Flecha máxima da viga: o critério por trás da norma, com uma verificação resolvida

Pergunte a uma verificação de resistência se uma viga está bem e ela responde sobre tensão: o momento se mantém abaixo da capacidade da seção. Pergunte a um ocupante e a resposta é sobre movimento: o piso balança, o reboco trinca, a porta ainda fecha. Essas duas perguntas são decididas por números diferentes, e a segunda é a flecha máxima da viga, delta_max, o maior deslocamento vertical em qualquer ponto ao longo da barra sob carga de serviço.

É uma grandeza de serviço, então é calculada sob cargas de serviço não majoradas, não as cargas majoradas de uma combinação de resistência. E é um máximo, um único ponto pior da forma deformada, e é por isso que todo o cálculo se reduz a uma forma fechada por caso e uma comparação. Este artigo constrói delta_max a partir de sua fórmula, encontra onde ao longo do vão ele ocorre, roda uma viga real no motor FEM de produção do CalcSteel, e converte o resultado na razão vão sobre flecha que a norma de fato lê. Para os limites em si, o pilar complementar sobre limites de flecha nas normas de estruturas de aço rastreia de onde veio L/360 e o que cada norma exige; este é sobre produzir o número que você compara contra ele.

Sob carga uma viga se curva em uma curva suave, a linha elástica, descrita pela equação diferencial E I d2y/dx2 = M(x). Integre o momento fletor duas vezes, aplique as condições de apoio, e você tem y(x), o deslocamento vertical em cada ponto. A flecha máxima da viga é simplesmente a maior magnitude dessa curva:

delta_max = max sobre x de |y(x)|

Duas propriedades dessa definição importam na prática. Primeiro, delta_max é um deslocamento, medido em milímetros, e é governado pela rigidez E I, não pela resistência. Uma viga forte mas flexível flecha muito; uma viga rígida mas leve mal se move. Segundo, o máximo ocorre onde a inclinação da curva é zero, dy/dx = 0, que é o ponto de rotação nula. Isso nem sempre é o meio do vão, e não é o mesmo ponto do momento máximo, uma distinção à qual a seção sobre localização retorna. Todo o resto, as quatro fórmulas abaixo, a razão da norma, a verificação resolvida, é escrituração em cima desses dois fatos.

Integrar E I d2y/dx2 = M(x) para os casos padrão de carga e apoio dá as fórmulas de flecha que estão em todo manual. Quatro delas cobrem a grande maioria das barras do dia a dia: um vão biapoiado sob carga uniforme ou carga concentrada central, e um balanço sob carga uniforme ou carga concentrada na extremidade. Em cada uma, delta_max é o pico da curva e é definido pela carga, pelo vão elevado a uma potência, e pela rigidez E I.

Leia as potências de L, porque elas carregam a intuição. Uma carga uniforme eleva o vão à quarta potência; uma carga concentrada à terceira. Esse único expoente, quatro para distribuída e três para concentrada, é a razão pela qual o vão domina a flecha mais que qualquer outra variável, e é o tema de sua própria seção abaixo. Os coeficientes, 5/384, 1/48, 1/8, 1/3, são pura geometria do arranjo de carga e apoio; eles nunca mudam para esses casos. Para qualquer coisa fora dos quatro, um vão parcialmente carregado, um balanço adicional, uma viga biengastada, uma barra contínua de dois vãos, a mesma integração dá um coeficiente diferente, e um cálculo manual por trabalho virtual ou método dos deslocamentos, ou o motor FEM, produz o número diretamente.

O pico da forma deformada é onde a inclinação é zero. Para um caso simétrico, um vão biapoiado sob carga simétrica ou um balanço, a simetria coloca esse ponto no lugar óbvio: meio do vão para a viga biapoiada, extremidade livre para o balanço. A armadilha é a assimetria. Mova a carga concentrada para fora do centro, adicione um balanço, ou faça os dois vãos de uma viga contínua desiguais, e o ponto de inclinação nula se afasta do meio do vão, então ler a flecha no meio subestima o máximo verdadeiro.

É também um ponto diferente do momento fletor máximo. O momento máximo fica onde o cortante cruza o zero, dM/dx = V = 0. A flecha máxima fica onde a inclinação cruza o zero, dy/dx = 0. Num vão biapoiado sob carga uniforme ambos acabam caindo no meio do vão, o que discretamente condiciona o hábito de achar que coincidem, mas eles são respostas a duas integrais diferentes e em geral se separam. A regra segura é tomar delta_max da curva inteira, não de uma seção indicada: relate o maior |y| que a análise encontrar, onde quer que esteja. Os diagramas de esforço cortante e momento fletor localizam o pico de momento; a forma deformada localiza o pico de flecha, e eles são lidos separadamente.

Toda fórmula na tabela é um termo de carga sobre E I. A rigidez E I é a história inteira de quanto uma viga se move, e ela se separa de forma limpa. E, o módulo de elasticidade, é uma constante do material, cerca de 200 GPa (20000 kN/cm2) para todo aço estrutural, doce ou de alta resistência igualmente, e é por isso que um grau mais alto nada faz pela flecha: mesmo E, mesma flecha. I, o momento de inércia da seção, é geometria, e é onde o projetista tem alavancagem, porque I cresce com o cubo da altura. Tornar uma seção mais alta é o movimento eficiente contra a flecha; torná-la mais forte não é.

Contra E I fica o vão, e o vão vence. Mantenha a carga e a seção fixas num vão biapoiado sob carga uniforme, IPE 360 carregando 20 kN/m, e deixe apenas o comprimento variar:

De 4 m a 8 m o vão dobra e a flecha vai de 2.12 a 33.91 mm, um fator de 15.995, que é 2^4 a menos de arredondamento. Essa é a lei da quarta potência tornada concreta: a flecha é muito mais sensível ao vão do que a qualquer outra coisa na página. É a razão pela qual pisos e coberturas de grande vão quase sempre são dimensionados pela flecha e não pela resistência, e a razão pela qual a primeira pergunta honesta sobre qualquer viga que flecha não é o quão pesada é a carga mas o quão longo é o vão.

Nenhuma norma limita a flecha em milímetros, porque 20 mm é generoso num vão de 12 m e alarmante num de 3 m. O que importa para o reboco e para o ocupante é a flecha relativa ao vão, então o critério é uma razão: delta_max expresso como L / delta, verificado contra um limite como L/360, L/300 ou L/250. Divida o vão pela sua flecha calculada e compare o denominador: uma viga em L/503 está bem dentro de um limite L/360; uma viga em L/300 acabou de atingir um limite L/300.

Dois detalhes decidem se a verificação é feita corretamente. O primeiro é qual carga de serviço. As normas atribuem limites diferentes a cargas diferentes: um mais restritivo, muitas vezes L/360, à carga variável (sobrecarga) isolada, porque é o movimento que um ocupante vê no dia a dia, e um mais folgado, muitas vezes L/250, à carga total, permanente mais sobrecarga. Você calcula uma flecha para cada carga e a verifica contra seu próprio limite; o caso governante é aquele com a maior utilização, não a maior flecha. O segundo é que a flecha se superpõe: como a resposta é linear elástica, a flecha sob permanente mais sobrecarga é igual à flecha sob permanente mais a flecha sob sobrecarga, o que é o que permite separar as verificações de forma limpa. Os valores dos limites em si, e como EN 1993, AISC 360, NBR 8800 e IS 800 diferem neles, estão dispostos no pilar sobre limites de flecha; aqui produzimos a razão e a aplicamos.

Tome uma barra real. Uma viga de piso simplesmente apoiada, IPE 360, com vão L = 7.0 m, carregando cargas de serviço de g = 8 kN/m permanente e q = 14 kN/m variável. A análise adota I = 15,728 cm4 para esta seção e E = 20000 kN/cm2. Ambos os limites em jogo são o par comum de piso: L/360 na sobrecarga, L/250 na total.

Calcule as duas flechas a partir de 5 w L^4 / 384 E I, uma por carga, depois leia cada uma como uma razão e verifique-a:

A flecha de sobrecarga é 13.91 mm, que é o vão dividido por 503, confortavelmente dentro do limite L/360 de 19.44 mm com uma utilização de 0.72. A flecha de carga total é 21.87 mm, ou L/320, dentro de L/250 com 0.78. A viga passa em ambas, e o caso de carga total governa pela margem mais fina. Note a superposição funcionando por baixo: a parcela de sobrecarga isolada é 13.91 mm, a parcela permanente isolada é 7.96 mm, e sua soma, 21.87 mm, é exatamente a flecha de carga total que o motor retorna, que é a linearidade da qual a separação depende. Cada número aqui é a saída do motor FEM de produção, conferida à mão contra a forma fechada, e a próxima seção mostra essa concordância por completo.

Uma fórmula só merece confiança se um solver independente chega ao mesmo número. Rodamos cada um dos quatro casos canônicos no motor FEM de produção do CalcSteel, o mesmo solver que o editor 3D usa, e comparamos sua flecha à forma fechada avaliada com a rigidez idêntica da seção. A concordância é exata com quatro algarismos significativos, razão 1.000 em todos os casos:

Todas as quatro seções são IPE 360, então a única coisa que muda entre as linhas é o caso de carga e o vão, e a forma fechada acompanha o FEM passo a passo. É esse o ponto do exercício: a fórmula manual e o solver matricial estão resolvendo a mesma equação da viga, então quando um projeto precisa de um número fora dos quatro casos, o motor pode ser confiado para estender a mesma física que as fórmulas codificam.

Insira um vão, uma seção e uma carga abaixo e a calculadora retorna a flecha máxima, sua localização, e a razão vão sobre flecha, ao lado do momento e do cortante. É a forma mais rápida de ver a lei da quarta potência em ação: mude apenas o vão e veja delta_max subir muito mais rápido do que o comprimento. Para uma barra completa com apoios reais, casos de carga e um limite de flecha de norma aplicado automaticamente, o mesmo modelo abre no editor 3D do CalcSteel.

Dois movimentos estendem o cálculo básico. O primeiro é a superposição, já usada na verificação resolvida: como uma viga de aço sob carga de serviço é linear elástica, flechas de casos de carga separados se somam, então um padrão combinado pode ser construído a partir dos casos simples da tabela em vez de integrado do zero. Uma viga sob carga uniforme mais carga concentrada central flecha pela soma de 5 w L^4 / 384 E I e P L^3 / 48 E I, sem nova integração necessária.

O segundo é a contraflecha, fabricar a viga com uma curvatura ascendente embutida de modo que a parcela permanente da flecha seja cancelada e a viga fique plana uma vez que a estrutura esteja de pé. A contraflecha compensa a flecha de carga permanente; ela nada faz pela flecha de sobrecarga, que ainda tem que passar em seu próprio limite, e é geralmente especificada apenas acima de um vão limiar. Além do quadro elástico, dois efeitos de longo prazo empurram a flecha real acima da fórmula: a laje que uma viga mista carrega sofre fluência, e qualquer carga permanente numa barra com componente de concreto cresce ao longo dos anos. Esses pertencem a uma avaliação de serviço do piso acabado, coberta no pilar serviço, flecha e vibração; a delta_max elástica aqui é o ponto de partida sobre o qual eles se constroem.

A fórmula é simples, que é exatamente por que os erros são silenciosos.

• Verificar delta em vez de delta sobre L. Um número cru em milímetros não significa nada sem seu vão. Sempre reduza a L / delta antes de comparar a um limite.
• O momento de inércia errado. A flecha usa o eixo em torno do qual a viga se flexiona, o I do eixo forte para uma viga de piso comum. Coloque no lugar o valor do eixo fraco e a flecha estará errada por uma ordem de grandeza. E cuidado com a própria fonte de I: um manual pode listar cerca de 16,300 cm4 para uma IPE 360 enquanto um modelo de software adota 15,700, uma diferença de poucos por cento que vem de como os raios de concordância são modelados. Mantenha uma fonte consistente para uma dada verificação.
• Cargas majoradas numa verificação de serviço. delta_max é uma grandeza de carga de serviço. Alimentá-la com as cargas majoradas de 1.35 ou 1.6 de uma combinação de resistência infla a flecha por esse fator e reprova vigas que estão bem.
• Ler a flecha no meio do vão por hábito. Para uma carga assimétrica ou um balanço o pico não está no meio. Tome o máximo da curva inteira, não o valor num ponto indicado.
• Esquecer a separação de cargas. O limite de sobrecarga e o limite de carga total são verificações separadas contra cargas separadas. Rodar só a total perde o caso que o limite de sobrecarga mais restritivo existe para pegar.

Qual é a fórmula da flecha máxima de uma viga simplesmente apoiada? Sob carga uniforme é 5 w L^4 / 384 E I no meio do vão; sob carga concentrada central é P L^3 / 48 E I, também no meio do vão.

Qual é a flecha máxima admissível de uma viga de aço? É uma razão do vão, não um valor fixo em milímetros: limites comuns são L/360 para sobrecarga e L/250 para carga total, com os valores exatos definidos pela norma e pelo elemento. Veja o pilar sobre limites de flecha.

Onde ocorre a flecha máxima? Onde a inclinação da forma deformada é zero. Para casos simétricos isso é o meio do vão ou a extremidade livre de um balanço; para carga assimétrica ela se desloca, e não é geralmente o ponto de momento máximo.

Um aço de grau mais alto reduz a flecha? Não. A flecha depende de E, que é cerca de 200 GPa para todo aço estrutural. Um grau mais forte muda a capacidade, não a rigidez. Para cortar a flecha, adicione altura, que eleva I.

Por que o vão é tão importante? A flecha máxima escala com L^4 para uma carga distribuída. Dobrar o vão multiplica a flecha por 16, então o vão é a variável dominante e barras longas são geralmente governadas pela flecha.

A flecha máxima da viga é o pico da linha elástica sob carga de serviço, governada pela rigidez E I e verificada como uma razão L / delta contra um limite de norma. As quatro formas fechadas, 5 w L^4 / 384 E I e P L^3 / 48 E I para um vão biapoiado, w L^4 / 8 E I e P L^3 / 3 E I para um balanço, cobrem a maior parte das barras, e o motor FEM as reproduz com quatro algarismos significativos. A flecha escala com o vão à quarta potência, então vãos longos são governados pela flecha; um aço de grau mais alto nada faz, porque E é o mesmo para todo grau; e a verificação só está certa quando é feita contra a carga de serviço correta, sobrecarga para um limite e total para o outro.