Section brute contre section nette : laquelle gouverne une barre tendue boulonnée

Prenez deux barres tendues découpées dans le même plat, le même acier, portant la même traction. Boulonnez la première à travers une section complète et intacte : elle s'allongera, plastifiera et ne finira par se déchirer qu'après que la barre entière soit devenue plastique. Percez une ligne de trous de boulons dans la seconde et elle peut se rompre à une seule section, sous une charge que la première encaisse sans broncher, presque sans signe avant-coureur. Même acier, même effort, deux histoires de ruine complètement différentes.

C'est là tout le sujet de cet article. Une barre tendue boulonnée se vérifie vis-à-vis de deux états limites à la fois : la plastification sur la section brute, répartie sur toute la longueur, et la rupture sur la section nette, concentrée là où les trous de boulons retirent de la matière. La résistance de calcul est la plus petite des deux, et laquelle l'emporte n'a rien d'évident. Cela dépend de la nuance d'acier, du nombre de trous percés, du fait qu'ils soient ou non en quinconce, et de la façon dont la barre est attachée. Trompez-vous et vous gaspillez de l'acier ou, bien pire, vous passez à côté du mode qui casse réellement.

Ci-dessous nous définissons les deux états limites, nous les calculons à la main pour un plat et une cornière jusqu'à la troisième décimale, nous établissons la règle de bascule exacte qui vous dit laquelle gouverne avant même d'ouvrir une calculatrice, et nous comparons la façon dont AISC 360, NBR 8800 et Eurocode 3 tracent la même ligne avec des coefficients de sécurité différents.

Le chapitre D de l'AISC 360 énonce explicitement les deux vérifications. Pour une barre en traction axiale, la résistance de calcul en traction est la plus petite de :

• Plastification de la section brute : φ_tP_n = 0.90 · F_y · A_g
• Rupture de la section nette : φ_tP_n = 0.75 · F_u · A_e

Trois aires apparaissent, et les distinguer clairement est la moitié du combat :

• A_g, aire brute : la section complète, trous ignorés. C'est l'aire que vous lisez dans une table de profilés ou dans le moteur de sections CalcSteel.
• A_n, aire nette : l'aire brute moins la matière retirée par les trous de boulons sur la ligne de rupture critique, A_n = A_g − ∑ d_h · t.
• A_e, aire nette efficace : l'aire nette encore réduite par le facteur de traînage de cisaillement U, A_e = U · A_n, pour tenir compte du fait que toute la section n'est pas pleinement mobilisée au droit de la liaison.

La plastification utilise F_y (la limite d'élasticité) et le facteur de résistance 0.90 ; la rupture utilise F_u (la contrainte ultime) et le facteur plus faible 0.75. À la fois les contraintes et les facteurs diffèrent, ce qui est exactement pourquoi le vainqueur n'est jamais joué d'avance. L'expression section brute contre section nette résume cette compétition : F_yA_g face à F_uA_e, pondérés par 0.90 face à 0.75.

L'écart entre 0.90 et 0.75 n'est pas une comptabilité arbitraire, il code la façon dont se comportent les deux ruines. La plastification de la section brute est ductile. Quand toute la longueur de la barre atteint F_y, elle s'allonge visiblement, transfère la charge vers les barres voisines et donne un signe avant-coureur ample bien avant de se déchirer. Une barre qui plastifie n'est pas une barre qui s'est effondrée, aussi la norme traite-t-elle la plastification comme un état limite à saveur de service avec un facteur généreux de 0.90.

La rupture de la section nette est fragile. La fracture s'amorce au bord d'un trou de boulon, où la contrainte se concentre, et traverse la section réduite avec peu d'avertissement plastique. Il n'y a aucune réserve au-delà : la barre est en deux morceaux. Parce que la conséquence est soudaine et totale, et parce que F_u lui-même est moins certain que F_y, la norme plafonne la rupture avec le facteur plus faible de 0.75.

Le calcul est ainsi délibérément biaisé pour forcer le mode ductile à gouverner là où il le peut. Quand la rupture l'emporte malgré tout, la norme vous dit que les trous ont retiré trop de section, et le remède se trouve dans la géométrie de la liaison, pas dans la nuance d'acier.

L'aire nette est l'aire brute moins la matière que les trous retirent le long de la ligne droite critique traversant la barre :

A_n = A_g − n · d_h · t

où n est le nombre de trous traversés, t est l'épaisseur du plat, et d_h est la largeur de trou utilisée dans les calculs d'aire nette. L'erreur la plus courante ici est d'utiliser le diamètre du boulon pour d_h. Le trou est toujours plus grand que le boulon, et la norme en rajoute par-dessus pour les dégâts de poinçonnage :

• AISC 360 : le trou standard vaut le diamètre du boulon plus environ 2 mm (1/16 in), et pour les calculs d'aire nette vous ajoutez encore 2 mm (1/16 in) pour les dégâts autour du trou. Un boulon M20 dans un trou standard de 22 mm se calcule donc avec d_h = 24 mm.
• NBR 8800 : la même idée, trou standard égal au boulon plus 1.5 mm, plus 2 mm ajoutés pour la section nette, soit en pratique le boulon plus 3.5 mm.

Le concept remonte à un siècle. Dès que les ingénieurs sont passés des barres à œil massives aux plats rivés et boulonnés, ils ont compris que la section réduite au droit de la ligne de fixation, et non la barre pleine, fixe la charge de rupture. Salmon et Johnson font remonter le traitement moderne de l'aire nette et du traînage de cisaillement directement jusqu'aux dispositions actuelles de l'AISC. Tout au long de cet article nous utilisons d_h = 24 mm pour les boulons M20, la convention AISC.

Quand les boulons sont en quinconce, la ligne de rupture peut zigzaguer d'un trou au suivant en diagonale. Un segment diagonal est plus long qu'une coupe droite, donc il retire proportionnellement moins d'aire, et la norme le crédite en retour avec le terme classique s²/4g, une addition pour chaque segment diagonal de la ligne :

A_n = A_g − ∑ d_h · t + ∑ (s² / 4g) · t

Ici s est le pas (espacement longitudinal) entre les deux trous mesuré selon l'axe, et g est l'entraxe transversal entre les deux files. Vous évaluez chaque ligne plausible et celle qui donne la plus petite aire nette gouverne. Une ligne en zigzag traverse plus de trous qu'une ligne droite, mais les crédits s²/4g peuvent ou non compenser.

Prenez le plat 200 × 12 mm plus loin dans cet article, avec un entraxe g = 65 mm et un pas de quinconce s = 50 mm. La ligne droite à travers deux trous donne A_n = 2400 − 2 · 24 · 12 = 1824 mm². La ligne en zigzag traverse trois trous mais récupère deux crédits diagonaux de s²/4g = 50²/(4 · 65) = 9.615 mm chacun : A_n = 2400 − 3 · 24 · 12 + 2 · 9.615 · 12 = 1766.8 mm². La ligne en zigzag est plus petite, donc elle gouverne. Mettre les boulons en quinconce a rendu la section critique pire ici, pas meilleure, ce qui est précisément pourquoi vous devez vérifier chaque ligne.

L'aire nette suppose que toute la section réduite résiste uniformément. Ce n'est pas le cas, sauf si chaque élément de la section est connecté. Boulonnez une seule cornière par une aile seulement et l'effort doit s'entonner de l'aile en saillie, non connectée, vers l'aile connectée par cisaillement. Près des premiers boulons, l'aile en saillie est en retard et porte moins que sa part. C'est le traînage de cisaillement (shear lag), et la norme le capte avec le facteur de réduction U :

A_e = U · A_n, avec U = 1 − x̄/L

x̄ est la distance de la face connectée au centre de gravité de la section entière, et L est la longueur de la liaison (du premier boulon au dernier boulon). Plus le centre de gravité est loin du plan de liaison, et plus la liaison est courte, plus la section est en retard et plus U devient petit. La table D3.1 de l'AISC vous permet aussi d'utiliser de simples valeurs enveloppes par le bas, par exemple U = 0.80 pour les cornières avec quatre boulons ou plus par file, mais le 1 − x̄/L calculé est en général plus généreux et vaut le calcul.

Deux leviers de conception découlent directement de cette équation. Allonger la liaison (plus de boulons dans la file, un L plus grand) fait monter U vers 1.0. Connecter davantage de la section (les deux ailes, ou un gousset de chaque côté) fait monter U également. Une barre à l'aire brute généreuse peut tout de même être gouvernée par la rupture uniquement parce qu'une liaison courte et unilatérale a étranglé son aire efficace, comme le montre la cornière traitée plus bas.

Un plat 200 × 12 mm en acier ASTM A36 (F_y = 250 MPa, F_u = 400 MPa) est éclissé avec deux boulons M20 en travers de sa largeur sur une seule file transversale. Le plat est connecté sur toute sa largeur, il n'y a donc pas de traînage de cisaillement : U = 1.0. Traitons les deux états limites.

Aires. A_g = 200 · 12 = 2400 mm². Deux trous à d_h = 24 mm : A_n = 2400 − 2 · 24 · 12 = 1824 mm². Avec U = 1.0, A_e = 1824 mm². Les trous ont retiré 24 pour cent de l'aire, donc A_e/A_g = 0.760.

Plastification de la section brute : φ_tP_n = 0.90 · 250 · 2400 = 540 000 N = 540.0 kN.

Rupture de la section nette : φ_tP_n = 0.75 · 400 · 1824 = 547 200 N = 547.2 kN.

La plastification gouverne, à 540.0 kN, mais seulement de 1.3 pour cent. Perdre un quart de l'aire au profit des trous a presque, mais pas tout à fait, suffi à confier la barre à la rupture. Cette marge sur le fil du rasoir est toute la leçon : vous ne pouvez pas deviner à l'œil quel état limite l'emporte, vous devez calculer les deux. Dans la section suivante, extrayez l'aire brute de votre propre profilé et répétez les deux lignes.

L'aire brute A_g est le point de départ des deux vérifications, et pour un vrai profilé laminé ou formé à froid ce n'est pas un nombre que vous voulez dériver à la main. La calculatrice ci-dessous est le moteur de sections CalcSteel en direct, le même que derrière l'éditeur 3D. Choisissez une section, lisez directement son aire de section A, et voilà votre A_g. Retranchez n · d_h · t pour votre ligne de boulons afin d'obtenir A_n, appliquez le U de traînage de cisaillement, et vous êtes à une multiplication des deux états limites.

Pour l'exemple du plat plat ci-dessus l'aire est triviale (200 × 12 = 2400 mm²), mais dès l'instant où vous atteignez une cornière, un profil en U ou une section reconstituée, l'aire brute vaut d'être lue directement sur le moteur plutôt que de risquer une erreur d'arithmétique dès le tout premier terme.

Maintenant une cornière seule L102 × 102 × 9.5 (A_g = 1845 mm², centre de gravité x̄ = 28.7 mm) en ASTM A36, boulonnée par une aile avec trois boulons M20 à 75 mm de pas. Même acier que le plat, aire similaire, mais une liaison unilatérale.

Traînage de cisaillement. Longueur de liaison L = 2 · 75 = 150 mm. U = 1 − x̄/L = 1 − 28.7/150 = 0.809.

Aires. Un trou à travers l'aile connectée : A_n = 1845 − 24 · 9.5 = 1617 mm². Aire nette efficace A_e = 0.809 · 1617 = 1307.6 mm². Désormais A_e/A_g = 0.709, en dessous du 0.760 du plat.

Plastification : φ_tP_n = 0.90 · 250 · 1845 = 415.1 kN. Rupture : φ_tP_n = 0.75 · 400 · 1307.6 = 392.3 kN. Cette fois la rupture gouverne, à 392.3 kN.

La cornière a presque la même aire brute que bien des plats, et pourtant le traînage de cisaillement a fait descendre A_e assez bas pour faire basculer le mode gouvernant. Et le remède est parlant : ajoutez un quatrième boulon, L passe à 225 mm, U monte à 0.872, la rupture grimpe à 423.2 kN, et la plastification reprend le contrôle à 415.1 kN. Un boulon de plus, un état limite différent, 6 pour cent de capacité en plus, sans rien changer à l'acier.

Chaque grande norme applique la même vérification à deux états limites, elle habille seulement les coefficients de sécurité différemment. Le terme de plastification de la section brute utilise toujours la limite d'élasticité et le terme de rupture de la section nette utilise toujours la contrainte ultime ; ce qui change, c'est où le coefficient se place et sa valeur.

Les trois paraissent différentes mais tombent tout près les unes des autres. Le 0.90 de l'AISC sur la plastification est presque le γ_M0 = 1.00 de l'EN (un facteur de 1.0 sur la résistance) et le 1/1.10 = 0.909 de la NBR. Sur la rupture, le 0.75 de l'AISC se situe entre le 1/1.35 = 0.741 de la NBR et le 0.9/1.25 = 0.72 combiné de l'EN. L'Eurocode intègre un 0.9 supplémentaire sur le terme net et traite le traînage de cisaillement par des règles de liaison distinctes plutôt que par un facteur U à l'intérieur d'A_e, mais la philosophie est identique : une vérification ductile sur la section complète et une vérification fragile sur la section réduite, cette dernière pénalisée plus durement.

Pour le public CalcSteel cela compte parce que la même barre peut être vérifiée selon NBR 8800, AISC 360 ou EN 1993 dans l'éditeur, et l'état limite gouvernant peut légèrement changer entre elles. L'ingénierie est la même ; seuls les coefficients partiels bougent.

Vous pouvez trancher quel état limite gouverne avec une seule inégalité, avant tout calcul chiffré. La rupture gouverne quand 0.75 F_u A_e < 0.90 F_y A_g, ce qui se réarrange en un pur rapport d'aires :

La rupture gouverne quand A_e/A_g < 1.2 · F_y/F_u

Le membre de droite est une propriété du seul acier. Évaluez-le une fois par nuance :

• ASTM A36 (F_y/F_u = 0.625) : la rupture gouverne quand A_e/A_g < 0.750. Vous pouvez perdre jusqu'à 25 pour cent de la section avant que la rupture ne prenne le dessus.
• ASTM A572 Gr.50 (F_y/F_u = 0.767) : la rupture gouverne quand A_e/A_g < 0.920. Désormais même une perte de 8 pour cent la fait basculer vers la rupture.

Cela met au jour un résultat véritablement contre-intuitif : un acier à plus haute résistance fait gouverner la rupture nette plus souvent, pas moins. À mesure que F_y grimpe vers F_u, la limite ductile de plastification monte plus vite que la limite fragile de rupture, si bien que le mode fragile rattrape et prend le contrôle pour des pertes de section toujours plus petites. Une seule ligne de boulons retire déjà plus de 8 pour cent de la plupart des sections, donc en Grade 50 et au-delà, la rupture au droit de la liaison est le mode à surveiller par défaut. Notre plat A36 se situait à A_e/A_g = 0.760, un cheveu au-dessus de 0.750, ce qui est exactement pourquoi la plastification a arraché la victoire de 1.3 pour cent.

• Prendre le diamètre du boulon comme largeur de trou. Le trou vaut le boulon plus le jeu plus une tolérance de dégât. Un boulon M20 se calcule avec d_h = 24 mm, pas 20. Cela seul peut décaler l'aire nette de plusieurs pour cent.
• Oublier le traînage de cisaillement. Utiliser A_n dans l'équation de rupture au lieu d'A_e = U A_n surestime la capacité, gravement pour les cornières, les tés et les profils en U boulonnés par une partie de la section.
• Ne vérifier que la ligne de trous droite. Avec des boulons en quinconce, une ligne en zigzag peut gouverner même si elle traverse plus de trous. Évaluez chaque ligne et retenez la plus petite aire nette.
• Mélanger les facteurs de résistance. 0.90 appartient à la plastification, 0.75 à la rupture. Les intervertir, ou reporter un facteur AISC dans un calcul NBR ou EN, déplace discrètement l'état limite gouvernant.
• Supposer que la plus grande aire brute est sûre. Un A_g généreux ne veut rien dire si une liaison courte et unilatérale étrangle A_e. L'exemple de la cornière avait une aire brute ample et a tout de même cédé par rupture.

Une barre tendue boulonnée ne vaut que la plus petite de deux valeurs : 0.90 F_y A_g pour la plastification ductile sur sa longueur, et 0.75 F_u A_e pour la rupture fragile aux trous. Calculez l'aire nette avec la largeur du trou, pas le boulon ; ajoutez le crédit s²/4g sur les lignes en quinconce ; réduisez à l'aire nette efficace avec le U de traînage de cisaillement. Ensuite laissez la règle de bascule, A_e/A_g face à 1.2 F_y/F_u, vous dire quel mode attendre, et rappelez-vous qu'un acier à plus haute résistance biaise la réponse vers la rupture. Vérifiez les deux, à chaque fois, car comme l'a montré le plat, le vainqueur peut se jouer à un seul pour cent.