Flambement flexion-torsion : le mode qui gouverne les profilés en U et les cornières, pas celui d'Euler

Vous dimensionnez une barre comprimée, choisissez l'axe faible, calculez la contrainte d'Euler à partir de l'élancement, la passez dans la courbe de flambement et lisez une capacité. Pour un profilé à larges ailes ou une section creuse, c'est toute l'histoire. Pour un profilé en U, un té de construction ou une cornière, ce ne l'est pas, et la barre peut ruiner à une charge bien inférieure au nombre que vous venez d'écrire. Rien n'a été mal calculé. Le cheminement de la charge a trouvé un mode que la formule d'Euler n'a jamais contenu : la section s'est tordue.

La formule du flambement d'Euler décrit une seule ruine : la colonne se courbe latéralement en flexion pure, chaque section transversale restant plane et non tordue. Cette hypothèse n'est exacte que lorsque le centre de cisaillement et le centre de gravité sont le même point, ce qui arrive pour les sections doublement symétriques : un I, un caisson, une barre pleine. Dès que le centre de cisaillement s'écarte du centre de gravité, et il s'écarte pour toute section ouverte à symétrie simple ou asymétrique, la charge axiale passant par le centre de gravité se met à tordre la barre. Il y a maintenant trois façons de flamber, pas une : fléchir, se tordre, ou faire les deux à la fois. L'AISC 360 appelle les deux dernières flambement par torsion et par flexion-torsion, et pour les profilés en U et les cornières elles donnent couramment une résistance inférieure au mode d'Euler.

Ce guide transforme ce mode en un nombre. Chaque contrainte ici est calculée avec la méthode du chapitre E de l'AISC 360 et reproduite par le moteur de colonnes du CalcSteel, qui exécute ensemble les vérifications de flexion et de flexion-torsion. Nous l'avons écrit pour trois lecteurs. Si vous êtes étudiant, c'est le cas de flambement que votre cours nomme en une diapositive et ne développe jamais. Si vous êtes ingénieur en exercice ou projeteur indépendant, sautez au profilé résolu et au graphique en fonction de la longueur, où un mode que vous auriez pu négliger retire un tiers de la capacité. Et si vous voulez juste la règle : pour tout profilé ouvert qui n'est pas doublement symétrique, la vérification d'Euler est un plafond, pas la réponse, et vous devez exécuter E4 pour trouver le plancher.

Commençons par les modes eux-mêmes, car toute la méthode n'est qu'une compétition entre eux. Une colonne droite sous compression axiale peut perdre sa stabilité selon trois formes distinctes.

Flambement par flexion, le mode d'Euler

La colonne se courbe autour de l'un de ses axes principaux, en restant droite en torsion. Chaque section transversale se translate latéralement mais ne tourne pas. C'est le cas classique d'Euler, un par axe, et la contrainte élastique vaut Fe égale pi au carré E sur l'élancement au carré. Pour une section doublement symétrique, c'est le seul mode qui compte, car il n'y a aucun couplage avec la torsion.

Flambement par torsion, la torsion pure

La colonne tourne autour de son axe longitudinal, chaque section transversale se vrillant comme une clé dans une serrure, sans aucun déplacement latéral. Il est résisté par deux rigidités agissant en parallèle : la rigidité de torsion de Saint-Venant G fois J, et la rigidité de gauchissement E fois Cw. Le flambement par torsion pure ne gouverne que pour des sections doublement symétriques particulières à très faible rigidité de torsion, une croix ou une colonne très courte et massive, mais c'est l'ingrédient à partir duquel se construit le mode de flexion-torsion.

Flambement par flexion-torsion, le mode couplé

La colonne fléchit et se tord en même temps, selon une seule forme couplée. C'est le mode qui gouverne les profilés en U, les tés et les cornières. Il existe parce que le centre de cisaillement est décalé du centre de gravité : la flexion autour de l'axe de symétrie ne peut plus se produire sans torsion, de sorte que les deux déformations se verrouillent et flambent ensemble, à une charge inférieure à chacune agissant seule. Le flambement autour de l'autre axe principal, celui qui n'a aucune symétrie à coupler, reste un mode d'Euler pur. La vraie compétition pour un profilé en U est donc courte : Euler d'axe faible d'un côté, flexion-torsion de l'autre, le plus bas l'emporte.

C'est toute la logique du chapitre E de l'AISC 360. Calculez la contrainte d'Euler pour chaque axe, calculez la contrainte de torsion, combinez les contraintes couplées, et prenez le minimum. Le reste, c'est trouver les propriétés de section qui l'alimentent.

Le couplage a une seule cause, et elle est géométrique. Chaque section a deux points particuliers. Le centre de gravité est le point où agit la charge axiale, le point d'équilibre de l'aire. Le centre de cisaillement est le point par lequel doit passer une charge transversale pour fléchir la section sans la tordre, le point autour duquel la section tourne quand elle se tord. Pour une section doublement symétrique, les deux points coïncident, et la charge axiale, agissant au centre de gravité, passe par le centre de cisaillement et ne produit aucune torsion. C'est pourquoi une section en I obéit à Euler.

Pour un profilé en U, le centre de cisaillement se trouve entièrement hors de la section, du côté de l'âme opposé aux ailes. Pour un té, il se situe à la jonction de l'aile et de l'âme. Pour une cornière, il se situe au talon, là où les deux ailes se rejoignent. Dans chaque cas, il est à une distance réelle du centre de gravité, et cette distance, appelée x0 dans les équations de l'AISC, est ce qui brise l'hypothèse d'Euler. La charge axiale agit toujours au centre de gravité, mais la résistance de la section à la torsion s'organise autour du centre de cisaillement, de sorte que la charge et la rigidité ne partagent plus un point. Le décalage transforme la force axiale en un levier qui alimente la torsion, exactement comme une poussée décentrée sur une porte alimente la rotation autour de la charnière.

C'est le même décalage qui fait se tordre une section ouverte sous charge transversale, le sujet du guide centre de cisaillement et torsion. Là, le décalage invente une torsion à partir d'une charge que vous ne pensiez pas excentrée. Ici, il invente un mode de flambement à partir d'une charge parfaitement axiale. Même géométrie, deux ruines différentes. Plus le décalage x0 est grand et plus la rigidité de torsion G fois J est faible, plus la section veut se tordre, et plus la charge de flexion-torsion tombe en dessous d'Euler.

L'AISC 360 traite cela au chapitre E, et une fois les propriétés de section en main, ce sont trois formules et un minimum. Travaillez en unités cohérentes, ici E égale 200 GPa et G égale 77 GPa pour l'acier, avec les longueurs prises comme les longueurs efficaces Lc égale K fois L.

Étape 1 : les contraintes de flexion (E3)

Les deux contraintes d'Euler, une par axe principal : Fex égale pi au carré E sur (Lcx sur rx) au carré et Fey égale pi au carré E sur (Lcy sur ry) au carré, avec rx et ry les rayons de giration. Pour un profilé en U, Fey, autour de l'axe faible, est le concurrent en flexion pure. Fex, autour de l'axe de symétrie, n'agit pas seul : il entre dans le mode couplé.

Étape 2 : la contrainte de torsion (E4)

La contrainte qui provoquerait la torsion pure :

Fez égale ( G J plus pi au carré E Cw sur Lcz au carré ) divisé par ( A fois r0 au carré )

où J est la constante de torsion de Saint-Venant, Cw la constante de gauchissement, A l'aire, et r0 le rayon de giration polaire autour du centre de cisaillement, r0 au carré égale x0 au carré plus y0 au carré plus (Ix plus Iy) sur A. Lisez Fez comme la difficulté avec laquelle la section résiste à la torsion, fixée presque entièrement par J et Cw. Les parois minces ouvertes ont un J minuscule, car J varie avec le cube de l'épaisseur, donc leur Fez est faible, et c'est ce qui tire le mode couplé vers le bas.

Étape 3 : la contrainte couplée et le minimum (E4-3)

Pour une section à symétrie simple, la flexion autour de l'axe de symétrie, ici Fex, se couple avec la torsion Fez pour donner la contrainte de flexion-torsion :

Fexz égale ( (Fex plus Fez) sur 2H ) fois ( 1 moins racine carrée de ( 1 moins 4 Fex Fez H sur (Fex plus Fez) au carré ) )

avec la constante de flexion H égale 1 moins x0 au carré sur r0 au carré, qui mesure à quelle distance le centre de cisaillement se trouve du centre de gravité. Alors la contrainte élastique gouvernante est simplement Fe égale le minimum de Fey et Fexz. Ce Fe alimente la courbe de colonne ordinaire, Fcr égale 0,658 à la puissance (Fy sur Fe) fois Fy quand Fe vaut au moins 0,44 Fy, et Fcr égale 0,877 Fe quand la colonne est élancée, exactement comme dans la vérification d'Euler. La résistance de calcul est phiPn égale 0,90 fois Fcr fois A. Rien ne change dans la courbe de colonne. Seule la contrainte élastique que vous y injectez change.

Appliquez la méthode à une section réelle. Prenez un profilé en C à lèvres formé à froid, 200 par 90 par 20 par 3 mm, un montant ou un poteau de rayonnage courant, utilisé comme colonne bi-articulée de 3 m de long, K égale 1 sur chaque axe, acier Fy égale 350 MPa. Ses propriétés de section, calculées avec la méthode sectorielle des parois minces et recoupées avec des formules analytiques et le moteur géométrique du CalcSteel, sont :

• Aire A égale 12,33 cm carré, rayons de giration rx égale 80,3 mm et ry égale 33,2 mm.
• Constante de torsion J égale 0,370 cm puissance quatre, constante de gauchissement Cw égale 10515 cm puissance six.
• Décalage du centre de cisaillement x0 égale 67,5 mm, rayon polaire r0 égale 110,0 mm, constante de flexion H égale 0,623.

Étape 1 : les contraintes de flexion

L'élancement d'axe faible est Lcy sur ry égale 3000 sur 33,2 égale 90,5, donc la contrainte d'Euler d'axe faible est Fey égale pi au carré fois 200000 sur 90,5 au carré égale 241 MPa. Autour de l'axe de symétrie, Fex égale 1414 MPa, bien plus élevée car rx est grand. Un projeteur qui ne vérifierait que l'axe faible s'arrêterait ici, à 241 MPa.

Étape 2 : la contrainte de torsion

Injectez les propriétés dans Fez égale ( G J plus pi au carré E Cw sur Lcz au carré ) sur ( A r0 au carré ), avec G égale 77 GPa, J égale 0,370 cm puissance quatre, E égale 200 GPa, Cw égale 10515 cm puissance six, Lcz égale 3 m, A égale 12,33 cm carré et r0 égale 110 mm. Le résultat est Fez égale 174 MPa, déjà inférieur à Fey, car la paroi de 3 mm rend J faible et le terme de gauchissement ne peut pas compenser.

Étape 3 : la contrainte couplée

Injectez Fex égale 1414, Fez égale 174 et H égale 0,623 dans la formule E4-3 et la contrainte de flexion-torsion est Fexz égale 165 MPa. Comparez maintenant : Fe égale le minimum de Fey égale 241 et Fexz égale 165, donc Fe égale 165 MPa et le mode de flexion-torsion gouverne. La colonne ne ruine pas par flexion, elle fléchit et se tord, à une contrainte inférieure d'un tiers à la réponse d'Euler.

Étape 4 : la résistance

Comme Fe égale 165 dépasse 0,44 Fy égale 154, utilisez la courbe inélastique : Fcr égale 0,658 à la puissance (350 sur 165) fois 350 égale 144 MPa. La résistance nominale est Pn égale Fcr fois A égale 178 kN, et la résistance de calcul est phiPn égale 0,90 fois 178 égale 160 kN. Le moteur de colonnes du CalcSteel, exécutant E3 et E4 ensemble sur cette section, renvoie Fe égale 165 MPa, Fcr égale 144 MPa et phiPn égale 160 kN, en accord avec le calcul à la main à la décimale près.

Un seul point résolu est un instantané. L'image utile, c'est comment les modes s'échangent quand la colonne s'allonge, car la réponse à la question de savoir lequel gouverne n'est pas toujours la même. Gardez la section fixe et balayez la longueur bi-articulée, en comparant la contrainte critique que donnerait la seule vérification d'Euler avec la contrainte réelle E4 incluse.

• L égale 1 m : Euler seul Fcr égale 327 MPa, Fcr réel égale 314 MPa. Le tronçon est trapu, les deux modes sont proches de la limite d'élasticité, et l'écart est faible.
• L égale 2 m : Euler seul 267 MPa, réel 230 MPa. La torsion prend déjà 14 pour cent.
• L égale 3 m (la colonne résolue) : Euler seul 191 MPa, réel 144 MPa. Un écart de 25 pour cent en contrainte, un écart de 32 pour cent en résistance une fois l'aire appliquée et les deux courbes divergent.
• L égale 4 m : Euler seul 119 MPa, réel 88 MPa.
• L égale 5 m : Euler seul 76 MPa, réel 62 MPa.

Pour ce profilé en C à lèvres à larges ailes, la courbe de flexion-torsion se situe sous la courbe d'Euler à chaque longueur, de sorte que la torsion gouverne sur toute la plage pratique. Ce n'est pas une règle universelle, c'est ce que fait cette géométrie : les larges ailes rendent la contrainte d'Euler d'axe faible élevée, tandis que la paroi mince maintient la rigidité de torsion basse, si bien que le mode couplé l'emporte partout. Un profilé plus étroit et plus épais montrerait un croisement, où la flexion-torsion gouverne les colonnes plus courtes et Euler prend le relais sur les longues. Dans les deux cas, la leçon est la même : vous ne pouvez pas savoir sur quelle courbe vous êtes tant que vous n'avez pas calculé les deux.

L'écart n'est pas académique, et il pointe dans la direction dangereuse. À la longueur résolue de 3 m, la vérification d'Euler d'axe faible, prise seule, donne une contrainte critique de 191 MPa et une résistance de calcul de 212 kN. La vérification complète, avec le mode de flexion-torsion, donne 144 MPa et 160 kN. La différence est de 52 kN, une surestimation de 32 pour cent, et elle est du côté non sécuritaire : le nombre Euler seul est trop élevé, de sorte qu'une colonne dimensionnée et acceptée sur cette base serait chargée jusqu'à une sollicitation que la section réelle ne peut pas supporter. Elle flamberait par torsion à une charge que le calcul disait sûre.

C'est ce qui rend le flambement par flexion-torsion digne d'un nom. La plupart des erreurs de détail sont sécuritaires ou évidentes. Celle-ci n'est ni l'une ni l'autre. La charge appliquée est honnêtement axiale, l'élancement est honnêtement calculé, la formule d'Euler est honnêtement appliquée, et la réponse est quand même fausse d'un tiers, parce que la formule a répondu à la mauvaise question. Il n'y a aucun avertissement dans les nombres que vous avez calculés. Le seul signal est la forme de la section : ouverte, à symétrie simple, centre de cisaillement décalé du centre de gravité. Quand vous voyez cela, la contrainte d'Euler est une borne supérieure, et vous devez à la section une vérification E4 avant de lui faire confiance.

La même discipline se prolonge dans un poteau-poutre, où le terme axial de l'interaction effort normal et flexion combinés utilise ce même Pn. Si Pn a été calculé à partir du seul mode d'Euler, l'interaction hérite de la même erreur de 32 pour cent, et chaque combinaison de charges sur cette barre est vérifiée contre une capacité qui n'existe pas.

Vous n'exécutez pas E4 sur tout. Le mode ne mord que lorsque le centre de cisaillement est décalé du centre de gravité, donc un coup d'œil rapide à la section vous dit s'il est en jeu.

Profilés en U, C et U

Le cas résolu. Le centre de cisaillement se situe hors de l'âme, le décalage x0 est grand, et les profilés minces ont peu de rigidité de torsion. Le flambement par flexion-torsion est une vérification active sur chaque colonne en U, et gouverne souvent.

Tés, WT et tés de construction

Le centre de cisaillement se trouve sur l'aile, loin du centre de gravité situé dans l'âme, et l'âme n'apporte presque aucune rigidité de gauchissement, donc Cw est minuscule et Fez est faible. Les tés sont l'une des sections classiques où le mode de flexion-torsion gouverne sur la plupart des longueurs.

Cornières, simples et doubles

Les cornières simples flambent autour de leur axe principal faible avec un fort couplage flexion-torsion, ce qui explique pourquoi l'AISC leur consacre une méthode simplifiée dédiée à la Section E5 pour le cas courant d'une cornière chargée par une seule aile. Les cornières doubles, un incontournable des treillis et des contreventements, sont à symétrie simple et forcent le mode couplé à travers les deux ailes. Les deux nécessitent la vérification, et le titre de ce guide n'est pas un hasard : pour les cornières et les profilés en U, la torsion est la règle, pas l'exception.

Où vous pouvez la sauter

Les sections doublement symétriques, profilés à larges ailes, sections creuses de construction, caissons, tubes, ont leur centre de cisaillement au centre de gravité, donc x0 est nul, le couplage disparaît, et la contrainte de flexion-torsion ne peut jamais tomber sous celle de flexion. Pour elles, la vérification d'Euler est toute la vérification. Les croix et autres sections ouvertes minces sont l'extrême opposé, avec une rigidité de gauchissement si faible que le flambement par torsion pure peut gouverner à lui seul. Les barres formées à froid portent une couche de plus, le flambement local et distortionnel des parois minces, que les règles de l'ossature en acier formé à froid traitent comme une vérification de section efficace distincte, en plus du mode global montré ici.

Chacune de ces erreurs fait passer une colonne sur le papier alors que la section réelle est au-delà de sa vraie charge de flambement. Aucune ne déclenche d'erreur, et c'est exactement pourquoi le flambement par flexion-torsion continue de surprendre des ingénieurs attentifs.

1. Ne vérifier que l'axe faible. La plus grosse. Prendre la plus petite de Fex et Fey et s'arrêter là suppose que la section ne peut pas se tordre. Pour un profilé en U ou un té, cela saute le mode qui gouverne, et surestime la résistance de tout l'écart, ici 32 pour cent.
2. Utiliser r0 comme un rayon de giration ordinaire. Le r0 dans Fez est le rayon polaire autour du centre de cisaillement, r0 au carré égale x0 au carré plus rx au carré plus ry au carré, pas racine carrée de (Ix plus Iy sur A) autour du centre de gravité. Abandonner le terme x0 au carré gonfle Fez et masque la torsion.
3. Oublier la constante de gauchissement Cw, ou la lire de travers. Fez a besoin à la fois de G J et de E Cw. Mettre Cw à zéro, ou tirer une valeur pour le mauvais axe, peut déplacer Fez de dizaines de pour cent. Pour un té, Cw est presque nul et c'est là tout l'enjeu, pas une erreur d'arrondi.
4. Prendre Kz égal à Kx. La longueur efficace de torsion Kz dépend de la façon dont les extrémités sont bridées contre la torsion et le gauchissement, ce qui est souvent différent du bridage en flexion. Une articulation qui bloque la translation peut quand même permettre le gauchissement, et Kz n'est pas automatiquement 1.
5. Se fier à la capacité Euler seul d'une table de sections pour une section ouverte. Certaines tables rapides et feuilles de calcul rapportent une capacité en compression à partir de KL sur r seul. Pour un profilé en U, un té ou une cornière, ce nombre est le plafond d'Euler, pas la résistance de calcul, et il faut y superposer la vérification E4 avant de l'utiliser.

La façon la plus rapide de sentir le mode est de regarder les deux contraintes s'échanger quand vous changez la section et la longueur. Le calculateur ci-dessous est l'outil de flambement de colonnes du CalcSteel, gratuit et sans connexion pour les calculs. Il exécute la vérification du chapitre E de l'AISC 360, les contraintes de flexion d'après E3 et la contrainte de flexion-torsion d'après E4, et rapporte le Fe gouvernant, la contrainte critique Fcr, et la résistance de calcul, pour la section et les longueurs efficaces que vous fixez. Pointez-le sur le profilé en C à lèvres résolu et il renvoie Fe égale 165 MPa et phiPn égale 160 kN, les mêmes nombres calculés à la main ci-dessus.

Choisissez un profilé à larges ailes doublement symétrique et la contrainte de flexion-torsion grimpe hors de portée, le mode de flexion gouverne, et vous revenez à une pure vérification d'Euler. Passez à un profilé en U, un té ou une cornière et regardez Fexz tomber sous Fey et prendre le dessus. Ce simple basculement est toute la leçon de ce guide rendue interactive : la forme de la section décide si Euler est la réponse ou juste le plafond.

Dans un modèle réel, la vérification se multiplie sur chaque barre comprimée, chaque longueur efficace, et chaque combinaison de charges, avec le mode de flexion-torsion actif sur chaque section ouverte et le mode de flexion seul sur les sections doublement symétriques. C'est ce qu'automatise le moteur de colonnes du CalcSteel, et là où vous apportez encore le jugement : le bridage d'extrémité contre le gauchissement, le contreventement qui raccourcit Lcz, ou une section trop mince pour lui faire confiance sans la vérification locale du formé à froid. Emmenez la même barre dans le flux longueur efficace et facteur K, où le Lc qui alimente chacune de ces contraintes est décidé.