Integrais Duplas: o Momento de Inércia de uma Viga de Alma Cheia Soldada, do Zero

Abra qualquer tabela de perfis de aço e deslize o dedo até a coluna com o cabeçalho I, ou Ix, o momento de inércia. É o número que define quanto uma viga desse perfil flecha e quanta tensão um dado momento produz. É também, e essa é a parte que a tabela nunca conta, o valor de uma integral dupla: aquela do Cálculo II que você resolvia sobre retângulos e semidiscos e depois, em algum momento do primeiro curso de estruturas, arquivou em silêncio como algo abstrato. Ela nunca foi a lugar nenhum. O momento de inércia é essa integral, e este artigo trata de montá-la e resolvê-la com as próprias mãos.

Aqui está toda a definição em uma linha, e o resto do guia é essa linha tornada concreta: o momento de inércia de uma seção transversal em relação ao seu eixo centroidal é a integral dupla de y² sobre a área, onde y é a distância do eixo até cada pequena porção de área dA. Escrito por extenso, I = a integral dupla sobre a área de y² dA. Some y² para cada partícula de material na face da viga, ponderada por quanta área há ali, e você tem I. Nenhuma tabela em que confiar, nenhuma fórmula para lembrar, só a integral que você já sabe fazer.

Vamos fazer isso num elemento real: uma viga de alma cheia soldada, a viga alta construída quando nenhum perfil laminado é grande o bastante, feita de duas chapas de mesa e uma chapa de alma. Como você a constrói, não há valor de catálogo para consultar; você tem que integrar. Ao final você terá montado a integral dupla, visto ela produzir o familiar bh³/12 para uma única chapa, visto o teorema dos eixos paralelos cair dela de graça, e a terá resolvido sobre a viga inteira chegando a Ix = 7,356 × 10⁹ mm⁴. Cada número foi verificado contra uma soma numérica bruta de y² dx dy e contra a integral via teorema de Green que a calculadora de momento de inércia roda em produção, e as três batem até o último dígito.

Volte primeiro ao cálculo. Uma integral dupla de uma função f sobre uma região bidimensional R, escrita como a integral dupla sobre R de f(x, y) dA, soma o valor de f sobre cada porção infinitesimal de área dA dentro de R. Quando f é 1, a integral dupla é simplesmente a área de R. Quando f é algo que varia ao longo da região, a integral é o total acumulado dessa grandeza, ponderado pela área.

O truque que torna uma integral dupla calculável é que o elemento de área se fatora: dA = dx dy. Isso transforma a integral dupla única num par aninhado de integrais ordinárias, uma integral iterada. Você integra primeiro em x, mantendo y fixo, o que varre uma faixa horizontal; depois integra esse resultado em y, o que empilha as faixas da base da região até o topo. O teorema de Fubini diz que a ordem não importa para as regiões bem comportadas de que uma seção de aço é feita, então você também pode ir primeiro em y, depois em x. De qualquer modo, uma integral dupla são duas integrais ordinárias feitas uma após a outra.

Essa é a máquina inteira. Para as propriedades de seção a função f nunca é complicada: é 1 para a área, é y para o momento estático que localiza o centroide, e é y² para o momento de inércia. A região R é a seção transversal. Todo o trabalho está na região, não no integrando, e é exatamente por isso que uma viga soldada feita de retângulos é o lugar perfeito para vê-lo: sobre um retângulo os limites são constantes, e a integral iterada são dois passos limpos.

De onde vem o y²? Flexione uma viga e sua seção transversal gira em torno da linha neutra. Uma fibra a uma distância y desse eixo se alonga proporcionalmente a y, então carrega uma tensão proporcional a y, e a força que ela contribui é essa tensão vezes sua área, proporcional a y·dA. Mas não queremos a força, queremos o momento dessa força em relação ao eixo, que é a força vezes seu braço de alavanca y de novo. Um y da deformação, um y do braço de alavanca, e a contribuição de cada porção à resistência à flexão é y² dA. Some sobre a face inteira e você tem a resistência da seção à flexão, o momento de inércia.

É por isso que I aparece nas duas equações em que todo curso de estruturas se apoia. A tensão de flexão é σ = M·y / I, e a curvatura é M / (E·I). Em ambas, I é a parcela da seção no trabalho, e é grande exatamente quando muita área fica em y grande, porque essas porções contribuem com y² e y² cresce rápido. Esse único fato, de que o integrando é y² e não y, é toda a razão pela qual um perfil I coloca seu material nas mesas longe do eixo, e é a razão pela qual uma viga de alma cheia é alta. A forma da seção vence o peso dela porque a integral premia a distância quadraticamente.

Então o momento de inércia não é uma definição que você aceita e uma fórmula que você consulta. É uma integral dupla com um integrando específico e físico, e para qualquer região cujo contorno você consiga descrever, você pode resolvê-la. O resto deste guia faz exatamente isso, começando pelo único retângulo com que toda viga soldada é construída.

Pegue uma única chapa, um retângulo de largura b e altura h, e coloque o eixo x pelo seu próprio centroide de modo que y vá de −h/2 embaixo até +h/2 em cima, e x de −b/2 a +b/2. Escreva o momento de inércia como uma integral iterada com esses limites constantes:

Ix = ∫ de −h/2 a +h/2 [ ∫ de −b/2 a +b/2 de y² dx ] dy.

Faça primeiro a integral interna, em x. O integrando y² não contém x algum, então integrá-lo em x de −b/2 a +b/2 apenas o multiplica pela largura: a integral interna é y²·b. Geometricamente você varreu uma faixa horizontal de altura dy por toda a largura b, e cada ponto da faixa está à mesma distância y, então a faixa contribui com y²·(b dy). A integral bidimensional virou unidimensional.

Agora a integral externa, em y. Coloque a constante b para fora e integre y²:

Ix = b · ∫ de −h/2 a +h/2 de y² dy = b · [ y³/3 ] de −h/2 a +h/2 = b · ( h³/24 + h³/24 ) = b·h³/12.

Aí está. O bh³/12 que você já escreveu cem vezes não é uma fórmula herdada de uma tabela, é o número que a integral dupla produz para um retângulo em relação ao seu próprio centroide. O cubo no h é o y³ de integrar y², e é por isso que a altura é tão poderosa: dobre a altura de uma chapa e a inércia própria dela sobe oito vezes. Cada chapa da viga, mesa ou alma, usa esse mesmo resultado. O que muda de chapa para chapa é só onde o centroide dela fica em relação ao eixo da viga, e esse é o próximo passo.

Uma chapa de mesa não fica sobre o eixo centroidal da viga, ela fica bem acima ou abaixo dele. Então precisamos da inércia dela em relação ao eixo da viga, não ao próprio. Chame a distância entre os dois eixos de d, e seja y′ a coordenada medida a partir do próprio centroide da chapa, de modo que a coordenada no eixo da viga seja y = y′ + d. Substitua isso na integral e expanda o quadrado:

I = a integral dupla de (y′ + d)² dA = a integral dupla de ( y′² + 2·d·y′ + d² ) dA.

Divida em três integrais e leia cada uma. A primeira, a integral dupla de y′² dA, é a inércia da chapa em relação ao próprio centroide, o b·h³/12 que acabamos de deduzir. A terceira, a integral dupla de d² dA, tem integrando constante, então é simplesmente d² vezes a área, A·d². O termo do meio é o interessante: 2·d vezes a integral dupla de y′ dA. Essa integral é o momento estático em relação ao próprio centroide da chapa, e o momento estático em relação a um centroide é zero pela própria definição de centroide. O termo cruzado se anula.

O que sobra é o teorema dos eixos paralelos (Steiner):

I = I_próprio + A·d² = b·h³/12 + A·d².

Note que não o invocamos como uma regra à parte para decorar. Ele caiu da integral dupla no instante em que deslocamos o eixo, e a única razão de ser limpo é que o momento estático centroidal é zero. Este é todo o ferramental para uma seção composta: cada chapa contribui com seu próprio bh³/12 mais sua área vezes o quadrado da distância ao eixo compartilhado. Some isso sobre as chapas e você tem a viga. Hora de fazer.

Aqui está a viga. Duas chapas de mesa, cada uma com b = 300 mm de largura por tf = 25 mm de espessura, e uma chapa de alma tw = 12 mm de espessura por hw = 1200 mm de altura, soldadas num I duplamente simétrico com altura total h = 1250 mm. Como é simétrico de cima a baixo, o centroide fica na meia altura, a 625 mm de qualquer fibra extrema, e o eixo compartilhado é óbvio sem cálculo algum. (Quando não é óbvio, a integral do momento estático o encontra; veja a próxima seção.)

Aplique o ferramental chapa por chapa. Primeiro a alma, que fica escarranchada sobre o eixo, de modo que sua distância d é zero e só conta a inércia própria dela:

I_alma = tw·hw³/12 = 12 × 1200³ / 12 = 1.728.000.000 mm⁴.

A alma tem 1200 mm de altura, e essa altura ao cubo é o porquê de uma chapa fina de 12 mm ainda contribuir com 1,73 × 10⁹ mm⁴ sozinha. Agora cada mesa. Sua inércia própria é minúscula, porque uma chapa de 25 mm de espessura quase não tem altura própria:

I_mesa,própria = b·tf³/12 = 300 × 25³ / 12 = 390.625 mm⁴.

Mas o centroide dela fica a d = hw/2 + tf/2 = 600 + 12,5 = 612,5 mm do eixo da viga, e o termo de transferência A·d² é enorme:

A·d² = (300 × 25) × 612,5² = 7500 × 375.156,25 = 2.813.671.875 mm⁴.

Então cada mesa entrega 390.625 + 2.813.671.875 = 2.814.062.500 mm⁴, dos quais o termo de transferência é 99,99%. A inércia própria de uma mesa é um erro de arredondamento; uma mesa nada mais é que área estacionada longe do eixo. Some as três chapas:

Ix = 2 × 2.814.062.500 + 1.728.000.000 = 7.356.125.000 mm⁴ ≈ 7,356 × 10⁹ mm⁴.

Isso são 735.612 cm⁴, e veio inteiramente da integral dupla: bh³/12 para cada chapa, A·d² para movê-la ao eixo compartilhado, somados. As duas mesas sozinhas fornecem 5,63 × 10⁹ mm⁴, mais de três quartos do total, e o fazem pela distância, não pela área: elas são só 51% da área da seção mas carregam 76% da inércia dela. Isso é a integral dupla premiando o y² em ação.

Um número tão grande é fácil de errar, então vale provar de três formas independentes, que é exatamente o que o benchmark por trás deste artigo faz.

1. Do zero, a integral dupla chapa por chapa acima: Ix = 7.356.125.000 mm⁴.

2. Uma integral dupla numérica bruta. Esqueça as fórmulas e volte à definição: lance uma grade fina de células sobre a face inteira da viga, calcule y² vezes a área da célula para cada célula, e some tudo. Isso é a integral dupla de y² dA feita como uma soma de Riemann literal, sem bh³/12 e sem teorema dos eixos paralelos à vista. A grade retorna 7.356.124.700 mm⁴, que bate com o valor da mão em quatro partes por cem milhões. As fórmulas são mesmo só a integral, resolvida de forma esperta.

3. O motor em produção. A calculadora de momento de inércia do CalcSteel não grada o interior; ela percorre o contorno, usando o teorema de Green para transformar a integral de área de y² dA num único laço de integrais de linha ao redor do perímetro, o método do polígono descrito no nosso guia de integração numérica. Alimentado com o contorno de 12 vértices da viga, esse código de produção retorna Ix = 7.356.125.000 mm⁴, idêntico ao valor da mão.

Três caminhos, um número: a integral iterada na mão, a grade bruta e o teorema de Green no contorno todos chegam a 7,356 × 10⁹ mm⁴. É isso que significa o momento de inércia ser uma integral dupla: toda forma honesta de resolver essa integral tem que dar a mesma resposta, e dão.

Gire a mesma integral noventa graus. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal vertical, o eixo fraco, troca o integrando por x²: Iy = a integral dupla de x² dA. Agora é o espalhamento horizontal do material que conta, e a alma, tendo só 12 mm de largura, quase não contribui. As mesas, com 300 mm de largura, dominam:

Iy = 2 × (tf·b³/12) + hw·tw³/12 = 2 × (25 × 300³/12) + 1200 × 12³/12 = 112.672.800 mm⁴.

Compare os dois: Ix = 7,356 × 10⁹ contra Iy = 1,127 × 10⁸ mm⁴, uma razão de 65 para 1. A seção idêntica é 65 vezes mais rígida à flexão em torno do eixo forte do que do fraco, o que é toda a razão de uma viga de alma cheia ser usada em pé e precisar de contraventamento para não flambar lateralmente em torno desse eixo fraco mole. A integral dupla torna a assimetria precisa: y vai até ±625 mm mas x só até ±150 mm, e ambos entram ao quadrado.

Há um terceiro, o produto de inércia Ixy = a integral dupla de x·y dA, que diz se seus x e y são os verdadeiros eixos principais. Para esta viga ele é exatamente zero, e você vê por quê direto da integral: a seção é simétrica em relação ao eixo y, então para cada porção em +x há uma porção espelhada em −x com o mesmo y, e as contribuições x·y delas se cancelam aos pares. Qualquer eixo de simetria força Ixy = 0 e faz dos eixos do desenho os eixos principais, e é por isso que seções duplamente simétricas nunca precisam da rotação pelo círculo de Mohr que uma seção assimétrica precisa.

A viga simétrica nos deixou posicionar o eixo a olho. Vigas reais são muitas vezes monossimétricas: uma mesa inferior larga para carregar uma laje mista, uma mesa superior mais estreita. Então o centroide não fica na meia altura, e você não pode aplicar as transferências dos eixos paralelos até saber onde ele está. A mesma família de integrais o entrega a você. O momento estático, Q = a integral dupla de y dA, dividido pela área total, é a altura do centroide: cy = Q / A. É a posição média do material ponderada por y.

Tome uma viga com mesa inferior de 400 × 32 mm, alma de 12 × 1150 mm e mesa superior de 250 × 20 mm, altura total 1202 mm. Somando y dA chapa por chapa (a área de cada chapa vezes a altura do próprio centroide dela) e dividindo pela área total A = 31.600 mm² dá:

cy = Q / A = 460,2 mm acima da fibra inferior,

não a meia altura de 601 mm: a mesa inferior pesada puxa o centroide para baixo em sua direção, exatamente como a média ponderada por y deveria. Só agora as transferências dos eixos paralelos fazem sentido, cada d de chapa medido a partir desse eixo a 460,2 mm, e a integral dupla retorna Ix = 7,02 × 10⁹ mm⁴ em torno dele. Como o eixo é descentrado, as duas fibras estão a distâncias diferentes, 460 mm abaixo e 742 mm acima, então a seção tem dois módulos de resistência diferentes, Sx = 15.261 cm³ para o lado de baixo e 9.467 cm³ para o lado de cima. O motor em produção, alimentado com esse contorno, reproduz o centroide a 460,171 mm e a inércia até o último dígito. A integral que lhe dá I é a mesma que lhe disse onde estava o eixo dela.

O momento de inércia não é um troféu, é aquilo pelo qual as duas verificações de projeto dividem. Ponha a viga simétrica para trabalhar como um vão biapoiado de 12 m sob uma carga de serviço de w = 40 kN/m. O momento máximo é o familiar wL²/8 = 720 kN·m, e as duas coisas que você de fato verifica ambas passam pelo Ix = 7,356 × 10⁹ mm⁴ que você integrou.

Flecha. A flecha no meio do vão de um vão simples com carga uniforme é 5·w·L⁴ / (384·E·I). Com E = 210.000 MPa para o aço, isso dá 6,99 mm, uma esbeltez de L/1716, confortavelmente dentro do limite usual de serviço de L/360. Reduza a inércia à metade e a viga flecharia o dobro: a flecha é inversamente proporcional à própria integral que resolvemos.

Tensão. A tensão de flexão na fibra extrema é σ = M·c / I, com c = 625 mm até a fibra externa. Isso dá 61,2 MPa, uma fração da tensão de escoamento, então a viga está longe da sua capacidade à flexão nesta carga. Ambos os números, os milímetros que ela flecha e os megapascals que ela sente, saem de dividir por I, e é por isso que acertar a integral dupla não é um exercício acadêmico. É o denominador das duas verificações que decidem se a viga é segura e rígida o bastante. Se você preferir ver esses números se moverem enquanto redimensiona as chapas, a calculadora abaixo roda a mesma integral ao vivo.

Monte uma seção abaixo e leia o momento de inércia dela direto. Mude a altura, mude a largura da mesa, e observe Ix responder. Dois hábitos vão tornar a integral dupla intuitiva enquanto você brinca. Primeiro, alargue uma mesa e observe Ix mal se mover, depois mova essa mesma mesa para fora e observe-o saltar: a integral premia a distância ao quadrado, não a área. Segundo, compare Ix e Iy da mesma seção e sinta o quão distantes estão em qualquer coisa alta e fina, o 65 para 1 da viga acima.

A calculadora é o front-end do mesmo motor que o CalcSteel usa numa análise completa, então o I que ela reporta é o que uma verificação real de flecha e tensão usaria. Para a história irmã, onde essas mesmíssimas integrais de área são resolvidas sobre um contorno arbitrário percorrendo seu perímetro, o guia de integração numérica retoma o fio. E para a versão em linguagem simples voltada a perfis laminados em vez de chapas soldadas, comece por por que a forma da viga vence o peso.

Os erros são consistentes, e cada um é uma leitura errada da integral dupla, não da viga:

1. Usar bh³/12 para uma chapa que está fora do eixo. O bh³/12 limpo é a inércia da chapa em relação ao próprio centroide apenas. Para uma mesa a 612,5 mm, a transferência A·d² é 7.200 vezes maior que o bh³/12, e largá-la é a forma mais comum de um I feito na mão sair pequeno demais.

2. Medir y a partir do eixo errado. O y em y² dA é a distância até o centroide da seção, não até a fibra inferior ou a origem do desenho. Na viga monossimétrica isso significa achar cy = 460,2 mm primeiro, pela integral do momento estático, e só então medir cada d a partir daí.

3. A armadilha das unidades à quarta. I carrega unidades de comprimento à quarta potência. Um fator de 10 no seu comprimento é um fator de 10.000 em I, e o deslize clássico é misturar mm⁴ e cm⁴: 7,356 × 10⁹ mm⁴ são 735.612 cm⁴, uma divisão por 10⁴, não por 10. Erre a potência e a flecha sai errada por ordens de grandeza.

4. Confundir Ix com Iy. O Ix do eixo forte usa y² e premia a altura; o Iy do eixo fraco usa x² e premia a largura. Eles diferem por 65 vezes nesta viga. Alimente o valor do eixo fraco numa verificação de flecha do eixo forte e a viga parece 65 vezes flexível demais.

5. Esquecer que o cubo está na altura. Como a integral de y² traz um h³, a altura de uma chapa importa muito mais do que sua espessura ou largura. Dobrar a espessura de uma alma dobra sua inércia; dobrar a altura dela multiplica por oito. Qualquer instinto construído só sobre área, em vez de sobre o y² que a integral de fato pondera, vai julgar mal qual mudança ajuda.

Quando o CalcSteel reporta um momento de inércia ele está resolvendo a mesma integral dupla que você acabou de fazer na mão, só que nunca toca em bh³/12 nem no teorema dos eixos paralelos. Ele toma o contorno da seção como uma lista de vértices e aplica o teorema de Green, que converte a integral de área de y² dA num único laço de integrais de linha ao redor do contorno: uma passada aritmética sobre as arestas, exata para qualquer polígono, sem malha e sem tabela de fórmula. Para a viga deste artigo rodamos esse código de produção sobre o contorno de 12 vértices e ele retornou 7.356.125.000 mm⁴, o mesmo número que a integral chapa por chapa na mão deu, porque são a mesma integral lida de duas formas: pelo interior, ou pela borda.

Essa é a resposta honesta ao estudante que pergunta para que servia a integral dupla. Não é pano de fundo para a prova, é a definição do número que decide se uma viga é rígida o bastante, e o software que você vai usar todo dia está calculando exatamente essa integral. Você não precisa confiar nele como caixa-preta, porque você pode montar a integral por conta própria, resolvê-la sobre os retângulos de uma seção composta, e conferir a máquina contra a sua própria mão. Para as peças vizinhas do mesmo cálculo, a visão geral das integrais na engenharia estrutural mapeia onde cada uma aterrissa, e o teorema de Castigliano mostra o lado da derivada da mesma moeda em ação sobre uma treliça.