Flambagem por Flexo-Torção: o Modo Que Governa Perfis U e Cantoneiras, Não o de Euler

Você dimensiona uma barra comprimida, escolhe o eixo fraco, calcula a tensão de Euler a partir da esbeltez, passa pela curva de coluna e lê uma capacidade. Para um perfil de abas largas ou uma seção tubular, essa é a história inteira. Para um perfil U, um T estrutural ou uma cantoneira, não é, e a barra pode falhar sob uma carga bem abaixo do número que você acabou de anotar. Nada foi calculado errado. O caminho da carga encontrou um modo que a fórmula de Euler nunca conteve: a seção torceu.

A fórmula da flambagem de Euler descreve uma falha: a coluna se curva para o lado em flexão pura, com cada seção transversal permanecendo plana e sem torção. Essa hipótese só é exata quando o centro de cisalhamento e o centroide são o mesmo ponto, o que acontece para seções duplamente simétricas: um I, uma caixa, uma barra maciça. No instante em que o centro de cisalhamento se afasta do centroide, e ele se afasta para toda seção aberta com simetria simples ou assimétrica, a carga axial pelo centroide começa a torcer a barra. Agora existem três formas de flambar, não uma: fletir, torcer, ou fazer as duas coisas ao mesmo tempo. A AISC 360 chama as duas últimas de flambagem por torção e por flexo-torção, e para perfis U e cantoneiras elas rotineiramente dão uma resistência menor que o modo de Euler.

Este guia transforma esse modo num número. Cada tensão aqui é calculada com o método do Capítulo E da AISC 360 e reproduzida pelo motor de colunas do CalcSteel, que roda a verificação por flexão e a por flexo-torção juntas. Escrevemos para três leitores. Se você é estudante, este é o caso de flambagem que seu curso cita num slide e nunca resolve. Se você é engenheiro ou calculista autônomo, pule para o perfil U resolvido e o gráfico por comprimento, onde um modo que você talvez tenha pulado remove um terço da capacidade. E se você só quer a regra: para qualquer seção aberta que não seja duplamente simétrica, a verificação de Euler é um teto, não a resposta, e você precisa rodar a E4 para achar o piso.

Comece pelos modos em si, porque o método inteiro é só uma competição entre eles. Uma coluna reta sob compressão axial pode perder estabilidade em três formas distintas.

Flambagem por flexão, o modo de Euler

A coluna se curva em torno de um de seus eixos principais, permanecendo reta na torção. Cada seção transversal translada para o lado, mas não gira. Este é o caso clássico de Euler, um para cada eixo, e a tensão elástica é Fe igual a pi ao quadrado E sobre a esbeltez ao quadrado. Para uma seção duplamente simétrica é o único modo que importa, porque não há acoplamento com a torção.

Flambagem por torção, a torção pura

A coluna gira em torno de seu eixo longitudinal, cada seção transversal torcendo como uma chave numa fechadura, sem movimento lateral. Ela é resistida por duas rigidezes trabalhando em paralelo: a rigidez à torção de St. Venant G vezes J, e a rigidez ao empenamento E vezes Cw. A flambagem por torção pura só governa para seções duplamente simétricas especiais com rigidez à torção muito baixa, uma cruciforme ou uma coluna muito curta e pesada, mas é o ingrediente com que o modo de flexo-torção é construído.

Flambagem por flexo-torção, o modo acoplado

A coluna flete e torce ao mesmo tempo, numa única forma acoplada. Este é o modo que governa perfis U, T e cantoneiras. Ele existe porque o centro de cisalhamento está afastado do centroide: a flexão em torno do eixo de simetria não pode mais acontecer sem torção, então as duas deformações se travam juntas e flambam como uma só, sob uma carga abaixo de qualquer uma agindo sozinha. A flambagem em torno do outro eixo principal, o que não tem simetria para acoplar, continua um modo de Euler puro. Então a competição real para um perfil U é curta: Euler no eixo fraco de um lado, flexo-torção do outro, a menor vence.

Essa é a lógica inteira do Capítulo E da AISC 360. Calcule a tensão de Euler para cada eixo, calcule a tensão de torção, combine as acopladas, e pegue o mínimo. O resto é achar as propriedades da seção que alimentam isso.

O acoplamento tem uma causa, e ela é geométrica. Toda seção tem dois pontos especiais. O centroide é onde a carga axial age, o ponto de equilíbrio da área. O centro de cisalhamento é por onde a carga transversal precisa passar para fletir a seção sem torcê-la, o ponto em torno do qual a seção gira quando de fato torce. Para uma seção duplamente simétrica os dois pontos coincidem, e a carga axial, agindo no centroide, passa pelo centro de cisalhamento e não produz torção. É por isso que uma seção I obedece a Euler.

Para um perfil U o centro de cisalhamento fica inteiramente fora da seção, no lado da alma oposto às abas. Para um T ele fica na junção da aba com a alma. Para uma cantoneira ele fica no canto, onde as duas abas se encontram. Em todos os casos é uma distância real em relação ao centroide, e essa distância, chamada x0 nas equações da AISC, é o que quebra a hipótese de Euler. A carga axial ainda age no centroide, mas a resistência da seção à torção está organizada em torno do centro de cisalhamento, então a carga e a rigidez não compartilham mais um ponto. O afastamento transforma a força axial numa alavanca que alimenta a torção, exatamente como um empurrão fora de centro numa porta alimenta a rotação em torno da dobradiça.

É o mesmo afastamento que faz uma seção aberta torcer sob carga transversal, o assunto do guia sobre centro de cisalhamento e torção. Lá o afastamento inventa torção a partir de uma carga que você não achava que era excêntrica. Aqui ele inventa um modo de flambagem a partir de uma carga que é perfeitamente axial. Mesma geometria, duas falhas diferentes. Quanto maior o afastamento x0 e menor a rigidez à torção G vezes J, mais a seção quer torcer, e mais a carga de flexo-torção cai abaixo de Euler.

A AISC 360 trata disso no Capítulo E, e uma vez que as propriedades da seção estão em mãos são três fórmulas e um mínimo. Trabalhe em unidades consistentes, aqui E igual a 200 GPa e G igual a 77 GPa para o aço, com os comprimentos como comprimentos efetivos Lc igual a K vezes L.

Passo 1: as tensões de flexão (E3)

As duas tensões de Euler, uma por eixo principal: Fex igual a pi ao quadrado E sobre (Lcx sobre rx) ao quadrado e Fey igual a pi ao quadrado E sobre (Lcy sobre ry) ao quadrado, com rx e ry os raios de giração. Para um perfil U, Fey, em torno do eixo fraco, é o competidor de flexão pura. Fex, em torno do eixo de simetria, não age sozinha: ela entra no modo acoplado.

Passo 2: a tensão de torção (E4)

A tensão que causaria a torção pura:

Fez igual a ( G J mais pi ao quadrado E Cw sobre Lcz ao quadrado ) dividido por ( A vezes r0 ao quadrado )

onde J é a constante de torção de St. Venant, Cw é a constante de empenamento, A é a área, e r0 é o raio de giração polar em torno do centro de cisalhamento, r0 ao quadrado igual a x0 ao quadrado mais y0 ao quadrado mais (Ix mais Iy) sobre A. Leia Fez como o quanto a seção resiste à torção, definido quase inteiramente por J e Cw. Paredes abertas finas têm um J minúsculo, porque J escala com a espessura ao cubo, então seu Fez é baixo, e é isso que puxa o modo acoplado para baixo.

Passo 3: a tensão acoplada e o mínimo (E4-3)

Para uma seção com simetria simples, a flexão em torno do eixo de simetria, aqui Fex, acopla com a torção Fez na tensão de flexo-torção:

Fexz igual a ( (Fex mais Fez) sobre 2H ) vezes ( 1 menos raiz quadrada de ( 1 menos 4 Fex Fez H sobre (Fex mais Fez) ao quadrado ) )

com a constante de flexão H igual a 1 menos x0 ao quadrado sobre r0 ao quadrado, que mede o quanto o centro de cisalhamento está afastado do centroide. Então a tensão elástica governante é simplesmente Fe igual ao mínimo de Fey e Fexz. Esse Fe alimenta a curva de coluna comum, Fcr igual a 0,658 elevado a (Fy sobre Fe) vezes Fy quando Fe é pelo menos 0,44 Fy, e Fcr igual a 0,877 Fe quando a coluna é esbelta, exatamente como na verificação de Euler. A resistência de projeto é phiPn igual a 0,90 vezes Fcr vezes A. Nada na curva de coluna muda. Só a tensão elástica que você alimenta nela.

Coloque o método sobre uma seção real. Tome um perfil U enrijecido formado a frio, 200 por 90 por 20 por 3 mm, um montante ou coluna de estante comum, usado como coluna rotulada de 3 m de comprimento, K igual a 1 em todo eixo, aço Fy igual a 350 MPa. Suas propriedades de seção, calculadas com o método setorial de parede fina e conferidas contra fórmulas fechadas e o motor geométrico do CalcSteel, são:

• Área A igual a 12,33 centímetros quadrados, raios de giração rx igual a 80,3 mm e ry igual a 33,2 mm.
• Constante de torção J igual a 0,370 cm à quarta, constante de empenamento Cw igual a 10515 cm à sexta.
• Afastamento do centro de cisalhamento x0 igual a 67,5 mm, raio polar r0 igual a 110,0 mm, constante de flexão H igual a 0,623.

Passo 1: as tensões de flexão

A esbeltez no eixo fraco é Lcy sobre ry igual a 3000 sobre 33,2 igual a 90,5, então a tensão de Euler no eixo fraco é Fey igual a pi ao quadrado vezes 200000 sobre 90,5 ao quadrado igual a 241 MPa. Em torno do eixo de simetria, Fex igual a 1414 MPa, muito mais alta porque rx é grande. Um projetista que verificasse só o eixo fraco pararia aqui, em 241 MPa.

Passo 2: a tensão de torção

Alimente as propriedades em Fez igual a ( G J mais pi ao quadrado E Cw sobre Lcz ao quadrado ) sobre ( A r0 ao quadrado ), com G igual a 77 GPa, J igual a 0,370 cm à quarta, E igual a 200 GPa, Cw igual a 10515 cm à sexta, Lcz igual a 3 m, A igual a 12,33 centímetros quadrados e r0 igual a 110 mm. O resultado é Fez igual a 174 MPa, já menor que Fey, porque a parede de 3 mm deixa J pequeno e o termo de empenamento não consegue compensar.

Passo 3: a tensão acoplada

Alimente Fex igual a 1414, Fez igual a 174 e H igual a 0,623 na fórmula E4-3 e a tensão de flexo-torção é Fexz igual a 165 MPa. Agora compare: Fe igual ao mínimo de Fey igual a 241 e Fexz igual a 165, então Fe igual a 165 MPa e o modo de flexo-torção governa. A coluna não flete até a falha, ela flete e torce, sob uma tensão um terço abaixo da resposta de Euler.

Passo 4: a resistência

Como Fe igual a 165 está acima de 0,44 Fy igual a 154, use a curva inelástica: Fcr igual a 0,658 elevado a (350 sobre 165) vezes 350 igual a 144 MPa. A resistência nominal é Pn igual a Fcr vezes A igual a 178 kN, e a resistência de projeto é phiPn igual a 0,90 vezes 178 igual a 160 kN. O motor de colunas do CalcSteel, rodando a E3 e a E4 juntas nesta seção, retorna Fe igual a 165 MPa, Fcr igual a 144 MPa e phiPn igual a 160 kN, batendo com o cálculo à mão até a casa decimal.

Um único ponto resolvido é uma fotografia. A imagem útil é como os modos se alternam à medida que a coluna fica mais longa, porque a resposta para qual deles governa nem sempre é a mesma. Mantenha a seção fixa e varra o comprimento rotulado, comparando a tensão crítica que só a verificação de Euler daria contra a tensão verdadeira com a E4 incluída.

• L igual a 1 m: Fcr só de Euler igual a 327 MPa, Fcr verdadeiro igual a 314 MPa. O tramo é atarracado, ambos os modos estão perto do escoamento, e a diferença é pequena.
• L igual a 2 m: só de Euler 267 MPa, verdadeiro 230 MPa. A torção já está tomando 14 por cento.
• L igual a 3 m (a coluna resolvida): só de Euler 191 MPa, verdadeiro 144 MPa. Uma diferença de 25 por cento na tensão, uma diferença de 32 por cento na resistência quando a área é aplicada e as duas curvas divergem.
• L igual a 4 m: só de Euler 119 MPa, verdadeiro 88 MPa.
• L igual a 5 m: só de Euler 76 MPa, verdadeiro 62 MPa.

Para este perfil U enrijecido de abas largas, a curva de flexo-torção fica abaixo da curva de Euler em todo comprimento, então a torção governa em toda a faixa prática. Isso não é uma regra universal, é o que esta geometria faz: as abas largas deixam a tensão de Euler no eixo fraco alta, enquanto a parede fina mantém a rigidez à torção baixa, então o modo acoplado vence em todo lugar. Um perfil U mais estreito e mais espesso mostraria um cruzamento, onde a flexo-torção governa as colunas mais curtas e Euler assume as longas. De todo modo, a lição é a mesma: você não tem como saber em qual curva está até ter calculado as duas.

A diferença não é acadêmica, e ela aponta para o lado perigoso. No comprimento resolvido de 3 m, a verificação de Euler no eixo fraco, tomada sozinha, dá uma tensão crítica de 191 MPa e uma resistência de projeto de 212 kN. A verificação completa, com o modo de flexo-torção, dá 144 MPa e 160 kN. A diferença é de 52 kN, uma superestimativa de 32 por cento, e é contra a segurança: o número só de Euler é alto demais, então uma coluna projetada e aceita contra ele seria carregada até uma demanda que a seção real não consegue suportar. Ela flambaria por torção sob uma carga que o cálculo dizia ser segura.

É isso que torna a flambagem por flexo-torção digna de um nome. A maioria dos erros de detalhamento é conservadora ou óbvia. Este não é nenhum dos dois. A carga aplicada é honestamente axial, a esbeltez é honestamente calculada, a fórmula de Euler é honestamente aplicada, e a resposta ainda está errada por um terço, porque a fórmula respondeu à pergunta errada. Não há aviso nos números que você calculou. O único sinal é a forma da seção: aberta, com simetria simples, centro de cisalhamento afastado do centroide. Quando você vê isso, a tensão de Euler é um limite superior, e você deve à seção uma verificação E4 antes de confiar nela.

A mesma disciplina se estende a uma viga-coluna, onde o termo axial da interação de esforço axial e flexão combinados usa exatamente este Pn. Se Pn foi calculado só a partir do modo de Euler, a interação herda o mesmo erro de 32 por cento, e toda combinação de carga naquela barra é verificada contra uma capacidade que não está lá.

Você não roda a E4 em tudo. O modo só morde quando o centro de cisalhamento está afastado do centroide, então uma olhada rápida na seção lhe diz se ela está em jogo.

Perfis U, C e enrijecidos

O caso resolvido. O centro de cisalhamento fica fora da alma, o afastamento x0 é grande, e perfis U finos têm pouca rigidez à torção. A flambagem por flexo-torção é uma verificação viva em toda coluna de perfil U, e frequentemente governa.

Perfis T, WT e T estruturais

O centro de cisalhamento fica na aba, longe do centroide lá embaixo na alma, e a alma contribui com quase nenhuma rigidez ao empenamento, então Cw é minúsculo e Fez é baixo. Os T são uma das seções clássicas em que o modo de flexo-torção governa na maioria dos comprimentos.

Cantoneiras, simples e duplas

Cantoneiras simples flambam em torno de seu eixo principal fraco com forte acoplamento de flexo-torção, e é por isso que a AISC lhes dá um método simplificado dedicado na Seção E5 para o caso comum de uma cantoneira carregada por uma aba. Cantoneiras duplas, item básico de treliças e contraventamentos, têm simetria simples e forçam o modo acoplado através das duas abas. Ambas precisam da verificação, e o título deste guia não é acidente: para cantoneiras e perfis U a torção é a regra, não a exceção.

Onde você pode pular

Seções duplamente simétricas, perfis de abas largas, seções tubulares estruturais, caixas, tubos, têm seu centro de cisalhamento no centroide, então x0 é zero, o acoplamento desaparece, e a tensão de flexo-torção nunca pode cair abaixo da de flexão. Para elas a verificação de Euler é a verificação inteira. Cruciformes e outras seções abertas finas são o extremo oposto, com rigidez ao empenamento tão baixa que a flambagem por torção pura pode governar por conta própria. Barras formadas a frio carregam mais uma camada, a flambagem local e distorcional das paredes finas, que as regras de estruturas em aço formado a frio tratam como uma verificação de seção efetiva separada, por cima do modo global mostrado aqui.

Cada uma destas faz uma coluna passar no papel enquanto a seção real está acima de sua carga de flambagem verdadeira. Nenhuma delas lança um erro, que é exatamente por que a flambagem por flexo-torção continua surpreendendo engenheiros cuidadosos.

1. Verificar só o eixo fraco. A maior de todas. Pegar o menor de Fex e Fey e parar por aí pressupõe que a seção não pode torcer. Para um perfil U ou um T, isso pula o modo que governa, e superestima a resistência pela diferença inteira, aqui 32 por cento.
2. Usar r0 como um raio de giração comum. O r0 em Fez é o raio polar em torno do centro de cisalhamento, r0 ao quadrado igual a x0 ao quadrado mais rx ao quadrado mais ry ao quadrado, não a raiz de (Ix mais Iy sobre A) em torno do centroide. Largar o termo x0 ao quadrado infla Fez e esconde a torção.
3. Esquecer a constante de empenamento Cw, ou lê-la errado. Fez precisa de G J e de E Cw. Zerar Cw, ou puxar um valor para o eixo errado, pode mover Fez em dezenas por cento. Para um T, Cw é quase zero e esse é o ponto, não um erro de arredondamento.
4. Tomar Kz igual a Kx. O comprimento efetivo de torção Kz depende de como as extremidades estão restringidas contra torção e empenamento, o que muitas vezes é diferente da restrição à flexão. Um apoio que impede a translação ainda pode permitir o empenamento, e Kz não é automaticamente 1.
5. Confiar na capacidade só de Euler de uma tabela de perfis para uma seção aberta. Algumas tabelas e planilhas rápidas reportam uma capacidade de compressão só a partir de KL sobre r. Para um perfil U, T ou cantoneira esse número é o teto de Euler, não a resistência de projeto, e precisa da verificação E4 sobreposta antes de você usá-lo.

A forma mais rápida de sentir o modo é observar as duas tensões se alternarem à medida que você muda a seção e o comprimento. A calculadora abaixo é a ferramenta de flambagem de colunas do CalcSteel, gratuita e sem login para a conta. Ela roda a verificação do Capítulo E da AISC 360, as tensões de flexão pela E3 e a tensão de flexo-torção pela E4, e reporta o Fe governante, a tensão crítica Fcr, e a resistência de projeto, para a seção e os comprimentos efetivos que você definir. Aponte para o perfil U enrijecido resolvido e ela retorna Fe igual a 165 MPa e phiPn igual a 160 kN, os mesmos números calculados à mão acima.

Defina um perfil de abas largas duplamente simétrico e a tensão de flexo-torção sobe para fora de alcance, o modo de flexão governa, e você está de volta a uma verificação de Euler pura. Troque por um perfil U, um T ou uma cantoneira e veja Fexz cair abaixo de Fey e assumir. Esse único botão é a lição inteira deste guia tornada interativa: a forma da seção decide se Euler é a resposta ou apenas o teto.

Num modelo real a verificação se multiplica em toda barra comprimida, todo comprimento efetivo, e toda combinação de carga, com o modo de flexo-torção vivo em toda seção aberta e o modo de flexão sozinho nas duplamente simétricas. É isso que o motor de colunas do CalcSteel automatiza, e onde você ainda traz o julgamento: a restrição de extremidade contra o empenamento, o contraventamento que encurta Lcz, ou uma seção fina demais para confiar sem a verificação local de formado a frio. Leve a mesma barra para o fluxo de comprimento efetivo e fator K, onde o Lc que alimenta cada uma dessas tensões é decidido.