Integración numérica: propiedades de sección de un polígono arbitrario, como lo hace el software

Antes de verificar cualquier viga a flexión, deflexión o pandeo, su sección transversal debe reducirse a un puñado de números. Esos números son las propiedades de sección:

• Área A, que soporta la fuerza axial y el peso propio.
• Centroide (C_x, C_y), el punto respecto al cual se mide toda otra propiedad.
• Segundo momento de área I_x, I_y (el momento de inercia), que fija la rigidez a flexión y, a través de la carga de Euler, la capacidad al pandeo.
• Producto de inercia I_xy, que indica si x e y son los ejes principales o si la sección flexionará lateralmente bajo una carga vertical.
• Módulo resistente S = I / c y radio de giro r = √(I/A), los números derivados que las verificaciones de la norma usan directamente.

Para un rectángulo o una barra redonda estos se buscan en una fórmula. Pero una sección transversal real, una viga armada soldada, un labio conformado en frío, una cartela con una esquina recortada, una celda de puente, no tiene fórmula. Es apenas un contorno. La pregunta que responde este artículo es la misma que todo programa estructural debe responder internamente: dadas nada más que las coordenadas de las esquinas de una forma arbitraria, ¿cómo obtienes A, el centroide y la inercia, de forma exacta y rápida?

La respuesta honesta es integración numérica, pero no del tipo que la mayoría imagina. El software no trocea el interior en una grilla ni suma cuadraditos. Hace algo mucho más elegante, y sale directo de Cálculo I y II.

Abre el programa de Cálculo II en el capítulo de integrales dobles y ya tienes las definiciones. Sobre la región R que ocupa la sección transversal:

A = ∫∫_R dA

Q_x = ∫∫_R y dA, Q_y = ∫∫_R x dA (los primeros momentos; el centroide es C_y = Q_x/A, C_x = Q_y/A)

I_x = ∫∫_R y² dA, I_y = ∫∫_R x² dA, I_xy = ∫∫_R xy dA

Estas son exactas y completamente generales, y si la conexión entre una integral y una cantidad física parece abstracta, el caso de cortante y momento la vuelve concreta: el momento es literalmente la integral definida del diagrama de cortante. La dificultad aquí es puramente práctica: R es una región arbitraria, así que no hay antiderivada en la que sustituir los límites. Un estudiante de primer año plantearía los límites a mano para una forma específica. Un programa no puede, porque no conoce la forma hasta el tiempo de ejecución.

Hay tres salidas, y vale nombrarlas porque la gente las confunde:

1. Mallado / Monte Carlo: llenar el interior con celdas o puntos aleatorios y sumar. Simple, siempre funciona, pero aproximado y lento, y necesita el interior, no solo el contorno. Esto es lo que hace el software de elementos finitos para las tensiones, no lo que hace para las propiedades de sección.
2. Cuadratura gaussiana: muestrear el integrando en unos pocos puntos astutos con pesos astutos. Exacta para polinomios hasta cierto grado, y como y² es un polinomio de bajo grado, un puñado de puntos clava una forma de aristas rectas. Es el caballo de batalla dentro de las integrales de rigidez de elemento de un motor de elementos finitos.
3. Teorema de Green: convertir la integral de área en una integral de contorno, y luego, para un polígono, evaluarla exactamente como una suma finita. Sin malla, sin muestreo, sin error. Esto es lo que usa un motor de propiedades de sección.

La opción 3 es la que convierte un problema no acotado en un bucle de una línea, así que es la que seguimos.

El teorema de Green es el resultado de Cálculo II que relaciona una integral doble sobre una región con una integral de línea alrededor de su contorno ∂R:

∫∫_R (∂M/∂x − ∂L/∂y) dA = ∮_∂R (L dx + M dy)

El truco es elegir L y M de modo que el lado izquierdo se vuelva la propiedad que queremos. Para el área, toma L = 0, M = x, y el teorema da A = ∮ x dy. Para el segundo momento respecto al eje x, toma el par que hace ∂M/∂x − ∂L/∂y = y², e I_x se vuelve una integral de línea de términos en y² alrededor del borde. La misma jugada funciona para cada propiedad de la lista.

¿Por qué es tan buena noticia? Porque el contorno de un polígono es una secuencia de segmentos rectos, y una integral de línea sobre un segmento recto es algo que puedes integrar en forma cerrada una vez, simbólicamente, para siempre. Haces el cálculo una única vez sobre una arista genérica desde (xᵢ, yᵢ) hasta (xᵢ₊₁, yᵢ₊₁), y de ahí en más la computadora solo suma el álgebra resultante. La integral bidimensional sobre una región desconocida ha colapsado en una suma unidimensional sobre n aristas.

Geométricamente, cada arista barre un triángulo con signo de vuelta al origen. Las aristas del lado lejano del origen barren área positiva, las del lado cercano barren área negativa, y los solapamientos se cancelan exactamente, dejando la región encerrada verdadera. Ese cuadro de barrido con signo es toda la idea detrás de la fórmula de la próxima sección.

Lleva a cabo la integral de contorno para un polígono con vértices (xᵢ, yᵢ), listados en orden y cerrado (el último vértice se conecta de vuelta al primero), y cada propiedad se reduce a una suma de una cantidad por arista, el término cruzado:

crossᵢ = xᵢ · yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ · yᵢ

Ese es exactamente el numerador de un determinante 2×2, el área con signo del triángulo formado por el origen y la arista i. El área es entonces:

A = ½ Σ crossᵢ

Esta es la fórmula del cordón (shoelace) (fórmula del área de Gauss), llamada así porque el patrón de multiplicación cruzada parece el atado de un zapato. Tiene signo: lista los vértices en sentido antihorario y A sale positiva, en sentido horario y sale negativa. El software usa ese signo deliberadamente, positivo para un contorno sólido, negativo para un hueco, así que una sección con una cavidad se maneja listando los vértices del hueco al revés y sumando.

Ejemplo resuelto: un rectángulo de 200 × 300 mm

Coloca las esquinas en (0,0), (200,0), (200,300), (0,300), en sentido antihorario. Los cuatro términos cruzados:

• arista (0,0)→(200,0): 0·0 − 200·0 = 0
• arista (200,0)→(200,300): 200·300 − 200·0 = 60 000
• arista (200,300)→(0,300): 200·300 − 0·300 = 60 000
• arista (0,300)→(0,0): 0·0 − 0·300 = 0

A = ½ (0 + 60 000 + 60 000 + 0) = 60 000 mm², que es 200 × 300 al dígito. Dos de las cuatro aristas no aportaron nada, porque una arista que yace sobre una recta que pasa por el origen barre triángulo cero. A la fórmula no le importa; simplemente suma.

> Nota CalcSteel: el motor de sección que impulsa las páginas de perfiles ejecuta exactamente este bucle. El término cruzado con signo es la línea uno de la función; todo lo demás es más de la misma álgebra.

El centroide usa el mismo término cruzado, ponderado por la coordenada que se mueve:

C_x = 1/(6A) Σ (xᵢ + xᵢ₊₁) · crossᵢ

C_y = 1/(6A) Σ (yᵢ + yᵢ₊₁) · crossᵢ

El centroide importa porque el momento de inercia que quiere la norma se mide respecto al centroide, no respecto al origen de tu dibujo. Equivócate en el centroide y toda inercia posterior queda mal por el término de los ejes paralelos.

Ejemplo resuelto: un triángulo rectángulo, 120 de base × 180 de altura

Vértices (0,0), (120,0), (0,180). El área por el cordón es ½ · 120 · 180 = 10 800 mm². Alimentar los mismos vértices por las sumas del centroide da:

• C_x = 40 mm = base / 3
• C_y = 60 mm = altura / 3

que es el centroide de libro de un triángulo rectángulo, un tercio de cada cateto desde la esquina del ángulo recto. Nota que el origen quedó en una esquina, no en el centroide: la fórmula encontró el centroide por nosotros, que es todo el punto. Nunca tienes que saber de antemano dónde está el centroide.

Los segundos momentos salen de la misma integral de contorno, un paso algebraico más pesado. Respecto al origen del dibujo:

I_x0 = 1/12 Σ (yᵢ² + yᵢ·yᵢ₊₁ + yᵢ₊₁²) · crossᵢ

I_y0 = 1/12 Σ (xᵢ² + xᵢ·xᵢ₊₁ + xᵢ₊₁²) · crossᵢ

I_xy0 = 1/24 Σ (xᵢ·yᵢ₊₁ + 2xᵢ·yᵢ + 2xᵢ₊₁·yᵢ₊₁ + xᵢ₊₁·yᵢ) · crossᵢ

Estos son respecto al origen, que casi nunca es donde los quieres. El último paso es el teorema de los ejes paralelos (la transferencia de Steiner), usado en reversa para deslizar el eje del origen al centroide:

I_x = I_x0 − A · C_y², I_y = I_y0 − A · C_x², I_xy = I_xy0 − A · C_x · C_y

Como restamos la contribución del centroide una vez, al final, todo el cómputo sigue siendo una sola pasada por las aristas seguida de tres sustracciones. Nada se malla, nada se muestrea.

De vuelta al rectángulo

Para el rectángulo de 200 × 300, las sumas respecto al origen dan I_x0, y tras la transferencia por C_y = 150 mm el resultado es I_x = 450 × 10⁶ mm⁴, exactamente b·h³/12 = 200·300³/12. Igualmente I_y = 200 × 10⁶ mm⁴. De ahí salen los números derivados que usa la norma: S_x = I_x/c = 450×10⁶/150 = 3,0 × 10⁶ mm³, y r_x = √(I_x/A) = 86,6 mm. La vía del polígono reproduce la forma cerrada hasta el último dígito, que es el punto: no es una aproximación de la fórmula, es la fórmula, derivada una vez para una arista genérica.

El producto de inercia I_xy es la propiedad que nadie recuerda de la tabla de fórmulas, porque para cualquier sección con un eje de simetría vale cero. Pero un ángulo, una Z, un canal monosimétrico cargado fuera de eje, o cualquier forma recortada o asimétrica tiene un I_xy no nulo, y eso cambia la física: una carga vertical produce flexión lateral, porque los ejes fuerte y débil están rotados respecto a la horizontal y la vertical.

El motor obtiene I_xy de la misma suma de una pasada mostrada arriba, luego encuentra los ejes principales con las relaciones del círculo de Mohr de inercia, que son pura trigonometría a nivel de Cálculo, la rotación de una forma cuadrática:

R = √( ((I_x − I_y)/2)² + I_xy² ), I₁ = (I_x+I_y)/2 + R, I₂ = (I_x+I_y)/2 − R

θ = ½ · atan2(2 I_xy, I_y − I_x) localiza el eje.

Ejemplo resuelto: un ángulo de lados iguales L100 × 100 × 10

Traza la L como seis vértices, esquina en el origen, ambos lados de 10 mm de espesor. Una pasada devuelve:

• A = 1 900 mm², centroide en (28,68, 28,68), sobre la línea de 45° como exige la simetría.
• I_x = I_y = 1,80 × 10⁶ mm⁴ (iguales, porque los lados son iguales).
• I_xy = −1,066 × 10⁶ mm⁴, y el hecho de que no sea cero es toda la historia.

Los valores principales son I₁ = 2,87 × 10⁶ mm⁴ e I₂ = 0,734 × 10⁶ mm⁴, a θ = 45°. Así que el verdadero eje débil de un ángulo de lados iguales carga solo alrededor de un cuarto de la rigidez de su eje fuerte, y ambos están inclinados 45° respecto a los lados. Un ingeniero que verificara la flexión respecto al eje del lado horizontal, usando I_x = 1,80 × 10⁶, se equivocaría tanto en magnitud como en dirección. El motor de polígonos te entrega I₂ y θ sin que nada de eso sea obvio a partir del contorno.

Aquí está el ejemplo que muestra por qué este método vale la confianza para perfiles reales. Toma una sección I, h = 300, b = 150, ala t_f = 12, alma t_w = 8 mm, y descríbela de la única manera que puede un programa: como los 12 puntos de esquina de su contorno, trazando las alas y las puntas del alma en orden. Sin fórmula, sin descomposición, solo el polígono.

Una pasada de la familia del cordón sobre esos 12 vértices devuelve:

• A = 5 808 mm²
• I_x = 88 709 184 mm⁴ ≈ 88,71 × 10⁶
• I_y = 6 761 776 mm⁴ ≈ 6,76 × 10⁶
• S_x = 591 395 mm³, r_x = 123,59 mm, r_y = 34,12 mm

Ahora verifícalo a la manera del libro, el compuesto de tres rectángulos con el teorema de los ejes paralelos, I_x = [b·h³ − (b−t_w)·h_w³] / 12 con h_w = 276: [150·300³ − 142·276³] / 12 = 88 709 184 mm⁴. Ambos coinciden en cada dígito, no en tres decimales, en cada dígito, porque la integral del polígono y la integral del compuesto son la misma integral evaluada de dos maneras.

Esa exactitud es la razón por la que una sola función de polígono puede impulsar una base de datos entera de perfiles. Además compone: una viga armada, una viga alveolar con huecos hexagonales en el alma (ver vigas alveolares y celulares), un cajón con un vacío interno, todos son solo más vértices, o un lazo exterior más un lazo de hueco. La viga I de 12 vértices no es un caso especial en el código; es el caso general con 12 esquinas.

Todo lo anterior fue exacto porque las aristas eran rectas. Un círculo, un radio de acuerdo, la pared de un tubo tiene un contorno curvo, y ese es el único lugar donde entra de verdad la integración numérica, en el sentido aproximado. La jugada universal es reemplazar la curva por un polígono de muchos lados y correr la fórmula exacta del polígono sobre él. La única pregunta es cuántos lados necesitas, y la respuesta es un resultado de convergencia limpio.

Aproxima un círculo de radio 100 mm (A exacta = πr² = 31 415,9 mm², I exacta = πr⁴/4 = 78,54 × 10⁶ mm⁴) por un n-ágono regular inscrito:

• n = 6: A errada en −17,3 %, I errada en −31,1 % (un hexágono es un mal círculo)
• n = 12: A errada en −4,51 %, I errada en −8,77 %
• n = 24: A errada en −1,14 %, I errada en −2,26 %
• n = 48: A errada en −0,285 %, I errada en −0,570 %
• n = 96: A errada en −0,071 %, I errada en −0,143 %
• n = 360: A errada en −0,005 %, I errada en −0,010 %

El patrón es exacto y vale internalizarlo: el error cae como 1/n². Ir de 12 lados a 24 recortó el error de área de 4,51 % a 1,14 %, un factor de 3,96, esencialmente el 4 teórico. Cada duplicación de los lados cuartea el error. Eso es convergencia de segundo orden, el mismo orden que encuentras en la familia trapezoidal y de Simpson en Cálculo II, y por eso un motor de sección puede alcanzar cinco cifras significativas de precisión en una barra redonda con un par de cientos de lados y nunca volver a pensar en ello.

La alternativa, y lo que usa un solver de tensiones en el interior del elemento en lugar del contorno de la sección, es la cuadratura gaussiana: en lugar de muchos lados iguales, muestrear el integrando en unos pocos puntos óptimamente ubicados. Como y² es apenas una cuadrática, una regla de Gauss de 2 puntos la integra exactamente sobre un elemento de lados rectos. La misma idea de Cálculo II, muestreo para reemplazar una integral, afinada para otra tarea.

Dos extensiones cubren casi toda sección real, y ambas salen directo del área con signo.

Huecos por sustracción

Una sección hueca, un tubo, una viga cajón, una placa con un agujero de perno, es un contorno exterior menos uno interior. Como el área del cordón tiene signo, listas el lazo exterior en sentido antihorario (positivo) y el lazo del hueco en sentido horario (negativo), sumas cada propiedad de ambos, y el hueco simplemente se resta a sí mismo. No hay código especial de hueco: A = A_exterior − A_hueco, y la misma cancelación ocurre para el primer y segundo momento antes de la única transferencia de centroide al final. Un tubo rectangular es un lazo exterior de cuatro vértices y un lazo interior de cuatro vértices, ocho números, y la I exacta de un RHS sale sola.

Compuestos por sumatoria

El otro flujo de trabajo común es el miembro armado soldado: una viga armada es una placa de ala superior, una placa de ala inferior y una placa de alma. Aquí ni siquiera necesitas la vía del polígono; el teorema de los ejes paralelos sobre rectángulos alcanza. Para cada placa, suma su propio b·h³/12 más A·d² al total acumulado, donde d es la distancia del centroide de la placa al centroide de la sección. Suma el área, suma los primeros momentos para hallar el centroide, luego suma las inercias transferidas. Es el mismo término de Steiner de antes, ahora usado hacia adelante, un rectángulo a la vez.

Lo único a vigilar: las placas superpuestas cuentan doble. Si dos rectángulos en un compuesto comparten área interior, la sumatoria suma esa región dos veces e infla en silencio A e I. Bordes que se tocan, el caso soldado normal, están bien; una superposición genuina es un error de modelado que el motor marca en lugar de tragar.

La matemática es corta, así que los errores están siempre en la contabilidad. Los que muerden, en orden de qué tan seguido aparecen:

• Orden de recorrido. Lista el polígono exterior en sentido horario y el área con signo sale negativa. Un motor robusto fuerza el lazo exterior positivo y el hueco negativo sin importar cómo los ingresaste, pero una implementación a mano que confía en el signo crudo reportará un área negativa y, peor, una inercia que se ve plausible pero está mal.
• Olvidar la transferencia de centroide. Las sumas de una pasada dan la inercia respecto al origen. Si te detienes ahí y reportas I_x0 como I_x, has sobrestimado la rigidez en A·C_y², que para una sección fuera del origen puede ser mayor que la respuesta real. La sustracción no es opcional.
• Un polígono abierto. El bucle supone que el último vértice se conecta de vuelta al primero. Aliméntalo con una lista sin cerrar, o repite por accidente el vértice de cierre sin que el código lo espere, y una arista fantasma corrompe cada suma. Los buenos motores deduplican un punto de cierre explícitamente repetido y cierran el resto de forma implícita.
• Contornos que se auto-intersecan. Un ocho o un contorno que se cruza a sí mismo viola la suposición de polígono simple; los triángulos con signo ya no particionan la región y el resultado carece de sentido. Traza el contorno una vez, sin cruces.
• Unidades. La inercia escala como la longitud a la cuarta potencia. Ingresa el contorno en centímetros cuando el resto del modelo está en milímetros e I queda errada por 10⁴. Mantén una sola unidad de longitud de punta a punta; un motor de sección que trabaja internamente en mm⁴ espera mm de entrada.

Ninguno de estos es sutil una vez nombrado, y cada uno ha producido una sección que se veía bien y verificó mal. El valor de usar el motor entregado es que los cinco se manejan por ti.

Todo lo anterior está en vivo en la calculadora de Momento de Inercia de CalcSteel. El constructor de secciones personalizadas toma o una lista de placas soldadas (la vía del compuesto) o los vértices crudos de cualquier polígono, opcionalmente con un hueco, y devuelve A, el centroide, I_x, I_y, I_xy, los ejes principales, S y r, dibujados a escala, y contrastados en vivo contra la base de datos real de 1.309 perfiles. Es el bucle exacto del teorema de Green de este artículo, la misma función que calcula las propiedades detrás de cada página de perfil, así que el número que obtienes en el navegador es el número que usa el motor de análisis.

Escribe el rectángulo de 200 × 300 y observa 60 000 mm² y 450 × 10⁶ mm⁴ regresar. Pega los 12 vértices de la viga I y lee 88,71 × 10⁶. Traza el ángulo de lados iguales y ve los ejes principales girar a 45°. No hay mallado, no hay espera, porque no hay aproximación que converger, solo una pasada por las aristas.

Una vez que tienes la sección, el próximo paso es lo que la estructura hace con ella: alimenta I en una verificación de deflexión de viga o la carga de pandeo de Euler, o lee cómo la misma I gobierna los límites de deflexión de servicio. Las propiedades de sección son el puente de Cálculo II a un miembro que pasa.