Flexión Asimétrica: Qué Pasa Cuando la Carga se Sale del Eje Principal

Este es un resultado que sorprende a casi todos los estudiantes la primera vez. Toma una viga de acero corriente, un perfil de ala ancha de pie tal como se dibujan las vigas. Cárgala directamente hacia abajo y se porta bien: flecha, y la flecha es pequeña. Ahora inclina la misma carga un ángulo modesto, del tipo que produce una cubierta en pendiente o una carga colgada un poco hacia un lado, y la viga hace algo que no debería hacer. Flecha sobre todo de costado, y la tensión sube mucho más rápido de lo que la inclinación haría suponer.

Le pondremos números en un momento, del solucionador real de CalcSteel, y son contundentes: una W360 que está al 49% de la fluencia bajo carga vertical llega al 217% de la fluencia con esa misma carga inclinada 30 grados. La carga no se volvió más pesada. Simplemente dejó de apuntar a lo largo de un eje principal de la sección. De eso trata todo este artículo, y tiene nombre: flexión asimétrica, o flexión biaxial, la flexión que aparece cuando la carga se aparta del eje sobre el que la sección quiere ser cargada.

Nada de esto es exótico. Es la mecánica cotidiana de las correas sobre una cubierta inclinada, de las cantoneras que no tienen ningún eje vertical, de los rieles de puente grúa empujados de costado, de cualquier viga que un proyectista orienta a ojo. La buena noticia es que es completamente predecible, y una vez que ves los dos ejes principales y cómo una carga se reparte sobre ellos, se vuelve fácil dimensionarla.

Toda sección transversal tiene un par especial de ejes perpendiculares que pasan por su centroide, llamados ejes principales. Son las direcciones para las que el producto de inercia es cero, y ese cero es lo que importa. Flexiona una viga sobre un eje principal y la respuesta es limpia: la viga flecha en el mismo plano que la carga, el eje neutro cae a lo largo del otro eje principal y sigma = M·c / I es exacta. Flexiónala sobre cualquier otro eje y los dos planos se acoplan, y ese acoplamiento es de lo que trata todo este artículo.

Para las secciones amables ya sabes dónde están los ejes principales. Una forma doblemente simétrica, un perfil I, un cajón rectangular, un tubo redondo, te los entrega gratis: cualquier eje de simetría es automáticamente un eje principal, así que las líneas medias vertical y horizontal son los dos que buscas. Por eso precisamente dibujamos las vigas de pie. Cargado verticalmente, un perfil I de pie se carga sobre un eje principal, y todo es sencillo.

La trampa es que los ejes principales pertenecen a la sección, no a la gravedad. Si la sección está girada (una correa inclinada con la cubierta) o si simplemente no tiene eje vertical de simetría (un angular, una Z), entonces los ejes principales también están inclinados, y una simple carga vertical ya no cae sobre uno de ellos. Encontrar esos ejes para una sección general es tarea de un cálculo de momento de inercia, y para las formas simétricas la simetría de la sección los entrega sin ningún trabajo.

A lo largo de sus dos ejes principales una sección tiene dos momentos de inercia, y para un perfil de ala ancha son tremendamente distintos. Toma la W360 que usamos más abajo. Respecto al eje fuerte ofrece Ix = 15 728 cm⁴; respecto al eje débil apenas Iy = 1 042 cm⁴. Es una relación de rigidez de cerca de 15 a uno. Todo el sentido de un perfil I de gran altura es apilar material lejos del eje fuerte, que es justamente lo que deja al eje débil tan endeble en comparación.

La rigidez gobierna la flecha, pero la tensión la gobierna el módulo resistente, y ahí la brecha es igual de brutal. El módulo del eje fuerte es Sx = 874 cm³; el del eje débil es apenas Sy = 123 cm³, unas 7,1 veces menor. Ese único número es el villano de esta historia. Un mismo momento soportado sobre el eje débil produce varias veces la tensión que produciría sobre el eje fuerte, así que hasta una pequeña porción de la carga que se fuga al eje débil asesta un golpe fuerte. El módulo resistente que nunca citas es el que termina por perjudicarte.

Así que una sección no es una viga, son dos, que comparten el mismo acero: una rígida y fuerte, y otra endeble y débil, en ángulo recto. Carga a lo largo de cualquiera de los ejes principales y solo esa viga responde. Carga en un punto intermedio y ambas responden a la vez, cada una en proporción a cuánto de la carga apunta hacia ella, y la endeble golpea por encima de lo que le tocaría.

En flexión uniaxial el eje neutro es fácil: es el otro eje principal, la línea de tensión nula alrededor de la cual gira la sección. Bajo una carga oblicua el eje neutro se inclina, y aquí viene la sorpresa, no se inclina con la carga. Se inclina más allá de ella, y el amplificador es la relación de rigidez:

tan(beta) = (Ix / Iy)·tan(theta),

donde theta es cuánto se inclina la carga respecto a la vertical (respecto a la dirección de carga del eje fuerte) y beta es cuánto gira el eje neutro respecto al eje fuerte. La sección es rígida respecto al eje fuerte y blanda respecto al débil, así que cede mucho más en la dirección débil, y el plano en el que realmente flexiona gira con fuerza hacia el eje débil.

Haz las cuentas para la W360. Su relación es de cerca de 15, así que una carga inclinada apenas 30 grados respecto a la vertical lleva el eje neutro a tan(beta) = 15·tan(30 grados), es decir beta = 83,5 grados. La carga apenas se inclinó, y sin embargo el eje neutro ha girado casi un cuarto de vuelta completo, pasando de horizontal a casi vertical. Como la viga siempre flecha perpendicular a su eje neutro, la flecha gira lo mismo en el otro sentido, apartándose de la vertical y volviéndose casi por completo de costado. Obtén el ángulo del eje neutro y ya has predicho tanto el patrón de tensiones como la dirección en la que se moverá la viga.

Vale la pena ver la amplificación en un rango de ángulos de carga, porque se concentra tanto al principio. Corrimos la W360 en el motor con cuatro inclinaciones de carga y medimos el giro del eje neutro a partir de la dirección de flecha que producía, y luego lo comparamos con la fórmula. Coinciden en cada ángulo:

• Inclina la carga 10 grados respecto a la vertical y el eje neutro gira 69,4 grados respecto al eje fuerte.
• Inclínala 20 grados y el eje neutro ya está en 79,7 grados.
• Inclínala 30 grados y alcanza 83,5 grados.
• Inclínala 45 grados y está en 86,2 grados, casi vertical.

Los primeros diez grados de inclinación hacen casi todo el trabajo. Esa es la advertencia práctica: con una relación fuerte a débil alta no hay un arranque suave. Una carga que creías casi vertical ya está flexionando la sección casi por completo sobre su eje débil. Es la misma asimetría de rigidez que gobierna el pandeo lateral torsional y el pandeo de columna en torno al eje débil, donde una vez más es el eje endeble el que decide el resultado.

Ahora el caso completo resuelto en el motor de CalcSteel, para que los números no sean palabrería. Una W360 simplemente apoyada, luz L = 6 m, soporta una única carga P = 100 kN en el centro del vano. Primero apuntamos la carga directamente hacia abajo, luego la inclinamos 30 grados y no cambiamos nada más.

Carga vertical. La viga hace su trabajo. El momento en el centro del vano es Mz = 150 kN·m en el eje fuerte, la tensión de flexión es 172 MPa, y el elemento queda al 49% de una fluencia de 350 MPa. Cómodo. Esta es la viga trabajando sobre su eje principal, el caso limpio donde sigma = M·c / I es toda la historia.

La misma carga, inclinada 30 grados. La carga ahora se descompone en Mz = 129,9 kN·m en el eje fuerte y My = 75,0 kN·m en el eje débil. Fíjate en que el momento del eje débil no es pequeño: supera con holgura la mitad del momento del eje fuerte, porque tan(30 grados) no es pequeño. El motor devuelve una flecha en el centro del vano de 12,4 mm en vertical pero de 108 mm de costado, una flecha lateral de unas 8,7 veces la vertical. La viga apenas baja y sobre todo se va fuera del plano, exactamente la inclinación de 83,5 grados del eje neutro hecha visible.

Esos son los dos diagramas que un proyectista debe aprender a esperar juntos. La flexión sobre el eje fuerte la puedes leer en un diagrama normal de cortante y momento flector, pero bajo una carga oblicua hay un segundo diagrama, el del eje débil, corriendo al mismo tiempo, y es el que decide la tensión en la esquina de la sección siguiente.

En flexión uniaxial la tensión máxima vive en la fibra superior o inferior. Bajo una carga oblicua se traslada a una esquina, el punto más alejado del eje neutro girado, y es la suma de las dos contribuciones de flexión:

sigma = Mz·(h/2) / Ix + My·(b/2) / Iy = Mz / Sx + My / Sy.

Mete en eso la viga resuelta. El término del eje fuerte es Mz / Sx = 149 MPa, el costo honesto de la parte vertical de la carga. El término del eje débil es My / Sy = 612 MPa. Mira lo que pasó: el momento del eje débil (75,0 kN·m) es menor que el del eje fuerte (129,9 kN·m), y aun así su tensión es unas cuatro veces mayor, porque se divide entre el diminuto Sy = 123 cm³ en lugar del generoso Sx = 874 cm³.

Súmalos y la esquina más alejada alcanza 761 MPa. Frente a una fluencia de 350 MPa eso es un 217% de utilización: la sección ha fluido. La misma viga bajo la misma carga apuntando directamente hacia abajo estaba al 49%. Toda la diferencia, de cómoda a colapsada, son los 612 MPa que aportó el eje débil una vez que la carga dejó de apuntar a lo largo del fuerte. Por eso la flexión asimétrica es peligrosa y no meramente académica: el término que te sientes tentado a ignorar es el término que gobierna.

La versión de libro de texto es una carga inclinada a mano. La versión real es una correa. Una correa se apoya sobre una cubierta inclinada con su eje fuerte siguiendo la pendiente, así que la simple gravedad vertical ya llega fuera de eje, inclinada por la pendiente de la cubierta. Aquí no hay ningún proyectista descuidado a quien culpar: la geometría lo hace por ti.

Corrimos en el motor una correa de perfil canal C250, luz 6 m, con w = 8 kN/m de gravedad, sobre una cubierta modesta 1:3 (una pendiente de 18,4 grados). La carga de gravedad se descompone en una componente normal a la cubierta, soportada por el eje fuerte del canal, y una componente menor a lo largo de la pendiente, soportada por su eje débil. El eje fuerte toma Mz = 34,2 kN·m y flecha 13,2 mm en dirección normal a la cubierta. El eje débil toma apenas My = 11,4 kN·m, y aun así flecha 53,6 mm a lo largo de la pendiente, unas 4,1 veces la flecha normal a la cubierta. En este canal la relación Ix / Iy es de aproximadamente 12, y (Ix / Iy)·tan(pendiente) cae justo en ese 4,1.

Esa flecha a lo largo de la pendiente es justamente la razón por la que las correas llevan tirantes de correa (también llamados tirantes antivuelco o arriostramiento) tendidos entre ellas en el centro del vano o en los tercios. Los tirantes de correa no están ahí para la gravedad en la que estás pensando: están ahí para soportar la escurridiza componente del eje débil, la que trata este artículo, antes de que deforme visiblemente la línea de cubierta. Déjalos fuera y las correas se comban de costado a lo largo de la pendiente, acumulando agua y tirando de la chapa.

El método sale directo de la teoría. Como las dos direcciones principales no interfieren, una carga oblicua no es más que una carga del eje fuerte más una carga del eje débil, y las respuestas se superponen. Así que nunca resuelves un problema acoplado. Resuelves dos problemas desacoplados conocidos y sumas las respuestas, momento a momento, tensión a tensión, flecha a flecha.

Comprobamos la descomposición en el motor para la viga resuelta. Resuelta como una única carga oblicua de 30 grados da Mz = 129,9 kN·m, My = 75,0 kN·m, una flecha vertical de 12,4 mm y una lateral de 108 mm. Resuelta en cambio como dos corridas separadas, una carga solo del eje fuerte y una carga solo del eje débil, la corrida fuerte entrega la totalidad de los 129,9 kN·m y la bajada de 12,4 mm con cero movimiento lateral, la corrida débil entrega la totalidad de los 75,0 kN·m y la flecha lateral de 108 mm con cero bajada, y sumarlas reproduce el caso oblicuo hasta el tercer decimal.

Esa es la receta para llevarte. Descompón la carga sobre los dos ejes principales. Corre cada uno como un problema de flexión corriente, del tipo que cualquier herramienta de vigas o método manual ya resuelve. Luego combina: sigma = Mz / Sx + My / Sy en la esquina que gobierna, y suma las componentes de flecha como vectores. Las propiedades de la sección para ambos ejes son todo lo que necesitas para alimentarla.

Hasta aquí la sección tenía un eje vertical de simetría, así que una carga vertical estaba fuera de eje solo cuando la inclinábamos. Algunas secciones muy comunes son peores: no tienen eje vertical de simetría, así que incluso una simple carga vertical que pasa por el centroide es oblicua desde el principio. El angular simple de alas iguales es el infractor clásico. Sus ejes de simetría corren a lo largo de las diagonales, así que sus ejes principales quedan a 45 grados de sus alas. Carga un angular verticalmente y ya está flexionando sobre ambos ejes principales e intentando irse hacia su diagonal menor, que es la razón por la que un angular usado como dintel, sin arriostrar, flecha de costado.

La sección Z, otra correa muy querida, es todavía más sutil: tiene simetría de punto, así que sus ejes principales están inclinados un ángulo que hay que calcular a partir del producto de inercia. Esa inclinación suele elegirse para casi cancelar la pendiente de la cubierta, que es una de las razones por las que las correas Z pueden superar a los canales en una pendiente. Para cualquiera de estas, la vía honesta es encontrar primero los ejes principales verdaderos y sus Imax e Imin, y luego aplicar el mismísimo método de descomponer y sumar de la sección anterior. Nada de la mecánica cambia: solo los ejes están girados.

Una advertencia para las formas con simetría simple, el canal incluido: cargarlas fuera del centro de cortante también las tuerce, así que una verificación completa acopla la flexión asimétrica con la torsión. Ese es un tema más amplio, pero la parte de flexión es exactamente lo que hemos calculado aquí, y suele ser la parte que gobierna primero.

Una breve guía de campo de los lugares donde aparece la flexión asimétrica, por lo general sin invitación:

• Correas y largueros sin arriostramiento. La componente a lo largo de la pendiente deforma en silencio la línea de cubierta y sobretensiona el eje débil. Los tirantes de correa la soportan: omitirlos es el descuido clásico.
• Angulares simples como vigas. Un dintel o una correa ligera hechos con un angular flexionan sobre sus ejes principales a 45 grados desde el primer kilonewton. Verifícalo sobre los ejes verdaderos, no sobre las alas.
• Vigas orientadas a ojo. Un elemento girado unos pocos grados durante el montaje, o un monorriel sobre una viga carrilera con contraflecha, fuga carga en silencio hacia el eje débil. Bastan unos pocos grados, como mostró el barrido de arriba.
• Citar solo Sx. El módulo del eje débil Sy es varias veces menor y provoca la mayor parte del daño bajo carga oblicua. Si una carga puede llegar fuera de eje, Sy pertenece a la hoja de cálculo.
• Confiar en un solo diagrama. Una carga oblicua tiene dos diagramas de flexión. Lee solo el del eje fuerte y te pierdes el término que gobierna la esquina.

El hilo conductor es el mismo en todos los casos: una pequeña cantidad de carga sobre el eje débil compra una gran cantidad de tensión, porque el módulo del eje débil es pequeño. Respeta ese único hecho y la flexión asimétrica deja de ser una sorpresa.

La forma más rápida de ganar intuición es mirar los dos números que lo deciden todo para tu sección: sus momentos de inercia del eje fuerte y del eje débil, y los módulos resistentes que los acompañan. La calculadora de abajo es la herramienta de momento de inercia de CalcSteel, gratuita y sin necesidad de iniciar sesión para las cuentas. Elige una forma o construye una personalizada, y lee Ix, Iy, Sx y Sy directamente. Cuanto mayor sea la brecha entre los dos, con más violencia girará el eje neutro en cuanto una carga abandone el eje fuerte, y más te costará un pequeño momento del eje débil.

Con esos cuatro números puedes correr todo el método a mano: descompón tu carga sobre los dos ejes, toma Mz / Sx y My / Sy, y súmalos en la esquina. Desde aquí las lecturas siguientes naturales son la guía de momento de inercia detrás de estas propiedades, el módulo resistente que las convierte en tensión, y el pandeo lateral torsional, donde el mismo eje débil decide cómo falla una viga mucho antes de que lo haga el material.