El método de las deformaciones angulares (slope-deflection): una viga continua de acero de dos vanos resuelta a mano

En algún punto de la segunda mitad de un curso de análisis estructural, Estruturas I o Análise Estrutural o como lo llame tu plan de estudios, la materia deja de tratar sobre dibujar diagramas de cuerpo libre y empieza a girar en torno a una pregunta más difícil: ¿cómo encuentras las fuerzas en una viga que la estática por sí sola no puede resolver? La primera respuesta completa que conoce la mayoría de los estudiantes es el método de las deformaciones angulares (slope-deflection), y compensa cada hora que le dediques, porque es exactamente la idea que tu software de análisis ejecuta millones de veces por segundo sin decírtelo nunca.

El método tiene una sola idea rectora. En lugar de perseguir fuerzas, tomas los desplazamientos como incógnitas: los giros de los nudos. Escribes los momentos de extremo de cada barra como una función de esos giros, impones el equilibrio en cada nudo y resuelves un pequeño sistema de ecuaciones lineales para los giros. Sustituyes hacia atrás y cada momento de extremo aparece solo. Ese es todo el método, y es el antepasado manual de la matriz de rigidez.

Esta guía resuelve un problema por completo: una viga continua de acero de dos vanos, con vanos desiguales, una carga distribuida en uno y una carga puntual en el otro. La planteamos, contamos su grado de hiperestaticidad, escribimos las ecuaciones de las deformaciones angulares (slope-deflection), resolvemos los giros de los nudos y leemos los momentos. Después entregamos la misma viga al motor de elementos finitos que viene dentro de CalcSteel y lo vemos reproducir cada número con tres decimales. Hay una calculadora en vivo en la página para que la manejes tú mismo.

La escribimos para tres tipos de lector. Si eres estudiante, este es el ejemplo resuelto que por fin hace que el método encaje. Si eres un calculista en ejercicio o por cuenta propia, es la verificación de sensatez detrás de la caja negra, lo que te permite confiar en lo que devuelve el software, o detectarlo cuando falla. Y si hasta ahora solo has presionado Analizar, esto es lo que el software está haciendo en realidad.

El método de las deformaciones angulares (slope-deflection) es un método de los desplazamientos: toma como incógnitas primarias los giros desconocidos de los nudos, y cuando un pórtico puede desplazarse lateralmente también las traslaciones de los nudos, y expresa cada momento de extremo de barra como una función lineal de ellas. Esto es lo contrario de los métodos de las fuerzas, el trabajo virtual o el método de la flexibilidad, que toman las fuerzas redundantes como incógnitas. Elegir los desplazamientos es lo que le permite escalar, y lo que lo convierte en el antepasado directo del análisis matricial y de elementos finitos.

En todo cálculo con deformaciones angulares aparecen tres magnitudes, y tenerlas claras es la mayor parte del método:

• Giros de los nudos θ. Cada nudo rígido gira un cierto ángulo bajo la carga. Estas son las incógnitas que resuelves. Una viga continua sobre apoyos simples tiene una incógnita de giro en cada apoyo interior, y una en cada extremo simple hasta que los eliminas por simplificación.
• Momentos de empotramiento perfecto (MEP). Los momentos que un vano desarrollaría en sus extremos si ambos estuvieran perfectamente empotrados, calculados solo a partir de la carga. Son el punto de partida: la carga aplicada entra en el método únicamente a través de los MEP.
• Rigidez de barra 2EI/L. Cuánto se resiste una barra a que giren sus extremos. Las barras más rígidas o más cortas atraen más momento, y por eso una estructura hiperestática reparte la carga según la rigidez relativa.

La convención de signos no es opcional ni negociable. Los momentos de extremo de barra en sentido horario son positivos. Cada momento de extremo, cada momento de empotramiento perfecto, cada giro se mide con la misma regla de horario positivo, y la forma más habitual de arruinar una solución con deformaciones angulares es dejar que, a mitad de camino, se cuele la convención de flexión que toma como positivo el momento que tracciona la fibra inferior (sagging). Mantén ambas separadas: resuelve con momentos de barra positivos en sentido horario y recién al final conviértelos a un diagrama de momento flector con ese criterio de positivo para sagging.

El método de las deformaciones angulares no es un truco moderno. Es un puente histórico concreto entre la estática a mano y la computadora, y conocer su linaje te dice por qué luce como luce.

• 1880, Heinrich Manderla escribe los momentos de extremo de barra en función de los giros de extremo para calcular tensiones secundarias en los nudos de celosías, la primera aparición de la idea central.
• 1892, Otto Mohr y Emil Winkler lo desarrollan más, todavía en el contexto de las tensiones secundarias en estructuras reticuladas.
• 1914, Axel Bendixen aplica la idea de los desplazamientos de forma sistemática a pórticos rígidos y da nombre al método: el método de las deformaciones angulares (slope-deflection).
• 1915, George A. Maney lo presenta en la forma que todavía se enseña hoy para estructuras de nudos rígidos, y se convierte en un método de análisis estándar en Estados Unidos.
• 1930, Hardy Cross publica la distribución de momentos, una forma iterativa de resolver esas mismas ecuaciones de equilibrio de nudos sin invertir una matriz a mano, y domina las oficinas de proyecto durante una generación.
• Décadas de 1950 y 1960, el análisis estructural matricial y el método de los elementos finitos generalizan las ecuaciones de las deformaciones angulares en la matriz de rigidez. Cada incógnita de giro pasa a ser un grado de libertad, cada 2EI/L pasa a ser un término de K, y las ecuaciones de equilibrio de nudos se convierten en Ku = F.

Esta es la conclusión que debes llevarte por el resto del artículo: cuando un solucionador de elementos finitos ensambla su matriz de rigidez y resuelve los giros nodales, está haciendo exactamente lo que tú estás a punto de hacer a mano, solo que con más grados de libertad y sin deslices aritméticos. El método de las deformaciones angulares es el código fuente legible de la caja negra.

Todo se reduce a una sola ecuación, escrita una vez para cada extremo de cada barra. Para una barra que va desde un extremo próximo n hasta un extremo lejano f, el momento en el extremo próximo es:

M_nf = (2EI / L)(2θ_n + θ_f − 3ψ) + MEP_nf

Léela término a término, porque cada término es un efecto físico:

• (2EI / L) es la rigidez rotacional de la barra. Las barras largas y flexibles aportan poco, las cortas y rígidas dominan.
• 2θ_n + θ_f acopla los dos extremos. Girar el extremo próximo aumenta su propio momento el doble que girar el extremo lejano, la transmisión 2 a 1 que también aparece en la distribución de momentos como un factor de transmisión de un medio.
• − 3ψ es el término de rotación de la cuerda, donde ψ = Δ / L es el giro de cuerpo rígido del eje de la barra causado por el asiento de un extremo, o por el desplazamiento lateral del pórtico, en una magnitud Δ. En una viga sin movimiento de apoyos, ψ = 0 y el término desaparece. Es el término que permite a las deformaciones angulares tratar el asiento y el desplazamiento lateral de forma directa, algo que los métodos de las fuerzas puros no logran con la misma limpieza.
• MEP_nf es el momento de empotramiento perfecto en ese extremo, el único lugar por donde entra la carga aplicada.

Hay una simplificación que vale su peso en oro. Cuando el extremo lejano de una barra es un apoyo simple, un apoyo articulado o de rodillo con momento nulo conocido, puedes eliminar su giro de antemano y usar la ecuación modificada de las deformaciones angulares:

M_nf = (3EI / L)(θ_n − ψ) + (MEP_nf − MEP_fn / 2)

Esto elimina una incógnita por cada extremo articulado, y es la razón por la que una viga continua con extremos simples se reduce solo a los giros de los apoyos interiores. Abajo usamos ambas formas para que veas cómo coinciden.

La carga nunca toca un giro de forma directa. Entra únicamente a través de los momentos de empotramiento perfecto, los momentos que cada vano desarrollaría en sus extremos si ambos estuvieran totalmente empotrados contra el giro. Los buscas en una tabla, y para las dos cargas de nuestro problema son los dos casos más comunes de cualquier tabla:

• Carga uniforme w sobre un vano L: MEP = ± wL² / 12, antihorario (negativo) en el extremo izquierdo y horario (positivo) en el extremo derecho.
• Carga puntual central P sobre un vano L: MEP = ± PL / 8, con el mismo patrón de signos.

Para nuestra viga eso da, antes de conocer ningún giro:

• Vano AB, w = 20 kN/m, L = 6 m: MEP_AB = − 20 × 6² / 12 = − 60 kN·m, MEP_BA = + 60 kN·m.
• Vano BC, P = 60 kN, L = 4 m: MEP_BC = − 60 × 4 / 8 = − 30 kN·m, MEP_CB = + 30 kN·m.

Fíjate en lo que son los momentos de empotramiento perfecto: los momentos en un mundo donde los nudos no pueden girar. La estructura real no es ese mundo, así que sus nudos sí giran, y las ecuaciones de las deformaciones angulares son la contabilidad que corrige los momentos de empotramiento perfecto por el giro que los nudos realmente experimentan. Esa es toda la lógica en una sola frase.

Ahora todo el método sobre una estructura. Viga continua A-B-C: articulación en A, rodillo en B, rodillo en C, prismática con EI constante. El vano AB = 6 m lleva una carga uniforme w = 20 kN/m, el vano BC = 4 m lleva una P = 60 kN central.

Paso 1, contar las incógnitas

Tres apoyos en una viga continua con extremos simples: el conteo da un grado de hiperestaticidad de uno, una redundante, que puedes tomar como el momento sobre el apoyo interior. En términos de desplazamientos, los giros libres son θ_A, θ_B, θ_C. Resolvemos el conjunto completo de tres, y luego mostramos que el atajo de una sola incógnita da la misma respuesta.

Paso 2, escribir los cuatro momentos de extremo de barra

Usando M_nf = (2EI / L)(2θ_n + θ_f) + MEP con ψ = 0 (sin movimiento de apoyos), y escribiendo a = EIθ_A, b = EIθ_B, c = EIθ_C para mantener el álgebra limpia:

• M_AB = (2EI/6)(2θ_A + θ_B) − 60 = (2a + b)/3 − 60
• M_BA = (2EI/6)(2θ_B + θ_A) + 60 = (2b + a)/3 + 60
• M_BC = (2EI/4)(2θ_B + θ_C) − 30 = (2b + c)/2 − 30
• M_CB = (2EI/4)(2θ_C + θ_B) + 30 = (2c + b)/2 + 30

Paso 3, imponer el equilibrio de nudos

En cada apoyo, los momentos de extremo de barra deben equilibrar el momento aplicado en el nudo, que aquí es cero. A y C son extremos simples que soportan una sola barra, así que su momento de extremo es cero. B es continuo, así que los dos momentos de barra allí deben sumar cero:

• Nudo A: M_AB = 0 ⇒ 2a + b = 180
• Nudo C: M_CB = 0 ⇒ 2c + b = − 60
• Nudo B: M_BA + M_BC = 0 ⇒ 2a + 10b + 3c = − 180

Paso 4, resolver los giros

De las ecuaciones de A y C, a = 90 − b/2 y c = − 30 − b/2. Sustituye ambas en la ecuación de B y todo se reduce a una sola incógnita: 270 + 7.5b = 0, así que EIθ_B = b = − 36 kN·m². Despeja los otros: EIθ_A = 108 y EIθ_C = − 12 kN·m². Los giros dependen de EI, pero los momentos no, porque EI se cancela en una viga prismática.

Paso 5, sustituir hacia atrás para los momentos

Vuelve a poner los giros en las cuatro ecuaciones:

• M_AB = (2×108 − 36)/3 − 60 = 180/3 − 60 = 0 (como debe ser, A es un extremo libre)
• M_BA = (2×(−36) + 108)/3 + 60 = 36/3 + 60 = + 72 kN·m
• M_BC = (2×(−36) − 12)/2 − 30 = −84/2 − 30 = − 72 kN·m
• M_CB = (2×(−12) − 36)/2 + 30 = −60/2 + 30 = 0 (C es un extremo libre)

El nudo B verifica: +72 y −72 suman cero. El apoyo interior soporta un momento negativo de 72 kN·m, y ese único número es la redundante que el conteo nos anticipó. El atajo de una sola incógnita, usando la ecuación modificada 3EI/L en ambos vanos con extremo articulado, da el idéntico EIθ_B = −36 y los idénticos 72 kN·m, que es la forma más rápida de comprobar tu álgebra.

La forma más rápida de sentir el método es construir tú mismo la viga y ver cómo ocurre la redistribución. La calculadora de abajo es la herramienta de vigas real de CalcSteel, en vivo en esta página. Empieza con un solo vano simplemente apoyado y lee el prolijo momento parabólico. Luego agrega un apoyo interior para volver continua la viga, y observa cómo aparece un momento negativo sobre ese apoyo mientras caen los momentos de vano: ese valor negativo es exactamente la redundante que resuelve el método de las deformaciones angulares.

Cambia las longitudes de los vanos para que sean desiguales, como nuestros 6 y 4, y la simetría se rompe igual que en el ejemplo resuelto: el vano más corto y más rígido atrae más momento hacia el nudo. Cada número que muestra la herramienta viene de las mismas ecuaciones de rigidez que acabas de resolver a mano, solo que ensambladas en una matriz en lugar de escritas una a una.

Es la herramienta real, gratis, sin necesidad de iniciar sesión para los cálculos. Si se abre en su propia pestaña, aquí tienes el enlace directo a la calculadora de vigas gratuita, y su compañera la calculadora de diagramas de cortante y momento dibuja los diagramas completos para cualquier vano y carga.

Los momentos de extremo son la parte difícil. Todo lo que viene después es estática. Con el momento del apoyo interior conocido, corta la viga en B en dos vanos simplemente apoyados, cada uno con el momento negativo de 72 kN·m en su extremo B, y toma momentos.

Reacciones

En el vano AB la carga uniforme por sí sola reparte 60 kN a cada extremo; el momento negativo de 72 kN·m en B agrega un par de 72 / 6 = 12 kN que quita 12 de A y pone 12 en B, así que este vano entrega 48 kN a A y 72 kN a B. En el vano BC la carga puntual por sí sola reparte 30 kN a cada extremo; el mismo 72 kN·m en B agrega 72 / 4 = 18 kN, así que este vano entrega 48 kN a B y 12 kN a C. Sumando en cada apoyo:

• R_A = 48 kN (solo del vano AB)
• R_B = 120 kN (72 de AB más 48 de BC, el apoyo interior se lleva la mayor parte)
• R_C = 12 kN (solo del vano BC)

Suman 180 kN, que es la carga total aplicada: 20 × 6 + 60 = 180. Esa comprobación no es opcional. Si tus reacciones no suman la carga, los momentos de extremo están mal.

El diagrama de momento flector

Ahora con positivo para sagging, el diagrama arranca en 0 en A, sube hasta un máximo en el vano AB donde el cortante cruza el cero en x = R_A / w = 48 / 20 = 2.4 m, alcanzando + 57.6 kN·m, luego baja pasando por cero hasta el momento negativo de − 72 kN·m sobre B, vuelve a subir hasta + 24 kN·m bajo la carga puntual, y baja a 0 en C.

El motor coincide, hasta tres decimales

Modelada como viga continua en el motor de elementos finitos de CalcSteel, la misma estructura devuelve R_A = 48.0, R_B = 120.0 y R_C = 12.0 kN, un momento en el apoyo B de − 72.0 kN·m, un máximo de vano de + 57.6 kN·m en x = 2.4 m en AB, y + 24.0 kN·m bajo la carga en BC. Cada número hecho a mano, reproducido con exactitud. Para el paso de las reacciones por separado, la guía de fuerzas de reacción en vigas recorre la estática, y diagramas de esfuerzo cortante y momento flector cubre cómo dibujar el diagrama.

Aquí es donde el método de las deformaciones angulares se gana su lugar por encima de los métodos de la flexibilidad y del trabajo virtual para el análisis a mano, y ese término −3ψ que has venido arrastrando es la razón. Como ψ = Δ / L es un giro de cuerpo rígido de la barra, el método absorbe un asiento de apoyo o un desplazamiento lateral del pórtico como un dato conocido más, sin cambiar la maquinaria.

Supón que el apoyo B asienta una magnitud Δ. Ambos vanos adquieren una rotación de la cuerda ψ = Δ / L, de signo opuesto porque B baja respecto de A de un lado y respecto de C del otro, y simplemente sumas la contribución −3(2EI/L)ψ a los momentos de extremo afectados antes de resolver. Las incógnitas, los giros de los nudos, no cambian; solo se mueven los términos constantes. Un asiento que una viga isostática despreciaría, ya que una estructura isostática no desarrolla fuerzas por el movimiento de apoyos, produce momentos reales y a veces determinantes en esta viga hiperestática, y el método te entrega esos momentos de forma directa.

Ese mismo término −3ψ, aplicado a la traslación horizontal de la parte superior de un pórtico, es exactamente como las deformaciones angulares tratan el desplazamiento lateral, agregando una ecuación de cortante por cada grado de libertad de desplazamiento lateral a las ecuaciones de los nudos. Es la misma información que captura un solucionador cuando construye la geometría del comportamiento del pórtico, y conecta con por qué un pórtico estable puede seguir siendo demasiado flexible, el tema de la discusión del método a mano frente al método matricial. Como nuestra viga no tiene movimiento de apoyos, ψ = 0 en todo momento y el término durmió, pero es la única característica que hace que valga la pena aprender el método más allá del examen.

Tres métodos que conoces en el mismo curso son en realidad un solo método en tres niveles de automatización, y verlo ahorra mucha confusión.

• Las deformaciones angulares (slope-deflection) escriben de forma explícita las ecuaciones de equilibrio de nudos y las resuelven de manera directa. Exacto y transparente, pero el álgebra crece con el número de nudos.
• La distribución de momentos (Hardy Cross) resuelve esas mismas ecuaciones de forma iterativa, bloqueando y liberando los nudos por turnos, así que nunca inviertes una matriz a mano. Su factor de transmisión de un medio es el acoplamiento 2 a 1 de la ecuación de las deformaciones angulares, y sus factores de distribución son las rigideces relativas 2EI/L. La misma física, distinta aritmética.
• El método matricial de rigidez, y el método de los elementos finitos ensamblan cada 2EI/L en una matriz de rigidez global K y resuelven Ku = F en un solo paso. Tus tres ecuaciones de nudos pasan a ser tres filas de K. Esto es lo que ejecuta CalcSteel, y es la razón por la que el motor coincidió con la solución a mano hasta tres decimales: son las mismas ecuaciones, resueltas sin deslices aritméticos.

Así que el valor de hacerlo una vez a mano no es nostalgia. Es que ahora sabes, en concreto, qué son los números de tu pantalla y dónde pueden salir mal: un apoyo mal ingresado que cambia una ecuación de nudo, un momento liberado que no pretendías, una rigidez equivocada porque una sección está mal. El método que puedes comprobar a mano es el método en el que puedes confiar en los que no puedes. Para ver dónde las soluciones a mano dejan de ser prácticas y la matriz toma el control de forma definitiva, lee por qué el método a mano se detiene y arranca el método matricial, y para la clasificación que viene antes de todo esto, contar los grados de determinación.

El método es mecánico, y precisamente por eso los errores son tan repetibles. Repasa esta lista de comprobación.

• Mezclar convenciones de signos. Las deformaciones angulares usan horario positivo para los momentos de extremo de barra. El diagrama de momento flector usa positivo para sagging. Convierte solo al final. Deslizarse entre las dos a mitad de la solución es la primera causa de respuestas equivocadas.
• Signos equivocados en los momentos de empotramiento perfecto. El MEP del extremo izquierdo de una carga hacia abajo es antihorario (negativo), el del extremo derecho es horario (positivo). Un signo de MEP invertido se propaga a cada giro.
• Olvidar el término de rotación de la cuerda. Si un apoyo asienta o un pórtico se desplaza lateralmente, ψ no es cero. Dejar fuera −3ψ descarta en silencio momentos reales.
• Manejar mal un extremo lejano articulado. O bien llevas θ en la articulación como una incógnita genuina y fijas ese momento de extremo en cero, o usas la ecuación modificada 3EI/L, pero no hagas la mitad de cada una.
• Suponer que los momentos dependen de EI. En una viga continua prismática EI se cancela y los momentos son puramente geométricos. EI solo afecta a los giros y las flechas reales, no a la distribución de momentos.

¿El método de las deformaciones angulares necesita la sección, E e I?

Para los momentos en una barra prismática, no: EI se cancela y los momentos de extremo dependen solo de las longitudes de los vanos y de las cargas. Necesitas EI solo si las barras tienen rigideces distintas, de modo que importa la EI/L relativa, o si quieres los giros y las flechas reales, o si un apoyo asienta, ya que los momentos por asiento escalan con EI.

¿Cuántas incógnitas voy a resolver en realidad?

Un giro por cada nudo rígido libre de girar, más una traslación por cada desplazamiento lateral independiente. Usar la ecuación modificada para cada extremo de apoyo simple elimina esos giros de entrada, y por eso nuestra viga de tres giros se redujo a una sola incógnita, EIθ_B.

¿Deformaciones angulares o distribución de momentos?

Dan respuestas idénticas. Las deformaciones angulares son mejores cuando quieres un resultado exacto en forma cerrada o tienes una computadora; la distribución de momentos es más rápida a mano para vigas de muchos vanos porque evita resolver ecuaciones simultáneas. La mayoría de los planes de estudio enseñan primero las deformaciones angulares porque exponen la idea de rigidez sobre la que se construye el método matricial.

Has resuelto a mano una viga genuinamente hiperestática y has visto al motor confirmarlo. Llévate esto.

• Es un método de los desplazamientos. Las incógnitas son los giros de los nudos, no las fuerzas. Escribe cada momento de extremo como M_nf = (2EI/L)(2θ_n + θ_f − 3ψ) + MEP, impón el equilibrio de nudos y resuelve.
• La carga entra únicamente a través de los momentos de empotramiento perfecto. wL²/12 para una carga uniforme, PL/8 para una carga puntual central. Todo lo demás es rigidez y giro.
• Nuestra viga. Tres giros se redujeron a una incógnita, EIθ_B = −36, dando un momento negativo de 72 kN·m sobre B, reacciones de 48, 120 y 12 kN, y máximos de vano de +57.6 y +24 kN·m, todo reproducido por el motor hasta tres decimales.
• El término −3ψ es la recompensa. El asiento y el desplazamiento lateral entran de forma directa, algo que los métodos de las fuerzas no pueden igualar en el trabajo a mano.
• Es la caja negra, hecha legible. La distribución de momentos itera las mismas ecuaciones; la matriz de rigidez y los elementos finitos las ensamblan en Ku = F. Hacerlo una vez a mano es lo que te permite confiar en el software, y detectarlo cuando un modelo está mal.

Ahora construye la tuya. Coloca una viga continua en la calculadora de vigas gratuita, agrega y mueve un apoyo interior, y observa cómo aparece y se desplaza el momento negativo que acabas de resolver. Cuando estés listo para pórticos completos, CalcSteel ejecuta el mismo motor de elementos finitos real sobre estructuras completas en tu navegador, gratis, con cada reacción, diagrama y verificación normativa incluidos. Los estudiantes obtienen todo desbloqueado a través de CalcSteel Education, gratis.