneira ou um tê o raio de giração que governa é o menor (muitas vezes r_z em uma cantoneira simples), não r_x. Um tubo quadrado escapa disso porque r é igual nos dois eixos.
• Dimensionar a ligação pela solicitação da diagonal. Em um pórtico contraventado sísmico a chapa de gusset e as soldas são dimensionadas pela resistência esperada da diagonal (R_yF_yA_g em tração, a força pós-flambagem em compressão), não pelo valor de 347 kN do caso de carga.

Perguntas frequentes

Diagonal única ou contraventamento em X? Um X é mais eficiente porque reduz à metade o comprimento de flambagem em compressão e contraventa os dois sentidos de uma vez, mas precisa do espaço para duas diagonais e de um detalhe de cruzamento que funcione. Uma diagonal única é mais simples e mais barata por vão, ao custo de uma seção mais pesada e de rigidez assimétrica. Emparelhe diagonais únicas em vãos opostos para cobrir os dois sentidos.

Por que K = 1.0 e não 0.5 aqui? O K = 0.5 num X vem da diagonal tracionada mantendo o ponto de cruzamento imóvel, o que encurta o comprimento de flambagem da diagonal comprimida. Uma diagonal única não tem esse ponto, então ela flamba ao longo de todo o seu comprimento e K = 1.0. Veja o fator de comprimento efetivo K.

Posso usar só uma barra redonda só-tração? Para vento em um edifício comum, com um par de barras para os dois sentidos, sim, e é barato. Para um pórtico contraventado sísmico dúctil, não: a norma exige uma diagonal capaz de resistir à compressão e adequadamente dúctil.

O contraventamento em diagonal de aço é o sistema lateral mais simples, e o seu dimensionamento é uma única ideia honesta: a diagonal precisa sobreviver à compressão, sem travamento ao longo de todo o seu comprimento.

• O critério é a verificação à compressão no comprimento inteiro, φ_cF_crA_g ≥ P_u com K = 1.0, mais o teto KL/r ≤ 200. A compressão governa porque a flambagem deixa só 36 % da carga de escoamento.
• A solicitação é estática pura: uma diagonal única é isostática, P_u = V_u/cos α = 347 kN, em tração em um sentido e compressão no outro.
• SHS 150 x 150 x 6 resolvido, F_y = 345: KL/r = 118 (faixa de Euler), φP_n = 386 kN vs 347 kN, uma verificação a 90 %, tudo conferido à mão e batendo com a Tabela 4-22 do AISC Manual.
• O mesmo tubo como contraventamento em X resiste a 832 kN, 2.15 vezes mais, porque o cruzamento trava o seu ponto médio. Esse contraste é a razão de saber qual dos dois você está dimensionando.

Quer testar os números na sua própria diagonal? A calculadora de flambagem de coluna e o editor completo do CalcSteel são gratuitos, e o CalcSteel é gratuito para estudantes. Dimensione a diagonal no seu comprimento inteiro, verifique KL/r contra 200, e deixe a barra de compressão dizer a seção.