Intégrales doubles : le moment d'inertie d'une poutre reconstituée soudée, de zéro

Ouvrez n'importe quelle table de profilés en acier et faites glisser votre doigt jusqu'à la colonne intitulée I, ou Ix, le moment d'inertie. C'est le nombre qui fixe la flèche que prend une poutre de ce profilé et la contrainte que produit un moment donné. C'est aussi, et c'est la partie que la table ne vous dit jamais, la valeur d'une intégrale double : celle du Calcul II que vous avez évaluée sur des rectangles et des demi-disques, puis, quelque part au premier cours de structures, discrètement rangée comme abstraite. Elle n'a disparu nulle part. Le moment d'inertie est cette intégrale, et cet article traite de la poser et de l'évaluer de vos propres mains.

Voici toute la définition en une ligne, et le reste du guide n'est que cette ligne rendue concrète : le moment d'inertie d'une section par rapport à son axe passant par le centre de gravité est l'intégrale double de y² sur l'aire, où y est la distance de l'axe à chaque petit morceau d'aire dA. Écrit en toutes lettres, I = l'intégrale double sur l'aire de y² dA. Additionnez y² pour chaque parcelle de matière dans la face de la poutre, pondérée par la quantité d'aire présente, et vous avez I. Aucune table à croire, aucune formule à se rappeler, juste l'intégrale que vous savez déjà faire.

Nous allons le faire sur un élément réel : une poutre reconstituée soudée, la poutre à âme pleine que vous concevez quand aucun profilé laminé n'est assez grand, faite de deux plats de semelle et d'un plat d'âme. Parce que vous la fabriquez, il n'y a aucune valeur de catalogue à consulter ; vous devez intégrer. À la fin, vous aurez posé l'intégrale double, vu qu'elle produit le familier bh³/12 pour un seul plat, vu le théorème des axes parallèles en découler gratuitement, et l'aurez évaluée sur toute la poutre jusqu'à Ix = 7,356 × 10⁹ mm⁴. Chaque nombre a été vérifié contre une somme numérique brute de y² dx dy et contre l'intégrale par le théorème de Green que le calculateur de moment d'inertie exécute en production, et les trois concordent jusqu'au dernier chiffre.

Revenons d'abord au calcul. Une intégrale double d'une fonction f sur une région bidimensionnelle R, écrite comme l'intégrale double sur R de f(x, y) dA, additionne la valeur de f sur chaque parcelle infinitésimale d'aire dA à l'intérieur de R. Quand f vaut 1, l'intégrale double est simplement l'aire de R. Quand f est une quantité qui varie sur la région, l'intégrale est le total cumulé de cette quantité, pondéré par l'aire.

L'astuce qui rend une intégrale double calculable est que l'élément d'aire se factorise : dA = dx dy. Cela transforme l'unique intégrale double en une paire imbriquée d'intégrales ordinaires, une intégrale itérée. Vous intégrez d'abord sur x, en tenant y fixe, ce qui balaie une bande horizontale ; puis vous intégrez ce résultat sur y, ce qui empile les bandes du bas de la région vers le haut. Le théorème de Fubini dit que l'ordre n'a pas d'importance pour les régions bien conformées dont une section en acier est faite, donc vous pouvez aussi faire y d'abord, puis x. Dans les deux cas, une intégrale double est deux intégrales ordinaires faites l'une après l'autre.

C'est toute la machinerie. Pour les caractéristiques de section, la fonction f n'est jamais compliquée : elle vaut 1 pour l'aire, elle vaut y pour le moment statique qui localise le centre de gravité, et elle vaut y² pour le moment d'inertie. La région R est la section. Tout le travail est dans la région, pas dans l'intégrande, ce qui est exactement pourquoi une poutre reconstituée faite de rectangles est l'endroit parfait pour le voir : sur un rectangle, les bornes sont des constantes, et l'intégrale itérée est deux étapes nettes.

D'où vient y² ? Fléchissez une poutre et sa section tourne autour de l'axe neutre. Une fibre à une distance y de cet axe s'allonge proportionnellement à y, donc elle porte une contrainte proportionnelle à y, et la force qu'elle apporte est cette contrainte fois son aire, proportionnelle à y·dA. Mais nous ne voulons pas la force, nous voulons le moment de cette force par rapport à l'axe, qui est la force fois son bras de levier y à nouveau. Un y de la déformation, un y du bras de levier, et la contribution de chaque parcelle à la résistance à la flexion est y² dA. Additionnez-la sur toute la face et vous avez la résistance de la section à la flexion, le moment d'inertie.

C'est pourquoi I apparaît dans les deux équations sur lesquelles s'appuie chaque cours de structures. La contrainte de flexion est σ = M·y / I, et la courbure est M / (E·I). Dans les deux, I est la part du travail de la section, et il est grand exactement quand beaucoup d'aire se trouve à un grand y, parce que ces parcelles contribuent y² et y² croît vite. Ce simple fait, que l'intégrande est y² et non y, est toute la raison pour laquelle une poutre en I place sa matière dans des semelles loin de l'axe, et c'est la raison pour laquelle une poutre à âme pleine est élancée en hauteur. La forme de la section l'emporte sur son poids parce que l'intégrale récompense la distance au carré.

Ainsi, le moment d'inertie n'est pas une définition que vous acceptez et une formule que vous consultez. C'est une intégrale double avec un intégrande spécifique et physique, et pour toute région dont vous pouvez décrire la frontière, vous pouvez l'évaluer. Le reste de ce guide fait exactement cela, en commençant par le rectangle unique dont chaque poutre reconstituée est faite.

Prenez un seul plat, un rectangle de largeur b et de hauteur h, et placez l'axe x par son propre centre de gravité, de sorte que y aille de −h/2 en bas à +h/2 en haut, et x de −b/2 à +b/2. Écrivez le moment d'inertie comme une intégrale itérée avec ces bornes constantes :

Ix = ∫ de −h/2 à +h/2 [ ∫ de −b/2 à +b/2 de y² dx ] dy.

Faites d'abord l'intégrale intérieure, sur x. L'intégrande y² ne contient pas du tout x, donc l'intégrer sur x de −b/2 à +b/2 le multiplie simplement par la largeur : l'intégrale intérieure est y²·b. Géométriquement, vous avez balayé une bande horizontale de hauteur dy sur toute la largeur b, et chaque point de la bande est à la même distance y, donc la bande contribue y²·(b dy). L'intégrale bidimensionnelle est devenue unidimensionnelle.

Maintenant l'intégrale extérieure, sur y. Sortez la constante b devant et intégrez y² :

Ix = b · ∫ de −h/2 à +h/2 de y² dy = b · [ y³/3 ] de −h/2 à +h/2 = b · ( h³/24 + h³/24 ) = b·h³/12.

La voilà. Le bh³/12 que vous avez écrit une centaine de fois n'est pas une formule transmise par une table, c'est le nombre que l'intégrale double produit pour un rectangle par rapport à son propre centre de gravité. Le cube sur h vient du y³ de l'intégration de y², et c'est pourquoi la hauteur est si puissante : doublez la hauteur d'un plat et son inertie propre est multipliée par huit. Chaque plat de la poutre, semelle ou âme, utilise ce même résultat. Ce qui change d'un plat à l'autre est seulement l'emplacement de son centre de gravité par rapport à l'axe de la poutre, et c'est l'étape suivante.

Un plat de semelle ne se trouve pas sur l'axe de la poutre passant par le centre de gravité, il se trouve loin au-dessus ou en dessous. Nous avons donc besoin de son inertie par rapport à l'axe de la poutre, pas au sien. Appelez d la distance entre les deux axes, et soit y′ la coordonnée mesurée depuis le propre centre de gravité du plat, de sorte que la coordonnée de l'axe de la poutre soit y = y′ + d. Substituez cela dans l'intégrale et développez le carré :

I = l'intégrale double de (y′ + d)² dA = l'intégrale double de ( y′² + 2·d·y′ + d² ) dA.

Séparez-la en trois intégrales et lisez chacune. La première, l'intégrale double de y′² dA, est l'inertie du plat par rapport à son propre centre de gravité, le b·h³/12 que nous venons de dériver. La troisième, l'intégrale double de d² dA, a un intégrande constant, donc c'est simplement d² fois l'aire, A·d². Le terme du milieu est le plus intéressant : 2·d fois l'intégrale double de y′ dA. Cette intégrale est le moment statique par rapport au propre centre de gravité du plat, et le moment statique par rapport à un centre de gravité est nul par la définition même du centre de gravité. Le terme croisé disparaît.

Ce qui reste est le théorème des axes parallèles :

I = I_propre + A·d² = b·h³/12 + A·d².

Remarquez que nous ne l'avons pas invoqué comme une règle distincte à mémoriser. Il a découlé de l'intégrale double au moment où nous avons décalé l'axe, et la seule raison pour laquelle il est net est que le moment statique par rapport au centre de gravité est nul. Voilà toute la boîte à outils pour une section reconstituée : chaque plat contribue son propre bh³/12 plus son aire fois le carré de sa distance à l'axe commun. Additionnez cela sur les plats et vous avez la poutre. Il est temps de le faire.

Voici la poutre. Deux plats de semelle, chacun b = 300 mm de large sur tf = 25 mm d'épaisseur, et un plat d'âme tw = 12 mm d'épaisseur sur hw = 1200 mm de hauteur, soudés en un I à double symétrie d'une hauteur totale h = 1250 mm. Parce qu'elle est symétrique du haut vers le bas, le centre de gravité se trouve à mi-hauteur, à 625 mm de chaque fibre extrême, et l'axe commun est évident sans aucun calcul. (Quand il ne l'est pas, l'intégrale du moment statique le trouve ; voir la section suivante.)

Appliquez la boîte à outils plat par plat. D'abord l'âme, qui chevauche l'axe, de sorte que sa distance d est nulle et que seule son inertie propre compte :

I_âme = tw·hw³/12 = 12 × 1200³ / 12 = 1 728 000 000 mm⁴.

L'âme fait 1200 mm de hauteur, et cette hauteur au cube est la raison pour laquelle un plat mince de 12 mm contribue tout de même 1,73 × 10⁹ mm⁴ à lui seul. Maintenant chaque semelle. Son inertie propre est minuscule, parce qu'un plat de 25 mm d'épaisseur n'a presque aucune hauteur propre :

I_semelle,propre = b·tf³/12 = 300 × 25³ / 12 = 390 625 mm⁴.

Mais son centre de gravité se trouve à d = hw/2 + tf/2 = 600 + 12,5 = 612,5 mm de l'axe de la poutre, et le terme de transfert A·d² est énorme :

A·d² = (300 × 25) × 612,5² = 7500 × 375 156,25 = 2 813 671 875 mm⁴.

Donc chaque semelle apporte 390 625 + 2 813 671 875 = 2 814 062 500 mm⁴, dont le terme de transfert représente 99,99 %. L'inertie propre d'une semelle est une erreur d'arrondi ; une semelle n'est rien d'autre que de l'aire garée loin de l'axe. Additionnez les trois plats :

Ix = 2 × 2 814 062 500 + 1 728 000 000 = 7 356 125 000 mm⁴ ≈ 7,356 × 10⁹ mm⁴.

Cela fait 735 612 cm⁴, et cela est venu entièrement de l'intégrale double : bh³/12 pour chaque plat, A·d² pour le déplacer vers l'axe commun, additionnés. Les deux semelles à elles seules fournissent 5,63 × 10⁹ mm⁴, plus des trois quarts du total, et elles le font par la distance, pas par l'aire : elles ne représentent que 51 % de l'aire de la section mais elles portent 76 % de son inertie. Voilà l'intégrale double récompensant y² à l'œuvre.

Un nombre aussi grand est facile à rater, donc il vaut la peine de le prouver de trois façons indépendantes, ce qui est exactement ce que fait le banc d'essai derrière cet article.

1. De zéro, l'intégrale double plat par plat ci-dessus : Ix = 7 356 125 000 mm⁴.

2. Une intégrale double numérique brute. Oubliez les formules et revenez à la définition : posez une grille fine de cellules sur toute la face de la poutre, calculez y² fois l'aire de la cellule pour chaque cellule, et additionnez-les. C'est l'intégrale double de y² dA faite comme une somme de Riemann littérale, sans aucun bh³/12 ni théorème des axes parallèles en vue. La grille renvoie 7 356 124 700 mm⁴, ce qui concorde avec la valeur à la main à quatre parts sur cent millions près. Les formules ne sont vraiment que l'intégrale, évaluée astucieusement.

3. Le moteur en production. Le calculateur de moment d'inertie de CalcSteel ne quadrille pas l'intérieur ; il parcourt la frontière, en utilisant le théorème de Green pour transformer l'intégrale d'aire de y² dA en une seule boucle d'intégrales de contour autour du contour, la méthode du polygone décrite dans notre guide sur l'intégration numérique. Alimenté avec le contour à 12 sommets de la poutre, ce code de production renvoie Ix = 7 356 125 000 mm⁴, identique à la valeur à la main.

Trois chemins, un nombre : l'intégrale itérée à la main, la grille brute, et le théorème de Green sur la frontière atterrissent tous sur 7,356 × 10⁹ mm⁴. Voilà ce que signifie pour le moment d'inertie d'être une intégrale double : chaque façon honnête d'évaluer cette intégrale doit donner la même réponse, et c'est le cas.

Tournez la même intégrale de quatre-vingt-dix degrés. Le moment d'inertie par rapport à l'axe vertical passant par le centre de gravité, l'axe faible, échange l'intégrande pour x² : Iy = l'intégrale double de x² dA. Maintenant c'est l'étalement horizontal de la matière qui compte, et l'âme, ne faisant que 12 mm de large, ne contribue presque rien. Les semelles, de 300 mm de large, dominent :

Iy = 2 × (tf·b³/12) + hw·tw³/12 = 2 × (25 × 300³/12) + 1200 × 12³/12 = 112 672 800 mm⁴.

Comparez les deux : Ix = 7,356 × 10⁹ contre Iy = 1,127 × 10⁸ mm⁴, un rapport de 65 pour 1. La section identique est 65 fois plus rigide en flexion par rapport à l'axe fort que par rapport à l'axe faible, ce qui est toute la raison pour laquelle une poutre reconstituée est utilisée dressée en hauteur et a besoin d'un contreventement pour l'empêcher de déverser latéralement autour de cet axe faible souple. L'intégrale double rend l'asymétrie précise : y s'étend jusqu'à ±625 mm mais x seulement jusqu'à ±150 mm, et les deux entrent au carré.

Il y en a un troisième, le produit d'inertie Ixy = l'intégrale double de x·y dA, qui vous dit si vos x et y sont les vrais axes principaux. Pour cette poutre il vaut exactement zéro, et vous pouvez voir pourquoi directement à partir de l'intégrale : la section est symétrique par rapport à l'axe y, donc pour chaque parcelle à +x il y a une parcelle miroir à −x avec le même y, et leurs contributions x·y s'annulent par paires. Tout axe de symétrie force Ixy = 0 et fait des axes du dessin les axes principaux, ce qui est pourquoi les sections à double symétrie n'ont jamais besoin de la rotation par le cercle de Mohr dont une section non symétrique a besoin.

La poutre symétrique nous a laissés placer l'axe à l'œil. Les vraies poutres sont souvent monosymétriques : une large semelle inférieure pour porter un plancher mixte, une semelle supérieure plus étroite. Alors le centre de gravité n'est pas à mi-hauteur, et vous ne pouvez pas appliquer les transferts des axes parallèles tant que vous ne savez pas où il se trouve. La même famille d'intégrales vous le remet. Le moment statique, Q = l'intégrale double de y dA, divisé par l'aire totale, est la hauteur du centre de gravité : cy = Q / A. C'est la position moyenne de la matière pondérée par y.

Prenez une poutre avec une semelle inférieure de 400 × 32 mm, une âme de 12 × 1150 mm, et une semelle supérieure de 250 × 20 mm, hauteur totale 1202 mm. En additionnant y dA plat par plat (l'aire de chaque plat fois la hauteur de son propre centre de gravité) et en divisant par l'aire totale A = 31 600 mm² on obtient :

cy = Q / A = 460,2 mm au-dessus de la fibre inférieure,

et non les 601 mm de mi-hauteur : la lourde semelle inférieure tire le centre de gravité vers elle, exactement comme la moyenne pondérée par y devrait le faire. Ce n'est que maintenant que les transferts des axes parallèles prennent sens, chaque d de plat mesuré depuis cet axe à 460,2 mm, et l'intégrale double renvoie Ix = 7,02 × 10⁹ mm⁴ par rapport à lui. Parce que l'axe est décentré, les deux fibres sont à des distances différentes, 460 mm en dessous et 742 mm au-dessus, de sorte que la section a deux modules de flexion différents, Sx = 15 261 cm³ vers le bas et 9 467 cm³ vers le haut. Le moteur en production, alimenté avec ce contour, reproduit le centre de gravité à 460,171 mm et l'inertie jusqu'au dernier chiffre. L'intégrale qui vous donne I est la même que celle qui vous a dit où était son axe.

Le moment d'inertie n'est pas un trophée, c'est ce par quoi les deux vérifications de calcul divisent. Mettez la poutre symétrique au travail comme une travée simplement appuyée de 12 m sous une charge de service de w = 40 kN/m. Le moment maximal est le familier wL²/8 = 720 kN·m, et les deux choses que vous vérifiez réellement passent toutes deux par le Ix = 7,356 × 10⁹ mm⁴ que vous avez intégré.

Flèche. L'affaissement à mi-travée d'une travée simple uniformément chargée est 5·w·L⁴ / (384·E·I). Avec E = 210 000 MPa pour l'acier, cela fait 6,99 mm, un élancement de L/1716, confortablement à l'intérieur de la limite de service habituelle L/360. Divisez l'inertie par deux et la poutre s'affaisserait deux fois plus : la flèche est inversement proportionnelle à l'intégrale même que nous avons évaluée.

Contrainte. La contrainte de flexion en fibre extrême est σ = M·c / I, avec c = 625 mm jusqu'à la fibre extérieure. Cela donne 61,2 MPa, une fraction de la limite d'élasticité, donc la poutre est loin de sa capacité en flexion à cette charge. Les deux nombres, les millimètres qu'elle s'affaisse et les mégapascals qu'elle ressent, sortent de la division par I, ce qui est pourquoi poser correctement l'intégrale double n'est pas un exercice académique. C'est le dénominateur des deux vérifications qui décident si la poutre est assez sûre et assez rigide. Si vous préférez voir ces nombres bouger pendant que vous redimensionnez les plats, le calculateur ci-dessous exécute la même intégrale en direct.

Construisez une section ci-dessous et lisez son moment d'inertie directement. Changez la hauteur, changez la largeur de semelle, et regardez Ix réagir. Deux habitudes rendront l'intégrale double intuitive pendant que vous jouez. D'abord, élargissez une semelle et regardez Ix bouger à peine, puis déplacez cette même semelle vers l'extérieur et regardez-le bondir : l'intégrale récompense la distance au carré, pas l'aire. Ensuite, comparez Ix et Iy pour la même section et ressentez à quel point ils sont éloignés sur tout ce qui est haut et mince, le 65 pour 1 de la poutre ci-dessus.

Le calculateur est le frontal du même moteur que CalcSteel utilise dans une analyse complète, donc le I qu'il rapporte est celui qu'utiliserait une vraie vérification de flèche et de contrainte. Pour l'histoire sœur, où ces mêmes intégrales d'aire sont évaluées sur un contour arbitraire en parcourant sa frontière, le guide sur l'intégration numérique reprend le fil. Et pour la version en langage clair visant les profilés laminés plutôt que les plats reconstitués, commencez par pourquoi la forme de la poutre l'emporte sur le poids.

Les erreurs sont constantes, et chacune est une mauvaise lecture de l'intégrale double plutôt que de la poutre :

1. Utiliser bh³/12 pour un plat qui est hors de l'axe. Le bh³/12 net est l'inertie du plat par rapport à son propre centre de gravité uniquement. Pour une semelle à 612,5 mm, le transfert A·d² est 7 200 fois plus grand que le bh³/12, et l'oublier est la façon la plus courante à elle seule qu'un I construit à la main sorte bien trop petit.

2. Mesurer y depuis le mauvais axe. Le y dans y² dA est la distance jusqu'au centre de gravité de la section, pas jusqu'à la fibre inférieure ou l'origine du dessin. Sur la poutre monosymétrique, cela signifie trouver d'abord cy = 460,2 mm, à partir de l'intégrale du moment statique, et seulement ensuite mesurer chaque d à partir de là.

3. Le piège des unités à la puissance quatre. I porte des unités de longueur à la puissance quatre. Un facteur 10 dans votre longueur est un facteur 10 000 dans I, et le lapsus classique est de mélanger mm⁴ et cm⁴ : 7,356 × 10⁹ mm⁴ vaut 735 612 cm⁴, une division par 10⁴, pas par 10. Trompez-vous de puissance et la flèche est fausse d'ordres de grandeur.

4. Confondre Ix avec Iy. L'axe fort Ix utilise y² et récompense la hauteur ; l'axe faible Iy utilise x² et récompense la largeur. Ils diffèrent de 65 fois sur cette poutre. Introduisez la valeur de l'axe faible dans une vérification de flèche d'axe fort et la poutre paraît 65 fois trop souple.

5. Oublier que le cube porte sur la hauteur. Parce que l'intégrale de y² apporte un h³, la hauteur d'un plat compte bien plus que son épaisseur ou sa largeur. Doubler l'épaisseur d'une âme double son inertie ; doubler sa hauteur la multiplie par huit. Tout instinct bâti sur l'aire seule, plutôt que sur le y² que l'intégrale pondère réellement, jugera mal quel changement aide.

Quand CalcSteel rapporte un moment d'inertie, il évalue la même intégrale double que vous venez de faire à la main, sauf qu'il ne touche jamais à bh³/12 ni au théorème des axes parallèles. Il prend le contour de la section comme une liste de sommets et applique le théorème de Green, qui convertit l'intégrale d'aire de y² dA en une seule boucle d'intégrales de contour autour de la frontière : une passe arithmétique sur les arêtes, exacte pour tout polygone, sans maillage ni table de formules. Pour la poutre de cet article, nous avons exécuté ce code de production sur le contour à 12 sommets et il a renvoyé 7 356 125 000 mm⁴, le même nombre que l'intégrale à la main plat par plat a donné, parce que ce sont la même intégrale lue de deux façons : sur l'intérieur, ou autour de l'arête.

Voilà la réponse honnête à l'étudiant qui demande à quoi servait l'intégrale double. Ce n'est pas de la culture pour l'examen, c'est la définition du nombre qui décide si une poutre est assez rigide, et le logiciel que vous utiliserez chaque jour calcule exactement cette intégrale. Vous n'avez pas à lui faire confiance comme à une boîte noire, parce que vous pouvez poser l'intégrale vous-même, l'évaluer sur les rectangles d'une section reconstituée, et vérifier la machine contre votre propre main. Pour les morceaux voisins du même calcul, l'aperçu des intégrales en ingénierie des structures cartographie où chacune atterrit, et le théorème de Castigliano montre le côté dérivée de la même pièce à l'œuvre sur un treillis.