Seção bruta versus seção líquida: qual delas governa uma barra tracionada parafusada

Pegue duas barras tracionadas cortadas da mesma chapa, do mesmo aço, carregando a mesma tração. Parafuse a primeira através de uma seção transversal íntegra e cheia e ela vai esticar, escoar e só finalmente romper depois que a barra inteira ficou plástica. Fure uma linha de furos de parafuso na segunda e ela pode romper numa única seção transversal, sob uma carga que a primeira nem sente, quase sem aviso. Mesmo aço, mesma força, duas histórias de falha completamente diferentes.

Esse é o assunto inteiro deste artigo. Uma barra tracionada parafusada é verificada contra dois estados limites ao mesmo tempo: escoamento na seção bruta, distribuído ao longo de todo o comprimento, e ruptura na seção líquida, concentrada onde os furos de parafuso removem material. A resistência de projeto é a menor das duas, e qual delas vence não é óbvio. Depende do tipo de aço, de quantos furos você abre, de estarem escalonados ou não, e de como a barra está ligada. Escolha a errada e você ou desperdiça aço ou, muito pior, deixa passar o modo que de fato rompe.

Abaixo definimos os dois estados limites, calculamos ambos à mão para uma chapa e uma cantoneira até a terceira casa decimal, deduzimos a regra de cruzamento exata que diz qual governa antes mesmo de você abrir a calculadora, e comparamos como AISC 360, NBR 8800 e Eurocode 3 traçam a mesma linha com fatores de segurança diferentes.

O Capítulo D do AISC 360 enuncia as duas verificações explicitamente. Para uma barra sob tração axial, a resistência de projeto à tração é a menor entre:

• Escoamento da seção bruta: φ_tP_n = 0.90 · F_y · A_g
• Ruptura da seção líquida: φ_tP_n = 0.75 · F_u · A_e

Três áreas aparecem, e mantê-las distintas é metade da batalha:

• A_g, área bruta: a seção transversal completa, ignorando os furos. É a área que você lê numa tabela de perfil ou no motor de seções do CalcSteel.
• A_n, área líquida: a área bruta menos o material removido pelos furos de parafuso no caminho crítico de falha, A_n = A_g − ∑ d_h · t.
• A_e, área líquida efetiva: a área líquida reduzida ainda mais pelo coeficiente U de shear lag, A_e = U · A_n, para levar em conta que nem toda parte da seção está plenamente mobilizada na ligação.

O escoamento usa F_y (a tensão de escoamento) e o coeficiente de resistência 0.90; a ruptura usa F_u (a tensão última) e o coeficiente mais baixo, 0.75. Tanto as tensões quanto os coeficientes diferem, e é exatamente por isso que o vencedor nunca é uma conclusão garantida de antemão. A expressão seção bruta versus seção líquida é a forma abreviada dessa disputa: F_yA_g contra F_uA_e, ponderados por 0.90 contra 0.75.

A distância entre 0.90 e 0.75 não é contabilidade arbitrária, ela codifica como as duas falhas se comportam. O escoamento da seção bruta é dúctil. Quando todo o comprimento da barra atinge F_y, ela estica visivelmente, transfere carga para as barras vizinhas e dá amplo aviso muito antes de romper. Uma barra que escoou não é uma barra que colapsou, então a norma trata o escoamento como um estado limite com sabor de serviço, com um coeficiente generoso de 0.90.

A ruptura da seção líquida é frágil. A fratura inicia na borda de um furo de parafuso, onde a tensão se concentra, e atravessa a seção reduzida com pouco aviso plástico. Não há reserva depois dela: a barra está em duas partes. Como a consequência é súbita e total, e como o próprio F_u é menos certo que F_y, a norma limita a ruptura com o coeficiente mais baixo, 0.75.

Assim, o projeto é deliberadamente enviesado para forçar o modo dúctil a governar onde ele pode. Quando a ruptura vence mesmo assim, a norma está lhe dizendo que os furos tiraram seção demais, e a correção está na geometria da ligação, não no tipo de aço.

A área líquida é a área bruta menos o material que os furos removem ao longo do caminho reto crítico atravessando a barra:

A_n = A_g − n · d_h · t

onde n é o número de furos atravessados, t é a espessura da chapa, e d_h é a largura do furo usada nos cálculos de área líquida. O erro mais comum aqui é usar o diâmetro do parafuso para d_h. O furo é sempre maior que o parafuso, e a norma ainda acrescenta mais por conta do dano de puncionamento:

• AISC 360: o furo padrão é o diâmetro do parafuso mais cerca de 2 mm (1/16 in), e para cálculos de área líquida você acrescenta mais 2 mm (1/16 in) pelo dano ao redor do furo. Um parafuso M20 num furo padrão de 22 mm é, portanto, calculado com d_h = 24 mm.
• NBR 8800: a mesma ideia, furo padrão igual ao parafuso mais 1.5 mm, mais 2 mm acrescentados para a seção líquida, resultando efetivamente em parafuso mais 3.5 mm.

O conceito remonta a um século atrás. Assim que os engenheiros passaram das barras-olhal maciças para as chapas rebitadas e parafusadas, perceberam que a seção reduzida na linha do conector, e não a barra cheia, fixa a carga de fratura. Salmon e Johnson rastreiam o tratamento moderno de área líquida e shear lag diretamente até as prescrições atuais do AISC. Ao longo deste artigo usamos d_h = 24 mm para parafusos M20, a convenção do AISC.

Quando os parafusos são escalonados, o caminho de falha pode ziguezaguear de um furo ao próximo na diagonal. Um trecho diagonal é mais longo que um corte reto, então remove proporcionalmente menos área, e a norma devolve esse crédito com o clássico termo s²/4g, uma parcela para cada segmento diagonal do caminho:

A_n = A_g − ∑ d_h · t + ∑ (s² / 4g) · t

Aqui s é o espaçamento longitudinal (passo) entre os dois furos medido ao longo do eixo, e g é o gabarito transversal entre as duas linhas. Você avalia todo caminho plausível e o que dá a menor área líquida governa. Um caminho em ziguezague atravessa mais furos que um reto, mas os créditos s²/4g podem ou não compensar.

Tome a chapa 200 × 12 mm que aparece mais adiante neste artigo, com um gabarito g = 65 mm e um passo de escalonamento s = 50 mm. O caminho reto atravessando dois furos dá A_n = 2400 − 2 · 24 · 12 = 1824 mm². O caminho em ziguezague atravessa três furos mas ganha dois créditos diagonais de s²/4g = 50²/(4 · 65) = 9.615 mm cada: A_n = 2400 − 3 · 24 · 12 + 2 · 9.615 · 12 = 1766.8 mm². O caminho em ziguezague é menor, então ele governa. Escalonar os parafusos piorou a seção crítica aqui, não melhorou, que é precisamente por que você deve verificar todo caminho.

A área líquida supõe que toda a seção reduzida resiste uniformemente. Ela não resiste, a menos que cada elemento da seção transversal esteja ligado. Parafuse uma única cantoneira por uma aba só e a força tem que afunilar da aba livre, não ligada, para a aba ligada através de cisalhamento. Perto dos primeiros parafusos, a aba livre fica para trás e carrega menos que sua parcela. Isto é shear lag (defasagem por cisalhamento), e a norma o captura com o coeficiente de redução U:

A_e = U · A_n, com U = 1 − x̄/L

x̄ é a distância da face ligada ao centroide da seção inteira, e L é o comprimento da ligação (do primeiro parafuso ao último). Quanto mais longe o centroide fica do plano da ligação, e quanto mais curta a ligação, mais a seção fica para trás e menor o U se torna. A Tabela D3.1 do AISC também permite usar valores simples de limite inferior, por exemplo U = 0.80 para cantoneiras com quatro ou mais parafusos por linha, mas o valor calculado 1 − x̄/L é normalmente mais generoso e vale a conta.

Duas alavancas de projeto saem direto dessa equação. Alongar a ligação (mais parafusos na linha, L maior) eleva U em direção a 1.0. Ligar mais da seção (as duas abas, ou uma chapa de nó de cada lado) também eleva U. Uma barra com área bruta generosa pode ainda ser governada pela ruptura puramente porque uma ligação curta e de um lado só estrangulou sua área efetiva, como mostra a cantoneira resolvida abaixo.

Uma chapa plana 200 × 12 mm em aço ASTM A36 (F_y = 250 MPa, F_u = 400 MPa) é emendada com dois parafusos M20 ao longo da largura, numa única linha transversal. A chapa está ligada em toda a sua largura, portanto não há shear lag: U = 1.0. Resolva os dois estados limites.

Áreas. A_g = 200 · 12 = 2400 mm². Dois furos com d_h = 24 mm: A_n = 2400 − 2 · 24 · 12 = 1824 mm². Com U = 1.0, A_e = 1824 mm². Os furos removeram 24 por cento da área, então A_e/A_g = 0.760.

Escoamento da seção bruta: φ_tP_n = 0.90 · 250 · 2400 = 540 000 N = 540.0 kN.

Ruptura da seção líquida: φ_tP_n = 0.75 · 400 · 1824 = 547 200 N = 547.2 kN.

O escoamento governa, com 540.0 kN, mas só por 1.3 por cento. Perder um quarto da área para os furos foi quase, mas não totalmente, suficiente para entregar a barra à ruptura. Essa margem de fio de navalha é a lição inteira: você não pode adivinhar de olho qual estado limite vence, tem que calcular os dois. Na próxima seção, puxe a área bruta do seu próprio perfil e repita as duas linhas.

A área bruta A_g é o ponto de partida para as duas verificações, e para um perfil laminado ou formado a frio real ela não é um número que você queira deduzir à mão. A calculadora abaixo é o motor de seções ao vivo do CalcSteel, o mesmo que está por trás do editor 3D. Escolha uma seção, leia diretamente sua área de seção transversal A, e essa é a sua A_g. Subtraia n · d_h · t da sua linha de parafusos para obter A_n, aplique o U de shear lag, e você fica a uma multiplicação dos dois estados limites.

Para o exemplo da chapa plana acima a área é trivial (200 × 12 = 2400 mm²), mas no momento em que você pega uma cantoneira, um perfil U ou uma seção composta, vale ler a área bruta direto do motor em vez de arriscar um escorregão aritmético logo no primeiro termo.

Agora uma cantoneira simples L102 × 102 × 9.5 (A_g = 1845 mm², centroide x̄ = 28.7 mm) em ASTM A36, parafusada por uma aba com três parafusos M20 a 75 mm de passo. Mesmo aço da chapa, área parecida, mas uma ligação de um lado só.

Shear lag. Comprimento da ligação L = 2 · 75 = 150 mm. U = 1 − x̄/L = 1 − 28.7/150 = 0.809.

Áreas. Um furo na aba ligada: A_n = 1845 − 24 · 9.5 = 1617 mm². Área líquida efetiva A_e = 0.809 · 1617 = 1307.6 mm². Agora A_e/A_g = 0.709, abaixo dos 0.760 da chapa.

Escoamento: φ_tP_n = 0.90 · 250 · 1845 = 415.1 kN. Ruptura: φ_tP_n = 0.75 · 400 · 1307.6 = 392.3 kN. Desta vez a ruptura governa, com 392.3 kN.

A cantoneira tem quase a mesma área bruta de muitas chapas, mas o shear lag empurrou A_e baixo o suficiente para virar o modo governante. E a correção é reveladora: acrescente um quarto parafuso, L cresce para 225 mm, U sobe para 0.872, a ruptura sobe para 423.2 kN, e o escoamento retoma o controle com 415.1 kN. Um parafuso a mais, um estado limite diferente, 6 por cento mais de capacidade, sem mudar o aço em nada.

Toda norma importante roda a mesma verificação de dois estados limites, elas só vestem os fatores de segurança de forma diferente. O termo de escoamento da seção bruta sempre usa a tensão de escoamento e o termo de ruptura da seção líquida sempre usa a tensão última; o que muda é onde o fator fica e quão grande ele é.

As três parecem diferentes mas pousam perto umas das outras. O 0.90 do AISC no escoamento é quase o γ_M0 = 1.00 da EN (um fator de 1.0 sobre a resistência) e o 1/1.10 = 0.909 da NBR. Na ruptura, o 0.75 do AISC fica entre o 1/1.35 = 0.741 da NBR e o combinado 0.9/1.25 = 0.72 da EN. O Eurocode dobra um 0.9 extra no termo líquido e trata o shear lag por regras de ligação separadas em vez de um fator U dentro de A_e, mas a filosofia é idêntica: uma verificação dúctil na seção completa e uma verificação frágil na reduzida, com a reduzida penalizada mais duro.

Para o público do CalcSteel isso importa porque a mesma barra pode ser verificada contra NBR 8800, AISC 360 ou EN 1993 no editor, e o estado limite governante pode mudar ligeiramente entre elas. A engenharia é a mesma; apenas os fatores parciais se movem.

Você pode resolver qual estado limite governa com uma única desigualdade, antes de qualquer conta. A ruptura governa quando 0.75 F_u A_e < 0.90 F_y A_g, que se reorganiza numa razão pura de áreas:

A ruptura governa quando A_e/A_g < 1.2 · F_y/F_u

O lado direito é uma propriedade só do aço. Avalie uma vez por tipo de aço:

• ASTM A36 (F_y/F_u = 0.625): a ruptura governa quando A_e/A_g < 0.750. Você pode perder até 25 por cento da seção antes de a ruptura assumir.
• ASTM A572 Gr.50 (F_y/F_u = 0.767): a ruptura governa quando A_e/A_g < 0.920. Agora até uma perda de 8 por cento já a inclina para a ruptura.

Isto expõe um resultado genuinamente contraintuitivo: aço de resistência mais alta faz a ruptura da seção líquida governar com mais frequência, não menos. À medida que F_y sobe em direção a F_u, o limite dúctil de escoamento sobe mais rápido que o limite frágil de ruptura, então o modo frágil alcança e controla com perdas de furo cada vez menores. Uma única linha de parafusos já remove mais de 8 por cento da maioria das seções, então em Grau 50 e acima, a ruptura na ligação é o modo a vigiar por padrão. Nossa chapa A36 ficou em A_e/A_g = 0.760, um fio acima de 0.750, que é exatamente por que o escoamento arrancou a vitória por 1.3 por cento.

• Usar o diâmetro do parafuso como largura do furo. O furo é o parafuso mais folga mais uma tolerância de dano. Um parafuso M20 é calculado com d_h = 24 mm, não 20. Só isso já pode deslocar a área líquida em vários por cento.
• Esquecer o shear lag. Usar A_n na equação de ruptura em vez de A_e = U A_n superestima a capacidade, feio para cantoneiras, perfis T e perfis U parafusados por parte da seção.
• Verificar só o caminho reto dos furos. Com parafusos escalonados um caminho em ziguezague pode governar mesmo atravessando mais furos. Avalie todo caminho e tome a menor área líquida.
• Misturar os coeficientes de resistência. O 0.90 pertence ao escoamento, o 0.75 à ruptura. Trocá-los, ou levar um coeficiente do AISC para uma conta da NBR ou da EN, muda o estado limite governante silenciosamente.
• Supor que a maior área bruta é segura. Um A_g generoso não significa nada se uma ligação curta e de um lado só estrangula A_e. O exemplo da cantoneira tinha área bruta de sobra e ainda assim falhou por ruptura.

Uma barra tracionada parafusada é tão forte quanto o menor de dois números: 0.90 F_y A_g para o escoamento dúctil ao longo do comprimento, e 0.75 F_u A_e para a ruptura frágil nos furos. Calcule a área líquida com a largura do furo, não com o parafuso; some o crédito s²/4g nos caminhos escalonados; reduza à área líquida efetiva com o U de shear lag. Depois deixe a regra de cruzamento, A_e/A_g contra 1.2 F_y/F_u, lhe dizer qual modo esperar, e lembre-se de que aço de resistência mais alta enviesa a resposta em direção à ruptura. Verifique os dois, toda vez, porque, como a chapa mostrou, o vencedor pode se decidir por um único por cento.